Mines Maths 1 MP 2017

Thème de l'épreuve Étude d'un endomorphisme d'un espace de fonctions numériques
Principaux outils utilisés espaces vectoriels normés, topologie, réduction, intégration
Mots clefs endomorphisme, dimension infinie, espace de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2017 ­ MATH I MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 3 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude d'un endormorphisme d'un espace de fonctions numériques
Soit I un intervalle de la forme [-a, a] où a est un réel strictement positif. 
Dans
tout le problème, on considère les ensembles suivants :
· E le C-espace vectoriel constitué des applications de I dans C de classe C  ;
· D la partie de E constituée de ses éléments développables en série entière sur
un voisinage de 0 ;
· P la partie de E constituée de ses éléments polynomiaux.
Pour tout n  N, on note
Wn =

! /2

(sin t)n dt

0

et si f  E, on note u(f ) et v(f ) les applications de I dans C définies par les
formules :

(x  I)

2 ! /2
f (x sin t) dt
u(f )(x) =
 0
v(f )(x) = f (0) + x

! /2

f  (x sin t) dt.

0

Les candidats devront justifier leurs affirmations.

A

Préliminaires

1. Justifier que P et D sont des sous-espaces vectoriels de E.
2. Montrer que si f  E, u(f ) et v(f ) sont bien définies et appartiennent à E,
et que l'on définit ainsi des endomorphismes u et v de E.
3. Montrer que P est stable par u et par v.
4. Établir pour n  N une relation simple entre Wn+2 et Wn . En déduire que
pour tout n  N,

Wn Wn+1 =
.
2(n + 1)
5. Montrer que la suite (Wn )nN est strictement décroissante. Déterminer sa
limite et donner un équivalent de cette suite.
1

TSVP

B

Étude de la continuité de u et v
On considère la norme M de E définie pour tout f  E par la formule
M (f ) = max |f (x)|.
xI

6. Vérifier que M est bien définie et montrer que u est une application continue
de l'espace vectoriel normé (E, M ) dans lui-même.
7. L'application v est-elle continue de (E, M ) dans lui-même ?
8. Vérifier que l'application N : E  R définie par N (f ) = M (f ) + M (f  ) est
une norme sur E, et montrer que v est continue de (E, N ) dans (E, M ). Les
normes M et N sont-elles équivalentes ?
9. Si f  E et  > 0, montrer qu'il existe p  P tel que f (0) = p(0) et
|f  (x) - p (x)| !  pour tout x  I. En déduire que P est dense dans l'espace
vectoriel normé (E, N ).

C

Étude de l'inversibilité de u et v

10. Déterminer les restrictions de u  v et v  u à P.
11. Déterminer (u  v)(f ) pour tout f  E. Le réel 0 est-il valeur propre de
l'endomorphisme v ?
12. Déterminer également (v  u)(f ) pour tout f  E. Conclure.

Applications.
13. Pour tout f  E, donner une relation liant v(f ) et u(f  ). Calculer 
u(arctan )
à l'aide du changement de variable z = tan t et en déduire u(argsh ).
14. Montrer que f  E est paire (respectivement impaire) si et seulement si u(f )
l'est. Qu'en est-il pour v ?

D

Étude des valeurs et vecteurs propres de u et v

15. Montrer que  est une valeur propre de v si et seulement si 1 est une valeur
propre de u. Qu'en est-il des vecteurs propres correspondants ?
2

16. Montrer que D est stable par u. L'est-il par v ?

On considère une valeur propre  de u, de vecteur propre associé f  E.
17. Vérifier que si n  N, le nombre mn = maxtI |f (n) (t)| est bien défini, et
établir que pour tout x  I,
|| · |f (n) (x)| !

2mn Wn

En déduire que f  P.
18. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de u et v.
19. L'espace vectoriel E admet-il une base de vecteurs propres de u ? de v ?
L'ensemble des valeurs propres de u (respectivement de v) est-il une partie
fermée de C ?

Fin du problème

3

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Hervé 
Diet
(professeur agrégé) et Antoine Sihrener (professeur en CPGE).

Ce sujet propose l'étude de deux endomorphismes u et v sur des espaces 
fonctionnels. Chaque partie s'appuie sur les précédentes. La difficulté est 
croissante au sein
d'une partie, mais pas d'une partie à l'autre.
· La première partie établit quelques résultats préliminaires qui seront utiles 
tout
au long du sujet. Elle demande également de justifier que les objets introduits
sont bien définis et se termine sur une rapide étude des intégrales de Wallis.
Il vaut mieux ne pas se tromper à la question 5 tant son résultat sera réutilisé
par la suite.
· La deuxième partie a pour but l'étude de la continuité de ces endomorphismes
pour certaines normes en dimension infinie. Un résultat de densité, fondamental
pour la suite, y est prouvé.
· La troisième partie démontre l'inversibilité des endomorphismes considérés. 
Elle
se termine par deux applications qui font appel au calcul intégral et à quelques
formules de trigonométrie circulaire et hyperbolique en bordure du programme.
· La quatrième partie propose une étude des éléments propres de u et v et se
termine par un peu de topologie.
Ce problème de longueur raisonnable permet de bien revoir les particularités de
la dimension infinie. On y trouve des normes non équivalentes, de la réduction 
en dimension infinie et des applications dont la continuité dépend de la norme 
considérée.
Il permet de réviser les espaces vectoriels normés, la topologie, les séries 
entières, les
théorèmes de permutation somme/intégrale et les intégrales à paramètres. Dans 
l'ensemble, le sujet n'est ni très difficile ni très long, mais il exige 
d'avoir les idées claires
sur les fondamentaux. Cependant, beaucoup de questions sont ouvertes et certains
résultats utiles pour la suite ne sont pas donnés. Une lecture intégrale du 
sujet avant
de commencer à écrire était (comme toujours) utile car certaines réponses 
pouvaient
être déduites d'autres questions.

Indications
Partie A
1 Attention à bien comprendre ce que signifie « au voisinage de zéro » !
2 Montrer que u(f ) est de classe C n pour tout n  N.

Remarquer que v(f )(x) = f (0) + x u(f  ). Attention à ne pas oublier de 
vérifier
2
que les intégrandes sont bien définies sur l'intervalle d'intégration.
4 Faire une intégration par parties en partant de sinn+2 (t) = (1 - cos2 (t)) 
sinn (t).

5 Commencer par établir que Wn+1  Wn .

Partie B
6 Penser à un théorème du programme sur la continuité des applications linéaires
sur des espaces vectoriels normés.
7 Considérer f (x) = (x/a)n .
9 Penser au théorème d'approximation de Stone-Weierstrass.
Partie C
11 Montrer que v est injective.
12 Montrer que u est continue de (E, N) dans (E, N).
13 La fonction Argsh n'est pas au programme. On donne les propriétés utiles à la
résolution de cette question en remarque. On notera en particulier que

Argsh  (x) = 1/ 1 + x2
14 Commencer par établir certaines implications puis utiliser que u  v = v  u = 
id E .
Partie D
16 Penser à la permutation série intégrale.
17 Montrer par l'absurde que (mn )nN est nulle à partir d'un certain rang.
18 Raisonner par analyse-synthèse.
19 Montrer qu'une suite de valeurs propres de v qui converge est stationnaire.

A. Préliminaires
1 Montrons que P est un sous-espace vectoriel de E. Considérons la fonction 
suivante
entre les espaces vectoriels C[X] et E :
(
C[X] - E
:
P 7- (x 7 P(x))
Vérifions que  est linéaire. Soient P, Q  C[X] et   C, alors
(P + Q) = (x 7 (P + Q)(x))
=  (x 7 P(x)) + (x 7 Q(x))
(P + Q) = (P) + (Q)
De plus, Im  = P donc
P est un sous-espace vectoriel de E.
Un morphisme de ce type est souvent appelé « morphisme d'évaluation ».
Montrons que D est un sous-espace vectoriel de E. Par définition, D  E.
En outre, D n'est pas vide car 0RI  D. Soient   C, f  D et g  D. Les 
applications f et g sont développables en séries entières au voisinage de zéro. 
Par définition,
il existe un intervalle de la forme [ - ;  ] avec  > 0, un intervalle de la 
forme [ - ;  ]
avec  > 0 et deux suites (an )nN  CN et (bn )nN  CN telles que

et

x  [ - ;  ]

f (x) =

x  [ - ;  ]

g(x) =

an xn

n=0

En considérant µ = Min (, ), on a
x  [ -µ ; µ ]

+
P

+
P

bn xn

n=0

(f + g)(x) = f (x) + g(x)
+
+
P
P
=
an xn +
bn xn
(f + g)(x) =

n=0
+
P

n=0

(an + bn ) xn

n=0

par linéarité du développement en série entière. Ceci prouve que f + g admet un
développement en série entière sur un voisinage de zéro (car µ > 0) et par 
conséquent
f + g  D. Finalement,
D est un sous-espace vectoriel de E.
2 Vérifions d'abord que u et v sont bien définies sur E. Soit f  E. Il s'agit 
tout
d'abord de vérifier que pour tout t  [ 0 ; /2 ], et pour tout x  I, la quantité 
x sinn (t)
reste bien dans I. C'est le cas car
h i
- a 6 -a sin(t) 6 x sin(t) 6 a sinn (t) 6 a
x  [ -a ; a ] t  0 ;
2

Ainsi, les intégrandes sont bien définies sur [ 0 ; /2 ]. De plus, celles-ci 
sont continues
sur le segment [ 0 ; /2 ] ce qui prouve que les intégrales existent bien. Par 
conséquent,
pour tout f  E, u(f ) et v(f ) sont bien définies. On vérifie également que u 
et v sont
bien linéaires par linéarité de la dérivation, de l'intégrale et de 
l'évaluation en 0.

Montrons désormais que u et v sont à valeurs dans E. Pour ce faire, il suffit
d'établir que pour tout f  E, u(f ) et v(f ) sont de classe C  . Posons
g(x, t) = f (x sin(t))

Soit n  N, montrons que u(f ) est de classe C n .

· Pour tout t  I, l'application g(·, t) est de classe C  sur I par les théorèmes
généraux. On vérifie que
kg
(x, t) = sink (t)f (k) (x sin(t))
xk
ng
· (x, t)  I × [ 0 ; /2 ]
(x, t) = sinn (t)f (n) (x sinn (t)) 6 kf (n) k
xn

· L'application t 7 kf (n) k existe bien par continuité de f (n) sur le compact 
I.
Elle est indépendante de x et intégrable sur I.
kg
· Pour tout k  [[ 0 ; n - 1 ]], tout x  I, l'application
(x, ·) est intégrable et
xk
continue par morceaux sur [ 0 ; /2 ] (car la domination précédente est valable
pour tout n).
k  N

La dernière hypothèse de continuité par morceaux du théorème n'est en fait
pas nécessaire. En effet, la théorie de l'intégration de Lebesgue permet de
s'en affranchir. Ce n'est cependant pas le cas de la théorie de Riemann en
vigueur au programme. Attention à ne pas l'oublier !
Ainsi, la fonction u(f ) est de classe C n sur I et sa dérivée ne est
Z 
2 2 n
(n)
u(f ) (x) =
sin (t)f (n) (x sin(t)) dt
 0

Montrons maintenant que v(f ) est elle aussi de classe C n pour tout n  N.
Commençons par remarquer que

v(f )(x) = f (0) + x u(f  )
2
Comme f   E, u(f  ) est de classe C n d'après ce qui précède. Il vient que v(f 
) est
de classe C n d'après les théorèmes généraux. Ainsi, u(f ) et v(f ) sont de 
classe C  .
De plus, u et v sont linéaires donc
u et v sont des endomorphismes de E.
3 Soit f  P. Montrons que u(f ) et v(f ) appartiennent à P. Par définition de f 
,
il existe N  N et (a0 , · · · , an )  Cn+1 tels que
x  I

f (x) =

=
u(f )(x) =

2

an xn

n=0

Calculons d'abord, pour tout x  I,
u(f )(x) =

N
P

Z

2

N
P

an xn sinn (t) dt

0 n=0

N
X
2

n=0
N
X
2

n=0

an

Z

2

0

n

!

sin (t) dt xn

an Wn xn