Mines Maths 1 MP 2022

Thème de l'épreuve Formule asymptotique de Hardy et Ramanujan
Principaux outils utilisés séries numériques, intégration, suites et séries de fonctions, polynômes
Mots clefs Hardy, Ramanujan, équivalents, gaussienne, fonction caractéristique

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A2022 --- MATH I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Formule asymptotique de Hardy et Ramanujan

L'objectif de ce problème est l'étude asymptotique du nombre de partitions d'un 
entier
naturel n, c'est-à-dire du nombre de décompositions de n en somme d'entiers 
naturels non
nuls (sans tenir compte de l'ordre des termes). Une définition rigoureuse de ce 
nombre,
noté p,, est donnée en début de partie B. Dans la partie À, on introduit une 
fonction P
de variable complexe ; dans la fin de la partie B on démontre qu'il s'agit de 
la somme, sur
le disque unité ouvert de C, de la série entière 5°,,-0 pn2". L'étude de P au 
voisinage de
1 permet alors, dans les parties suivantes, de progresser vers l'obtention d'un 
équivalent
simple de la suite (p,),en (formule asymptotique de Hardy et Ramanujan).

Tout au long du problème, le disque unité ouvert de EUR sera noté

D={fz2ecC:<1}. Dans tout l'énoncé, on utilisera la dénomination « variable aléatoire réelle » pour signifier « variable aléatoire discrète réelle ». On admettra aussi les deux identités classiques suivantes : +00 1 2 u2 TT et | e 2 du = V27T. R 2 mn 6 A. Fonctions L et P 21 15 Soit z EUR D. Montrer la convergence de la série D -- Préciser la valeur de sa n>1l
somme lorsque 2 EUR |--1,1|. On notera

2 > Soit z EUR D. Montrer que la fonction t EUR [0,1] L(tz) est dérivable et 
donner une
expression simple de sa dérivée. En déduire que t + (1 -- tz)e!(%) est constante

sur [0,1] et conclure que
1

12

exp(L(2)) --

3 > Montrer que |L(z)| < --In(1 -- |z|) pour tout z dans D. En déduire la convergence de la série 32 L(2") pour tout z dans D. Dans la suite, on notera, pour z dans D, n>1l

P(2) := exp > Le") |

On remarque, en vertu de la question précédente et des propriétés de l'exponen-
tielle, que

V:e D, P(:)240 et P(:)= lim Î|

B. Développement de F en série entière

Pour (n, N) EUR N x N*, on note P, x l'ensemble des listes (a1,...,an) EUR N° 
telles

N
que D kayx = n. Si cet ensemble est fini, on note p, n son cardinal.
k=1

4 > Soit n EUR N. Montrer que P, n est fini pour tout N EUR N*, que la suite 
(p,n)n>1
est croissante et qu'elle est constante à partir du rang max(n, 1).

Dans toute la suite, on notera p, la valeur finale de (p, nN)n>1.

5 > Montrer par récurrence que

VNEN",V2e D, [x = Emxs"

6 > Soit z EUR D. On convient que p,0 = 0 pour tout n EUR N. En examinant la 
somma-
bilité de la famille ((pan+1 -- Pn)2")(n,Nen?; démontrer que

+00
= D Paz"
n--=0
En déduire le rayon de convergence de la série entière > _p,x"
7 > boit n EUR N. Montrer que pour tout réel t > 0,
CUT ne t+10
n = -- e """ P(e """")d6,
P 27T [.
si bien que

etP(e-t) pr, P(e-t+i9)
= ---- 7 7 db. 1
. 27 fe P(e"t) ()

Dans le reste du problème, l'objectif est d'obtenir un équivalent du nombre p,, 
lorsque
n tend vers +. Cet équivalent sera obtenu via un choix approprié de { en 
fonction de
n dans la formule (1).
C. Controle de P

8 > Soitxæ e [0,1|et0E R. En utilisant la fonction L, montrer que
1 --
" < exp(--(1 -- cosé)r). 1 -- ve En déduire que pour tout x EUR [0,1] et tout réel 6, 95 Soitre 1 1| et 0EUR R. Montrer que 1 1 -- Ô = Re x(1 -- cos 0) 1 -- a) 2 (1 -- æ)((1 -- x)? + 2x(1 -- cos 6)) cas) D. Intermède : quelques estimations de sommes l--x En déduire que P(xef?) _ 1 cost Du que P(xef?) P(x < exp | ren) q P(x On fixe dans cette partie un réel & > 0 et un entier n > 1. Sous réserve 
d'existence,

ON Pose
+00 kre-kta

Sna(t) = }, Ge

k=1
On introduit aussi la fonction

NN, -aT

TL EUR

na: TERRE ----------,
Pn,a : À + (1--e-ry"

qui est évidemment de classe C®%.

10 > Montrer que w,, et w.. sont intégrables sur |0, +.
Pn, Pn,a

11 > Montrer, pour tout réel t > 0, l'existence de S,,,(t), sa positivité 
stricte, et l'iden-
tite
+0 +00 (k+1)t
| Pn,a (x) dx -- ES a (t) -- > | (x -- kt) D, At) dx.
0 ke '

k=0 " "t
En déduire que

1 +00 Te 1
_ L +
Snatt) = Tan: | Aer dx + of) quand t -- 07.
12 > Démontrer, sans utiliser ce qui précède, que

+00 --X 2
| xe dr -- TT
0 | -- et 6

Dans le reste du problème, nous admettrons le résultat suivant (il peut être 
démontré
par une méthode similaire) :

2

FT 4e " T
1 su
o  (1--et)? 3

E. Contrôle des fonctions caractéristiques

Étant donné une variable aléatoire réelle X sur un espace probabilisé (Q,.4,P), 
ainsi
qu'un réel 4, les variables aléatoires réelles cos(0X) et sin(0X) sont 
d'espérance finie
puisque bornées : on introduit alors le nombre complexe

® x(0) := E(cos(0X)) + El(sin(0X)).
13 > Soit X une variable aléatoire réelle. Montrer que |®x(0)| < 1 pour tout réel 0. Dans les questions 145 à 18 à, on se donne une variable aléatoire réelle À suivant une loi géométrique, de paramètre p EUR |0,1| arbitraire. On pose q = 1 -- p. 14 > Montrer que pour tout (a,b) EUR R° et tout réel 6.
i(a+b)0
pe
®, 0) = ----.
x +6 ( ) 1 qe
15 > Montrer que pour tout k EUR N,. la variable aléatoire X° est d'espérance 
finie. Mon-
trer que x est de classe C® sur R et que PE (0) = ÿfE(X) pour tout k& EUR N.

16 > Montrer qu'il existe une suite (P;)xen de polynômes à coefficients dans C, 
indé-
pendante de p, telle que

P;(qe")

(Æ) [a\ _  :k i0
VER, VREN, BX (D) = Die D men

et P,.(0) -- 1.

17 > En déduire qu'il existe une suite (Cz)4en de réels strictement positifs, 
indépendante

de p, telle que

1
E(XÉ) -- --
(X") D

- GA,

Vk EN. "

18 > En déduire qu'il existe un réel À > 0 indépendant de p tel que

sc KG
E((X --E(X))) < =>

Dans les questions 19 & à 21 >, on se donne une variable aléatoire réelle 
centrée Y telle
que Y* soit d'espérance finie.

19 > Montrer successivement que Y* et |Y{* sont d'espérance finie, et que

E(Y?) < (E(Y)2 puis E(Yf) < (EX) 20 > Montrer, pour tout réel u, l'inégalité

EU _--1l--iu + -- --.
21. 6
En déduire que pour tout réel 6,
E(Y?)0°| _ |0f 41 3/4
(8) 14 | < (EC) 21 > Conclure que pour tout réel 6.
E(Y*°) 0° O1 3/4 O4
a.) --exp( 0) < (eo) 4 Ces F. Convergence vers une gaussienne Étant donné un réel { > 0, on pose, suivant les notations de la partie C,

ms: Siitt) et o:= 1/5S21(t).

Étant donné des réels t > 0 et 4, on pose

Lim, P(e-tei?)
h(t,0) = 6770 P(e)
Étant donné des réels t > 0 et u, on pose

2

C(t,u) = exp É _ (ms -- ) et j(t,u) = (Ç(t,u) ht =)

Of Gt? Ot

22 > Soit n EUR N* ainsi que des complexes 21,...,2n,u1,...,u, tous de module 
inférieur
ou égal à 1. Montrer que

n n
[Lx -- [Tu
k=1 k=1

0
 soitVeRett EUR R*. On considère, pour tout &# EUR N*, une variable 
aléatoire Zz
suivant la loi G(1 -- e-"t), et on pose Y, = k(Z4 -- E(7z)). Démontrer que

h(t,0) = lim [I &. (6).

n-- +oo

En déduire, à l'aide en particulier de la question 21 b, l'inégalité

(E,0) -- +. < K410P Sssa(t) + KO Sa (6). (2) On rappelle que la constante Æ° a été introduite à la question 18 à, les quantités Snatt) dans la partie D. 24 > Montrer que ©; AT quand t tend vers 07. En déduire, pour tout réel u. que

2
(bu) -- e "72,
JEU) 0

25 > Montrer qu'il existe un réel & > 0 tel que
VOE[-7T,7|), 1--cos0 > al".

À l'aide de la question 9 &, en déduire qu'il existe trois réels to > 0, 8 > 
0et y > 0
tels que, pour tout t EUR 10, to] et tout 0 E |--7, |,

RCE)  Conclure que

1 j(t,u) du --> 27.

--_TO+ t--0+
G. La conclusion

L T°
Dans cette dernière partie, on admet que P(e *) = {}-- exp (e) quand t tend vers

2T
OT.

27 > En appliquant la formule (1) à t -- 7. démontrer que

sx (r#)

formule découverte par Hardy et Ramanujan en 1918.

quand n -- +00,

FIN DU PROBLÈME