Mines Maths 1 MP 2020

Thème de l'épreuve Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, algèbre bilinéaire, dimension, endomorphismes
Mots clefs endomorphismes nilpotents, nilindice, réduction simultanée, endomorphismes de rang 1, trace, somme directe, produit scalaire, base, forme linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2020 --- MATH I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des R-espaces vectoriels de dimension finie. 
Soit
FE un tel espace vectoriel et u un endomorphisme de Æ. On dit que u est 
nilpotent
lorsqu'il existe un entier p > 0 tel que w? = 0; le plus petit de ces entiers 
est
alors noté v(u) et appelé nilindice de u, et l'on remarquera qu'alors u* -- 0 
pour
tout entier k& > v(u). On rappelle que u° = idx. L'ensemble des endomorphismes
nilpotents de Æ est noté N(E).

Un sous-espace vectoriel V de £L(E) est dit nilpotent lorsque tous ses éléments
sont nilpotents, autrement dit lorsque V EUR W(E).

Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses 
coefficients
diagonaux sont nuls. On note T}T(R)) l'ensemble des matrices triangulaires supé-
rieures strictes de M, (R)).

L'objectif du problème est d'établir le théorème suivant, démontré par Murray
Gerstenhaber en 1958 :

Théorème de Gerstenhaber

Soit E£ un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et V un sous-espace vectoriel
nilpotent de £(ÆE). Alors, dim < nm). Si en outre dim) -- RCE 1) alors il existe une base de Æ dans laquelle tout élément de V est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte. Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes nilpotents. Dans la partie IT, on met en évidence un mode de représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie IIT, on établit deux résultats généraux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces (lemme A), et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme B). Dans l'ultime partie IV, les résul- tats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème de Gerstenhaber par récurrence sur la dimension de l'espace FE. I Généralités sur les endomorphismes nilpotents Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel Æ de dimension n > 0.

1. Soit u EUR N(E). Montrer que tru* -- 0 pour tout 4 EUR N*.

2. On fixe une base B de E. On note NB l'ensemble des endomorphismes de E
dont la matrice dans B est triangulaire supérieure stricte. Justifier que VB est
un sous-espace vectoriel nilpotent de £(E) et que sa dimension vaut nn 1),

3. soit B une base de E. Montrer que

{v(u) lu E NB} = {v(u) [u E N(E)} = [nl].

4. Soit u EUR L(E). On se donne deux vecteurs x et y de E, ainsi que deux 
entiers
p > q > 1 tels que w(x) = ul(y) = 0 et uw? l(x) Æ 0. Montrer que la
famille (x,u(x),...,uP-l(x)) est libre, et que si (u?-l(x),u9!(y)) est libre
alors (æ,u(x),...,uP-1(x),y,u(y),...,u1l(y)) est libre.

5. Soit u EUR N(E), de nilindice p. Déduire de la question précédente que si p 
> n--1
et p > 2 alors Im UP = Imu N Ker u et Imu?-{ est de dimension 1.

IT Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien
On considère ici un espace vectoriel euclidien (E,(-- | --)). Étant donnéae E

et x EUR FE, on notera a Q x l'application de Æ dans lui-même définie par :

6.

VzEURE, (a@x)(z) = (a|2).x

On fixe x EUR E \ {0}. Montrer que l'application a EUR E + a @ x est linéaire et
constitue une bijection de E sur {u EUR L(E) : Imu C Vect(x)}.

7. SoitaecEetxeE\{0}. Montrer que tr(a x) = (a | x).

IIT Deux lemmes

On considère ici un R-espace vectoriel E de dimension n > 0. Soit V un sous-
espace vectoriel nilpotent de £(E) contenant un élément non nul. On note

pi mar

appelé nilindice générique de V (cet entier est bien défini grâce à la question 
3).
On notera que p > 2.
On introduit le sous-ensemble V° de E formé des vecteurs appartenant à au
moins un des ensembles Im uw?! pour u dans V : on introduit de plus le 
sous-espace
vectoriel engendré

K(V) := Vect(V"°).

Enfin, étant donné x EUR E, on pose
Vx := {u(x) |vE V}.

L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme A. Soit u et v dans V. Alors tr(u*v) -- 0 pour tout entier naturel k.

Lemme B. Soit x dans V° \ {0}. Si K(V) EUR Vect(x) + Vzx, alors v(x) = 0 pour 
tout
v dans V.

Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires uw et v de V.

8. Soit k EUR N*. Montrer qu'il existe une unique famille CL .., fn) d'endo-
morphismes de Æ telle que

k
VER, (u+tv)" -- SH.
i=0

k=1 .
Montrer en particulier que FL = uf et f®) = Suvur ti,
i=0

pl.
9. Montrer que D u'uuP? 1? -- 0.
i=0

10. Étant donné & EUR N, donner une expression simplifiée de tr( FD), et en
déduire la validité du lemme A.

11. Soit y EUR E. Démontrer que PDG) EUR K(Y). À l'aide d'une relation entre
u(f PV (y) et v(u?1l(y)), en déduire que v(x) EUR u(K(V)) pourtoutx EUR Imu?"t.

12. Soit x EUR V° \ {0} tel que K(V) EUR Vect(x) + Vx. On choisit u EUR V tel 
que
x ElmuPr"t
Étant donné y EUR K(V), montrer que pour tout k EUR N il existe y, EUR K(V) et
X EUR R tels que y = Ag x + u*(yr). En déduire que K(V) EUR Vect(x) puis que
v(x) = 0 pour tout v EUR V.

IV Démonstration du théorème de Gerstenhaber

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème de Gerstenhaber par
récurrence sur l'entier n. Le cas n = 1 est immédiat et nous le considérerons 
comme
acquis. On se donne donc un entier naturel n > 2 et on suppose que pour tout
espace vectoriel réel Æ" de dimension n -- 1 et tout sous-espace vectoriel 
nilpotent

3
V' de £(E'), on à dim} < (LC) et si en outre dim V' -- (= 1)(n=2) alors il existe une base de E" dans laquelle tout élément de V/ est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte. On fixe un espace vectoriel réel Æ de dimension n, ainsi qu'un sous-espace vec- toriel nilpotent V de L(E). On munit Æ d'un produit scalaire (-- | --), ce qui en fait un espace euclidien. On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire x de E \ {0}. On pose, H := Vect(x)*, Vr:={u(x)|veY} et W:={veV: v(xr) =0}. On note x la projection orthogonale de E sur H. Pour u EUR W, on note u l'endomor- phisme de H défini par Vz EUR H, üu(z) = r(u(z)). On considère enfin les ensembles V:=falueW} et Z:={ueW:a--=0t. 13. Montrer que Vx, W, V et Z sont des sous-espaces vectoriels respectifs de E, V, £L(H) et y. 14. Montrer que dim V = dim(Vx) + dim Z + dim Y. 15. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel L de E tel que Z={a@xrlaeL} et dimL=dimZ, et montrer qu'alors x EUR L--. 16. En considérant u et a @ x pour u EUR V et a EUR L, déduire du lemme A que Væ EUR L+, et que plus généralement u* (x) EUR L= pour tout 4 EUR N et tout u EUR V. 17. Justifier que Àx & Vx pour tout À EUR R*, et déduire alors des deux questions précédentes que dim Vx + dimL n -- 1 d'après la question 21.

22. Soit v EUR V tel que v(x) £ 0. Montrer que Imw?-! EUR Vect(x) © Vx. On 
pourra
utiliser les résultats des questions 5 et 20.

23. On suppose qu'il existe vo dans Y tel que vo(x) À 0. Soit v EUR V. En 
considérant
v + tvo pour t réel, montrer que Im uw?! EUR Vect(x) ® Vzx.

24. Conclure.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Matthias Moreno Ray (professeur en CPGE) ; il a
été relu par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) et Gilbert 
Monna
(professeur honoraire en CPGE).

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Un endomorphisme u  L (E)
est dit nilpotent lorsqu'il existe p  N tel que up = 0. Ce problème s'intéresse
aux sous-espaces vectoriels V de L (E) qui ne contiennent que des endomorphismes
nilpotents. L'objectif du problème est de montrer qu'un tel espace V a toujours 
une
dimension inférieure ou égale à n (n - 1)/2, puis de déterminer les 
sous-espaces de
ce type qui sont de dimension maximale. Plus précisément, on montre que dans ce
cas il existe une base B de E telle que tout élément de V est représenté dans B
par une matrice triangulaire supérieure stricte (c'est-à-dire avec des zéros 
sur la
diagonale). On dit que l'on a fait une « réduction simultanée » des 
endomorphismes
de V. La démonstration se fait par récurrence sur la dimension de E. Il s'agit 
d'un
résultat relativement récent (théorème de Gerstenhaber, 1958).
· Dans la première partie, on montre quelques résultats techniques sur les 
endomorphismes nilpotents. Les questions de cette partie sont de bons exercices
d'algèbre linéaire.
· Dans la deuxième partie, on met en place un mode de représentation des 
endomorphismes de rang 1 à l'aide d'une opération  définie à partir d'un produit
scalaire. Cet outil sera utilisé dans la démonstration du théorème. Cette partie
est plus abstraite que la précédente et demande de la rigueur conceptuelle.
· Dans la troisième partie, on montre deux lemmes qui sont au coeur de la 
démonstration du théorème : une identité sur les traces des endomorphismes de V
et une condition suffisante pour avoir un vecteur qui annule tous les 
endomorphismes de V. La difficulté de cette partie provient des notations. On y 
utilise
une généralisation de la formule du binôme de Newton dans le cas de deux
endomorphismes qui ne commutent pas.
· La quatrième partie est la plus longue et contient la démonstration du 
théorème,
par récurrence sur la dimension de E. On montre l'existence d'un vecteur x qui
annule simultanément tous les endomorphismes de V et on travaille ensuite avec
le restriction de ces endomorphismes sur l'hyperplan Vect (x) . Cette partie
utilise tous les résultats des parties précédentes et demande encore une fois
d'assimiler de nouvelles notations.
Ce problème étudie principalement des sous-espaces vectoriels de L (E) et des
applications entre ces sous-espaces, ce qui permet de se confronter à un niveau 
d'abstraction élevé. Son originalité vient de ce qu'il privilégie les approches 
spatiale et
vectorielle en limitant au maximum l'utilisation des matrices.
Si l'on admet le résultat de la première question, il peut être traité 
intégralement
en fin de première année. Il constitue un bon entraînement sur le programme 
d'algèbre
linéaire de MPSI.

Indications
Partie I
1 Montrer que toute matrice M qui représente u est trigonalisable dans Mn (C),
puis semblable à une matrice de T++
n .
++
2 Donner un isomorphisme entre NB et T++
n (R), puis chercher une base de Tn (R)
constituée de matrices élémentaires.
Pour le caractère nilpotent, montrer par récurrence sur k  [[ 1 ; n ]] que uk 
(ej )
appartient à Fn-k pour tout j  [[ 1 ; n ]], où Fn-k est l'espace engendré par
les n - k premiers vecteurs de la base B.

3 Pour l'inclusion {(u) | u  NB }  [[ 1 ; n ]], utiliser le résultat de la 
question 4 qui
ne dépend pas de ce que l'on démontre ici.
Pour l'inclusion [[ 1 ; n ]]  {(u) | u  NB }, considérer l'endomorphisme de E 
tel
que u(ei ) = 0 si i = 1 ou k + 1 6 i et u(ei ) = ei-1 sinon, avec k  [[ 1 ; n 
]] fixé.
4 Appliquer successivement up-1 , up-2 , . . . , u à une relation linéaire 
entre les vecteurs de la première famille.
Pour la deuxième famille, appliquer d'abord uq puis poser z = up-q (x) et 
appliquer successivement uq-1 , . . . , u.
5 Montrer d'abord que Im (up-1 )  Im (u)  Ker (u). À l'aide de la question 4,
prouver ensuite que si z  Im (up-1 ) r {0}, alors tout vecteur de Im (u)  Ker 
(u)
est colinéaire à z.
Partie II
6 Montrer que a  x est dans l'ensemble d'arrivée indiqué, pour tout a  E. 
Établir
ensuite que a 7- a  x est linéaire et injective. Justifier enfin que l'ensemble
d'arrivée a la même dimension que E.
7 Compléter x en une base de E et écrire la matrice de a  x dans cette base.
Partie III
(k)

8 Procéder par récurrence pour l'existence et les valeurs de f0

(k)

et f1 .

9 Justifier que (u + t v)p = 0 et utiliser l'unicité de la relation démontrée à 
la
question 8.
(k+1)

10 A l'aide des propriétés de la trace, simplifier Tr (f1
) à partir de sa valeur
donnée à la question 8. Montrer ensuite que (u + t v)k+1 est de trace nulle et
développer cette expression.
11 Établir que t 7- (a | (u + t v)p-1 (y)) est la fonction nulle, puis que 
c'est une
fonction polynomiale en t. Utiliser l'égalité (K(V) ) = K(V).
12 Prouver l'existence par récurrence sur k. Considérer ensuite le cas k = p.
Partie IV
13 Montrer que v 7- v(x) et u 7- u sont linéaires.
14 Appliquer le théorème du rang à v 7- v(x) et u 7- u et voir Vx, W, V et Z
comme noyaux ou images de ces applications.
15 Justifier que Z  {u  L (E) | Im (u)  Vect (x)} et utiliser l'isomorphisme de
la question 6.

16 Noter v = a  x et montrer que uk v = a  uk (x). Appliquer ensuite le lemme A
et la question 7.
17 Montrer qu'un endomorphisme nilpotent n'a pas de valeur propre non nulle.
Obtenir alors que Vect (x) et Vx sont en somme directe.
18 Établir la relation par récurrence sur k.
19 Appliquer une partie de l'hypothèse de récurrence à V, puis utiliser les 
résultats
des questions 14, 15 et 17.
20 Combiner les informations obtenues aux questions 14, 15, 17, 18 et 19.
21 Appliquer l'hypothèse de récurrence à V pour obtenir une base B0 de H et 
montrer
que V = NB0 . Compléter ensuite B0 par le vecteur x.
22 Avec la question 5, montrer que Im (v p-1 )  Vect (v k-1 (x)) où k est le 
plus petit
entier tel que v k (x) = 0. Utiliser ensuite la question 20.
23 Justifier que t 7- (v + t v0 )(x) s'annule au plus une fois sur R et en 
déduire que
Im ((v + t v0 )p-1 )  Vect (x)  Vx
Considérer ensuite f (t) = (a | (v + t v0 )(y)) pour t  R, a  (Vect (x)  Vx) ,
et y  E.
24 Raisonner par l'absurde.

Publié dans les Annales des Concours

I. Généralités sur les endomorphismes nilpotents
1 Soit u  N (E). Soit B une base de E et M = Mat B (u). Il est possible de voir 
M
comme un élément de Mn (C). D'après un corollaire du théorème de 
d'AlembertGauss, le polynôme caractéristique M de M est scindé dans C[X]. 
D'après le cours,
toute matrice dont le polynôme caractéristique est scindé est trigonalisable. 
Par suite,
la matrice M est semblable à une matrice triangulaire supérieure T  Mn (C).
Comme M et T sont semblables, les matrices Mk et Tk sont semblables pour
tout k  N . Notons (1 , . . . , n ) les coefficients diagonaux de T. Comme T est
triangulaire supérieure, les coefficients diagonaux de Tk sont (1 k , . . . , n 
k ) pour
tout k  N. Comme u est nilpotent, il existe p  N tel que up = 0. On a alors Mp 
= 0
(car Mp représente up ) donc Tp = 0, d'où 1 p = · · · = n p = 0 et 1 = · · · = 
n = 0.
Ainsi, les coefficients diagonaux de T sont nuls. Dès lors, pour tout entier 
naturel k
non nul, comme la trace est un invariant de similitude, il vient
n
P
Tr (uk ) = Tr (Mk ) = Tr (Tk ) =
i k = 0
i=1

k  N

Tr (uk ) = 0

Il est possible de montrer que la réciproque est vraie : si un endomorphisme u 
d'un espace vectoriel de dimension finie vérifie Tr (uk ) = 0 pour
tout k  N , alors u est nilpotent. Cette propriété caractérise donc les 
endomorphismes nilpotents.
Pour démontrer cette réciproque, on raisonne par l'absurde en supposant
qu'une matrice M qui représente u a au moins une valeur propre complexe
non nulle. Notons 1 , . . . , r toutes les valeurs propres complexes non nulles
de M (deux à deux distinctes) et n1 , . . . , nr leurs multiplicités 
respectives.
Comme M est trigonalisable dans Mn (C), il vient
k  N

Tr (Mk ) = Tr (uk ) =

r
P

ni  i k = 0

i=1

En regardant les r premières équations ainsi obtenues pour k  [[ 1 ; r ]], on 
voit
que (n1 , . . . , nr ) est solution d'un système homogène dont le déterminant D
est de type Vandermonde :
1
1 2
D= .
..

···
···

· · · r
· · · r 2
.. = (1 · · · r ) ×
.

1 r

···

···

r r

1
1
..
.

···
···

···
···

1 r-1

···

· · · r r-1

1
r
..
.

Celui-ci est non nul car les 1 , . . . , r sont tous non nuls et deux à deux
distincts. On en déduit que (n1 , . . . , nr ) = (0, · · · , 0), ce qui est 
absurde.
Par suite, sp C (M) = {0}. Le polynôme caractéristique de M étant scindé
dans C[X], il vaut M = Xn , d'où Mn = 0 (Cayley-Hamilton), puis un = 0.
2 D'après le cours, l'application B : u 7- Mat B (u) est un isomorphisme 
d'espaces
vectoriels entre L (E) et Mn (R). Par définition, NB = B -1 (T++
n (R)), donc les
ensembles NB et T++
n (R) sont en bijection par l'isomorphisme B . Montrons que
l'ensemble T++
n (R) est un sous-espace vectoriel de Mn (R) de dimension n (n - 1)/2.
En notant (Ei,j )(i,j)[[ 1 ; n ]]2 la base canonique de Mn (R), il vient
T++
= Vect (Ei,j | 1 6 i < j 6 n) n