Thème de l'épreuve | Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy |
Principaux outils utilisés | séries entières, équivalents, équation différentielles linéaires, espérance |
Mots clefs | équation d'Airy, fonction Gamma, formule d'Euler |
A2019 --- MATH I MP Cm Concours commun Mines-Ponts ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH. Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP. CONCOURS 2019 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy Soit p un entier naturel non nul et r un nombre réel. On considère la fonction définie sur C par la série entière Srp(z) = > mi 27. L'objectif, dans les parties À et B du problème, est d'établir l'équivalence suivante quand x -- +00 : TO Lx TL EUR (H,,p) Srp(t) TV LT -- +o0 D Cet énoncé est noté (H,,). Dans la partie C, on applique ce résultat à l'étude asymptotique d'une solution particulière de l'équation d'Airy. (pn)" 1. Question préliminaire. Justifier que la série entière > : z" a pour n>1l (pn)! ; . 7 °\ (pn)" pn rayon de convergence +oco. Qu'en est-il de la série entière > 27 n>l (pn)! A Équivalence entre (H,,) et (H,:) lorsque r > 0 On suppose dans cette partie que p > 2 et r > 0, et on se propose de montrer que les énoncés (4,,) et (H,1) sont équivalents. Pour tous n EUR N et x EUR R*, on pose T n 2. Pour x > 0 fixé, étudier le signe de la fonction Pr:tEll+or "(ft 1) -- x. En déduire que w, s'annule en un unique élément de |1, +! que l'on note t,. Montrer que la suite finie (un(x)) cl est croissante et que la suite infinie (u,(x)) " est décroissante, où |[x| désigne la partie entière du nombre réel x. 1 TSVP L'ensemble {u,(x) ; n EUR N} admet donc un maximum égal à u,,,(x). Dans la suite de cette partie, ce maximum sera noté M,. 3. Pour tout à EUR R, déterminer la limite de w,(x + à) quand x tend vers +oo. En déduire que t, --x--7r tend vers zéro lorsque z -- +oo. (On pourra s'aider de la définition d'une limite.) Montrer que pour tout entier relatif k, u;11k(t7)vu|:1(x) lorsque x -- +0. En déduire que pour tout n EUR N et pour tout x au voisinage de +oo, Lx] dur) >nu:|(x). i=|x|-n En déduire que pour tout entier relatif k, Ulx|4k(T) = o(x"e*) quand x -- +oco. Montrer alors que M; = o(x'e"). (On pourra d'abord démontrer que, pour x assez grand, M, -- u;1:;(x) pour un entier à compris entre |[r| --1 et [r| +2.) Soit z un nombre complexe tel que [2] = 1 et z Z 1. Pour tout entier naturel n non nul, on pose n--1l D, = Y 2. k=--0 Pour tout nombre réel x > 0, comparer $,(zx) à la somme > D, (un_1(x) -- un(e). En déduire que pour tout x au voisinage de +co, Sra(zx)] L' ---- et conclure que lorsque æ -- +00, Sr1(24) = o(x'e*). 2iT On pose Ç = exp (2x). Pour tout réel x, montrer que p--1 Y S,1(Cx) -- D Srp(t) k=0 et en déduire que les énoncés (Æ,,) et (H,1) sont équivalents. 2 B Une démonstration probabiliste On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé (Q,.4, P), une famille (Xx)xeR: de variables aléatoires à valeurs dans N telle que X, suive la loi de Poisson de paramètre x pour tout réel x > 0. On fixe de telles données dans l'intégralité de cette partie. Soit un réel r > 0. On pose À % Z, = L -- et on se propose de démontrer que E(2Z7) -- 1 lorsque x -- +oo. 8. Pour tout réel & > 0, montrer que P(|X,--l > a x?/3) -- 0 quand x -- +0. 9. Montrer que, pour tout réel x > 1, les variables aléatoires À, -- Lz,c1-2-1/8) 7. et D; -- 17, _110, la variable aléatoire N---1 YN x -- Lx, >2+72/3) II (X> = k) k=--0 est d'espérance finie et que PIX, > 2 +208 -- N) = E(Yva) Déduire alors de la question 8 que E(Y4) = o(x") quand x -- +oo. 11. Montrer qu'il existe des réels a1,...,an tels que pour tout réel x > 0, N L(x,>2+22/8) Xe -- > a Yhx k=1 et en déduire la limite de E(Lz,>14a-1/ ZX) lorsque x -- +00. 12. Démontrer que E(Lz,si4e-1/e 7) -- 0 quand x -- +o. En déduire que E(Z7) -- 1 quand + -- + et conclure à la validité de l'énoncé AH, 3 TSVP En combinant les résultats des deux parties précédentes, nous concluons à la validité de (H,,) pour tout entier naturel p > 0 et tout réel r > 0. Dans la suite du sujet, nous aurons besoin du résultat classique suivant, que nous admettrons : Lemme de comparaison asymptotique des séries entières. Soit (a, )nen et (bh)nen deux suites à termes réels. On suppose que : (i) la série entière 5° b,z2" a pour rayon de convergence +0 : (ii) les suites (ay )nen et (bn)nen sont équivalentes ; (iii) il existe un rang no EUR NN tel que pour tout n > no, on à b, > 0. Alors la série entière Sa, z" a pour rayon de convergence + et | +00 +00 2 an" ue 2 bna. Soit un entier naturel p > 0 et un nombre réel r. 13. En remarquant que pour tout réel x > 0, <@(R+1)) RP TTTEN NES déduire du lemme de comparaison asymptotique des séries entières que Srp(t) TV LP Sr ppt). T-- +00 En déduire que (H,,) implique (H,_,,) et conclure à la validité de (H,.,). C Application à l'équation d'Airy L'équation différentielle d'Airy (Ai) est définie par a (t) =tax(t). (Ai) 14. Question préliminaire. Soit un réel x > 0. Pour tout entier n > 0, on pose Un = D_mk+zrlmn-)% ,ln(x + k). Etablir la convergence de la série D (Un -- Un_1), et en déduire l'existence d'un réel l'(x) > 0 vérifiant la formule d'Euler : | _ n°n! k) em ---- 15. Justifier qu'il existe une unique solution f de (Ai) sur R vérifiant f(0) = 1 et f'(0) = 0. 16. 17. 18. +00 Expliciter une suite (a,),en telle que pout tout réel #, f(#) = à ast". n--=0 [(2\n1/3 T'(2 (4) ; puis que agnron 1/5 (4) 9 (De Ve 2\2 I (5) gr oran Démontrer que a3n7 nm -- +o0. En déduire une constante C', que l'on exprimera à l'aide de T(), telle que t-- +00 ft) = Ctrl exp(s #2). FIN DU PROBLÈME
© Éditions H&K Mines Maths 1 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Quentin Guilmant (ENS Lyon) ; il a été relu par Philippe Bouafia (professeur agrégé en école d'ingénieurs) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). Ce sujet d'analyse a pour objectif de déterminer les équivalents en + d'une certaine famille de fonctions développables en série entière avec un rayon de convergence infini. L'une d'entre elles peut être reliée à une solution particulière de l'équation d'Airy, c'est-à-dire l'équation différentielle x = tx. · La première partie étudie la famille des fonctions Sr,p définies comme des sommes de séries entières par + P (pn)r pn x R Sr,p (x) = t (pn)! n=0 Il s'agit d'un travail préliminaire pour trouver un équivalent en l'infini à toutes ces fonctions. Pour cela, on montre que, si r > 0, déterminer un équivalent uniquement pour les fonctions définies avec p = 1 suffit à en trouver un pour toutes les autres. · La deuxième partie est composée de deux sous-parties. La première s'intéresse aux espérances de variables aléatoires bien choisies afin de conclure à un équivalent pour les (Sr,1 )r>0 . Cela permet donc d'en obtenir un pour tous les (Sr,p )pN ,r>0 . La deuxième s'attelle à ramener tous les autres cas à celui-ci par l'utilisation du lemme de comparaison asymptotique des séries entières, qui est admis. Ce lemme permet de dire que les sommes de deux séries entières de rayon de convergence + sont équivalentes au bord de leur domaine de définition, c'est-à-dire en +, si leurs termes généraux sont équivalents et s'ils ne changent pas de signe. · Enfin, la troisième et dernière partie propose de trouver une solution sous forme de série entière à l'équation d'Airy. On remarquera qu'une telle solution ressemble à une des fonctions étudiées jusque-là, S-1/6,2 . On peut alors conclure à un équivalent pour la solution de l'équation d'Airy. Dans cette épreuve, la maîtrise des cours sur les équivalents, la formule de Stirling, les séries entières, les variables aléatoires, l'espérance et les équations différentielles linéaires est essentielle. Tout l'enjeu est en effet de produire des calculs techniques et des estimations précises. Plus précisément, le sujet traite principalement de séries entières mais propose, afin de déterminer les équivalents, de passer par l'étude de variables aléatoires bien choisies et de leurs espérances. Le sujet tente clairement d'évaluer les candidats sur la maîtrise des équivalents et des méthodes usuelles de décomposition de variables aléatoires en plusieurs autres. Même si la dernière partie traite des équations différentielles, peu de connaissances sont demandées sur celles-ci et le sujet se concentre vraiment sur les deux thèmes mentionnés ci-dessus. © Éditions H&K Indications Partie A 1 Penser à la règle de d'Alembert. 2 Étudier le quotient un (x)/un-1 (x). 3 Penser à des développements limités. 4 Ici la somme est composée n + 1 termes, en particulier un nombre fini. Il suffit, pour conclure, d'écrire la définition de suites équivalentes. 5 Utiliser la question 4 pour tout entier naturel n non nul, puis utiliser la définition de la partie entière pour conclure. 6 On pourra exprimer (z - 1)Sr,1 P(zx) sous la forme de la somme d'une série entière en z et remarquer que la série (un-1 (x) - un (x)) converge vers 0. Pour conclure, ajouter ou soustraire judicieusement cette dernière. 7 Se rappeler la valeur d'une somme de racines de l'unité. Partie B 8 Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. 10 Exprimer simplement l'espérance de la variable aléatoire positive YN,x pour prouver que la série converge et l'exprimer à l'aide d'une probabilité sur la variable Xx . 11 Penser à une certaine famille de polynômes de degrés échelonnés suggérée par l'expression de YN,x . 12 Exprimer Zx r à l'aide de trois autres variables aléatoires dont Ax et Bx . 13 Écrire la définition d'équivalent. Partie C 14 Faire un développement asymptotique de vn - vn-1 et le comparer au terme général d'une série convergente de référence. En déduire que (vn )nN converge puis que (e vn )nN converge elle aussi. 16 Procéder par identification pour obtenir des formules de récurrence liant les quantités an et an+3 . Conclure en résolvant la récurrence. 17 Penser à la formule de Stirling. 18 Remarquer que, si f (u) u+ g(u), alors on a aussi f (u3 ) u+ g(u3 ). © Éditions H&K P 1 Pour justifier que la série entière n>1 ((pn)r /(pn)!) z n a pour rayon de convergence +, on peut utiliser la règle de d'Alembert. Notons pour n un entier naturel non nul : an = (pn)r (pn)! r an+1 n+1 1 = an n (pn + 1) · · · (p(n + 1)) r n+1 1 6 n pn + 1 Par suite, Finalement, lim n+ car p > 0 an+1 =0 an La règle de d'Alembert indique alors que le rayon de convergence de cette série entière est +. Notons f la somme de la série. La quantité f (z) est donc définie pour tout nombre complexe z. En particulier, pour tout complexe p, f (z p ) = z C Ainsi La série P (pn)r pn z = Sr,p (z) n=1 (pn)! + P (pn)r pn z a pour rayon de convergence +. n>1 (pn)! A. Équivalence entre (Hr,p) et (Hr,1) lorsque r > 0 2 Soient x > 0 et r > 0 des réels. La fonction x définie sur [ 1 ; + [ par x (t) = t1-r (t - 1)r - x t [ 1 ; + [ est continue sur [ 1 ; + [ et dérivable sur ] 1 ; + [. Elle est dérivable sur [ 1 ; + [ dès lors que r > 1. Étudions son signe, ses zéros et ses variations. Avec la formule du cours, on calcule r r-1 t-1 t-1 t ] 1 ; + [ x (t) = (1 - r) +r t t En particulier, t ] 1 ; + [ x (t) > 0 ce qui signifie que la fonction x (t) est strictement croissante sur ] 1 ; + [, et par continuité en 1, elle est strictement croissante sur [ 1 ; + [. De plus, x (1) = -x < 0 Enfin, comme x est fixé et t - 1 t lorsque t tend vers +, on a x (t) Il s'ensuit que t+ t1-r (t - 1)r t+ t1-r tr t+ lim x (t) = + t+ t © Éditions H&K Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc l'existence d'un réel tx ] 1 ; + [ tel que x (tx ) = 0 et permet donc de construire le tableau de variations et de signes suivant : tx 1 x + + + x 0 -x x - 0 + Par croissance stricte de x , on conclut Il existe un unique tx ] 1 ; + [ tel que x (tx ) = 0. Remarquons que, pour n > 1 un entier, un (x) 6= 0. Ainsi, pour n > 2, on a r un (x) n 1 = x un-1 (x) n-1 n x = 1-r n (n - 1)r un (x) x = un-1 (x) x (n) + x En utilisant l'étude précédente du signe de x , il s'ensuit l'équivalence n > 1 un > un-1 x (n) 6 0 n 6 tx n 6 tx La dernière équivalence provenant du fait que n est un entier. Ainsi La suite (un (x))06n6tx est croissante et la suite (un (x))n>tx est décroissante. 3 Soit R. Remarquons que, pour x > 1 - , la quantité x (x + ) a un sens. On peut donc bien en étudier la limite en +. Déterminons-la à l'aide d'un développement limité. Plus précisément, nous utilisons r (1 + u) = 1 + ru + o (u) u0 Ainsi, x (x + ) = (x + ) r 1-r (x + - 1) - x r 1 = (x + ) 1 - -x x+ r 1 = (x + ) 1 - + o -x x + x+ x + = x + - r + o (1) - x x+ x (x + ) = - r + Par conséquent, o (1) x+ lim x (x + ) = - r x+