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Mines Maths 1 MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert et Florence Monna (Professeur en CPGE et
Docteur en mathématiques) ; il a été relu par Pierre-Yves Bienvenu (ENS Ulm) et
Nicolas Martin (Professeur agrégé).
Le problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle du second ordre
avec des conditions initiales, mais il s'agit d'un problème de Sturm-Liouville
et non
d'un problème usuel de Cauchy, ce qui donne une certaine originalité au sujet.
La méthode utilisée n'est pas classique non plus en classes préparatoires
puisque
l'on utilise des opérateurs de Volterra, qui sont introduits dans la partie A.
On étudie
alors un opérateur symétrique défini positif dans un espace vectoriel euclidien
de
dimension infinie en déterminant son spectre, et on relie les vecteurs propres
de
l'opérateur aux solutions d'une équation différentielle.
La partie B consiste en la démonstration du théorème de Weierstrass : toute
fonction réelle définie et continue sur un segment est limite uniforme d'une
suite de polynômes, en utilisant les très classiques polynômes de Bernstein.
L'originalité vient
de l'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour établir la
majoration
technique sur les polynômes de Bernstein, qui permet d'achever la démonstration
de la convergence uniforme par la découpe usuelle. Cette intervention des
probabilités, nouvellement introduites au programme cette année, à un endroit
où l'on ne les
attendait pas, est très intéressante.
La partie suivante a pour but de déterminer un développement en série
trigonométrique, appelée aussi série de Fourier. Les séries de Fourier ont
disparu du programme,
mais le sujet utilise une suite orthonormée totale dont l'existence est montrée
par le
théorème de Weierstrass trigonométrique qui se déduit du résultat de la partie
précédente. La détermination effective de la série trigonométrique (question
11) nécessite
tout de même quelques calculs...
Dans la dernière partie, dont certaines questions sont difficiles, on utilise
les outils
construits jusque-là pour étudier l'équation différentielle avec les conditions
de SturmLiouville, en établissant une condition nécessaire et suffisante pour
qu'une fonction
soit solution. Ceci permet de construire une solution dans un cas (mais on
n'aborde
pas la question de son unicité), de trouver une infinité de solutions dans un
autre cas,
et on termine par un dernier cas où il n'y a pas de solution, ce qui démarque ce
problème de Sturm-Liouville d'un problème de Cauchy.
En résumé, c'est un problème très intéressant qui utilise deux nouveautés du
programme, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les suites orthonormées totales
ainsi que de nombreux chapitres. Il ne peut être traité dans son ensemble qu'en
fin
de seconde année.
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Indications
Partie A
1 Utilisez une intégration par parties.
2 Pour la symétrie, cherchez à utiliser la question précédente.
3 Pour montrer que la fonction f est de classe C 2 , pensez qu'une primitive
d'une
fonction de classe C k est de classe C k+1 . Il suffit ensuite de dériver des
fonctions
qui sont définies comme des primitives.
4 Commencez par résoudre l'équation différentielle linéaire homogène du second
ordre obtenue à la question précédente, puis utilisez les conditions initiales
sur la
solution générale.
Partie B
6 Appliquez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire Zn puis
interprétez l'évènement {|Zn - E(Zn )| > } comme une réunion disjointe
d'évènements dont on exprime les probabilités.
7 Utilisez le théorème de transfert, puis observez que
n
P
n k
x (1 - x)n-k = 1
k=0 k
soit par un argument probabiliste, soit par un argument algébrique. Utilisez
ensuite le théorème de Heine pour déterminer un réel positif et faites une
découpe
k
de la somme en séparant les indices tels que
- x > et les autres.
n
Partie C
8 On peut procéder par récurrence.
9 Appliquez le théorème de Weierstrass à la fonction définie sur [-1, 1] par
g(x) = f (Arccos (x))
10 Utilisez une propriété des suites totales que vous avez vue en cours, puis
la relation
de comparaison entre les normes k kG et k k , pour conclure avec l'unicité de la
limite pour la norme k kG .
11 Les calculs sont un peu longs... Pour conclure, démontrez la convergence
normale
pour permuter la somme et l'intégrale, puis ramenez-vous à la question
précédente.
12 On peut partir du membre de droite en séparant l'intégrale en trois, puis en
faisant
une intégration par parties en introduisant la primitive V(f ) de f .
Partie D
13 Utilisez la question 4 au lieu de refaire les calculs.
14 Pour une implication, dérivez. Pour l'autre, intégrez, mais en utilisant la
bonne
primitive et en tenant compte des conditions initiales. Pour la dernière
égalité,
utilisez la question 12.
+
P
1
15 Posez la fonction g =
hh, n in et montrez qu'elle vérifie la
2
n=0 (2n + 1) -
condition suffisante de la question 14.
16 Pour trouver une solution, modifiez celle utilisée à la question précédente
et, pour
montrer qu'il n'y a pas de solution, montrez que la condition nécessaire de la
question 14 n'est vérifiée par aucune fonction.
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A. Opérateurs de Volterra
1 Par définition du produit scalaire sur E, on a, pour tout couple (f, g) E2
Z /2
hV(f ), gi =
V(f )(x)g(x) dx
0
Intégrons par parties en posant
u = V(f ),
v = g,
u = f
v = -V (g)
puisque, ainsi que l'énoncé le faisait remarquer, V(f ) et -V (g) sont des
primitives
de f et g, donc sont de classe C 1 . On obtient
Z /2
Z /2
/2
V(f )(x)g(x) dx = [-V(f )(x)V (g)(x)]0 +
f (x)V (g)(x) dx
0
0
La partie intégrée est nulle puisque V(f )(0) = V (g) (/2) = 0. Il en résulte
que
(f, g) E2
hV(f ), gi = hf, V (g)i
2 D'après la propriété de symétrie du produit scalaire, on a, pour tout (f, g)
E2 ,
hV (V(f )), gi = hg, V (V(f ))i
et d'après la question précédente,
hg, V (V(f ))i = hV(g), V(f )i = hV(f ), V(g)i = hf, V (V(g))i
Finalement,
(f, g) E2
hV V(f ), gi = hf, V V(g)i
V V est un opérateur symétrique.
d'où
Soit f un élément de E ; d'après la question 1,
hV V(f ), f i = hV(f ), V(f )i
qui est positif, par propriété du produit scalaire. De plus, hV(f ), V(f )i = 0
entraîne que V(f ) = 0, toujours par propriété du produit scalaire, donc sa
dérivée, qui est la fonction f , est nulle. On a démontré que hV V(f ), f i >
0 et
hV V(f ), f i = 0 = f = 0. Ainsi,
f 6= 0
On conclut que
=
hV V(f ), f i > 0
L'opérateur symétrique V V est défini positif.
Soit f un vecteur propre de l'opérateur V V et la valeur propre associée.
Un vecteur propre n'étant pas nul, on a f 6= 0, ce qui entraîne
hV V(f ), f i > 0
ainsi que
hV V(f ), f i = hf, f i = hf, f i
On a donc hf, f i > 0, ce qui implique > 0 puisque hf, f i > 0. On en conclut
que
Les valeurs propres de l'opérateur V V sont strictement positives.
C'est toujours le cas pour un opérateur défini positif.
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3 Par définition d'une valeur propre
V V(f ) = f
La fonction f est de classe C 0 , la fonction V(f ), qui en est une primitive,
est de
classe C 1 et la fonction -V (V(f )), qui est une primitive de la fonction V(f
) de
classe C 1 , est de classe C 2 . On en déduit que
La fonction f est de classe C 2 .
En dérivant l'égalité f = V (V(f )), on obtient
f = -V(f )
puis, en dérivant une nouvelle fois, f = -f
D'après la question précédente, n'est pas nul, donc la fonction f vérifie
f +
1
f = 0
On a les égalités, pour tout x élément de [ 0 ; /2 ],
V (V(f ))(x) = f (x)
et
V(f )(x) = -f (x)
En donnant à x la valeur /2 dans la première égalité, on arrive à
= V (V(f ))
=0
f
2
2
d'où f
= 0 puisque n'est pas nul. En donnant à x la valeur 0 dans la deuxième
2
égalité, on obtient
f (0) = -V(f )(0) = 0
d'où
f
=0
et
f (0) = 0
2
4 L'équation différentielle y +(1/)y = 0 du second ordre à coefficients
constants a
pour équation caractéristique r2 + 1/ = 0, de racines r = +
- i/ ( > 0). Une base
de solutions de l'équation différentielle est formée des fonctions
x
x
x 7- cos
et
x 7- sin
La solution générale de l'équation est définie par
x
x
y(x) = cos
+ µ sin
x
µ
x
En dérivant,
y (x) = - sin
+ cos
La condition initiale y (0) = 0 donne donc µ = 0, d'où
x
y(x) = cos
La condition initiale y (/2) = 0 s'écrit alors
cos
=0
2
(, µ) R2