Mines Maths 2 MP 2000

Thème de l'épreuve Irrationnalité de ln 2
Principaux outils utilisés séries entières, suites récurrentes linéaires, équations différentielles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


J. 1033 00 MATH. 11 -- MP , ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L' AERONAUIIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏTÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTOENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE FILOERE MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) Sujet mis à la disposition des concours »: ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--BNP. L'emploi de la calculette est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES [[ - MP. L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le but de ce problème est d'établir que le réel ln2 est irrationnel. 1. Fonction h : Soit la série entière de terme général u,,(x), n = 0,1, 2, définie par la relation suivante : u,,(x) = 3,,x". Rap el : our tout entier strictement positif n et tout entier naturel p tel que 0 5 p 5 n, n . . CZ = est le cardinal de l'ensemble des parties ayant p éléments d'un ensemble de n éléments. P Par convention : C° = 1. Soit R le rayon de convergence de la série entière de terme général u,,(x) ; la somme h de cette série entière est la fonction définie à l'intérieur de l'intervalle ouvert ]----R, R|: par la relation : h(x) = Ê Cg, x". rF0 a. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme général u,,(x). b. Démontrer que, sur l'intervalle ouvert de convergence :|--R, R [, la fonction h vérifie l'équation -l/6- diñ'érentielle linéaire du premier degré. (1 -- 4x) h'(x) = 2 h(x). c. En déduire l'expression de h(x) sur l'intervalle ouvert ]--R, R [. 2. Fonctions M ,, : Soitp un entier strictement P°Sifif (p ?. 1) ; soit M F la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]--°°, 1 [ par la relation : MP°" = % Déterminer le développement en série entière de la fonction M ,, dans un voisinage de O. Exprimer le coefficient de x" à l'aide de CË+H (= CË,È_1 3. Fonction f : Soit f la fonction définie par la relation : f(x) = 1 1/1--6x+x2. a. Quel est l'ensemble de définition Df de la fonction f ? b. Déterminer pour quelles valeurs du réel x la relation suivante _ 1 f(x) -- 1 --x'h(_--(1_xx)2 ). est vérifiée. En déduire que, dans un voisinage de 0, la fonction f est égale à la somme d'une série de fonctions f,,,n = O, 1, 2, ..., définies par la relation : fn(x) : Àn M2n+l (x) x"- Les J.,, sont des scalaires qui seront déterminés ; il vient par suite : f(x) = 2 A. M2n+1(x) x". n=0 c. Déduire des résultats précédents l'existence d'un développement en série entière de la fonction f dans un voisinage de 0 : f(x) = Êa,, x". n==0 Exprimer chaque ooefiicient a,, à l'aide de la somme d'une série. Préciser le rayon de convergence de la série entière de terme général a,,x.",n = 0,1, 2.... d. Démontrer que la fonction f vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre : a(X)f'(X) + b(X)f(X) = 0, -2/6- dans laquelle les deux fonctions a et b sont des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. Les déterminer. e. En déduire que les coefficients a,,,n = 0,1, 2, du développement en série entière de la fonction f vérifient, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, la relation de récurrence (R) suivante : (R) Vn21,(n+l)a...--3(2n+l)a...+na... =O. Déterminer les coefficients ao, a], az et a3. 4. Fonction g : Le but de cette question est la recherche d'une fonction g qui possède les deux propriétés : i. les valeurs de g(0) et de g'(O) sont données par les relations suivantes : g(0) = 0, g'(0) = 1. ii. le réel g(x) est la somme d'une série entière de terme général b,, x", n = 0, 1,2, dont les coefficients b,,, n = O, 1, 2, vérifient la relation de récurrence suivante : (R) Vn21,(n+l)le--3(Zn+l)bn+nbn_l =0. a. Démontrer que les coefficients b,,,n = 0,1,2, sont bien déterminés ; calculer bo, bl, b; et b3. En supposant le rayon de convergence de la série entière de terme général b,, x", n = 0,1, 2, strictement positif, déterminer une équation différentielle du premier ordre vérifiée par la fonction g . b. Etablir la relation : g(x) =flx). [Zf(t) du c. En déduire l'expression de chaque coefficient 11,1 au moyen des coefficients ak, k = O, 1, 2, ..,n. En déduire une minoration du rayon de convergence de la série entière de terme général b,, x", n = O, 1, 2, d. Soit n un entier strictement positif ; soit dn le plus petit commun multiple des n premiers entiers ], 2, ...,n. Démontrer que le réel d,,.b,, est un entier relatif : (d,..bn e Z) 5. Etude des suites (an),,eN et (b,,)nGN : Soit ("")n=1,2,.. la suite des réels définis par la relation suivante : pour tout entier n strictement positif: un : bn art--1 "bn--l an- a. Calculer u1 et u2. Exprimer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, le terme u,... en fonction de l'entier n et de un. Etudier le signe des réels u... n = 1,2, ..., et la monotonie de cette suite. Déterminer le plus petit des majorants C de cette suite. -3/6- b. Démontrer que la suite des nombres réels (fg-;) ÆN est définie et strictement croissante ; déterminer, pour tout entier n strictement positif une majoration de la différence bn bn--l an -- arr--l à l'aide de la constante C et des deux réels a,, et a.... En déduire que la suite (%) "GN est convergente. Soit À la limite de cette suite : 6. Détermination de la limite À : Soit 8 un réel strictement positif donné. D'après la question précédente, il existe un entier N tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, le rapport b,,/a,, est encadré par 2. -- s et /'L + a : À--8S Z--: SÀ+8. a. Démontrer que, lorsque le réel x tend vers 3-Jî par valeurs inférieures, les deux fonctions f et g croissent vers l'infini. Soient fN, gN, U N et VN les fonctions définies par les relations suivantes : N N fN(x> = Za...x", gN(x) = Z'bnx", UN(x) =flx) --fN(x>, V...) = g(x) --gN(x). æ0 n=0 b. Démontrer, lorsque le réel x est compris entre 0 et 3-Jî (x e [O, 3-JÏÎ D, l'encadrement suivant : _ VN(X) ). 8 S UN(x) S À+s. c. Démontrer que, pour tout entier naturelN donné, il existe une constanteA qui majore les deux fonctionst et gN sur le segment [O, 3-Jî ]. En déduire que la fonction x H g(x)/f(x) a pour limite À lorsque le réel x tend vers 3-JÏÎ par valeurs inférieures. d. Déterminer le réel )... en admettant la relation ci--dessous : -r f 8--------"" =-'--"% ° Jl--6x+x2 7. Un équivalent du réel a,, à l'infini : Soit 0: un réel strictement positif donné ; soit (vu)"eN la suite des réels définis par la relation suivante : - 4/6 - v,, = n".a,,. a Démontrer qu'il est possible de choisir le réel a et deux suites (A,.),,21 et (B,,),,21 , qui ont chacune, lorsque l'entier n croît vers l'infini, une limite finie, tels que la suite (v,,),,eN vérifie, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, la relation de récurrence suivante v,... -- 6 v,, + v,,.1 = nl--Z(An.vn +B,,.v... ). b. Soit (w,,) n=0,1,2,... la suite qui vérifie les relations suivantes wo : 0, w = 3, Vn 21, w... --6w,,+w,... = 0. Déterminer les réels wn ; en déduire un infiniment grand équivalent à W" à l'infini. c. En admettant que les deux réels v,, et w,! sont équivalents à l'infini, en déduire un infiniment grand équivalent à a,, lorsque l'entier n croît indéfiniment. 8. Le réel ln2 n'est pas rafionnel : Soit u le réel défini par la relation : u=ln(3+Æ). a. Démontrer l'existence d'un entier N 1 et d'une constante positive K 1 , tels que, pour tout entier n supérieur ou égal à N 1, il vienne : ' enu _l_K1_ç_f'_"_ San 5 2K1 2Jrî fi° b. A l'aide de la majoration démontrée àla question 5.d, établir qu'étant donné un réel a strictement compris entre 0 et 2 (0 < a < 2), il existe une constante K 2, telle que, pour tout entier n supérieur ou égal à N 1 , l'encadrement ci-dessous a lieu : Osâ--Z--" 5K2e'""". n c. l] est admis que le nombre N (n) des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier n donné est un infiniment grand équivalent à ÎÏÎ : N(n) ... È En déduire qu'il existe un entier N 2 tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N 2 (n 2 N 2 ), la relation ci-dessous ait lieu. dn S el,l.n' -5/6- d. Soient p,, et q,, les entiers (premiers entre eux) définis par les relations suivantes : p,, = d,..b,,-- ; q,, = d,,.a,,. Démontrer l'existence d'un réel r, strictement positif, d'une constante K 3 et d'un entier N 3 tels que, pour tout entier n supérieur ou égal à N 3, l'encadrement ci--dessous ait lieu. K osx--p--"s 3 . q" (qn)"l Le résultat ci-dessous est admis : 0,61 < " <0,62. u+1,1 e. Démontrer que, si A est rationnel, il existe une constante L, stfictement positive, ne dépendant que du rationnel À, pour laquelle l'inégalité ci--dessous est vérifiée. _ &. _L_ 'a qn Z qn ' f. En déduire que le réel ln2 est irrationnel. FIN DU PROBLÈME -6/6-

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Maths 2 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Éric Ricard (ENS Ulm) ; il a été relu par Tri NguyenHuu (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Cette épreuve des Mines est relativement longue, mais elle n'est pas très difficile. Le sujet propose de démontrer que ln 2 est irrationnel, mais ceci n'est qu'un prétexte puisqu'on y admet de nombreux résultats, notamment le théorème de Dirichlet sur la répartition des nombres premiers, bien plus difficile à établir. Le candidat est surtout testé sur sa connaissance du cours et sa maîtrise des techniques de bases (calculs, majorations). Les quatre premières questions sont consacrées à l'étude de fonctions développables en séries entières. L'idée principale est le lien entre les équations différentielles linéaires pour les séries entières et les suites définies par des relations de récurrence linéaires. Il s'agit principalement d'application directe du cours, sauf peut-être à la question 3.c. Les questions 5 et 6 font le lien entre ces suites et ln 2. Contrairement à son titre, la question 7 n'est qu'un exercice sur les développements limités et l'application du théorème sur les suites récurrentes d'ordre 2. Enfin, la question 8 mène à l'irrationnalité de ln 2 en utilisant le critère de Fröbenius, là encore, tout est très détaillé et seule une bonne aptitude à manipuler les inégalités est nécessaire. Pour bien comprendre le sujet et les mécanismes mis en jeu, il est souhaitable de lire intégralement l'énoncé. Globalement, il constitue un bon entraînement aux calculs et une bonne révision sur les séries entières. Indications 1.c Ne pas oublier d'invoquer le théorème de Cauchy-Lipschitz. 2 Utiliser la formule de Taylor. x 3.b h doit être définie en . (1 - x)2 3.c Utiliser les théorèmes sur les familles sommables pour changer la méthode de sommation ou utiliser les théorèmes d'inversion des signes de dérivation et de sommation pour les séries de fonctions. Z x 4.b Montrer que e g(x) = f (x) f (t)dt est développable en série entière, puis trouver 0 ses coefficients en utilisant les questions 4.a et 4.b. bn 5.b Pour montrer que est bornée, utiliser la question 3.c pour minorer an ou an alors montrer que an est croissante et que an > 3n par récurrence. 7.a Utiliser la relation (R) pour exprimer vn+1 en fonction de vn et vn-1 et faire un 1 développement limité en . n 8.b Utiliser les majorations de la question 5.b combinées avec le résultat de la question 8.a . 8.c Exprimer dn en fonctions des nombres premiers. pn 8.e Montrer > et réduire au même dénominateur. qn 1. Fonction h 1.a Pour déterminer le rayon de convergence de la série entière un , on utilise la règle de D'Alembert : Cn+1 2(n+1) Cn2n = (2n + 2)(2n + 1) ---- 4 (n + 1)(n + 1) n ce qui montre que la série entière de terme général un (x) a pour rayon de convergence 1/4. 1.b D'après le théorème de dérivation des séries entières, h est dérivable sur l'intervalle ] -1/4 ; 1/4 [ avec P h (x) = n (n + 1)Cn+1 2(n+1) x n=0 Le coefficient d'ordre n de la série entière (1 - 4x)h (x) est (2n + 2)(2n + 1) n n (n + 1)Cn+1 - 4nC = C (n + 1) - 4n 2n 2n 2(n+1) (n + 1)(n + 1) = Cn2n (4n + 2 - 4n) n (n + 1)Cn+1 2(n+1) - 4nC2n = 2Cn2n Puisque deux séries entières sont égales si et seulement si elles ont mêmes termes généraux, on a (1 - 4x)h (x) = 2 h(x) 1.c Comme 1 - 4x ne s'annule pas sur ] -1/4 ; 1/4 [, h est (d'après la question précédente) solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle linéaire homogène 2 y=0 1 - 4x Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire affirme que h est la seule solution à cette équation satisfaisant h(0) = 1 ; or les solutions sont de la forme y - y (x) = e Rx 0 2 1-4t dt 1 = e- 2 ln(1-4x) avec réel. Un calcul direct donne = 1 en x = 0 et 1 h(x) = 1 - 4x 2. Fonction Mp Tout d'abord, Mp est développable en série entière sur ] -1 ; 1 [ car Mp est la puissance p e de 1/(1 - x), qui l'est. Le développement de Mp est donné par sa série de Taylor. Démontrons par récurrence que la proposition (k) 1 1 = k! Cp-1 P(k) : p+k-1 p (1 - x) (1 - x)p+k est vraie pour tout k > 0. ­ P(0) est bien vérifiée. ­ P(k) = P(k + 1) pour k > 0 ; en effet, 1 (1 - x)p 1 (1 - x)p (k+1) (k+1) = 1 (1 - x)p (k) ! = k! Cp-1 p+k-1 = k! Cp-1 p+k-1 (p + k) = (k + 1)! Cp-1 p+k 1 (1 - x)p+k ­ Conclusion : P(k) est vraie pour tout k > 0. La formule de Taylor en 0 donne Mp (x) = P k=0 1 (1 - x)p+k+1 1 (1 - x)p+k+1 Ckk+p-1 xk Pour déterminer le développement de Mp , on peut aussi utiliser l'égalité (p-1) 1 1 1 p > 1 = (1 - x)p (p - 1)! 1 - x et dériver p - 1 fois l'égalité 3. P 1 = xk . 1 - x k=0 Fonction f 3.a Pour que f (x), soit définie il faut et il suffit que 1 - 6x + x2 > 0 Le discriminant est 32, les racines sont donc 3 + 8 et 3 - 8. Comme le coefficient de x2 est positif, 1 - 6x + x2 > 0 à l'extérieur de l'intervalle des racines, d'où Df = - ; 3 - 8 3 + 8 ; + 3.b h n'étant définie que sur l'intervalle ] -1/4 ; 1/4 [, pour pouvoir écrire une telle relation, il faut d'abord s'assurer que