A2021 - MATH I MP
Cm
Concours commun
Mines-Ponts
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2021
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il est
amené à prendre.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun
Mines Ponts.
Théorème de De Moivre-Laplace
Notations
Dans tout le problème :
- Par convention 0° = 1.
- Sitet j sont des entiers naturels tels que à < 7, on note [i, j] l'ensemble des entiers k tels que 4 Rappeler la formule de Stirling. En déduire l'existence d'une suite réelle
(e, )neN+
convergeant vers 0 telle que :
VneN*, n!l-- Zrn(=) (146).
25> boit À EUR R? et u EUR R. Démontrer que :
LAX + | ue Àx et [Ar+ul none ÀZ.
+00
3 > Prouver que l'intégrale | P(t)dt converge.
OO
4 & Démontrer que :
Étude asymptotique d'une suite
Dans cette partie, si n EUR N*, on note x, le nombre entier [np -- q| et p, le
réel
P(X» = Zn).
5 > Justifier que p, est le plus grand élément de {P(X, = k), k EUR [0,n]}.
6 > Vérifier que lim x, =+oet lim (n--x}) = +oo.
n--++00 n--++00
Établir alors :
nm Tn N--Ln
LU np q |
n--+00 4/27 tn" (n -- xn)-Tn
vnPqPn
7 > Montrer que, pour tout entier n > max {e 1 :
q Pp
TT Tn N--Ln
mn p q
Zn (n -- Xp) En
= np naq
"nc (anne) nge(2een)
8 > Montrer que la suite (/npP4Pn),-n+ converge.
Convergence en loi
1
Dans toute la suite, pour tout n EUR N*, on note Y, = ------(X,, --- np) et on
définit
vnpaq
les réels 7, par la relation :
k--n
VkEZ, rx = P
Vnraq
9 > Soit n EUR N*. Déterminer la loi de Y, et vérifier que Y,, est une variable
aléatoire
centrée réduite.
10 > Justifier l'existence d'un élément N EUR N* tel que :
pour tout entier n >N, [ab] C [Th0; Tan] EURt Démontrer que pour tout n EUR N°, e, est une fonction en escalier
croissante véri-
fiant :
1
vnpq
VtER, enft) Montrer que :
Tn,kn (b)+1 b
| oe(tjdt ---->+ | oe(tdr,
n,kn (a)
n-- +00 a
puis vérifier que
Tn,kn(b)+1
P(en(a) < Ya £en(0) = | fa (t)dt. n,kn(a) 13 > Prouver que, pour tout n EUR N*, pour tout k EUR [0,n -- 1] :
1 par p" q"À l+e»
În (Tank) = V2r k (n -- k) (4) (uk EN RE (T+e)(l+en_x)
Où (en),-n- est la suite définie à la question 1.
14 > Justifier que, pour tout t EUR [a, b] :
| pan > L et LT En 1
EG) (n = M) m4 +) + en) no
15 > Montrer que pour tout n EUR N* et pour tout k EUR Î]0,n] tels que
aux {VE VER»
non n =nge(- + Tn »).
np nq
p" gd. _ np (
16 > Démontrer que :
kn(t) qg-- kn () +2
r EUR 2.
LAONS n(t) (= En} Ent) n---3+00
nm nm
17 > En conclure que :
VtE a, b|, fn(t) D? D(),
n-- +00
puis que :
b b
[nat ---- d(t)dt.
n-- +00 a
18 > Déduire de tout ce qui précède que :
puis que :
Applications
19 > Montrer que :
T 1
TER, | daz1
+00
puis en déduire la valeur de | P(t)dt.
20 > Les suites (P(Y, < b)),.x4 ciser les limites éventuelles. et (P(Yh > à)) sont-elles convergentes ? En pré-
neN*
Généralisation
Soit w une fonction de R dans R, de classe C! et telle que 4' ne s'annule pas
sur R.
Pour tout n EUR N°, on note Zy = wo Yÿn.
21 > Montrer que, si W(R) = R, il existe une unique fonction Y continue sur R
telle
que :
... 5
pour tout (a, 6) EUR R', si a < 5, alors P(a< Z» < B) ----> | V(t)dt,
n-- +00 a
où R désigne l'ensemble constitué des réels, de --c et de +oo.
Que dire si l'on ne suppose plus &(R) = R ?
FIN DU PROBLÈME
