Mines Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Propriétés des fonctions harmoniques. Difféomorphismes de R2.
Principaux outils utilisés séries de fonctions, intégrales dépendant d'un paramètre, fonctions de plusieurs variables

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES. ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELEC0MMUNICAflONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES OELECOMMWICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2004 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 2-Filière MP. Cet énoncé comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'épreuve comporte deux problèmes complètement indépendants. Problème 1 Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes, définie dans un ouvert U du plan R2, deux fois conünûment dérivable ; le laplacien de la fonction f est, par définition, la fonction, notée AjÇ définie dans l' ouvert U par la relation suivante : Mx,y) == --ä--£<æy> + -ä--É(x,y)- Une fonction f à valeurs réelles ou complexes, définie dans un ouvert U du plan IR2, deux fois continûment défivable, est harmonique dans U si et seulement si son laplacien est nul dans U : Mm) = â--é(æy> + âä(w> = 0. Exemple : en électrostatique, le potentiel électrique dans le vide est harmonique. Le but du problème est de donner des exemples de telles fonctions puis de démontrer certaines propriétés de ces fonctions : le principe du maximum, la propriété de moyenne, le fait que les fonctions bomées harmoniques dans tout le plan sont constantes. Le plan R2 est supposé muni de la norme euclidienne. Quelques exemples de fonctions harmoniques : _ l. Démontrer que les fonctions complexes f et g... n e N, définies dans le plan R2 par les relations ci--dessous, sont harmoniques : flx,y) = ex+îy, gn(x,Y) :: (x+ jy) ", 2. Déterminer les fonctions u réelles, de classe C2, définies sur la demi--droite ouverte ]0, oo [, telles que chaque fonction 11, définie dans le plan R2 privé du point 0 (R2 \ {O}) par la relation ci--dessous, soit harmonique h(x,y) = u(Jx2 +y2 ). Poser si nécessaire :r = Jx2 + y2 . 3. Déterminer les fonctions v réelles, de classe C2, définies sur la droite réelle IR, telles que chaque fonction k, définie dans le plan R2 privé de l'axe y'Oy (R2 \ y'Oy) par la relation ci--dessous, soit harmonique. (c(x,y) = v(%). Soit la suite (u,, ),,OEN de fonctions définies dans tout le plan R2 par les relations suivantes : u,...) = (--U"%- 4. Soit K un ensemble fermé borné quelconque du plan R2 ; démontrer que la restriction u,,. K de la fonction u,, au fermé K est le terme général d'une série de fonctions uniformément convergente. En déduire que la série de fonctions de tenue général u,, converge en tout point du plan et que sa somme, la fonction (p, définie par la relation suivante «p(x,y) = Zun(x,y), n=0 est continue dans le plan. 5. Démontrer que cette fonction (p est harmonique dans tout le plan R2. Principe du maximum : Soit f une fonction réelle harmonique définie dans tout le plan R2. Soit D le disque fermé de centre 0 et de rayon strictement positif r (r > O) ; soit C le cercle de centre 0 et de rayon r : D = {(w) ! x2 +y2 S r2}, C = {(x,y) | x2 +y2 = r2}-- Étant donné un entier strictement positif p (p > 0), soit f,, la fonction défmie dans R2 par la relation suivante : fp(&ÿ) =flan) + 55--52?-- 6. Démontrer l'existence d'un point M,, de coordonnées a,, et b , appartenant au disque fermé D en lequel la fonction f,, atteint son maximum : f,,(a,,,b,,) = max fp(x,y)-- (xJ)EURD 7. Démontrer que, si le point M,, appartient à l'intérieur du disque D, les deux dérivées secondes de la fonction j},, obtenues en dérivant deux fois par rapport à x ou deux fois par rapport à y, sont, en ce point M,,, négatives ou nulles : 8. En déduire, en calculant par exemple le laplacien de la fonction [... que le point M,, est situé sur le cercle C. 9. Démontrer qu'il existe un point P de coordonnées a et b du cercle C en lequel la fonction f atteint son maximum sur D : f(a,b) =max flx,y). (0060 10. En déduire que deux fonctions harmoniques dans le plan R2 égales le long d'un cercle C du plan (de rayon strictement positif), sont égales dans tout le disque D de frontière C. Propriété de la moyenne Soit f une fonction réelle harmonique définie dans le plan lR". Étant donnés un point Mo de coordonnées xo et yo et un réel p positif ou nul, soit F la fonction définie sur la demi--droite fermée [O,GO[ par la relation suivante : F(p) == [:"/"(xe +p cosEUR, yo + p sin6)d9. Il. Démontrer que la fonction F est définie et continue sur la demi--droite fermée [O, oe[. 12. Démontrer que la fonction F est continûment dérivable. Préciser sa dérivée F '(p). 13. Démontrer que le produit p.F '(p) est égal à la valeur d'une intégrale curviügne d'une forme différentielle a .: A(x, y) ait + B(x, y) dy le long d'un arc orienté F : p.F '(p) = Ï1--(A'W) dx + B(x,y) aw). Préciser la forme différentielle a et l'arc orienté F. 14. Démontrer que la fonction F est une fonction constante ; préciser sa valeur. 15. Soit D le disque fermé de centre le point Mo de coordonnées (xo,yo) et de rayon r (r > O) ; démontrer que l'intégrale double 1 de la fonction f étendue au disque D se calcule simplement en fonction de j(xo , yo) suivant la relation : I = "Dflx,y) dxdy = 7tr2flxo,yo). Fonctions harmoniques bornéæ dans le plan : Soit f une fonction définie dans tout le plan, réelle, harmonique et bomée : il existe donc une ' constante C telle qu'en tout point (x, y) du plan : fix,y)l S C. 16. Soient deux disques fermés D; et D2 de centres, distincts l'un de l'autre, 0 et M0, de coordonnées respectives (O, O) et (xo,yo ). Soit r le rayon commun de ces disques. La distance d des centres 0 et M0 (égale à ,]xâ + yä ) est supposée strictement inférieure au rayon r (0 < d < r). Soit L2 l'ensemble des points du disque D2 qui ne sont pas dans le disque D; . En considérant par exemple un disque contenu dans l'intersection des disques D; et D2, démontrer que l'aire de L2 est majorée par l'expression :: r d. 17. À l'aide par exemple de la question 15, donner un majorant de la valeur absolue de la différence f(x0 , yo) ---j(0, 0) au moyen de la constante C, du rayon r et de d. En déduire que la fonction f est constante. Problème Il Soit (p la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante : si [t] < 1, (p(t) == exp( t2 Î--l ) ; si III 2 1, (p(t) = 0. Un difi'éomorphisme f de la droite réelle R sur elle--même de classe C1 est dit difi'éomorphisme de classe C°° si la fonction f est indéfiniment dérivable. Un difféomorphisme de R de classe C°° : 18. Démontrer que la restriction @; de la fonction 4} à l'intervalle ouvert 1 = ]---1 , 1 [ est indéfmiment dérivable et que, pour tout entier n, il existe un polynôme P,, tel que la dérivée ço$'" de (p; d'ordre n s'écrive sous la forme suivante : ,, P,, ! cp} '(r) = ------%--,--exp( ' (t2 ---- 1) 19. En déduire que la fonction (p est indéfiniment dérivable sur la droite réelle R. Justifier, sans calcul, l'existence d'un majorant M de la valeur absolue de la dérivée première (p ' sur la droite réelle : M =sup lw'(t) !- : e R Étant donné un réel Â. (À 6 IR), soit w;_ la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante : w(x) = x + À rp(x). 20. Démontrer que, si la valeur absolue du réel il est strictement majorée par l/M, (... < l/M), la fonction W ,1 est une bijection de la droite réelle IR sur elle--même et un difféomorphisme de classe ' C°° de R. - Quelle est, dans ces conditions "(lil < UM), l'image du segment Î = [--1,1] par l'application x o---+ WÀ(x) ? Que dire de la restriction de l'application x +--+ w;(x) aux demi--droites fermées ]--OO,---l] et [l,oe[ ? Un difféomorphisme de classe C1 du plan ]R2, défini par des fonctions indéfiniment dérivables est appelé difféomorphisme de classe C°°. Difféomorphismes du plan R2 de classe C°° : Le plan R2 est supposé muni de la norme euclidienne et rapporté à un repére orthonormé Oxy. Étant donnés un réel ). (À & IR), un réel strictement positif r (r > O) et un point P du plan R2 de coordonnées (p,q), soit 0î , l'application de R2 dans lui--même définie par la relation suivante : gP . (x) _ (x+irp(( 

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 Mines Maths 2 MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Lyon) ; il a été relu par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants. Le premier problème est consacré à l'étude des principales propriétés des fonctions harmoniques (fonctions de deux variables réelles dont le laplacien est nul). Après avoir donné quelques exemples de fonctions harmoniques sur R2 , on démontre trois grandes propriétés de ces fonctions : · Le principe du maximum, qui affirme qu'une fonction harmonique sur un ouvert et continue sur l'adhérence de cet ouvert atteint son maximum sur son bord. Cette propriété n'est démontrée que dans le cas où l'ouvert est un disque. · La propriété de la moyenne, qui affirme que si f est harmonique sur R2 , alors pour tout point (x0 , y0 ) de R2 et pour tout r > 0 : Z 1 f = f (x0 , y0 ) 2 C((x0 ,y0 ),r) · Enfin, le fait que les fonctions harmoniques sur R2 et bornées sont constantes. La difficulté de ce problème porte davantage sur la diversité des notions abordées que sur la technicité des questions. C'est un excellent problème de synthèse qui aborde toutes les notions d'analyse au programme. Le second problème porte sur les difféomorphismes de R2 . Étant donnés n points distincts (A1 , A2 , . . . , An ) et n autres points distincts (A1 , A2 , . . . , An ), on montre l'existence d'un C -difféomorphisme de R2 envoyant Ai sur Ai pour tout i. Ce problème demande plus d'initiative et de maîtrise technique que le premier. Indications Problème I y 3 On peut poser = . x P 4 Montrer la convergence normale de la série de fonctions un K . 5 Montrer la convergence normale sur tout compact des séries de fonctions de terme 2 un 2 un 2 un un un , , puis celles de terme général , , pour montrer général x y x2 y 2 xy 2 que est de classe C , et enfin calculer le laplacien de . 7 Utiliser le fait que (ap , bp ) est un maximum local de la fonction x 7 fp (x, bp ) et de la fonction y 7 fp (ap , y). 9 Remarquer que le maximum de f respectivement sur D et sur C est atteint respectivement en des (x0 , y0 ) et en (x1 , y1 ) puis comparer fp (x0 , y0 ) et fp (x1 , y1 ). 10 Calculer le maximum de f - g et de g - f . 13 Remarquer que ( cos , sin ) est un paramétrage du cercle de rayon . 14 Utiliser le fait que la forme différentielle trouvée à la question précédente est exacte. 15 Intégrer en coordonnées polaires. Commencer par intégrer en , utiliser la question précédente, puis intégrer en r. 16 Faire un dessin de la situation décrite dans l'énoncé. 17 Majorer |f (x0 , y0 ) - f (0, 0)| en fonction d'une intégrale de |f | sur la différence symétrique de deux disques de rayon r. Utiliser la question précédente, puis faire tendre r vers +. Problème II 18 Raisonner par récurrence sur n. 2M P 22 Montrer que si || < , alors ,r est un C -difféomorphisme. r 24 Utiliser la question précédente pour construire une suite finie de points Pk Pi du segment [BB ] tels que ,r (Pi ) = Pi+1 et qui laisse les points Ai invariants. 25 Il y a une erreur d'énoncé : il ne s'agit pas de trouver un endomorphisme, mais bien un difféomorphisme. 26 Distinguer les points Ai appartenant au segment [BB ] des autres. La question 24 permet de construire un difféomorphisme échangeant deux points consécutifs du segment et laissant les autres points invariants. Si on numérote les points de ce segment de 1 à n, ce difféomorphisme s'apparente d'un point de vue algébrique à la transposition (i, i + 1). Le problème qui se pose est donc de construire la transposition (1, n) à partir des transpositions (i, i + 1). I. Fonctions harmoniques 1 La fonction f est de classe C 2 ; calculons ses dérivées secondes : 2f (x, y) = e x+iy x2 2f (x, y) = i2 e x+iy = -e x+iy y 2 et d'où f = 0 Pour tout n N, la fonction gn est une fonction polynôme, donc elle est de classe C 2 . Pour tout n, on a 2 gn (x, y) = n(n - 1)(x + iy)n-2 x2 2 gn (x, y) = i2 n(n - 1)(x + iy)n-2 = -n(n - 1)(x + iy)n-2 y 2 et d'où gn = 0 On en déduit n N gn = 0 p 2 Comme suggéré par l'énoncé, on pose r = x2 + y 2 . On introduit également p la fonction re définie sur R2 par re(x, y) = x2 + y 2 . On pourrait, comme on le fait souvent, confondre la variable r et le changement de variable re (qui est une fonction), et ce sans être pénalisé lors de la correction. Il peut cependant être de bon ton de faire cette différence, notamment dans les premières questions d'un problème. On pose h(x, y) = u re (x, y) En tant que composée de fonctions de classe C 2 , h est de classe C 2 sur R2 r {0}, et on peut écrire e r h = u re x x 2 2h 2 re e r ainsi que = u r e + u re 2 2 x x x et de même pour les dérivées par rapport à y. On trouve alors -- h = e r u re + kgrad rek2 u re Calculons à présent les dérivées partielles de re : e r x (x, y) = p x x2 + y 2 p 2 re 1 x y2 2 + y2 - x p (x, y) = x = 2 2 2 x x +y x2 + y 2 (x2 + y 2 ) Et par symétrie, on trouve les dérivées partielles par rapport à y : e r y (x, y) = p 2 y x + y2 et 2 re x2 (x, y) = y 2 (x2 + y 2 ) -- kgrad rek2 = 1 On en déduit e r= On trouve alors h(r) = 1 re 1 u (r) + u (r) r Posons I = ] 0 ; + [. Il vient h est harmonique h est harmonique Enfin h est harmonique h = 0 r I r I r I A R 1 u (r) + u (r) = 0 r u (r) + r u (r) = 0 d (ru (r)) = 0 dr A r I u (r) = r (A, B) R2 u(r) = A log(r) + B 3 Sur R2 r (y Oy), si est de classe C 2 , alors la fonction k qui a été définie par k(x, y) = (y/x) est de classe C 2 . On pose y y e : (x, y) 7 et = x x On trouve alors, d'après la question précédente, -- 2 k = e u e + kgrad ek u e Il reste alors à évaluer les dérivées partielles de e: e y (x, y) = - 2 x x e 1 (x, y) = y x -- 2 y2 1 kgrad ek = 4 + 2 x x 2y e = 3 x On en déduit Par suite 2 e 2y (x, y) = 3 x2 x 2 e (x, y) = 0 y 2 k est harmonique k = 0 2y y y 2 y 1 y + + =0 x3 x x4 x x2 x y 2y y y2 k est harmonique + 1 + 2 =0 x x x x On a alors k est harmonique 2 () + 1 + 2 () = 0 d 1 + 2 () = 0 d A k est harmonique A R () = 1 + 2 Conclusion : k est harmonique (A, B) R2 () = A Arctan () + B