Mines Maths 1 MP-MPI 2025

A2025 ­ MATH I MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

NOTE DE L'ÉDITEUR
Le sujet était commun
aux filières

MP et MPI

Inégalités de Khintchine

Notations et résultats admis
-- Dans tout le sujet, n est un entier naturel fixé non nul.
-- Dans tout le sujet, (, P(), P) est un espace probabilisé fini.
-- On note L0 () le R-espace vectoriel des variables aléatoires réelles 
definies sur
. On notera que si X  L0 (), X() est une partie finie de R. On confondra
systématiquement variable aléatoire nulle et variable aléatoire presque sûrement
nulle.
-- Si X  L0 (), on note E(X) son espérance.
-- Une variable aléatoire X  L0 () suit une loi de Rademacher si :
X() = {-1, 1}

1
et P (X = 1) = P (X = -1) = .
2

-- Si p  [1, +[ et X  L0 (), on note Xp = (E (|X|p ))1/p . On admet que
l'application X 7 Xp est alors une norme sur L0 ().
-- Si m  N , p  [1, +[ et (x1 , . . . , xm )  Rm , on définit la quantité (x1 , 
. . . , xm )R
p
par :
m
=
(x1 , . . . , xm )R
p

m
X

!1/p
p

|xi |

.

i=1
m

On admet que l'application (x1 , . . . , xm )  Rm 7 (x1 , . . . , xm )R
est une norme
p
m
sur R .
-- On note R(N) l'ensemble des suites de R nulles à partir d'un certain rang. On
admet alors que l'application ·, · définie par
u, v  R(N) ,

u, v =

+
X
i=0

est un produit scalaire sur R(N) .

1

ui vi

m

Inégalité de Hölder
Soient p, q ]1, +[ tels que

1 1
+ = 1. Soient X, Y  L0 () que l'on suppose toutes
p q

les deux positives.

1  Montrer que
x, y  R+ ,

xy 

xp y q
+ .
p
q

2  En déduire l'inégalité suivante (inégalité de Hölder) :
E(XY )  (E (X p ))1/p (E (Y q ))1/q .
On pourra commencer par traiter le cas où E (X p ) = E (Y q ) = 1.
3  Quelle inégalité retrouve-t-on lorsque p = q = 2 ? En donner alors une preuve
directe.

Une inégalité de déviation
Soit (Xi )i[[1,n]] une suite de variables aléatoires indépendantes suivant 
toutes une loi
de Rademacher.

4  Montrer que
2

ch (t)  et /2 .

t  R,

5  Montrer que : pour tout t  0, pour tout (c1 , . . . , cn )  Rn ,
E exp t

n
X

!!

ci X i

i=1

n
t2 X
c2 .
 exp
2 i=1 i

!

6  En déduire que : pour tout t  0, pour tout x  0 et pour tout (c1 , . . . , 
cn )  Rn ,
P exp x

n
X

!

ci X i

!
tx

>e

-tx

 2e

exp

i=1

x2

Pn

2
i=1 ci

2

!

.

On pourra utiliser l'inégalité de Markov.
7  Montrer que : pour tout t  0 et pour tout (c1 , . . . , cn )  Rn non nul,
P

n
X
i=1

!

t2

!

ci Xi > t  2 exp - Pn 2 .
2 i=1 ci

2

Inégalités de Khintchine
Soit p  [1, +[. Soit (Xi )i[[1,n]] une suite de variables aléatoires 
indépendantes suivant
toutes une loi de Rademacher. Soit (c1 , . . . , cn )  Rn .

8  Soit X une variable aléatoire réelle positive et finie. Soit FX la fonction 
définie
pour tout t  0, par
FX (t) = P (X > t) .
Montrer que l'intégrale

Z +
0

tp-1 FX (t) dt converge, puis que
p

E (X ) = p

Z +
0

9  On suppose dans cette question que

n
X

tp-1 FX (t) dt.

c2i = 1. Montrer que l'intégrale

i=1

converge, puis que

E

n
X

!4 
8

ci X i

Z +

2

t3 e-t /2 dt.

0

i=1

10  Montrer que

E

n
X

!2 

ci X i

=

n
X

c2i .

i=1

i=1

11  En déduire qu'il existe un réel p > 0 tel que
E

n
X

p !1/p

 p E 

ci X i

n
X

!2 1/2

ci X i

.

i=1

i=1

12  On suppose p  2. Montrer que

E

n
X

!2 1/2

ci X i

E

i=1

n
X

p !1/p

ci X i

.

i=1

Dans les questions numérotées de 13  à 15 , on suppose 1  p < 2. 13  Justifier qu'il existe   ]0, 1[ tel que 1 1- = + . 2 p 4 3 Z + 0 2 t3 e-t /2 dt 14  Montrer que E n X !2 ci X i n X E i=1 p !2/p ci X i E n X 4 (1-)/2 ci X i . i=1 i=1 e p > 0 tel que
15  Montrer qu'il existe 

epE 

n
X

!2 1/2

ci X i

n
X

E

i=1

p !1/p

.

ci X i

i=1

16  En déduire qu'il existe un réel p tel que

p E 

n
X

!2 1/2

ci X i

n
X

E

i=1

p !1/p

ci X i

.

i=1

Une première conséquence
Soit (Xi )iN une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes 
une loi
de Rademacher.

2

17  Montrer que l'application  définie sur (L0 ()) par
X, Y  L0 (),

(X, Y ) = E(XY )

est un produit scalaire sur L0 ().
18  Soit l'application  : u  R

(N)

7

+
X

ui Xi . Montrer que  prend ses valeurs dans

i=0

L0 (), puis que  conserve le produit scalaire.

19  On note R =  R(N) . Montrer que pour tous p, q  [1, +[, les normes ·p et
·q sont équivalentes sur R.

Une deuxième conséquence
Dans cette partie, on suppose que n est une puissance de 2 : on écrit n = 2k 
avec
k  N .

4

20  Soit (a1 , . . . , ak )  Rk . Montrer que
k

1 n (a1 , . . . , ak )R
2 

X

k
X

k

i ai  1 n (a1 , . . . , ak )R
2 .

(1 ,...,k ){-1,1}k i=1

On pourra utiliser les questions 11 et 16.
21  En déduire qu'il existe un sous-espace vectoriel F de dimension k de Rn tel 
que :

n
n
n
x  F, 1 n xR
 xR
 1 n xR
2
1
2 .
En ordonnant les n éléments de {-1, 1}k de manière arbitraire,
on pourra utiliser
!
l'application T définie sur Rk par T (a1 , . . . , ak ) =

k
X
i=1

Fin du problème

5

ai  i

.
(1 ,...,k ){-1,1}k