Mines Maths 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy
Principaux outils utilisés séries entières, équivalents, équation différentielles linéaires, espérance
Mots clefs équation d'Airy, fonction Gamma, formule d'Euler

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Mines Maths 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Quentin Guilmant (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Philippe Bouafia (professeur agrégé en école d'ingénieurs) et Florian Metzger 
(docteur
en mathématiques).

Ce sujet d'analyse a pour objectif de déterminer les équivalents en + d'une 
certaine famille de fonctions développables en série entière avec un rayon de 
convergence
infini. L'une d'entre elles peut être reliée à une solution particulière de 
l'équation
d'Airy, c'est-à-dire l'équation différentielle x = tx.
· La première partie étudie la famille des fonctions Sr,p définies comme des
sommes de séries entières par

+
P (pn)r pn
x  R
Sr,p (x) =
t
(pn)!
n=0
Il s'agit d'un travail préliminaire pour trouver un équivalent en l'infini à 
toutes
ces fonctions. Pour cela, on montre que, si r > 0, déterminer un équivalent
uniquement pour les fonctions définies avec p = 1 suffit à en trouver un pour
toutes les autres.
· La deuxième partie est composée de deux sous-parties. La première s'intéresse 
aux espérances de variables aléatoires bien choisies afin de conclure à
un équivalent pour les (Sr,1 )r>0 . Cela permet donc d'en obtenir un pour tous
les (Sr,p )pN ,r>0 . La deuxième s'attelle à ramener tous les autres cas à 
celui-ci
par l'utilisation du lemme de comparaison asymptotique des séries entières, qui
est admis. Ce lemme permet de dire que les sommes de deux séries entières de
rayon de convergence + sont équivalentes au bord de leur domaine de définition, 
c'est-à-dire en +, si leurs termes généraux sont équivalents et s'ils ne
changent pas de signe.
· Enfin, la troisième et dernière partie propose de trouver une solution sous 
forme
de série entière à l'équation d'Airy. On remarquera qu'une telle solution 
ressemble à une des fonctions étudiées jusque-là, S-1/6,2 . On peut alors 
conclure
à un équivalent pour la solution de l'équation d'Airy.
Dans cette épreuve, la maîtrise des cours sur les équivalents, la formule de 
Stirling,
les séries entières, les variables aléatoires, l'espérance et les équations 
différentielles
linéaires est essentielle. Tout l'enjeu est en effet de produire des calculs 
techniques
et des estimations précises. Plus précisément, le sujet traite principalement 
de séries
entières mais propose, afin de déterminer les équivalents, de passer par 
l'étude de
variables aléatoires bien choisies et de leurs espérances. Le sujet tente 
clairement
d'évaluer les candidats sur la maîtrise des équivalents et des méthodes 
usuelles de
décomposition de variables aléatoires en plusieurs autres. Même si la dernière 
partie
traite des équations différentielles, peu de connaissances sont demandées sur 
celles-ci
et le sujet se concentre vraiment sur les deux thèmes mentionnés ci-dessus.

Indications
Partie A
1 Penser à la règle de d'Alembert.
2 Étudier le quotient un (x)/un-1 (x).
3 Penser à des développements limités.
4 Ici la somme est composée n + 1 termes, en particulier un nombre fini. Il 
suffit,
pour conclure, d'écrire la définition de suites équivalentes.
5 Utiliser la question 4 pour tout entier naturel n non nul, puis utiliser la 
définition
de la partie entière pour conclure.
6 On pourra exprimer (z - 1)Sr,1
P(zx) sous la forme de la somme d'une série entière
en z et remarquer que la série (un-1 (x) - un (x)) converge vers 0. Pour 
conclure,
ajouter ou soustraire judicieusement cette dernière.
7 Se rappeler la valeur d'une somme de racines de l'unité.
Partie B
8 Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
10 Exprimer simplement l'espérance de la variable aléatoire positive YN,x pour 
prouver que la série converge et l'exprimer à l'aide d'une probabilité sur la 
variable Xx .
11 Penser à une certaine famille de polynômes de degrés échelonnés suggérée par
l'expression de YN,x .
12 Exprimer Zx r à l'aide de trois autres variables aléatoires dont Ax et Bx .
13 Écrire la définition d'équivalent.
Partie C
14 Faire un développement asymptotique de vn - vn-1 et le comparer au terme
général d'une série convergente de référence. En déduire que (vn )nN converge
puis que (e vn )nN converge elle aussi.
16 Procéder par identification pour obtenir des formules de récurrence liant 
les quantités an et an+3 . Conclure en résolvant la récurrence.
17 Penser à la formule de Stirling.
18 Remarquer que, si f (u)

u+

g(u), alors on a aussi f (u3 )

u+

g(u3 ).

P
1 Pour justifier que la série entière n>1 ((pn)r /(pn)!) z n a pour rayon de 
convergence +, on peut utiliser la règle de d'Alembert. Notons pour n un entier 
naturel
non nul :
an =

(pn)r
(pn)!

r

an+1
n+1
1
=
an
n
(pn + 1) · · · (p(n + 1))

r
n+1
1
6
n
pn + 1

Par suite,

Finalement,

lim

n+

car p > 0

an+1
=0
an

La règle de d'Alembert indique alors que le rayon de convergence de cette série 
entière
est +. Notons f la somme de la série. La quantité f (z) est donc définie pour 
tout
nombre complexe z. En particulier, pour tout complexe p,
f (z p ) =

z  C
Ainsi

La série

P (pn)r pn
z = Sr,p (z)
n=1 (pn)!
+

P (pn)r pn
z a pour rayon de convergence +.
n>1 (pn)!

A. Équivalence entre (Hr,p) et (Hr,1) lorsque r > 0
2 Soient x > 0 et r > 0 des réels. La fonction x définie sur [ 1 ; + [ par
x (t) = t1-r (t - 1)r - x

t  [ 1 ; + [

est continue sur [ 1 ; + [ et dérivable sur ] 1 ; + [.
Elle est dérivable sur [ 1 ; + [ dès lors que r > 1.
Étudions son signe, ses zéros et ses variations. Avec la formule du cours, on 
calcule

r

r-1
t-1
t-1

t  ] 1 ; + [
x (t) = (1 - r)
+r
t
t
En particulier,

t  ] 1 ; + [

x  (t) > 0

ce qui signifie que la fonction x (t) est strictement croissante sur ] 1 ; + [, 
et par
continuité en 1, elle est strictement croissante sur [ 1 ; + [. De plus,
x (1) = -x < 0
Enfin, comme x est fixé et t - 1  t lorsque t tend vers +, on a
x (t)
Il s'ensuit que

t+

t1-r (t - 1)r

t+

t1-r tr

t+

lim x (t) = +

t+

t

Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc l'existence d'un réel tx  ] 
1 ; + [
tel que x (tx ) = 0 et permet donc de construire le tableau de variations et de 
signes
suivant :
tx

1
x 

+

+
+

x

0
-x

x

-

0

+

Par croissance stricte de x , on conclut
Il existe un unique tx  ] 1 ; + [ tel que x (tx ) = 0.
Remarquons que, pour n > 1 un entier, un (x) 6= 0. Ainsi, pour n > 2, on a

r
un (x)
n
1
=
x
un-1 (x)
n-1
n
x
= 1-r
n (n - 1)r
un (x)
x
=
un-1 (x)
x (n) + x
En utilisant l'étude précédente du signe de x , il s'ensuit l'équivalence
n > 1

un > un-1  x (n) 6 0  n 6 tx  n 6 tx 

La dernière équivalence provenant du fait que n est un entier. Ainsi
La suite (un (x))06n6tx  est croissante et la suite (un (x))n>tx  est 
décroissante.
3 Soit   R. Remarquons que, pour x > 1 - , la quantité x (x + ) a un
sens. On peut donc bien en étudier la limite en +. Déterminons-la à l'aide d'un
développement limité. Plus précisément, nous utilisons
r

(1 + u) = 1 + ru + o (u)
u0

Ainsi,

x (x + ) = (x + )

r

1-r

(x +  - 1) - x

r
1
= (x + ) 1 -
-x
x+

r
1
= (x + ) 1 -
+ o
-x
x +  x+ x + 
= x +  - r + o (1) - x
x+

x (x + ) =  - r +
Par conséquent,

o

(1)

x+

lim x (x + ) =  - r

x+