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Mines Maths 1 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Hervé
Diet
(professeur agrégé) et Antoine Sihrener (professeur en CPGE).
Ce sujet propose l'étude de deux endomorphismes u et v sur des espaces
fonctionnels. Chaque partie s'appuie sur les précédentes. La difficulté est
croissante au sein
d'une partie, mais pas d'une partie à l'autre.
· La première partie établit quelques résultats préliminaires qui seront utiles
tout
au long du sujet. Elle demande également de justifier que les objets introduits
sont bien définis et se termine sur une rapide étude des intégrales de Wallis.
Il vaut mieux ne pas se tromper à la question 5 tant son résultat sera réutilisé
par la suite.
· La deuxième partie a pour but l'étude de la continuité de ces endomorphismes
pour certaines normes en dimension infinie. Un résultat de densité, fondamental
pour la suite, y est prouvé.
· La troisième partie démontre l'inversibilité des endomorphismes considérés.
Elle
se termine par deux applications qui font appel au calcul intégral et à quelques
formules de trigonométrie circulaire et hyperbolique en bordure du programme.
· La quatrième partie propose une étude des éléments propres de u et v et se
termine par un peu de topologie.
Ce problème de longueur raisonnable permet de bien revoir les particularités de
la dimension infinie. On y trouve des normes non équivalentes, de la réduction
en dimension infinie et des applications dont la continuité dépend de la norme
considérée.
Il permet de réviser les espaces vectoriels normés, la topologie, les séries
entières, les
théorèmes de permutation somme/intégrale et les intégrales à paramètres. Dans
l'ensemble, le sujet n'est ni très difficile ni très long, mais il exige
d'avoir les idées claires
sur les fondamentaux. Cependant, beaucoup de questions sont ouvertes et certains
résultats utiles pour la suite ne sont pas donnés. Une lecture intégrale du
sujet avant
de commencer à écrire était (comme toujours) utile car certaines réponses
pouvaient
être déduites d'autres questions.
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Indications
Partie A
1 Attention à bien comprendre ce que signifie « au voisinage de zéro » !
2 Montrer que u(f ) est de classe C n pour tout n N.
Remarquer que v(f )(x) = f (0) + x u(f ). Attention à ne pas oublier de
vérifier
2
que les intégrandes sont bien définies sur l'intervalle d'intégration.
4 Faire une intégration par parties en partant de sinn+2 (t) = (1 - cos2 (t))
sinn (t).
5 Commencer par établir que Wn+1 Wn .
Partie B
6 Penser à un théorème du programme sur la continuité des applications linéaires
sur des espaces vectoriels normés.
7 Considérer f (x) = (x/a)n .
9 Penser au théorème d'approximation de Stone-Weierstrass.
Partie C
11 Montrer que v est injective.
12 Montrer que u est continue de (E, N) dans (E, N).
13 La fonction Argsh n'est pas au programme. On donne les propriétés utiles à la
résolution de cette question en remarque. On notera en particulier que
Argsh (x) = 1/ 1 + x2
14 Commencer par établir certaines implications puis utiliser que u v = v u =
id E .
Partie D
16 Penser à la permutation série intégrale.
17 Montrer par l'absurde que (mn )nN est nulle à partir d'un certain rang.
18 Raisonner par analyse-synthèse.
19 Montrer qu'une suite de valeurs propres de v qui converge est stationnaire.
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A. Préliminaires
1 Montrons que P est un sous-espace vectoriel de E. Considérons la fonction
suivante
entre les espaces vectoriels C[X] et E :
(
C[X] - E
:
P 7- (x 7 P(x))
Vérifions que est linéaire. Soient P, Q C[X] et C, alors
(P + Q) = (x 7 (P + Q)(x))
= (x 7 P(x)) + (x 7 Q(x))
(P + Q) = (P) + (Q)
De plus, Im = P donc
P est un sous-espace vectoriel de E.
Un morphisme de ce type est souvent appelé « morphisme d'évaluation ».
Montrons que D est un sous-espace vectoriel de E. Par définition, D E.
En outre, D n'est pas vide car 0RI D. Soient C, f D et g D. Les
applications f et g sont développables en séries entières au voisinage de zéro.
Par définition,
il existe un intervalle de la forme [ - ; ] avec > 0, un intervalle de la
forme [ - ; ]
avec > 0 et deux suites (an )nN CN et (bn )nN CN telles que
et
x [ - ; ]
f (x) =
x [ - ; ]
g(x) =
an xn
n=0
En considérant µ = Min (, ), on a
x [ -µ ; µ ]
+
P
+
P
bn xn
n=0
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
+
+
P
P
=
an xn +
bn xn
(f + g)(x) =
n=0
+
P
n=0
(an + bn ) xn
n=0
par linéarité du développement en série entière. Ceci prouve que f + g admet un
développement en série entière sur un voisinage de zéro (car µ > 0) et par
conséquent
f + g D. Finalement,
D est un sous-espace vectoriel de E.
2 Vérifions d'abord que u et v sont bien définies sur E. Soit f E. Il s'agit
tout
d'abord de vérifier que pour tout t [ 0 ; /2 ], et pour tout x I, la quantité
x sinn (t)
reste bien dans I. C'est le cas car
h i
- a 6 -a sin(t) 6 x sin(t) 6 a sinn (t) 6 a
x [ -a ; a ] t 0 ;
2
Ainsi, les intégrandes sont bien définies sur [ 0 ; /2 ]. De plus, celles-ci
sont continues
sur le segment [ 0 ; /2 ] ce qui prouve que les intégrales existent bien. Par
conséquent,
pour tout f E, u(f ) et v(f ) sont bien définies. On vérifie également que u
et v sont
bien linéaires par linéarité de la dérivation, de l'intégrale et de
l'évaluation en 0.
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Montrons désormais que u et v sont à valeurs dans E. Pour ce faire, il suffit
d'établir que pour tout f E, u(f ) et v(f ) sont de classe C . Posons
g(x, t) = f (x sin(t))
Soit n N, montrons que u(f ) est de classe C n .
· Pour tout t I, l'application g(·, t) est de classe C sur I par les théorèmes
généraux. On vérifie que
kg
(x, t) = sink (t)f (k) (x sin(t))
xk
ng
· (x, t) I × [ 0 ; /2 ]
(x, t) = sinn (t)f (n) (x sinn (t)) 6 kf (n) k
xn
· L'application t 7 kf (n) k existe bien par continuité de f (n) sur le compact
I.
Elle est indépendante de x et intégrable sur I.
kg
· Pour tout k [[ 0 ; n - 1 ]], tout x I, l'application
(x, ·) est intégrable et
xk
continue par morceaux sur [ 0 ; /2 ] (car la domination précédente est valable
pour tout n).
k N
La dernière hypothèse de continuité par morceaux du théorème n'est en fait
pas nécessaire. En effet, la théorie de l'intégration de Lebesgue permet de
s'en affranchir. Ce n'est cependant pas le cas de la théorie de Riemann en
vigueur au programme. Attention à ne pas l'oublier !
Ainsi, la fonction u(f ) est de classe C n sur I et sa dérivée ne est
Z
2 2 n
(n)
u(f ) (x) =
sin (t)f (n) (x sin(t)) dt
0
Montrons maintenant que v(f ) est elle aussi de classe C n pour tout n N.
Commençons par remarquer que
v(f )(x) = f (0) + x u(f )
2
Comme f E, u(f ) est de classe C n d'après ce qui précède. Il vient que v(f
) est
de classe C n d'après les théorèmes généraux. Ainsi, u(f ) et v(f ) sont de
classe C .
De plus, u et v sont linéaires donc
u et v sont des endomorphismes de E.
3 Soit f P. Montrons que u(f ) et v(f ) appartiennent à P. Par définition de f
,
il existe N N et (a0 , · · · , an ) Cn+1 tels que
x I
f (x) =
=
u(f )(x) =
2
an xn
n=0
Calculons d'abord, pour tout x I,
u(f )(x) =
N
P
Z
2
N
P
an xn sinn (t) dt
0 n=0
N
X
2
n=0
N
X
2
n=0
an
Z
2
0
n
!
sin (t) dt xn
an Wn xn
