Mines Maths 1 MP 2021

A2021 - MATH I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Théorème de De Moivre-Laplace

Notations

Dans tout le problème :

- Par convention 0° = 1.

- Sitet j sont des entiers naturels tels que à < 7, on note [i, j] l'ensemble des entiers k tels que 4  Rappeler la formule de Stirling. En déduire l'existence d'une suite réelle 
(e, )neN+
convergeant vers 0 telle que :

VneN*, n!l-- Zrn(=) (146).

25> boit À EUR R? et u EUR R. Démontrer que :

LAX + | ue Àx et [Ar+ul none ÀZ.
+00
3 > Prouver que l'intégrale | P(t)dt converge.

OO

4 & Démontrer que :

Étude asymptotique d'une suite

Dans cette partie, si n EUR N*, on note x, le nombre entier [np -- q| et p, le 
réel
P(X» = Zn).

5 > Justifier que p, est le plus grand élément de {P(X, = k), k EUR [0,n]}.

6 > Vérifier que lim x, =+oet lim (n--x}) = +oo.
n--++00 n--++00

Établir alors :
nm Tn N--Ln

LU np q |
n--+00 4/27 tn" (n -- xn)-Tn

vnPqPn

7 > Montrer que, pour tout entier n > max {e 1 :
q Pp

TT Tn N--Ln

mn p q
Zn (n -- Xp) En

= np naq

"nc (anne) nge(2een)

8 > Montrer que la suite (/npP4Pn),-n+ converge.

Convergence en loi

1
Dans toute la suite, pour tout n EUR N*, on note Y, = ------(X,, --- np) et on 
définit

vnpaq

les réels 7, par la relation :

k--n
VkEZ, rx = P
Vnraq
9 > Soit n EUR N*. Déterminer la loi de Y, et vérifier que Y,, est une variable 
aléatoire
centrée réduite.

10 > Justifier l'existence d'un élément N EUR N* tel que :

pour tout entier n >N, [ab] C [Th0; Tan] EURt  Démontrer que pour tout n EUR N°, e, est une fonction en escalier 
croissante véri-

fiant :
1

vnpq

VtER, enft)  Montrer que :
Tn,kn (b)+1 b
| oe(tjdt ---->+ | oe(tdr,
n,kn (a)

n-- +00 a

puis vérifier que

Tn,kn(b)+1
P(en(a) < Ya £en(0) = | fa (t)dt. n,kn(a) 13 > Prouver que, pour tout n EUR N*, pour tout k EUR [0,n -- 1] :

1 par p" q"À l+e»

În (Tank) = V2r k (n -- k) (4) (uk EN RE (T+e)(l+en_x)

Où (en),-n- est la suite définie à la question 1.

14 > Justifier que, pour tout t EUR [a, b] :

| pan > L et LT En 1
EG) (n = M) m4 +) + en) no

15 > Montrer que pour tout n EUR N* et pour tout k EUR Î]0,n] tels que

aux {VE VER»

non n =nge(- + Tn »).

np nq

p" gd. _ np (

16 > Démontrer que :

kn(t) qg-- kn () +2

r EUR 2.

LAONS n(t) (= En} Ent) n---3+00

nm nm
17 > En conclure que :
VtE a, b|, fn(t) D? D(),

n-- +00
puis que :
b b
[nat ---- d(t)dt.

n-- +00 a

18 > Déduire de tout ce qui précède que :
puis que :

Applications

19 > Montrer que :

T 1
TER, | daz1
+00
puis en déduire la valeur de | P(t)dt.

20 > Les suites (P(Y, < b)),.x4 ciser les limites éventuelles. et (P(Yh > à)) sont-elles convergentes ? En pré-

neN*

Généralisation

Soit w une fonction de R dans R, de classe C! et telle que 4' ne s'annule pas 
sur R.
Pour tout n EUR N°, on note Zy = wo Yÿn.

21 > Montrer que, si W(R) = R, il existe une unique fonction Y continue sur R 
telle
que :

... 5
pour tout (a, 6) EUR R', si a < 5, alors P(a< Z» < B) ----> | V(t)dt,

n-- +00 a
où R désigne l'ensemble constitué des réels, de --c et de +oo.
Que dire si l'on ne suppose plus &(R) = R ?

FIN DU PROBLÈME