Mines Maths 2 MP 2002

Thème de l'épreuve Autour des nombres premiers et de leur répartition
Principaux outils utilisés arithmétique, Z/nZ, séries numériques
Mots clefs répartition des nombres premiers, anneau, inégalité de Tchebychev

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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J. 2066 A 2002 Math MP 2 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNTCADONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÛNS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIEME EPREUVE Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--ENR Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 2-Filière MP. Cet énoncé comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Il est conseillé aux Candidats de lire le problème en entier. Les deuxième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des parties précédentes. Le crible d'Ératosthêne donne un algorithme qui permet de savoir si un entier est premier ou non. Il est par suite possible d'indexer la suite des nombres premiers p ,, i = 1, 2, : p1=2,p2=3,p3= Dans tout le problème la lettre p est réservée aux nombres premiers. Étant donné un réel x, sa partie entière [x] est l'entier n qui vérifie la double inégalité suivante : [x]=nSx_ 2), s un réel donné strictement positif (s > O) I-2. Ensemble Mn : a. Justifier la relation suivante : b. Soient a et b deux entiers, différents l'un de l'autre, tous les deux supérieurs ou égaux à 2 (a # b, a z 2, b 2 2) ; démontrer que la série double de terme général u, i = 0,1,2,..., ] = 0, 1,2, défini par la relation suivante ]" u...= .1 , i=0,1,2,..., j=0,1,2,.... est sommable. Déterminer sa somme S. Soient pl , pl ..., p,, les n premiers nombres premiers, M ,, l'ensemble des réels obtenus en considérant tous les produits des réels (pl )", (p;)', ..., (p,,)' élevés à des exposants et,, 1 S i S n, entiers positifs ou nuls. M" = {m | m : (p0°'"".(p;)""2 ..... (p,,)"", a,-- e N}. c. Démontrer que l'application (al, a2,...,an) +----> (p1)s"".(pg)""2 ..... (p,,)"'", de N" dans M ,,, est injective. En déduire qu'il est possible d'indexer les réels m dans l'ordre croissant : l'application i i----> m ,- est strictement croissante de N* sur M... Exemples : écrire la suite des 12 premiers termes de la suite (m,--),ËW lorsque le réels est égal à 1 et l'entier n égal à 2 puis à 3. Il est admis que la série de terme général v,-- : l/m,--, i EUR N'", est convergente ; sa somme est désignée par le symbole : 2 m"'. Comme le laisse présager l'alinéa b, le résultat plus général mêM,, ci-dessous est vrai et est admis : --2/7-- Soit f,, la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, oo[ par la relation suivante : fn(s) : ñ(l .. (p1)s)"l. i=l Soit N le rang du plus grand nombre premier inférieur à n (N = sup{i | pi 5 n} ). d. Démontrer l'inégalité suivante : n N .. ëîlfîgll" (pi-ÿ) l' Retrouver, en donnant une valeur particulière au réel 5, le résultat : la suite des entiers premiers est illimitée. Déterminer, en supposant le réels inférieur ou égal à 1 (0 < s 5 1), la limite, lorsque l'entier n tend vers l'infini, de l'expression f,, (s) introduite ci-dessus. Il est admis, puisque la suite des nombres premiers est illimitée, qu'à tout réel x supérieur ou égal à 2 (x _>_ 2), peut être associé un entier N tel que le réel x soit encadré par les nombres premiers pN et pN+1 : PN E x < pN+l- e. Établir, lorsque le réel s est strictement supérieur à 1 (s > 1), l'encadrement ci-dessous : n 1 N 1 _1 co 1 --,.- _<_ (1 -- s ) S ---;,--. ëk [J  1, la limite de l'expression f,, (s) introduite ci-dessus lorsque l'entier n tend vers l'infini. 1--3. Série de terme général l/p,-, i = 1,2,... : Déduire des résultats ci-dessus la nature de la série de terme général v,--, i = 1, 2, défini par la relation suivante. _ _ .l. V,' --- lfl(l pi ). En déduire la nature de la série de terme général : W," : l=1,2,..... __1_ Pi ' Quelle conclusion qualitative est-il possible d'en tirer sur la répartition des nombres premiers ? 1--4. Fonction Ç : Soit Ç la fonction limite de la suite f,,. Démontrer que cette fonction, définie d'après la question I--2.e sur la demi-droite ouverte ]1, col: par la relation ci-dessous, est continûment dérivable. __.- N _ 1 "= _l_ Ç(s) IrmH 1 (p--)' Ek--°' 1--1 ' N--bOE) -_ k: 1 T _ 3 /7 _ ournez la page S.V.P. Deuxième partie Le but de cette partie est d'établir une majoration du produit des nombres entiers premiers inférieurs ou égaux à un entier donné n et d'encadrer le plus petit commun multiple de tous les entiers inférieurs ou égaux à cet entier n. Soit toujours n un entier supérieur ou égal à 2 (n 2 2), N le rang du plus grand nombre premier inférieur ou égal à n ; soit P,, le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à n : N pN 5 n _ 2), 7r(x) est égal au nombre des nombres premiers inférieurs ou égaux au réel x. N PNSX_ 2, àla somme des termes de la suiteA dont les rangs sont inférieurs ou égaux au rang N du plus grand nombre entier premier inférieur ou égal à x : 0,sile<2, HA(X) : N Zak, si2 S xetpN 5 x  1/lnx, l'inégalité suivante : 7r(x) S ln4(-È +]: (£:)2 ) c. Démontrer la convergence vers 0, lorsque le réel x croît vers l'infini, de la fonction R(x) suivante : R(x) : Ln%.Jî (Æ), Indication : introduire, pour x 2 4 , les intégrales de 2 à J)? et de J)? à x. d. En déduire l'existence d'un réel x0 tel que, pour tout réel x supérieur ou égal à x0, la fonction 7: vérifie la majoration suivante : J£... rr(x) _<_ 4 ln2 lnx' III--3. Une minoration de la fonction 7r : En utilisant par exemple la minoration du p. p. c. rn. d2 ... obtenue àla question II-3, démontrer qu'il existe un réel xl tel que, pour tout réel x supérieur ou égal à x1 , la fonction % vérifie la minoration suivante : _h_1â_x_ 7r_(x)Z 2 lnx' Ces deux résultats sont cohérents avec le "théorème des nombres premiers" établi par Hadamard et de La Vallée Poussin en 1896, qui affirme que la fonction n est équivalente à l'infini à la fonction x r----> x/ lnx. --6/7- Quatrième partie Soit, dans toute cette partie, un entier n donné (n 2 2). L'anneau Z/nZ est l'ensemble quotient de l'anneau Z par la relation d'équivalence : "deux entiers relatifs sont équivalents si leur différence est divisible par l'entier n". Classiquement un élément de Z/nZ, une classe d'équivalence, est notée à, a étant un représentant de cette classe. Soit (p la fonction qui, à l'entier n, associe le nombre d'éléments inversibles de Z/nZ. IV-l. Théorème d'Euler : a. Démontrer que, pour que l'élément à" de Z/nZ soit inversible, il faut et il suffit que l'entier a soit premier avec n. Donner les valeurs de rp(n) lorsque l'entier n prend toute valeur de 2 à 7. b. Démontrer que l'ensemble (Z/nZ)* des éléments de Z/nZ inversibles est un groupe multiplicatif. Quel est son cardinal ? Soit a un entier compris entre 0 et n -- 1 (O 5 a 5 n -- 1 ), premier avec n. Soit rp(n) le nombre d'éléments de Z/nZ inversibles. Démontrer la relation : Î, (n). Indication : considérer l'application y : 5 »----> 5.ä de (Z/nZ)* dans lui--même puis l'expression c définie par la relation suivante : c = n 5.'ä. bG(Z/nZ)' Ill â'P(") c. Application : déterminer le reste de la division de 251311 par 6. IV-2. Principe de cryptographie : Soit n un entier (n 2 2) égal au produit de deux nombres premiers p et q ; n : p.q . a. Démontrer la relation : (PO?) = (P--1)(CI--1)- Soit e un nombre entier premier avec (p -- 1) (q -- 1 ). b. Établir l'existence d'un entier d tel que : aâæ 1... ( 

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 Mines Maths 2 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Éric Ricard (Agrégé de mathématiques) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Cette épreuve des Mines est composée de quatre parties et a pour thème général les nombres premiers. Malgré la longueur apparente de l'énoncé, le devoir n'est pas très long et ne présente que peu de difficultés techniques. · La première partie, indépendante des autres, propose d'établir la divergence de la série des nombres premiers. En dehors de trois questions de cours qui n'en ont pas l'air (I-1, I-2.b et I-4), seule la connaissance des techniques de manipulation des séries est nécessaire. · La deuxième partie établit quelques inégalités utiles dans la suite. Elle ne demande presque aucune connaissance du programme de Spéciales et ne repose que sur des raisonnements élémentaires sur les nombres entiers. C'est là toute son originalité, puisqu'il faut absolument comprendre les mécanismes mis en jeu. En contrepartie, les questions sont très détaillées et donc abordables. · Les inégalités de Tchebychev sur le nombre d'entiers premiers plus petits que n consituent la troisième partie. Elle exploite les résultats de la précédente, toujours dans le même esprit : très peu de calculs et des raisonnements assez bien décortiqués par un énoncé donnant beaucoup d'indications. · La dernière partie, indépendante des précédentes, contraste avec le reste du sujet. Il s'agit de présenter le principe de base du cryptage RSA ; on a donc affaire à de l'arithmétique dans Z/nZ et à des notions plus abstraites que dans les parties précédentes. Les résultats qui y sont démontrés (surtout dans la première question) sont pour la plupart des rappels de cours ou d'exercices classiques. Elle ne requiert qu'une bonne compréhension de Z/nZ et reste à la portée de nombreux candidats. Dans l'ensemble, cette épreuve est originale et plaisante ; on y démontre quelques résultats intéressants. La difficulté reste très raisonnable et se situe essentiellement au niveau des raisonnements, ce qui est assez rare pour être souligné. Indications Première partie 1 pour se ramener à des entiers. s I-2.d Comparer MN et {k s ; 1 6 k 6 n}. n 1 P Prendre s = 1 et majorer . k=1 k n P I-3 Calculer vi . I-2.c Élever à la puissance i=1 I-4 Penser à utiliser le théorème de dérivation des séries de fonctions pour . Deuxième partie II-1.b Montrer que Pn = Pn+1 . p P II-1-c Utiliser 2p = Ckp et Ckp = Cp-k . p k=0 Remarquer que Pn+1 divise Pm+1 Cm 2m+1 . II-2 Montrer que i = max{ N | p i 6 n} en procédant par double inégalité. II-3.b Montrer puis utiliser le fait que In > 0 pour obtenir d2n+1 In > 1. Troisième partie III-1 Découper l'intégrale et inverser les sommes. III-2.a Utiliser la question II-1.d. III-3 Montrer d'abord le résultat pour x = 2n + 1 en utilisant la question II-2 (en passant à ln) puis la question II-3. Quatrième partie IV-1.b Montrer que c = ca (n) en utilisant le fait que (Z/nZ ) = Z/nZ. IV-2.a Décrire les entiers entre 1 et n non premiers avec n et utiliser la question IV-1.a. IV-2.c Utiliser l'identité de Bézout. Première partie Dans ce corrigé, comme suggéré par l'énoncé, n est un nombre entier supérieur à 2 et N désigne le rang du plus grand nombre premier inférieur à n. Il est bon d'avoir en tête les inégalités et pn > n N 6 pN 6 n (1) La première dit que le ne nombre premier est plus grand que n et la seconde résulte de la première et de la définition de N. I-1 Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers premiers que l'on note p1 , . . . , pn . n Posons Q= pi + 1 i=1 On sait que tout nombre entier se décompose en un produit de facteurs premiers ; Q admet donc un diviseur premier. Selon notre hypothèse, il existe un entier k [[ 1 ; n ]] tel que pk divise Q. Comme pk divise également p1 × · · · × pn , on en déduit que pk divise 1, donc que pk = 1, ce qui est contradictoire car 1 n'est pas premier. I-2.a La suite 0< 1 nks est géométrique ; comme n > 2 et s > 0, sa raison vérifie kN 1 < 1. La série associée converge donc et ns -1 P 1 1 1 = = 1- s ks 1 n k=0 n 1- s n I-2.b D'après le théorème d'inversion des séries doubles à termes positifs, la série P (uij )(i,j)N2 est sommable si et seulement si pour tout entier i, uij converge et si j P P P la série uij converge ; la valeur de cette série est alors uij . i j=0 (i,j)N2 Dans la situation proposée, P j=0 uij = 1 ais 1- 1 bs -1 D'après la question précédente, en appliquant ce résultat une fois de plus pour la somme en i, on déduit que la famille (uij ) est sommable et -1 -1 1 1 S= 1- s 1- s a b I-2.c Notons l'application de l'énoncé. Soient (i )16i6n et (i )16i6n dans Nn , il faut montrer que (i )i[[ 1 ; n ]] = (i )i[[ 1 ; n ]] = i [[ 1 ; n ]] i = i 1 , il vient s En élévant l'égalité de gauche à la puissance n n pi i=1 i = pi i=1 i L'unicité de la décomposition d'un entier en facteurs premiers donne alors i = i pour tout i inférieur à n. La fonction est donc injective. Par définition de Mn , elle est également surjective et réalise donc une bijection 1 entre Mn et Nn . Il s'ensuit que Mn est infini. L'application m 7 m s est une injection de Mn dans N. D'après ce qui précède, son image est infinie et donc peut être énumérée par ordre croissant comme toute partie infinie de N. Autrement dit, il existe 1 : N - Mn s 1 i 7- mi s croissante et bijective. En composant avec x 7 xs qui est strictement monotone, on obtient l'indexation souhaitée. Pour l'exemple, on range par ordre croissant les nombres de la forme 21 32 , puis de la forme 21 32 53 : n=2 n=3 1 1 2 3 2 3 4 6 4 5 8 6 9 12 16 18 24 27 8 9 10 12 15 16 I-2.d D'après le résultat admis, -1 N P 1 1 1- p s = i=1 i mMN m Le résultat admis n'est que la généralisation du résultat de la question I-2.b à n > 2. Soit k [[ 1 ; n ]]. Alors k s est élément de Mn . En effet la décomposition en facteurs q premiers de k est de la forme p i=1 i i où pq est le plus grand facteur premier de k. Ainsi k [[ pq ; n ]] ; comme N est le rang du plus grand nombre premier plus petit que n, on a q 6 N. Ainsi k s = ((1 , . . . , q , 0, . . . , 0)) MN . Puisque les éléments de MN sont positifs : -1 N n 1 P P 1 1 6 = 1- s s i=1 pi mMN m k=1 k Prenons s = 1 et supposons qu'il n'existe que q nombres premiers ; alors N 6 q 1 1 pour tout n et, comme pour tout i, pi > 2 donne 1 - > , on a pi 2 n 1 P 6 k=1 k 2N |{z} dépend de n 6 2q |{z} ne dépend pas de n