Mines Maths 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Approximation de fonctions continues par des polynômes
Principaux outils utilisés intégrales à paramètres, convolution, polynômes orthogonaux, interpolation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 Math MP 2 . ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTÏQUE ET DE L'ESPACE, _ DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCAHÛNS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI). CONCOURS D'ADMISSION 2001 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIEME EPREUVE Filière NIP (Durée de l'épreuve : 4 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle Intemafional, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : . MATHEMATIQUES 2--Filière MP. Cet énoncé comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. ' Soit C l'espace vectoriel normé des fonctions réelles, définies sur le segment I = [--1,1], continues ; la norme de cet espace est la norme de la convergence uniforme, définie pour une fonction f de C par la relation : llfll =SUP lf(x)l-- xe! Pour tout entier naturel n, l'espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à n, est notée En. Par abus de langage, la locution " fonction polynomiale" est remplacée par polynôme. Première partie Il est admis que, pour une fonction { donnée continue sur le segment I et un entier naturel donné n, il existe un polynôme P... de degré inférieur ou égal à 11, tel que : llf--Pnll = An(f) = inf{llf--Pll IP EUR En}- Le but de cette partie est d'étudier l'erreur commise lors de la meilleure apptoximafion d'une fonction continue par une fonction polynomiale et de montrer le résultat : si_ f est une fonction k--fois conünûment dérivable sur I = [----l, 1], la meilleure approximation de la fonction f par un polynôme de degré inférieur ou égal à n est telle que : A,,(f) : o(--%--Ç--). n Tournez la page S.V.P. - 1/7 - Soit (p une fonction réelle, définie sur l'intervalle [, bornée (il existe une constante M telle que, pour tout réel x de I, |w(x)l_ < M) À cette fonction (p est associée la fonction m,, dite' 'module de continuité de (p". Elle est définie sur la demi-droite ouverte ]0, oe[ de la manière suivante: Étant donné un réel h strictement positif, (D,, (h) est égal a la borne supérieure des réels l(p(x) ---- (p(y)| sachant que x et y sont deux réels de l'intervalle ] dont la valeur absolue de la différence est majorée par h : w«p(h) = sup{lrp(x) --<0(V)I; (x, y) e 12, Pc--yl _<_ h)- I--1. Propriétés du module de continuité: Soit (p une fonction réelle définie et bomée sur le segment I a Démontrer que le module de continuité de cette fonction (p est une fonction croissante définie sur la demi--droite ouverte ]0, oo[ b. Soient h et h' deux réels strictement positifs, démontrer la propriété : ca,,(h + h') _<_ ca,,(h) + æ,,(h'). Soient h et À deux réels strictement positifs, n un entier supérieur ou égal à 1 ; démontrer les relations suivantes : m,,(nh) 5 nw,,(h) ; m,,(Àh) 5(1+1)m,(h). c. Démontrer que la fonction (p est uniformément continue sur le segment 1 si et seulement si la limite du module de continuité ca,, en 0 est nulle : (p est uniformément continue sur I <=:lim ca,, (h) = O. h--*0 d. Démontrer que, si la fonction (p est continûment dérivable sur le segment 1, il vient pour tout réel positif h : « m,,(h) 5 h llfP'll l--2. Noyaux de Dirichlet et de Fejer : Etant donné un entier n supérieur ou égal à 1 (n 2 l), soient D,, et F ,, les fonctions définies pour tout réel 9 par les relations suivantes : D,,(9) = Z et"? ; F,,(9) = 71,-- ZD,,(9). k=0 k=--n Il est admis que la fonction F ,, vérifie les relations suivantes : POur tout 9 différent de 2k7r, k entier relatif, F ,, (9) = E ( --- "ñ' k=--n+l Soit K ,, la fonction définie dans l'ensemble R \ 2% Z par la relation suivante : sin(n 9/2) )" __ 1 K"(9)""ÀÎ( sin(9/2) -2/7- n---l |kl )eik0 : ..L( sin(n 9/2) 11 -------------. Où le réel Àn eSt défini par la condition : 1 Zu a. Calculer le réel il,, et déterminer une constante C telle que ce réel soit équivalent à l'infini à Cn3. Rappel: Zk2 == %n(n+ l)(2n+ 1). k=l b. Soit 0: la fonction définie sur l'intervalle semi--ouvert ]0, n/2] par la relation suivante : 1 at: ------. () sin'*t # Démontrer qu 'il existe une constante A1 telle que la fonction a soit équivalente en 0 àA1 t"2 En déduire que la fonction t H F a(t) est bornée sur l'intervalle ]O, 7r/2]. SoitAz un majorant de cette fonction sur l'intervalle ]O, n/2] Soient I,, et J,, les deux intégrales suivantes : _ '"2 sin4 (nt) '" '" l 0 _ ""'ïï--d' ? 1r/2 J,, = ] ta(t) sin4(nt)dt. () Démontrer les deux propriétés suivantes : . . . °° ' 4 lorsque l'enüern tend vers l'mfim, I,, «« n2.I 51; ' dt , 0 . °° - 4 pour tout entrer naturel n, (n 2 1), J,, S A;n [ S'?2 tdt. () c. Démontrer l'existence d'une constante M 0 telle que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il vienne : _<_ "71?" I:: (1 +11 t)K,,(t) dt 5 Mo. 1--3. Polynômej,,[g] : Soit g une fonction paire définie sur la droite réelle périodique et de période 2% ; étant donné un entier n supérieur ou égal à 1, soit j,, [g] la fonction définie par la relation suivante : jn[gl(9) == ---à--ï-- J-" g(9 -- t) K,,(t) dt. a Dém0ntrer que la fonction j,,[g] est paire et est un polynôme de degré... au plus égal à 2n --- 2. b. Vérifier les inégalités suivantes : lg(9) --g(9--t)l s wg s (1+nltl)wg(-},--), puis, en utilisant les résultats des questions précédentes, démontrer la majoration : |g<9) --jn[gl(9)l s M, oeg(-},--). Tournez la page S.V.P. -- 3/7 -- Dans la suite l'entiern est supposé supérieur ou égal à 3 ; à l'entier n est associé l'entier p égal à la partie entière du réel n/2. L'entier p vérifie les inégalités : pSn/2 =jP+1[g](Arccosx). l'entier p est la partie entière de n/2 définie ci--dessus. a. Démontrer que la fonction P,, est un polynôme (une fonction polynomiale) de degré au plus égal à n. 11 est admis que, pour tout entier naturel k, la fonction x »--+ cos (k Arc cosx) est un polynôme de degré k. b. Démontrer, pour toute fonction f de l'espace C et tout entier n (n 2 3 ), la relation suivante : A,,(f) 5 2M...f(-},-). La constante M 0 a été introduite à la question I--2.c, le réel A,,(f) dans l'introduction de la première partie. 0. Établir le résultat préliminaire : soit f une fonction de l'espace C ; pour tout polynôme Q de degré inférieur ou égal à 11, il vient : An(Ï) : An(f" Q) Démontrer, pour toute fonction f confinûment dérivable sur le segment I = [----1 , l ] et tout entier n, la relation ci--dessous entre A,,(f) et A... ({ ') : d. Étant donné un entier k supérieur ou égal à 1 (k 2 1 ), soit f une fonction k-fois confinûment dérivable ; déduire du résultat précédent une majoration, pour tout entier n supérieur strictement à k (11 > k), deA,,(f) en fonction de A,,..k (fik) ) En déduire que, si f est une fonction k--fois confinûment dérivable et n un entier croissant indéfiniment, l'expression A,,(f) est un infiniment petit d'ordre supérieur à Un" . An(f) = o(--1Î). 11 --4/7- SECONDE PARTIE Le but de cette partie est, pour une fonction f donnée dans C, de construire une suite de polynômes I,,[f], qui, lorsque la fonction f est conünûment dérivable, converge uniformément vers la fonction f. Dans cette partie, l'entier n est fixé et est supérieur ou égal à 3 (n 2 3 ). Soit ES le sous-espace de En constitué des polynômes (fonctions polynomiales) nulles en --1 et en 1. 11--1. L'espace préhilbertien ES : a. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel E?, ? Soit (e k>2£k_<_n la suite de polynômes définie par la relation : k k--2 pour tout entier k, 2 5 k 5 n, ek(x) : x --x Démontrer que la suite de ces polynômes est une base B de l'espace vectoriel ES. b. Soit CD,, l'endomorphisme de l'espace vectoriel ES défini par la relation suivante : pour tout polynôme P de E?,, (Dn(P)(x) : (l -- x2) P"(x). Démontrer que la matrice M " associée à l'endomorphisme (D,, dans la base B est une matrice triangulaire supérieure ; déterminer les éléments de la diagonale de cette matrice. En déduire l'existence d'une base B' définie par une suite de polynômes (Qk)25kîn qui vérifient les relations suivantes : pour tout entier k, 2 5 k _<_ 11, (1 ----x2) Q;{'(x) : uk Qk. Ces polynômes sont supposés unitaires (le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1). Préciser les coefficients ..., 2 _<_ k _<_ n et le degré des polynômes Qk. c. À deux polynômes quelconques P et Q appartenant à l'espace vectoriel E?, est associée l'intégrale J (P, Q) définie par la relation suivante : 1 P(x) Q(x) dx -1 l---x2 . J(P,Q) = [ Démontrer que cette intégrale existe ; à quelle condition sur le polynôme P l'expression J (P,P) est--elle nulle ? Il est admis dans la suite que l'application (P, Q) l----+ J(P, Q) de E2 >< EZ dans R est un produit scalaire. Dans la suite le produit scalaire est noté (. l .) : (P | Q) = ll de d. Démontrer que la base B' = (Q) < est orthogonale dans l'espace préhilbertien (E" ( | )) US" Il--2. Racines du polynôme Qn : a. Un résultat préliminaire : démontrer que le polynôme Q,, possède la propriété : pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à n --- 3, l'intégrale K ci-dessous est nulle : K = î1 P(x) Q,,(x) dx : O. Tournez la page S.V.P. -- 5/7 -- b. Deux cas sontconsidérés : i. Le polynôme Q,, admet des racines, d'ordre de multiplicité impair, situées dans l'intervalle ouvert 1 = ]---1, 1 [. Soient xl, x2, ...,xp, ces racines (l'entier p est strictement positif). Soit R; le polynôme défini par la relation : k=p R1 (x) = H(x -x,,). k'-=l Démontrer que l'intégrale de la fonction x r--+ R1 (x) Q,, (x) étendue au segment ] est différente de 0 : 1 ] R1(x) Q,,(x) dx = o. ..1 ' En utilisant le résultat de l'alinéa a, déterminer le degré du polynôme R1. ii. Le polynôme Q,, n'a pas de racines, d'ordre de multiplicité impair, situées dans l'intervalle ouvert ]----1, 1 [. Démontrer que l'intégrale de la fonction x v----> Q,,(x) étendue au segment I est différente de 0. En déduire que les racines du polynôme Q,, sont simples et situées sur le segment I . Dans la suite, les racines du polynôme Q... sont notées yk, k = O, 1, ...,n et vérifient la relation suivante : --1=y0  Lk. k=0 où L ;, est le polynôme défini par la relation : Qn+l @) ' L = -------------------------. ""' (x _... Q... ou -6/7- c. Démontrer, pour tout polynôme P appartenant à E ,,, l'inégalité : pour tout rée1xde I, 1f(x) --I,,[f](x)l _<_ (1 +ÉLLk(x)i) |lf--Pll. , k==0 II--4. Majoratîon de ZZ__OLLk(x)| : Soit f une fonction continue appartenant à l'espace C : f : I ---+ R. a. Soit v,, l'application de l'espace vectoriel E 2... dans RZ"+2 définie par la relation suivante :, v,,(P) = (PQ/0), P(yl), ...,P(y,,), P...), P'0q), .,.,P'(yn)). Démontrer que l'application v,, est un isomorphisme de l'espace vectoriel E 2... sur R2"+2. En déduire qu'à une fonction f donnée dans C est associé un seul polynôme H ,,[f] appartenant à E 2... , vérifiant les relations suivantes : pour tout entier k, 0 5 k S n, Hn[f](yk) =f(ÿk), Hn[f]'(ÿk) =f'0'k)-- Que vautH,,[l] ? Il est admis que le polynôme H ,,[f] est défini par la relation suivante : Hn[f](x) = Zf' (x.--... )2 +Zfoe> (1 ---- 2Lk'(yk>> (Lk>2. k=0 k=0 b. Calcul des dérivées Lk'(yk). Déterminer l'expression, pour tout entier k compris entre 0 et n (0 5 k 5 n), de la dérivée L k'(yk) en fonction des dérivées première et seconde Q...1'Çyk) et Q,... "(y/{), En utilisant l'équation différentielle vérifiée par le polynôme Q,... (question 11--1 .b) déterminer les valeurs de Lk'(yk) lorsque l'entier k est compris entre l et n ---- 1_(1 5 k 5 n -- 1). Calculer ensuite Lo'(yo) et L,,'(y,,). c. En déduire les inégalités : pour tout rée1x du segment I, Z(Lk(x))2 5 ], ELLk(x)l _<_ Jn + 1 . k--_._.0 k'-=O Il--5 Estimation de l'approximation : Démontrer que, pour toute fonction continue appartenant à l'espace C, pour tout entier n supérieur ou égal à 3, la norme de la différence entre la fonction f et le polynôme I,,[f] est majorée par le produit 2Jrî A,,(f) : llf--Ïnlflll S 2 JñA,,(/). En particulier démontrer que, si la fonction f est confinûment dérivable sur I, la suite des polynômes I,,[f] converge uniformément, lorsque l'entier n tend vers l'infini, vers la fonction [ Que dire de la convergence lorsque la fonction f est indéfiniment confinûment dérivable ? FIN DU PROBLÈME --7/7--

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 Mines Maths 2 MP 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Beck (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce problème comporte deux parties. La deuxième n'utilise les résultats de la première que pour la dernière question : on peut donc traiter indépendamment ces deux parties. Dans tout le problème, on étudie l'approximation des fonctions continues par des polynômes (sur [-1, 1]). Dans la première partie, on utilise des méthodes dites de convolution. À l'aide d'intégrales à paramètres, on construit à partir d'une fonction f une suite de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers f et on s'en sert pour obtenir un résultat sur la rapidité de convergence. Dans la seconde partie, on construit à l'aide d'un endomorphisme une suite de polynômes (Pn ) qui sont ses vecteurs propres. On montre que ces polynômes sont orthogonaux pour un certain produit scalaire afin d'en déduire qu'ils sont tous scindés à racines simples. Enfin, on montre qu'en interpolant f aux racines de ces polynômes, on obtient une suite (Qn ) de polynômes qui converge uniformément vers f . Indications Partie I I.1.a Remarquer que si h 6 h alors : {(x, y), |x - y| 6 h} {(x, y), |x - y| 6 h } I.1.b Prendre x 6 y tels que y - x 6 h + h . Choisir un élément z dans [x, y] et appliquer l'inégalité triangulaire. Passer ensuite à la borne supérieure. I.1.c Revenir aux définitions. I.1.d Utiliser le théorème des accroissements finis. I.2.a Remarquer que n Kn = n2 F2n et utiliser l'expression de Fn sous la forme d'un polynôme trigonométrique pour calculer l'intégrale de Kn sur [ 0, 2]. I.2.b Utiliser le développement limité de sin en 0. Faire le changement de variable u = nt pour les intégrales. Z Z 1 1 Kn (t) dt + n t Kn (t) dt et exprimer le I.2.c Séparer l'intégrale en 0 0 deuxième terme en fonction de In , Jn et n . I.3.a Attention à l'erreur d'énoncé, il faut montrer que jn [g] est un polynôme trigonométrique. Montrer Z pour cela d'une part que Kn en est un et, d'autre part, 1 que jn [g]() = Kn ( - t) g(t) dt. 2 - I.3.b Utiliser d'abord la question I.1.b puis remplacer g() sous la valeur absolue Z 2 1 par g()Kn (t) dt puisque Kn (t) est de valeur moyenne égale à 1. 2 0 I.4.a Utiliser le fait que jp+1 [g] est un polynôme trigonométrique pair pour montrer qu'il s'écrit comme une somme finie de fonctions cos. I.4.b Par définition de la borne inférieure, n (f ) est plus petit que ||f - Pn ||. Utiliser alors la définition de Pn et la question I.3.b. I.4.c Utiliser un polynôme Pf tel que n-1 (f ) = || f - Pf ||. Prendre l'une de ses primitives P1 et appliquer les questions I.4.b et I.1.d à f - P1 . I.4.d Raisonner par récurrence sur k. Partie II II.1.a Montrer que E0n est l'intersection des noyaux de deux formes linéaires pour déterminer sa dimension. Montrer que la famille (ek ) est libre par un argument sur les degrés de ces polynômes. II.1.b Exprimer n (ek ) en fonction de ek et ek-2 pour montrer que la matrice Mn est triangulaire supérieure. Remarquer ensuite que les éléments diagonaux sont tous distincts et en déduire que son polynôme caractéristique est scindé à racines simples. II.1.c Décomposer l'un des polynômes P ou Q suivant la base des (Qk ) et utiliser l'équation différentielle vérifiée par Qk . II.1.d Considérer Qk et Qk deux éléments de la base. Calculer de deux manières différentes leur produit scalaire en utilisant chacune des équations différentielles vérifiées par ces polynômes et des intégrations par parties. II.2.a Poser Q = P (1 - x2 ) et remarquer que Q appartient à E0n-1 . II.2.b.i Montrer que le polynôme R1 Q est de signe constant sur [ -1, 1]. II.2.b.ii Montrer de même que, sous ces hypothèses, Qn est de signe constant sur l'intervalle [ -1, 1]. II.3.a Pour l'injectivité, utiliser le théorème selon lequel un polynôme non nul de degré n a au plus n racines. Raisonner sur les dimensions pour la surjectivité. II.3.b Pour calculer Lk (yk ), montrer que (x - yl ) Lk (x) = l6=k (yk - yl ) l6=k Utiliser l'unicité du polynôme In [f ] pour conclure. II.3.c Utiliser In [f - P] = In [f ] - P pour faire apparaître P puis utiliser la question II.3.b et majorer grossièrement la valeur absolue de la somme obtenue par la somme des valeurs absolues. II.4.a Même raisonnement que pour la question II.3.a. Q (yk ) II.4.b Il faut montrer que Lk (yk ) = n+1 . 2Qn+1 (yk ) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange à Qn+1 en yk et réinjecter le résultat dans la définition de Lk de la question II.3.b. II.4.c Appliquer la formule de l'énoncé à Hn [1]. Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour démontrer la seconde inégalité à partir de la première. II.5 Utiliser la question II.3.c, puis la question II.4.c. Enfin utiliser la question I.4.d. Première partie I.1 Propriétés du module de continuité I.1.a est bornée. Soit donc M R+ tel que x I On a alors Et donc (x, y) I2 h > 0 | (x)| 6 M | (x) - (y)| 6 2M sup {| (x) - (y)|, |x - y| 6 h} 6 2M < (h) est donc bien définie pour tout h strictement positif. Soient h, h appartenant à ]0, +[ tels que h 6 h . On a {(x, y), |x - y| 6 h} {(x, y), |x - y| 6 h } d'où sup {| (x) - (y)|, |x - y| 6 h} 6 sup {| (x) - (y)|, |x - y| 6 h } (h) 6 (h ) Soit finalement Attention ! Il ne faut pas oublier de montrer que (h) est bien définie pour répondre entièrement à la question. I.1.b Soient x, y I2 et h, h R+ tels que |x - y| 6 h + h . On suppose x < y. On peut alors choisir z dans [x, y] tel que z - x 6 h et y - z 6 h . Soit | (x) - (y)| 6 | (x) - (z)| + | (z) - (y)| Puis | (x) - (y)| 6 sup {| (x) - (z)|, |x - z| 6 h} + sup {| (y) - (z)|, |y - z| 6 h } Par conséquent, (x, y) I2 |x - y| 6 h + h = | (x) - (y)| 6 (h) + (h ) Finalement, en passant au sup {(x, y), |x - y| 6 h + h }, on obtient (h + h ) 6 (h) + (h ) La propriété (n h) 6 n (h) se déduit alors facilement par récurrence sur n. L'autre inégalité est moins immédiate. Soit > 0. On écrit = E() + {} où E() est la partie entière de . Alors, ( h) = ((E() + {}) h) ( h) 6 (E() h) + ({} h)