Mines Maths 1 MP 2015

Thème de l'épreuve Opérateur de Volterra et équations différentielles
Principaux outils utilisés endomorphismes symétriques, équation différentielle d'ordre 2, séries trigonométriques, théorème de Weierstrass
Mots clefs équation différentielle, problème de Sturm-Liouville

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A 2015 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI). CONCOURS 2015 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Opérateur de Volterra et équations différentielles L'objectif de ce problème est l'étude d'un opérateur de Volterra appliqué notamment à la résolution de certaines équations différentielles. On considère l'espace vectoriel E des fonctions réelles définies et continues sur l'intervalle [0, 2 ], muni du produit scalaire défini pour tous f , g dans E par : f ,g = Z 2 f (t )g (t ) dt . 0 p On note k f k = f , f la norme associée à ce produit scalaire. Un endomorphisme V de l'espace E est dit symétrique défini positif si pour tous f , g dans E , on a V ( f ), g = f ,V (g ) et si de plus, V ( f ), f > 0 pour tout f E non nul. Les parties A et B sont mutuellement indépendantes. A. Opérateur de Volterra On note V et V les endomorphismes de E défini par les formules : Zx V ( f )(x) = f (t ) dt 0 V ( f )(x) = Z 2 f (t ) dt x pour tous f E et x [0, 2 ]. 1) En observant que V ( f ) et -V ( f ) sont des primitives de f , montrer que pour tous f , g dans E , on a V ( f ), g = f ,V (g ). 2) Montrer que l'endomorphisme V V est symétrique défini positif. En déduire que ses valeurs propres sont strictement positives. Soit une valeur propre de V V et f un vecteur propre associé à . 3) Montrer que f est de classe C 2 et est solution de l'équation différentielle : y + 1 y = 0 avec les conditions y( 2 ) = 0 et y (0) = 0. 4) En déduire que est une valeur propre de V V si et seulement s'il existe 1 n N tel que = (2n+1) 2 . Préciser alors les vecteurs propres associés. 2 B. Théorème d'approximation de Weierstrass Soit n un entier strictement positif, x [0, 1] et f : [0, 1] R une fonction continue. On note X 1 , X 2 , ..., X n des variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées selon la loi de Bernoulli de¡ paramètre x. On note également ¢ S n = X 1 + X 2 + ... + X n , Zn = Snn et B n ( f )(x) = E f (Zn ) . 5) Rappeler, sans démonstration, la loi de S n . En déduire, avec démonstration, les valeurs de l'espérance et de la variance de S n en fonction de n et de x. 6) En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout >0: Ã ! X n k 1 x (1 - x)n-k É 4n2 0ÉkÉn k | nk -x|Ê 7) Montrer que : Ã ! ³ ¡k ¢ ´ n n X x k (1 - x)n-k f B n ( f )(x) - f (x) = - f (x) n k=0 k et en déduire que la suite (B n ( f ))nN converge uniformément vers f sur [0, 1]. On pourra utiliser le résultat de la question précédente ainsi que le théorème de Heine. On a donc établi le théorème d'approximation de Weierstrass sur le segment [0, 1] : toute fonction continue sur [0, 1] y est limite uniforme d'une suite de polynômes. On en déduit aisément, et on l'admet, le théorème d'approximation de Weierstrass sur un segment quelconque [a, b]. C. Développement de V V ( f ) en série trigonométrique On considère maintenant l'espace vectoriel G des fonctions réelles définies et continues sur l'intervalle [0, ], muni du produit scalaire défini pour tous f , g dans G par : Z f , g G = f (t )g (t ) dt . 0 p On note k f kG = f , f G la norme associée à ce produit scalaire. Pour n N, on définit la fonction c n G par la formule c n (t ) = cos(nt ) et on note F n = Vect(c 0 , c 1 , ..., c n ) le sous-espace vectoriel de G engendré par {c 0 , c 1 , ..., c n }. On note également P Fn la projection orthogonale de G sur F n . 8) Montrer que si p est un polynôme de degré n N, la fonction t 7 p(cos(t )) définie sur [0, ] appartient à F n . 3 9) Trouver une suite (n )nN de nombres réels strictement positifs telle que la suite (n c n )nN soit orthonormée. Déduire du théorème d'approximation de Weierstrass que la suite orthonormée (n c n )nN est totale. 10) Soit f G. Démontrer que k f - P Fn ( f )kG tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Si, de plus, la suite (P Fn ( f ))nN converge uniformément sur [0, ] vers une fonction g , montrer que g = f . Pour tout x [0, 2 ], on définit la fonction g x sur [0, ] par la formule : ( - max(x, t ) si 0 É t É 2 g x (t ) = 2 -g x ( - t ) si 2 É t É . 11) Soit n N. Déterminer les coordonnées de P Fn (g x ) sur la base (c 0 , c 1 , ..., c n ) de F n . En déduire que pour tout t [0, /2] : ¡ ¢ X cos (2n + 1)x ¡ ¢ 4 + - max(x, t ) = cos (2n + 1)t . 2 2 n=0 (2n + 1) 12) Montrer que pour tous f E et x [0, 2 ] : V V ( f )(x) = Z ³ 2 0 ´ - max(x, t ) f (t ) dt 2 et en déduire la suite des coefficients (a n ( f ))nN pour laquelle on a : V V ( f )(x) = + X n=0 ¡ ¢ a n ( f ) cos (2n + 1)x . D. Équations différentielles du type Sturm-Liouville Soit h E , R et l'équation différentielle : ( y + y + h = 0 S y(/2) = 0 et y (0) = 0 ¡ ¢ On définit n E pour tout n N par la formule n (t ) = p2 cos (2n + 1)t . 1 f , n . (2n + 1)2 14) Montrer que g est solution de l'équation différentielle S si et seulement si g = ·V V (g )+V V (h) et que dans ce cas, on a les formules suivantes pour tout n N : 13) Montrer que pour tous f E et n N, V V ( f ), n = ³ 1- ´ 1 g , n = h, n 2 (2n + 1) (2n + 1)2 4 et g= + X g , n n . n=0 15) On suppose dans cette question que n'est pas égal au carré d'un entier impair. Montrer que la série : X 1 h, n n (2n + 1)2 - est normalement convergente. Exhiber alors une solution de S. On suppose maintenant qu'il existe p N tel que = (2p + 1)2 . 16) Montrer que si h, p = 0 alors S a une infinité de solutions, puis exhiber l'une d'entre elles. Que peut-on dire si h, p 6= 0 ? F IN DU PROBLÈME 5

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 Mines Maths 1 MP 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gilbert et Florence Monna (Professeur en CPGE et Docteur en mathématiques) ; il a été relu par Pierre-Yves Bienvenu (ENS Ulm) et Nicolas Martin (Professeur agrégé). Le problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle du second ordre avec des conditions initiales, mais il s'agit d'un problème de Sturm-Liouville et non d'un problème usuel de Cauchy, ce qui donne une certaine originalité au sujet. La méthode utilisée n'est pas classique non plus en classes préparatoires puisque l'on utilise des opérateurs de Volterra, qui sont introduits dans la partie A. On étudie alors un opérateur symétrique défini positif dans un espace vectoriel euclidien de dimension infinie en déterminant son spectre, et on relie les vecteurs propres de l'opérateur aux solutions d'une équation différentielle. La partie B consiste en la démonstration du théorème de Weierstrass : toute fonction réelle définie et continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de polynômes, en utilisant les très classiques polynômes de Bernstein. L'originalité vient de l'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour établir la majoration technique sur les polynômes de Bernstein, qui permet d'achever la démonstration de la convergence uniforme par la découpe usuelle. Cette intervention des probabilités, nouvellement introduites au programme cette année, à un endroit où l'on ne les attendait pas, est très intéressante. La partie suivante a pour but de déterminer un développement en série trigonométrique, appelée aussi série de Fourier. Les séries de Fourier ont disparu du programme, mais le sujet utilise une suite orthonormée totale dont l'existence est montrée par le théorème de Weierstrass trigonométrique qui se déduit du résultat de la partie précédente. La détermination effective de la série trigonométrique (question 11) nécessite tout de même quelques calculs... Dans la dernière partie, dont certaines questions sont difficiles, on utilise les outils construits jusque-là pour étudier l'équation différentielle avec les conditions de SturmLiouville, en établissant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit solution. Ceci permet de construire une solution dans un cas (mais on n'aborde pas la question de son unicité), de trouver une infinité de solutions dans un autre cas, et on termine par un dernier cas où il n'y a pas de solution, ce qui démarque ce problème de Sturm-Liouville d'un problème de Cauchy. En résumé, c'est un problème très intéressant qui utilise deux nouveautés du programme, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les suites orthonormées totales ainsi que de nombreux chapitres. Il ne peut être traité dans son ensemble qu'en fin de seconde année. Indications Partie A 1 Utilisez une intégration par parties. 2 Pour la symétrie, cherchez à utiliser la question précédente. 3 Pour montrer que la fonction f est de classe C 2 , pensez qu'une primitive d'une fonction de classe C k est de classe C k+1 . Il suffit ensuite de dériver des fonctions qui sont définies comme des primitives. 4 Commencez par résoudre l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre obtenue à la question précédente, puis utilisez les conditions initiales sur la solution générale. Partie B 6 Appliquez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire Zn puis interprétez l'évènement {|Zn - E(Zn )| > } comme une réunion disjointe d'évènements dont on exprime les probabilités. 7 Utilisez le théorème de transfert, puis observez que n P n k x (1 - x)n-k = 1 k=0 k soit par un argument probabiliste, soit par un argument algébrique. Utilisez ensuite le théorème de Heine pour déterminer un réel positif et faites une découpe k de la somme en séparant les indices tels que - x > et les autres. n Partie C 8 On peut procéder par récurrence. 9 Appliquez le théorème de Weierstrass à la fonction définie sur [-1, 1] par g(x) = f (Arccos (x)) 10 Utilisez une propriété des suites totales que vous avez vue en cours, puis la relation de comparaison entre les normes k kG et k k , pour conclure avec l'unicité de la limite pour la norme k kG . 11 Les calculs sont un peu longs... Pour conclure, démontrez la convergence normale pour permuter la somme et l'intégrale, puis ramenez-vous à la question précédente. 12 On peut partir du membre de droite en séparant l'intégrale en trois, puis en faisant une intégration par parties en introduisant la primitive V(f ) de f . Partie D 13 Utilisez la question 4 au lieu de refaire les calculs. 14 Pour une implication, dérivez. Pour l'autre, intégrez, mais en utilisant la bonne primitive et en tenant compte des conditions initiales. Pour la dernière égalité, utilisez la question 12. + P 1 15 Posez la fonction g = hh, n in et montrez qu'elle vérifie la 2 n=0 (2n + 1) - condition suffisante de la question 14. 16 Pour trouver une solution, modifiez celle utilisée à la question précédente et, pour montrer qu'il n'y a pas de solution, montrez que la condition nécessaire de la question 14 n'est vérifiée par aucune fonction. A. Opérateurs de Volterra 1 Par définition du produit scalaire sur E, on a, pour tout couple (f, g) E2 Z /2 hV(f ), gi = V(f )(x)g(x) dx 0 Intégrons par parties en posant u = V(f ), v = g, u = f v = -V (g) puisque, ainsi que l'énoncé le faisait remarquer, V(f ) et -V (g) sont des primitives de f et g, donc sont de classe C 1 . On obtient Z /2 Z /2 /2 V(f )(x)g(x) dx = [-V(f )(x)V (g)(x)]0 + f (x)V (g)(x) dx 0 0 La partie intégrée est nulle puisque V(f )(0) = V (g) (/2) = 0. Il en résulte que (f, g) E2 hV(f ), gi = hf, V (g)i 2 D'après la propriété de symétrie du produit scalaire, on a, pour tout (f, g) E2 , hV (V(f )), gi = hg, V (V(f ))i et d'après la question précédente, hg, V (V(f ))i = hV(g), V(f )i = hV(f ), V(g)i = hf, V (V(g))i Finalement, (f, g) E2 hV V(f ), gi = hf, V V(g)i V V est un opérateur symétrique. d'où Soit f un élément de E ; d'après la question 1, hV V(f ), f i = hV(f ), V(f )i qui est positif, par propriété du produit scalaire. De plus, hV(f ), V(f )i = 0 entraîne que V(f ) = 0, toujours par propriété du produit scalaire, donc sa dérivée, qui est la fonction f , est nulle. On a démontré que hV V(f ), f i > 0 et hV V(f ), f i = 0 = f = 0. Ainsi, f 6= 0 On conclut que = hV V(f ), f i > 0 L'opérateur symétrique V V est défini positif. Soit f un vecteur propre de l'opérateur V V et la valeur propre associée. Un vecteur propre n'étant pas nul, on a f 6= 0, ce qui entraîne hV V(f ), f i > 0 ainsi que hV V(f ), f i = hf, f i = hf, f i On a donc hf, f i > 0, ce qui implique > 0 puisque hf, f i > 0. On en conclut que Les valeurs propres de l'opérateur V V sont strictement positives. C'est toujours le cas pour un opérateur défini positif. 3 Par définition d'une valeur propre V V(f ) = f La fonction f est de classe C 0 , la fonction V(f ), qui en est une primitive, est de classe C 1 et la fonction -V (V(f )), qui est une primitive de la fonction V(f ) de classe C 1 , est de classe C 2 . On en déduit que La fonction f est de classe C 2 . En dérivant l'égalité f = V (V(f )), on obtient f = -V(f ) puis, en dérivant une nouvelle fois, f = -f D'après la question précédente, n'est pas nul, donc la fonction f vérifie f + 1 f = 0 On a les égalités, pour tout x élément de [ 0 ; /2 ], V (V(f ))(x) = f (x) et V(f )(x) = -f (x) En donnant à x la valeur /2 dans la première égalité, on arrive à = V (V(f )) =0 f 2 2 d'où f = 0 puisque n'est pas nul. En donnant à x la valeur 0 dans la deuxième 2 égalité, on obtient f (0) = -V(f )(0) = 0 d'où f =0 et f (0) = 0 2 4 L'équation différentielle y +(1/)y = 0 du second ordre à coefficients constants a pour équation caractéristique r2 + 1/ = 0, de racines r = + - i/ ( > 0). Une base de solutions de l'équation différentielle est formée des fonctions x x x 7- cos et x 7- sin La solution générale de l'équation est définie par x x y(x) = cos + µ sin x µ x En dérivant, y (x) = - sin + cos La condition initiale y (0) = 0 donne donc µ = 0, d'où x y(x) = cos La condition initiale y (/2) = 0 s'écrit alors cos =0 2 (, µ) R2