Mines Maths 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy
Principaux outils utilisés séries entières, équivalents, équation différentielles linéaires, espérance
Mots clefs équation d'Airy, fonction Gamma, formule d'Euler

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2019 --- MATH I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Comportement asymptotique de sommes de séries entières
et application à l'équation d'Airy

Soit p un entier naturel non nul et r un nombre réel. On considère la fonction
définie sur C par la série entière

Srp(z) = > mi 27.

L'objectif, dans les parties À et B du problème, est d'établir l'équivalence 
suivante
quand x -- +00 :

TO Lx

TL EUR

(H,,p)

Srp(t) TV

LT -- +o0 D

Cet énoncé est noté (H,,). Dans la partie C, on applique ce résultat à l'étude
asymptotique d'une solution particulière de l'équation d'Airy.

(pn)"

1. Question préliminaire. Justifier que la série entière > : z" a pour
n>1l (pn)!
; . 7 °\ (pn)" pn
rayon de convergence +oco. Qu'en est-il de la série entière > 27

n>l (pn)!

A  Équivalence entre (H,,) et (H,:) lorsque r > 0

On suppose dans cette partie que p > 2 et r > 0, et on se propose de montrer
que les énoncés (4,,) et (H,1) sont équivalents. Pour tous n EUR N et x EUR R*, 
on

pose
T

n

2. Pour x > 0 fixé, étudier le signe de la fonction
Pr:tEll+or "(ft 1) -- x.

En déduire que w, s'annule en un unique élément de |1, +! que l'on note t,.

Montrer que la suite finie (un(x)) cl est croissante et que la suite infinie

(u,(x)) " est décroissante, où |[x| désigne la partie entière du nombre

réel x.

1 TSVP
L'ensemble {u,(x) ; n EUR N} admet donc un maximum égal à u,,,(x). Dans la
suite de cette partie, ce maximum sera noté M,.

3.

Pour tout à EUR R, déterminer la limite de w,(x + à) quand x tend vers +oo.
En déduire que t, --x--7r tend vers zéro lorsque z -- +oo. (On pourra s'aider
de la définition d'une limite.)

Montrer que pour tout entier relatif k, u;11k(t7)vu|:1(x) lorsque x -- +0.
En déduire que pour tout n EUR N et pour tout x au voisinage de +oo,

Lx]
dur) >nu:|(x).

i=|x|-n

En déduire que pour tout entier relatif k,
Ulx|4k(T) = o(x"e*)
quand x -- +oco. Montrer alors que
M; = o(x'e").

(On pourra d'abord démontrer que, pour x assez grand, M, -- u;1:;(x) pour
un entier à compris entre |[r| --1 et [r| +2.)

Soit z un nombre complexe tel que [2] = 1 et z Z 1. Pour tout entier naturel
n non nul, on pose

n--1l
D, = Y 2.
k=--0

Pour tout nombre réel x > 0, comparer $,(zx) à la somme

> D, (un_1(x) -- un(e).

En déduire que pour tout x au voisinage de +co, Sra(zx)] L' ---- et

conclure que lorsque æ -- +00,

Sr1(24) = o(x'e*).

2iT

On pose Ç = exp (2x). Pour tout réel x, montrer que

p--1
Y S,1(Cx) -- D Srp(t)
k=0
et en déduire que les énoncés (Æ,,) et (H,1) sont équivalents.

2
B Une démonstration probabiliste

On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé
(Q,.4, P), une famille (Xx)xeR: de variables aléatoires à valeurs dans N telle 
que
X, suive la loi de Poisson de paramètre x pour tout réel x > 0. On fixe de 
telles
données dans l'intégralité de cette partie.

Soit un réel r > 0. On pose

À %
Z, =
L
--

et on se propose de démontrer que E(2Z7) -- 1 lorsque x -- +oo.

8. Pour tout réel & > 0, montrer que P(|X,--l > a x?/3) -- 0 quand x -- +0.

9. Montrer que, pour tout réel x > 1, les variables aléatoires
À, -- Lz,c1-2-1/8) 7. et D; -- 17, _11 0, la variable aléatoire

N---1

YN x -- Lx, >2+72/3) II (X> = k)
k=--0

est d'espérance finie et que
PIX, > 2 +208 -- N) = E(Yva)
Déduire alors de la question 8 que E(Y4) = o(x") quand x -- +oo.

11. Montrer qu'il existe des réels a1,...,an tels que pour tout réel x > 0,
N
L(x,>2+22/8) Xe -- > a Yhx
k=1

et en déduire la limite de E(Lz,>14a-1/ ZX) lorsque x -- +00.

12. Démontrer que E(Lz,si4e-1/e 7) -- 0 quand x -- +o. En déduire que
E(Z7) -- 1 quand + -- + et conclure à la validité de l'énoncé AH,

3 TSVP
En combinant les résultats des deux parties précédentes, nous concluons à la
validité de (H,,) pour tout entier naturel p > 0 et tout réel r > 0. Dans la 
suite
du sujet, nous aurons besoin du résultat classique suivant, que nous admettrons 
:

Lemme de comparaison asymptotique des séries entières. Soit (a, )nen et
(bh)nen deux suites à termes réels. On suppose que :

(i) la série entière 5° b,z2" a pour rayon de convergence +0 :
(ii) les suites (ay )nen et (bn)nen sont équivalentes ;

(iii) il existe un rang no EUR NN tel que pour tout n > no, on à b, > 0.

Alors la série entière Sa, z" a pour rayon de convergence + et

| +00 +00

2 an" ue 2 bna.

Soit un entier naturel p > 0 et un nombre réel r.
13. En remarquant que pour tout réel x > 0,

<@(R+1)) RP TTTEN NES déduire du lemme de comparaison asymptotique des séries entières que Srp(t) TV LP Sr ppt). T-- +00 En déduire que (H,,) implique (H,_,,) et conclure à la validité de (H,.,). C Application à l'équation d'Airy L'équation différentielle d'Airy (Ai) est définie par a (t) =tax(t). (Ai) 14. Question préliminaire. Soit un réel x > 0. Pour tout entier n > 0, on pose
Un = D_mk+zrlmn-)% ,ln(x + k). Etablir la convergence de la série
D (Un -- Un_1), et en déduire l'existence d'un réel l'(x) > 0 vérifiant la 
formule
d'Euler : |

_ n°n!

k) em ----
15. Justifier qu'il existe une unique solution f de (Ai) sur R vérifiant f(0) = 
1

et f'(0) = 0.
16.

17.

18.

+00
Expliciter une suite (a,),en telle que pout tout réel #, f(#) = à ast".
n--=0

[(2\n1/3 T'(2
(4) ; puis que agnron 1/5 (4)

9 (De Ve

2\2 I
(5) gr oran

Démontrer que a3n7

nm -- +o0.

En déduire une constante C', que l'on exprimera à l'aide de T(), telle que

t-- +00

ft) = Ctrl exp(s #2).

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Quentin Guilmant (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Philippe Bouafia (professeur agrégé en école d'ingénieurs) et Florian Metzger 
(docteur
en mathématiques).

Ce sujet d'analyse a pour objectif de déterminer les équivalents en + d'une 
certaine famille de fonctions développables en série entière avec un rayon de 
convergence
infini. L'une d'entre elles peut être reliée à une solution particulière de 
l'équation
d'Airy, c'est-à-dire l'équation différentielle x = tx.
· La première partie étudie la famille des fonctions Sr,p définies comme des
sommes de séries entières par

+
P (pn)r pn
x  R
Sr,p (x) =
t
(pn)!
n=0
Il s'agit d'un travail préliminaire pour trouver un équivalent en l'infini à 
toutes
ces fonctions. Pour cela, on montre que, si r > 0, déterminer un équivalent
uniquement pour les fonctions définies avec p = 1 suffit à en trouver un pour
toutes les autres.
· La deuxième partie est composée de deux sous-parties. La première s'intéresse 
aux espérances de variables aléatoires bien choisies afin de conclure à
un équivalent pour les (Sr,1 )r>0 . Cela permet donc d'en obtenir un pour tous
les (Sr,p )pN ,r>0 . La deuxième s'attelle à ramener tous les autres cas à 
celui-ci
par l'utilisation du lemme de comparaison asymptotique des séries entières, qui
est admis. Ce lemme permet de dire que les sommes de deux séries entières de
rayon de convergence + sont équivalentes au bord de leur domaine de définition, 
c'est-à-dire en +, si leurs termes généraux sont équivalents et s'ils ne
changent pas de signe.
· Enfin, la troisième et dernière partie propose de trouver une solution sous 
forme
de série entière à l'équation d'Airy. On remarquera qu'une telle solution 
ressemble à une des fonctions étudiées jusque-là, S-1/6,2 . On peut alors 
conclure
à un équivalent pour la solution de l'équation d'Airy.
Dans cette épreuve, la maîtrise des cours sur les équivalents, la formule de 
Stirling,
les séries entières, les variables aléatoires, l'espérance et les équations 
différentielles
linéaires est essentielle. Tout l'enjeu est en effet de produire des calculs 
techniques
et des estimations précises. Plus précisément, le sujet traite principalement 
de séries
entières mais propose, afin de déterminer les équivalents, de passer par 
l'étude de
variables aléatoires bien choisies et de leurs espérances. Le sujet tente 
clairement
d'évaluer les candidats sur la maîtrise des équivalents et des méthodes 
usuelles de
décomposition de variables aléatoires en plusieurs autres. Même si la dernière 
partie
traite des équations différentielles, peu de connaissances sont demandées sur 
celles-ci
et le sujet se concentre vraiment sur les deux thèmes mentionnés ci-dessus.

Indications
Partie A
1 Penser à la règle de d'Alembert.
2 Étudier le quotient un (x)/un-1 (x).
3 Penser à des développements limités.
4 Ici la somme est composée n + 1 termes, en particulier un nombre fini. Il 
suffit,
pour conclure, d'écrire la définition de suites équivalentes.
5 Utiliser la question 4 pour tout entier naturel n non nul, puis utiliser la 
définition
de la partie entière pour conclure.
6 On pourra exprimer (z - 1)Sr,1
P(zx) sous la forme de la somme d'une série entière
en z et remarquer que la série (un-1 (x) - un (x)) converge vers 0. Pour 
conclure,
ajouter ou soustraire judicieusement cette dernière.
7 Se rappeler la valeur d'une somme de racines de l'unité.
Partie B
8 Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
10 Exprimer simplement l'espérance de la variable aléatoire positive YN,x pour 
prouver que la série converge et l'exprimer à l'aide d'une probabilité sur la 
variable Xx .
11 Penser à une certaine famille de polynômes de degrés échelonnés suggérée par
l'expression de YN,x .
12 Exprimer Zx r à l'aide de trois autres variables aléatoires dont Ax et Bx .
13 Écrire la définition d'équivalent.
Partie C
14 Faire un développement asymptotique de vn - vn-1 et le comparer au terme
général d'une série convergente de référence. En déduire que (vn )nN converge
puis que (e vn )nN converge elle aussi.
16 Procéder par identification pour obtenir des formules de récurrence liant 
les quantités an et an+3 . Conclure en résolvant la récurrence.
17 Penser à la formule de Stirling.
18 Remarquer que, si f (u)

u+

g(u), alors on a aussi f (u3 )

u+

g(u3 ).

P
1 Pour justifier que la série entière n>1 ((pn)r /(pn)!) z n a pour rayon de 
convergence +, on peut utiliser la règle de d'Alembert. Notons pour n un entier 
naturel
non nul :
an =

(pn)r
(pn)!

r

an+1
n+1
1
=
an
n
(pn + 1) · · · (p(n + 1))

r
n+1
1
6
n
pn + 1

Par suite,

Finalement,

lim

n+

car p > 0

an+1
=0
an

La règle de d'Alembert indique alors que le rayon de convergence de cette série 
entière
est +. Notons f la somme de la série. La quantité f (z) est donc définie pour 
tout
nombre complexe z. En particulier, pour tout complexe p,
f (z p ) =

z  C
Ainsi

La série

P (pn)r pn
z = Sr,p (z)
n=1 (pn)!
+

P (pn)r pn
z a pour rayon de convergence +.
n>1 (pn)!

A. Équivalence entre (Hr,p) et (Hr,1) lorsque r > 0
2 Soient x > 0 et r > 0 des réels. La fonction x définie sur [ 1 ; + [ par
x (t) = t1-r (t - 1)r - x

t  [ 1 ; + [

est continue sur [ 1 ; + [ et dérivable sur ] 1 ; + [.
Elle est dérivable sur [ 1 ; + [ dès lors que r > 1.
Étudions son signe, ses zéros et ses variations. Avec la formule du cours, on 
calcule

r

r-1
t-1
t-1

t  ] 1 ; + [
x (t) = (1 - r)
+r
t
t
En particulier,

t  ] 1 ; + [

x  (t) > 0

ce qui signifie que la fonction x (t) est strictement croissante sur ] 1 ; + [, 
et par
continuité en 1, elle est strictement croissante sur [ 1 ; + [. De plus,
x (1) = -x < 0 Enfin, comme x est fixé et t - 1  t lorsque t tend vers +, on a x (t) Il s'ensuit que t+ t1-r (t - 1)r t+ t1-r tr t+ lim x (t) = + t+ t Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc l'existence d'un réel tx  ] 1 ; + [ tel que x (tx ) = 0 et permet donc de construire le tableau de variations et de signes suivant : tx 1 x + + + x 0 -x x - 0 + Par croissance stricte de x , on conclut Il existe un unique tx  ] 1 ; + [ tel que x (tx ) = 0. Remarquons que, pour n > 1 un entier, un (x) 6= 0. Ainsi, pour n > 2, on a

r
un (x)
n
1
=
x
un-1 (x)
n-1
n
x
= 1-r
n (n - 1)r
un (x)
x
=
un-1 (x)
x (n) + x
En utilisant l'étude précédente du signe de x , il s'ensuit l'équivalence
n > 1

un > un-1  x (n) 6 0  n 6 tx  n 6 tx 

La dernière équivalence provenant du fait que n est un entier. Ainsi
La suite (un (x))06n6tx  est croissante et la suite (un (x))n>tx  est 
décroissante.
3 Soit   R. Remarquons que, pour x > 1 - , la quantité x (x + ) a un
sens. On peut donc bien en étudier la limite en +. Déterminons-la à l'aide d'un
développement limité. Plus précisément, nous utilisons
r

(1 + u) = 1 + ru + o (u)
u0

Ainsi,

x (x + ) = (x + )

r

1-r

(x +  - 1) - x

r
1
= (x + ) 1 -
-x
x+

r
1
= (x + ) 1 -
+ o
-x
x +  x+ x + 
= x +  - r + o (1) - x
x+

x (x + ) =  - r +
Par conséquent,

o

(1)

x+

lim x (x + ) =  - r

x+