Mines Maths 1 MP 2021

A2021 - MATH I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Théorème de De Moivre-Laplace

Notations

Dans tout le problème :

- Par convention 0° = 1.

- Sitet j sont des entiers naturels tels que à < 7, on note [i, j] l'ensemble des entiers k tels que 4  Rappeler la formule de Stirling. En déduire l'existence d'une suite réelle 
(e, )neN+
convergeant vers 0 telle que :

VneN*, n!l-- Zrn(=) (146).

25> boit À EUR R? et u EUR R. Démontrer que :

LAX + | ue Àx et [Ar+ul none ÀZ.
+00
3 > Prouver que l'intégrale | P(t)dt converge.

OO

4 & Démontrer que :

Étude asymptotique d'une suite

Dans cette partie, si n EUR N*, on note x, le nombre entier [np -- q| et p, le 
réel
P(X» = Zn).

5 > Justifier que p, est le plus grand élément de {P(X, = k), k EUR [0,n]}.

6 > Vérifier que lim x, =+oet lim (n--x}) = +oo.
n--++00 n--++00

Établir alors :
nm Tn N--Ln

LU np q |
n--+00 4/27 tn" (n -- xn)-Tn

vnPqPn

7 > Montrer que, pour tout entier n > max {e 1 :
q Pp

TT Tn N--Ln

mn p q
Zn (n -- Xp) En

= np naq

"nc (anne) nge(2een)

8 > Montrer que la suite (/npP4Pn),-n+ converge.

Convergence en loi

1
Dans toute la suite, pour tout n EUR N*, on note Y, = ------(X,, --- np) et on 
définit

vnpaq

les réels 7, par la relation :

k--n
VkEZ, rx = P
Vnraq
9 > Soit n EUR N*. Déterminer la loi de Y, et vérifier que Y,, est une variable 
aléatoire
centrée réduite.

10 > Justifier l'existence d'un élément N EUR N* tel que :

pour tout entier n >N, [ab] C [Th0; Tan] EURt  Démontrer que pour tout n EUR N°, e, est une fonction en escalier 
croissante véri-

fiant :
1

vnpq

VtER, enft)  Montrer que :
Tn,kn (b)+1 b
| oe(tjdt ---->+ | oe(tdr,
n,kn (a)

n-- +00 a

puis vérifier que

Tn,kn(b)+1
P(en(a) < Ya £en(0) = | fa (t)dt. n,kn(a) 13 > Prouver que, pour tout n EUR N*, pour tout k EUR [0,n -- 1] :

1 par p" q"À l+e»

În (Tank) = V2r k (n -- k) (4) (uk EN RE (T+e)(l+en_x)

Où (en),-n- est la suite définie à la question 1.

14 > Justifier que, pour tout t EUR [a, b] :

| pan > L et LT En 1
EG) (n = M) m4 +) + en) no

15 > Montrer que pour tout n EUR N* et pour tout k EUR Î]0,n] tels que

aux {VE VER»

non n =nge(- + Tn »).

np nq

p" gd. _ np (

16 > Démontrer que :

kn(t) qg-- kn () +2

r EUR 2.

LAONS n(t) (= En} Ent) n---3+00

nm nm
17 > En conclure que :
VtE a, b|, fn(t) D? D(),

n-- +00
puis que :
b b
[nat ---- d(t)dt.

n-- +00 a

18 > Déduire de tout ce qui précède que :
puis que :

Applications

19 > Montrer que :

T 1
TER, | daz1
+00
puis en déduire la valeur de | P(t)dt.

20 > Les suites (P(Y, < b)),.x4 ciser les limites éventuelles. et (P(Yh > à)) sont-elles convergentes ? En pré-

neN*

Généralisation

Soit w une fonction de R dans R, de classe C! et telle que 4' ne s'annule pas 
sur R.
Pour tout n EUR N°, on note Zy = wo Yÿn.

21 > Montrer que, si W(R) = R, il existe une unique fonction Y continue sur R 
telle
que :

... 5
pour tout (a, 6) EUR R', si a < 5, alors P(a< Z» < B) ----> | V(t)dt,

n-- +00 a
où R désigne l'ensemble constitué des réels, de --c et de +oo.
Que dire si l'on ne suppose plus &(R) = R ?

FIN DU PROBLÈME

Mines Maths 1 MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Antoine Barrier (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu 
par
Guillaume Duboc (ENS Lyon) et Gilbert Monna (professeur honoraire en CPGE).

La limite d'une suite est introduite et étudiée en classes préparatoires 
principalement dans le cadre des espaces vectoriels normés. Dans un autre 
contexte, les probabilités, il est également possible de définir la notion de 
limite d'une suite de variables
aléatoires. C'est cette nouvelle notion qu'aborde le sujet : il porte sur une 
démonstration du théorème de De Moivre-Laplace, qui décrit le comportement 
limite d'une
suite (Xn )nN de variables aléatoires suivant des lois binomiales (Xn , B(n ; 
p)).
Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite, un résultat 
fondamental de
la théorie des probabilités.
· Dans la partie I, on établit divers résultats préliminaires, les outils 
principaux
étant des analyses asymptotiques.
· La partie II s'intéresse au comportement asymptotique du p
maximum pn de l'ensemble {P(Xn = k) | k  [[ 0 ; n ]]}. On montre que la suite ( 
n p (1 - p) pn )nN
converge, ce qui sera utile dans la partie suivante. Pour cela, on s'appuie 
majoritairement sur les résultats préliminaires et sur la caractérisation de la 
loi
binomiale.
· La partie III démontre le théorème de De Moivre-Laplace. C'est la partie la
plus longue et la plus importante du sujet. Les lois binomiales sont 
renormalisées en variables (Yn )nN . On montre que (P(a 6 Yn 6 b))nN converge
vers l'intégrale d'une certaine fonction sur le segment [ a ; b ]. Les 
variables aléatoires (Yn )nN étant discrètes, et le terme limite s'exprimant 
comme une intégrale, on a besoin d'introduire des fonctions auxiliaires 
permettant de faire le
lien entre discret et continu. Le théorème de convergence dominée sera le point
crucial de la démonstration.
· Après cela, la quatrième partie s'intéresse à deux applications : une 
démonstration de la valeur de l'intégrale de Gauss puis une extension du 
résultat de
la partie III au cas où a ou b est infini. Cette extension, qui pourrait sembler
immédiate, nécessite une rédaction précise.
· Enfin, la dernière partie porte sur une généralisation du résultat obtenu. On 
regarde des variables aléatoires (Zn )nN définies en fonction de (Yn )nN et on
démontre, sous certaines hypothèses, une convergence du même type que celle
obtenue pour (Yn )nN . On utilise des résultats d'intégration, notamment le
théorème de changement de variable.
Le problème fait appel à une grande partie du programme d'analyse de MP, 
notamment les chapitres de probabilités discrètes et d'intégration. La maîtrise 
des comparaisons asymptotiques de suites, vues en première année, est 
indispensable pour
traiter correctement ce sujet. L'énoncé est très progressif, avec une première 
partie
sans difficulté notable, une deuxième de niveau moyen (hormis la difficile 
question 5)
puis une troisième partie plus ambitieuse qui, après quelques questions 
techniques, reprend les raisonnements mis en place dans la seconde partie de 
manière plus poussée.

Publié dans les Annales des Concours

Indications
Partie I
2 Encadrer bx + µc et dx + µe par x + µ - 1 et x + µ + 1.
4 Faire un développement limité de ln(1 + x) à l'ordre 2.
Partie II
5 Montrer que k 7 P(Xn = k) est croissante sur [[ 0 ; xn ]] et décroissante sur 
[[ xn ; n ]]
en comparant le rapport P(Xn = k + 1)/P(Xn = k) avec 1.
6 Utiliser le résultat de la question 2 puis appliquer la formule de Stirling à 
n !, xn !
et (n - xn ) !
8 Vérifier que lim (xn - n p)/n = 0 et appliquer la question 4.
n+

Partie III
9 Utiliser la relation entre Xn et Yn ainsi que les propriétés de l'espérance 
et de la
variance.
11 Commencer par montrer que kn = k sur [ n,k ; n,k+1 [.
12 Pour le premier résultat, considérer une primitive de . Pour le second, 
remarquer
que fn est une fonction en escalier constante sur [ n,k ; n,k+1 [.
14 Montrer de façon similaire à la question 2, que kn (t)

n+

n p.

16 Procéder comme à la question 8.
17 Réunir les résultats des questions 13, 14 et 16, en se rappelant que
fn (t) = fn (n,kn (t) )
Pour le second résultat, on appliquera le théorème de convergence dominée en se
ramenant, pour l'hypothèse de domination, à l'étude de pn faite en Partie II.
18 Pour la première convergence, montrer que
Z b
Z n,kn (b)+1
fn (t) dt -
fn (t) dt
a

n,kn (a)

----
n

0

Ensuite, comparer les événements (en (a) 6 Yn 6 en (b)) et (a 6 Yn 6 b).
Partie IV
19 Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à l'évènement (|Yn | > T).
20 Commencer par montrer que, pour tout  > 0,
Z b
P(Yn 6 b) >
(t) dt - 
-

pour n suffisamment grand.
Partie V
21 Pour l'existence, utiliser le théorème de changement de variable.

Publié dans les Annales des Concours

Résultats préliminaires
1 La formule de Stirling établit que
n!

n+

2n

 n n
e

n!
 n n = 1
2n
e
n
!
Posons ainsi, pour n  N , n = 
- 1, de sorte que
2n (n/e)n
Autrement dit,

lim 

n+

La suite (n )nN converge vers 0 et est telle que
 n n

(1 + n )
n  N
n ! = 2n
e
L'équivalence donnée par la formule de Stirling pouvait aussi se réécrire
 n n
 n n 

n ! = 2n
2n
+ o
n+
e
e
 n n

ou encore
n  N
n ! = n 2n
e
pour une suite (n )nN convergeant vers 1. Dans les deux cas on s'en sortait
également en utilisant la définition d'un petit o ou en posant n = n - 1.
2

Rappelons que, par définition des parties entières supérieure et inférieure :
y  R

y - 1 < byc 6 y et y 6 dye < y + 1 Pour tout x  R+ , x + µ - 1 6 bx + µc 6 dx + µe 6 x + µ + 1 µ-1 bx + µc dx + µe µ+1 6 6 61+ x x x x + En faisant tendre x vers , on obtient par théorème d'encadrement d'où 1+ lim x+ Autrement dit, bx + µc = 1 et x bx + µc x+ x et lim x+ (x > 0)

dx + µe
=1
x

dx + µe

x+

x

Pour cette question, on ne traite au brouillon qu'un seul calcul. Par contre, au
moment de rédiger au propre, remarquer que l'on peut faire les deux preuves
simultanément permet de gagner en concision.
3 La fonction  est continue et positive sur R. Vérifions son intégrabilité en + 
et
en -. Grâce à la parité de , on se restreint à l'étude en +. On remarque que
ou encore (t) = o (t-2 )
t+
Z +
2
En appliquant le critère de Riemann,
dt/t converge donc par comparaison 
1
est intégrable en +, d'où
Z +
L'intégrale
(t) dt converge.
t2 (t) ---- 0
t+

-

4 Utilisons le développement limité à l'ordre 2 de ln(1 + x) :
x2
+ o (x2 )
x0
2
(x) = (x + 1) ln(x + 1)

x2
= (x + 1) x -
+ o (x2 )
x0
2
2
x
+ o (x2 )
= x2 + x -
x0
2

ln(1 + x) = x -
qui donne

c'est-à-dire

(x) = x +

x2
+ o (x2 )
x0
2

Étude asymptotique d'une suite
5 Fixons n  N . Comme Xn suit une loi binomiale B(n ; p), on sait que
 
n k n-k
k  [[ 0 ; n ]]
P(Xn = k) =
p q
k
et notons que, comme p > 0 et q > 0, P(Xn = k) > 0 pour tout k  [[ 0 ; n ]].
Regardons les variations de k 7- P(Xn = k). Soit k  [[ 0 ; n - 1 ]]. Il vient

n
pk+1 q n-(k+1)
k+1
P(Xn = k + 1)
 
=
P(Xn = k)
n
pk q n-k
k
=

p
k ! (n - k) !
(k + 1) ! (n - (k + 1)) ! q

P(Xn = k + 1)
n-k p
=
P(Xn = k)
k+1 q
et on peut alors en déduire que
P(Xn = k + 1)
6 1  (n - k)p 6 q(k + 1)
P(Xn = k)
 k(p + q) > n p - q
 k > n p - q

(p + q = 1)

 k > dn p - qe
P(Xn = k + 1)
6 1  k > xn
P(Xn = k)

(k  N)

Autrement dit, k 7- P(Xn = k) est strictement croissante sur [[ 0 ; xn ]] et 
décroissante sur [[ xn ; n ]], donc atteint son maximum en xn . Ainsi,
Le réel pn est le plus grand élément de {P(Xn = k) | k  [[ 0 ; n ]]}.