Thème de l'épreuve | Théorème de De Moivre-Laplace |
Principaux outils utilisés | suites et séries numériques, probabilités, intégration |
Mots clefs | variable aléatoire, théorème central limite, loi binomiale, De Moivre-Laplace, convergence en loi |
A2021 - MATH I MP Cm Concours commun Mines-Ponts ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL. Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International). CONCOURS 2021 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts. Théorème de De Moivre-Laplace Notations Dans tout le problème : - Par convention 0° = 1. - Sitet j sont des entiers naturels tels que à < 7, on note [i, j] l'ensemble des entiers k tels que 4Rappeler la formule de Stirling. En déduire l'existence d'une suite réelle (e, )neN+ convergeant vers 0 telle que : VneN*, n!l-- Zrn(=) (146). 25> boit À EUR R? et u EUR R. Démontrer que : LAX + | ue Àx et [Ar+ul none ÀZ. +00 3 > Prouver que l'intégrale | P(t)dt converge. OO 4 & Démontrer que : Étude asymptotique d'une suite Dans cette partie, si n EUR N*, on note x, le nombre entier [np -- q| et p, le réel P(X» = Zn). 5 > Justifier que p, est le plus grand élément de {P(X, = k), k EUR [0,n]}. 6 > Vérifier que lim x, =+oet lim (n--x}) = +oo. n--++00 n--++00 Établir alors : nm Tn N--Ln LU np q | n--+00 4/27 tn" (n -- xn)-Tn vnPqPn 7 > Montrer que, pour tout entier n > max {e 1 : q Pp TT Tn N--Ln mn p q Zn (n -- Xp) En = np naq "nc (anne) nge(2een) 8 > Montrer que la suite (/npP4Pn),-n+ converge. Convergence en loi 1 Dans toute la suite, pour tout n EUR N*, on note Y, = ------(X,, --- np) et on définit vnpaq les réels 7, par la relation : k--n VkEZ, rx = P Vnraq 9 > Soit n EUR N*. Déterminer la loi de Y, et vérifier que Y,, est une variable aléatoire centrée réduite. 10 > Justifier l'existence d'un élément N EUR N* tel que : pour tout entier n >N, [ab] C [Th0; Tan] EURt Démontrer que pour tout n EUR N°, e, est une fonction en escalier croissante véri- fiant : 1 vnpq VtER, enft) Montrer que : Tn,kn (b)+1 b | oe(tjdt ---->+ | oe(tdr, n,kn (a) n-- +00 a puis vérifier que Tn,kn(b)+1 P(en(a) < Ya £en(0) = | fa (t)dt. n,kn(a) 13 > Prouver que, pour tout n EUR N*, pour tout k EUR [0,n -- 1] : 1 par p" q"À l+e» În (Tank) = V2r k (n -- k) (4) (uk EN RE (T+e)(l+en_x) Où (en),-n- est la suite définie à la question 1. 14 > Justifier que, pour tout t EUR [a, b] : | pan > L et LT En 1 EG) (n = M) m4 +) + en) no 15 > Montrer que pour tout n EUR N* et pour tout k EUR Î]0,n] tels que aux {VE VER» non n =nge(- + Tn »). np nq p" gd. _ np ( 16 > Démontrer que : kn(t) qg-- kn () +2 r EUR 2. LAONS n(t) (= En} Ent) n---3+00 nm nm 17 > En conclure que : VtE a, b|, fn(t) D? D(), n-- +00 puis que : b b [nat ---- d(t)dt. n-- +00 a 18 > Déduire de tout ce qui précède que : puis que : Applications 19 > Montrer que : T 1 TER, | daz1 +00 puis en déduire la valeur de | P(t)dt. 20 > Les suites (P(Y, < b)),.x4 ciser les limites éventuelles. et (P(Yh > à)) sont-elles convergentes ? En pré- neN* Généralisation Soit w une fonction de R dans R, de classe C! et telle que 4' ne s'annule pas sur R. Pour tout n EUR N°, on note Zy = wo Yÿn. 21 > Montrer que, si W(R) = R, il existe une unique fonction Y continue sur R telle que : ... 5 pour tout (a, 6) EUR R', si a < 5, alors P(a< Z» < B) ----> | V(t)dt, n-- +00 a où R désigne l'ensemble constitué des réels, de --c et de +oo. Que dire si l'on ne suppose plus &(R) = R ? FIN DU PROBLÈME
Mines Maths 1 MP 2021 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Antoine Barrier (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par Guillaume Duboc (ENS Lyon) et Gilbert Monna (professeur honoraire en CPGE). La limite d'une suite est introduite et étudiée en classes préparatoires principalement dans le cadre des espaces vectoriels normés. Dans un autre contexte, les probabilités, il est également possible de définir la notion de limite d'une suite de variables aléatoires. C'est cette nouvelle notion qu'aborde le sujet : il porte sur une démonstration du théorème de De Moivre-Laplace, qui décrit le comportement limite d'une suite (Xn )nN de variables aléatoires suivant des lois binomiales (Xn , B(n ; p)). Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite, un résultat fondamental de la théorie des probabilités. · Dans la partie I, on établit divers résultats préliminaires, les outils principaux étant des analyses asymptotiques. · La partie II s'intéresse au comportement asymptotique du p maximum pn de l'ensemble {P(Xn = k) | k [[ 0 ; n ]]}. On montre que la suite ( n p (1 - p) pn )nN converge, ce qui sera utile dans la partie suivante. Pour cela, on s'appuie majoritairement sur les résultats préliminaires et sur la caractérisation de la loi binomiale. · La partie III démontre le théorème de De Moivre-Laplace. C'est la partie la plus longue et la plus importante du sujet. Les lois binomiales sont renormalisées en variables (Yn )nN . On montre que (P(a 6 Yn 6 b))nN converge vers l'intégrale d'une certaine fonction sur le segment [ a ; b ]. Les variables aléatoires (Yn )nN étant discrètes, et le terme limite s'exprimant comme une intégrale, on a besoin d'introduire des fonctions auxiliaires permettant de faire le lien entre discret et continu. Le théorème de convergence dominée sera le point crucial de la démonstration. · Après cela, la quatrième partie s'intéresse à deux applications : une démonstration de la valeur de l'intégrale de Gauss puis une extension du résultat de la partie III au cas où a ou b est infini. Cette extension, qui pourrait sembler immédiate, nécessite une rédaction précise. · Enfin, la dernière partie porte sur une généralisation du résultat obtenu. On regarde des variables aléatoires (Zn )nN définies en fonction de (Yn )nN et on démontre, sous certaines hypothèses, une convergence du même type que celle obtenue pour (Yn )nN . On utilise des résultats d'intégration, notamment le théorème de changement de variable. Le problème fait appel à une grande partie du programme d'analyse de MP, notamment les chapitres de probabilités discrètes et d'intégration. La maîtrise des comparaisons asymptotiques de suites, vues en première année, est indispensable pour traiter correctement ce sujet. L'énoncé est très progressif, avec une première partie sans difficulté notable, une deuxième de niveau moyen (hormis la difficile question 5) puis une troisième partie plus ambitieuse qui, après quelques questions techniques, reprend les raisonnements mis en place dans la seconde partie de manière plus poussée. Publié dans les Annales des Concours Indications Partie I 2 Encadrer bx + µc et dx + µe par x + µ - 1 et x + µ + 1. 4 Faire un développement limité de ln(1 + x) à l'ordre 2. Partie II 5 Montrer que k 7 P(Xn = k) est croissante sur [[ 0 ; xn ]] et décroissante sur [[ xn ; n ]] en comparant le rapport P(Xn = k + 1)/P(Xn = k) avec 1. 6 Utiliser le résultat de la question 2 puis appliquer la formule de Stirling à n !, xn ! et (n - xn ) ! 8 Vérifier que lim (xn - n p)/n = 0 et appliquer la question 4. n+ Partie III 9 Utiliser la relation entre Xn et Yn ainsi que les propriétés de l'espérance et de la variance. 11 Commencer par montrer que kn = k sur [ n,k ; n,k+1 [. 12 Pour le premier résultat, considérer une primitive de . Pour le second, remarquer que fn est une fonction en escalier constante sur [ n,k ; n,k+1 [. 14 Montrer de façon similaire à la question 2, que kn (t) n+ n p. 16 Procéder comme à la question 8. 17 Réunir les résultats des questions 13, 14 et 16, en se rappelant que fn (t) = fn (n,kn (t) ) Pour le second résultat, on appliquera le théorème de convergence dominée en se ramenant, pour l'hypothèse de domination, à l'étude de pn faite en Partie II. 18 Pour la première convergence, montrer que Z b Z n,kn (b)+1 fn (t) dt - fn (t) dt a n,kn (a) ---- n 0 Ensuite, comparer les événements (en (a) 6 Yn 6 en (b)) et (a 6 Yn 6 b). Partie IV 19 Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à l'évènement (|Yn | > T). 20 Commencer par montrer que, pour tout > 0, Z b P(Yn 6 b) > (t) dt - - pour n suffisamment grand. Partie V 21 Pour l'existence, utiliser le théorème de changement de variable. Publié dans les Annales des Concours Résultats préliminaires 1 La formule de Stirling établit que n! n+ 2n n n e n! n n = 1 2n e n ! Posons ainsi, pour n N , n = - 1, de sorte que 2n (n/e)n Autrement dit, lim n+ La suite (n )nN converge vers 0 et est telle que n n (1 + n ) n N n ! = 2n e L'équivalence donnée par la formule de Stirling pouvait aussi se réécrire n n n n n ! = 2n 2n + o n+ e e n n ou encore n N n ! = n 2n e pour une suite (n )nN convergeant vers 1. Dans les deux cas on s'en sortait également en utilisant la définition d'un petit o ou en posant n = n - 1. 2 Rappelons que, par définition des parties entières supérieure et inférieure : y R y - 1 < byc 6 y et y 6 dye < y + 1 Pour tout x R+ , x + µ - 1 6 bx + µc 6 dx + µe 6 x + µ + 1 µ-1 bx + µc dx + µe µ+1 6 6 61+ x x x x + En faisant tendre x vers , on obtient par théorème d'encadrement d'où 1+ lim x+ Autrement dit, bx + µc = 1 et x bx + µc x+ x et lim x+ (x > 0) dx + µe =1 x dx + µe x+ x Pour cette question, on ne traite au brouillon qu'un seul calcul. Par contre, au moment de rédiger au propre, remarquer que l'on peut faire les deux preuves simultanément permet de gagner en concision. 3 La fonction est continue et positive sur R. Vérifions son intégrabilité en + et en -. Grâce à la parité de , on se restreint à l'étude en +. On remarque que ou encore (t) = o (t-2 ) t+ Z + 2 En appliquant le critère de Riemann, dt/t converge donc par comparaison 1 est intégrable en +, d'où Z + L'intégrale (t) dt converge. t2 (t) ---- 0 t+ - 4 Utilisons le développement limité à l'ordre 2 de ln(1 + x) : x2 + o (x2 ) x0 2 (x) = (x + 1) ln(x + 1) x2 = (x + 1) x - + o (x2 ) x0 2 2 x + o (x2 ) = x2 + x - x0 2 ln(1 + x) = x - qui donne c'est-à-dire (x) = x + x2 + o (x2 ) x0 2 Étude asymptotique d'une suite 5 Fixons n N . Comme Xn suit une loi binomiale B(n ; p), on sait que n k n-k k [[ 0 ; n ]] P(Xn = k) = p q k et notons que, comme p > 0 et q > 0, P(Xn = k) > 0 pour tout k [[ 0 ; n ]]. Regardons les variations de k 7- P(Xn = k). Soit k [[ 0 ; n - 1 ]]. Il vient n pk+1 q n-(k+1) k+1 P(Xn = k + 1) = P(Xn = k) n pk q n-k k = p k ! (n - k) ! (k + 1) ! (n - (k + 1)) ! q P(Xn = k + 1) n-k p = P(Xn = k) k+1 q et on peut alors en déduire que P(Xn = k + 1) 6 1 (n - k)p 6 q(k + 1) P(Xn = k) k(p + q) > n p - q k > n p - q (p + q = 1) k > dn p - qe P(Xn = k + 1) 6 1 k > xn P(Xn = k) (k N) Autrement dit, k 7- P(Xn = k) est strictement croissante sur [[ 0 ; xn ]] et décroissante sur [[ xn ; n ]], donc atteint son maximum en xn . Ainsi, Le réel pn est le plus grand élément de {P(Xn = k) | k [[ 0 ; n ]]}.