Mines Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Propriétés des fonctions harmoniques. Difféomorphismes de R2.
Principaux outils utilisés séries de fonctions, intégrales dépendant d'un paramètre, fonctions de plusieurs variables

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELEC0MMUNICAflONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES OELECOMMWICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2-Filière MP.

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

L'épreuve comporte deux problèmes complètement indépendants.
Problème 1

Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes, définie dans un ouvert U du 
plan R2, deux
fois conünûment dérivable ; le laplacien de la fonction f est, par définition, 
la fonction, notée AjÇ
définie dans l' ouvert U par la relation suivante :

Mx,y) == --ä--£<æy> + -ä--É(x,y)-

Une fonction f à valeurs réelles ou complexes, définie dans un ouvert U du plan 
IR2, deux fois
continûment défivable, est harmonique dans U si et seulement si son laplacien 
est nul dans U :

Mm) = â--é(æy> + âä(w> = 0.

Exemple : en électrostatique, le potentiel électrique dans le vide est 
harmonique.

Le but du problème est de donner des exemples de telles fonctions puis de 
démontrer certaines
propriétés de ces fonctions : le principe du maximum, la propriété de moyenne, 
le fait que les
fonctions bomées harmoniques dans tout le plan sont constantes.

Le plan R2 est supposé muni de la norme euclidienne.

Quelques exemples de fonctions harmoniques :
_ l. Démontrer que les fonctions complexes f et g... n e N, définies dans le 
plan R2 par les
relations ci--dessous, sont harmoniques :

flx,y) = ex+îy, gn(x,Y) :: (x+ jy) ",

2. Déterminer les fonctions u réelles, de classe C2, définies sur la 
demi--droite ouverte ]0, oo [,
telles que chaque fonction 11, définie dans le plan R2 privé du point 0 (R2 \ 
{O}) par la relation

ci--dessous, soit harmonique
h(x,y) = u(Jx2 +y2 ).

Poser si nécessaire :r = Jx2 + y2 .

3. Déterminer les fonctions v réelles, de classe C2, définies sur la droite 
réelle IR, telles que
chaque fonction k, définie dans le plan R2 privé de l'axe y'Oy (R2 \ y'Oy) par 
la relation
ci--dessous, soit harmonique.

(c(x,y) = v(%).

Soit la suite (u,, ),,OEN de fonctions définies dans tout le plan R2 par les 
relations suivantes :

u,...) = (--U"%-

4. Soit K un ensemble fermé borné quelconque du plan R2 ; démontrer que la 
restriction u,,. K
de la fonction u,, au fermé K est le terme général d'une série de fonctions 
uniformément
convergente.

En déduire que la série de fonctions de tenue général u,, converge en tout 
point du plan et que
sa somme, la fonction (p, définie par la relation suivante

«p(x,y) = Zun(x,y),
n=0

est continue dans le plan.

5. Démontrer que cette fonction (p est harmonique dans tout le plan R2.

Principe du maximum :
Soit f une fonction réelle harmonique définie dans tout le plan R2. Soit D le 
disque fermé de
centre 0 et de rayon strictement positif r (r > O) ; soit C le cercle de centre 
0 et de rayon r :

D = {(w) ! x2 +y2 S r2},
C = {(x,y) | x2 +y2 = r2}--

Étant donné un entier strictement positif p (p > 0), soit f,, la fonction 
défmie dans R2 par la
relation suivante :

fp(&ÿ) =flan) + 55--52?--

6. Démontrer l'existence d'un point M,, de coordonnées a,, et b , appartenant 
au disque fermé

D en lequel la fonction f,, atteint son maximum :

f,,(a,,,b,,) = max fp(x,y)--
(xJ)EURD

7. Démontrer que, si le point M,, appartient à l'intérieur du disque D, les 
deux dérivées
secondes de la fonction j},, obtenues en dérivant deux fois par rapport à x ou 
deux fois par rapport à
y, sont, en ce point M,,, négatives ou nulles :

8. En déduire, en calculant par exemple le laplacien de la fonction [... que le 
point M,, est situé
sur le cercle C.

9. Démontrer qu'il existe un point P de coordonnées a et b du cercle C en 
lequel la fonction f
atteint son maximum sur D :

f(a,b) =max flx,y).

(0060

10. En déduire que deux fonctions harmoniques dans le plan R2 égales le long 
d'un cercle C
du plan (de rayon strictement positif), sont égales dans tout le disque D de 
frontière C.

Propriété de la moyenne

Soit f une fonction réelle harmonique définie dans le plan lR". Étant donnés un 
point Mo de
coordonnées xo et yo et un réel p positif ou nul, soit F la fonction définie 
sur la demi--droite fermée
[O,GO[ par la relation suivante :

F(p) == [:"/"(xe +p cosEUR, yo + p sin6)d9.

Il. Démontrer que la fonction F est définie et continue sur la demi--droite 
fermée [O, oe[.
12. Démontrer que la fonction F est continûment dérivable. Préciser sa dérivée 
F '(p).

13. Démontrer que le produit p.F '(p) est égal à la valeur d'une intégrale 
curviügne d'une
forme différentielle a .: A(x, y) ait + B(x, y) dy le long d'un arc orienté F :

p.F '(p) = Ï1--(A'W) dx + B(x,y) aw).
Préciser la forme différentielle a et l'arc orienté F.

14. Démontrer que la fonction F est une fonction constante ; préciser sa valeur.

15. Soit D le disque fermé de centre le point Mo de coordonnées (xo,yo) et de 
rayon r (r > O) ;
démontrer que l'intégrale double 1 de la fonction f étendue au disque D se 
calcule simplement en
fonction de j(xo , yo) suivant la relation :

I = "Dflx,y) dxdy = 7tr2flxo,yo).

Fonctions harmoniques bornéæ dans le plan :
Soit f une fonction définie dans tout le plan, réelle, harmonique et bomée : il 
existe donc une
' constante C telle qu'en tout point (x, y) du plan :

fix,y)l S C.

16. Soient deux disques fermés D; et D2 de centres, distincts l'un de l'autre, 
0 et M0, de
coordonnées respectives (O, O) et (xo,yo ). Soit r le rayon commun de ces 
disques. La distance d

des centres 0 et M0 (égale à ,]xâ + yä ) est supposée strictement inférieure au 
rayon r (0 < d < r). Soit L2 l'ensemble des points du disque D2 qui ne sont pas dans le disque D; . En considérant par exemple un disque contenu dans l'intersection des disques D; et D2, démontrer que l'aire de L2 est majorée par l'expression :: r d. 17. À l'aide par exemple de la question 15, donner un majorant de la valeur absolue de la différence f(x0 , yo) ---j(0, 0) au moyen de la constante C, du rayon r et de d. En déduire que la fonction f est constante. Problème Il Soit (p la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante : si [t] < 1, (p(t) == exp( t2 Î--l ) ; si III 2 1, (p(t) = 0. Un difi'éomorphisme f de la droite réelle R sur elle--même de classe C1 est dit difi'éomorphisme de classe C°° si la fonction f est indéfiniment dérivable. Un difféomorphisme de R de classe C°° : 18. Démontrer que la restriction @; de la fonction 4} à l'intervalle ouvert 1 = ]---1 , 1 [ est indéfmiment dérivable et que, pour tout entier n, il existe un polynôme P,, tel que la dérivée ço$'" de (p; d'ordre n s'écrive sous la forme suivante : ,, P,, ! cp} '(r) = ------%--,--exp( ' (t2 ---- 1) 19. En déduire que la fonction (p est indéfiniment dérivable sur la droite réelle R. Justifier, sans calcul, l'existence d'un majorant M de la valeur absolue de la dérivée première (p ' sur la droite réelle : M =sup lw'(t) !- : e R Étant donné un réel Â. (À 6 IR), soit w;_ la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante : w(x) = x + À rp(x). 20. Démontrer que, si la valeur absolue du réel il est strictement majorée par l/M, (... < l/M), la fonction W ,1 est une bijection de la droite réelle IR sur elle--même et un difféomorphisme de classe ' C°° de R. - Quelle est, dans ces conditions "(lil < UM), l'image du segment Î = [--1,1] par l'application x o---+ WÀ(x) ? Que dire de la restriction de l'application x +--+ w;(x) aux demi--droites fermées ]--OO,---l] et [l,oe[ ? Un difféomorphisme de classe C1 du plan ]R2, défini par des fonctions indéfiniment dérivables est appelé difféomorphisme de classe C°°. Difféomorphismes du plan R2 de classe C°° : Le plan R2 est supposé muni de la norme euclidienne et rapporté à un repére orthonormé Oxy. Étant donnés un réel ). (À & IR), un réel strictement positif r (r > O) et un 
point P du plan R2
de coordonnées (p,q), soit 0î , l'application de R2 dans lui--même définie par 
la relation suivante :

gP . (x) _ (x+irp((