Mines Maths 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Représentation matricielle AeA
Principaux outils utilisés réduction, matrices nilpotentes
Mots clefs représentation dans Mn(C), bloc de Jordan, forme de Jordan d'une matrice nilpotente, jordanisation

Corrigé

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A 2014 MATH. IMP ECOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIËRE MP), ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI). CONCOURS 2014 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis àla disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page dela copie: MATHEMATIQ UES I - MR L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Représentation matricielle AeA Soit n un entier naturel non nul et /%n( 0+ et lorsque 9 --> n_. Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation  0 fixé? Soit D : {Rei9 ; R > 0 et 0 < 9 < n} U {0} et g l'application de D dans C définie par g(z) : zez. sin 9 3) Déduire de ce qui précède que g est surjective. B. Représentation AeA d'un bloc de lordan Soit N E J%n( AeA de J%n( 

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 Mines Maths 1 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Sadik Boujaida (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Ce sujet d'algèbre linéaire a pour finalité de démontrer que toute matrice A appartenant à Mn (C), pour n entier naturel non nul, peut s'écrire sous la forme B e B où B Mn (C). Il se compose de quatre parties. · Dans la première partie, on démontre que ce résultat est vrai pour n = 1, c'est-à-dire que pour tout nombre complexe il existe µ C tel que = µ e µ . · On s'intéresse ensuite dans la deuxième partie à des matrices particulières appelées blocs de Jordan, qui ont la forme suivante : µ 1 0 ... 0 . 0 . . . . . . . . . .. .. . . . . .. . . . 0 Jn (µ) = . où µ est un complexe. . . . . . . . . . 1 0 ... ... 0 µ Après des résultats classiques sur les matrices nilpotentes, en utilisant la première partie, on démontre que tout bloc de Jordan peut se mettre sous la forme M e M avec M Mn (C). · Dans la troisième partie, on prouve que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs, dont les blocs sont des blocs de Jordan nilpotents Jp1 (0), . . . , Jpr (0), avec p1 , . . . , pr des entiers naturels non nuls. · Enfin, dans la quatrième partie, qui se compose de deux questions assez longues, on s'intéresse au cas général : démontrer que toute matrice A Mn (C) admet un antécédent par l'application B 7- B e B . À cette fin, on commence par « jordaniser » la matrice A, ce qui signifie trouver une matrice semblable à A, diagonale par blocs, dont les blocs sont des blocs de Jordan. On fait ensuite appel aux résultats de la deuxième partie. Ce sujet est intéressant et bien construit, les parties s'y enchaînent de façon logique pour arriver au résultat annoncé en début de problème. Il comporte de nombreuses questions classiques, en particulier sur les matrices nilpotentes, qu'il est important de traiter rapidement et rigoureusement, mais aussi des questions demandant davantage de réflexion. C'est un bon exercice de révision sur la réduction, qui peut être traité dès que ce chapitre a été vu en classe. Indications Partie B 4 Pour démontrer que (X, NX, . . . , Nn-1 X) est libre, se donner une relation de dépendance linéaire et la multiplier à gauche par une puissance bien choisie de N. 5 En notant u l'endomorphisme canoniquement associé à N, utiliser la question précédente pour définir une base de Cn de la forme (un-1 (x), . . . , u(x), x) où x Cn . 6 Remarquer que e Jn (0) est polynomiale en Jn (0) et en déduire que ces deux matrices commutent. 7 Se servir de l'égalité (PJn (0)P-1 )k = PJn (0)k P-1 , valable pour tout entier naturel k, après l'avoir justifiée. Appliquer le résultat de la question 5 à la matrice Jn (0)e Jn (0) . 8 Faire appel au résultat de la question 3. 9 Le raisonnement est similaire à celui de la question 7, s'en inspirer. Partie C 10 Procéder comme aux questions 4 et 5. 11 Que vaut le produit TX T-X ? 12 Suivre l'indication de l'énoncé puis définir X ligne par ligne, en commençant par la première, chaque ligne étant construite en fonction des précédentes. 13 En notant v l'endomorphisme canoniquement associé à A , remarquer que, pour tout k [[ p + 1 ; n ]], v(ek ) Vect (ep , . . . , , en ) puis v 2 (ek ) Vect (ep-1 , . . . , en ), . . . , v p-1 (ek ) Vect (e2 , . . . , en ) 14 Procéder par récurrence forte. Dans l'hérédité, discuter selon l'indice de nilpotence et utiliser les résultats des questions 5 et 13. Partie D 15 Penser aux théorèmes de décomposition des noyaux et de Cayley-Hamilton. 16 Afin de démontrer qu'une matrice A quelconque dans Mn (C) admet un antécédent par cette application, commencer par justifier que A est semblable à une matrice de la forme obtenue à la question 15. Appliquer ensuite le résultat de la question 14 à chaque bloc nilpotent. On est ensuite amené à utiliser le résultat de la question 9. A. Préliminaire sur la représentation z e z dans C 1 Soient r et R dans R+ , et dans R. Posons w = r e i et z = R e i . z ez = w R e i exp (R cos + i R sin ) = r e i R exp(R cos ) e i (+R sin ) = r e i Puisque r, R et l'exponentielle réelle sont strictement positifs, R exp(R cos ) > 0. Par identification des modules et arguments, on obtient ( R exp(R cos ) = r z z e = w + R sin [2] d'où z ze =w ( R exp(R cos ) = R sin r - [2] 2 La fonction sinus ne s'annulant pas sur ] 0 ; [, la fonction est bien définie. Précisons ses limites aux bornes de son intervalle de définition. · Étude en 0+ . Quand tend vers 0+ , - tend vers > 0, cos tend vers 1 et sin tend vers 0+ . Donc, par produit et quotient, lim 0+ - = + sin et lim ( - ) 0+ cos = + sin Puisque lim e x = +, il s'ensuit par composition x+ cos = + lim exp ( - ) sin 0+ On conclut à l'aide d'un produit de limites que lim () = + 0+ · Étude en - . Quand tend vers - , - tend vers - > 0, cos tend vers -1 et sin tend vers 0+ . On en déduit, par produit et quotient, que lim ( - ) - cos = - sin En outre, lim x e x = 0 par croissances comparées, donc x- cos cos lim ( - ) exp ( - ) =0 sin sin - Il s'ensuit, en divisant par cos qui tend vers -1, lim () = 0 - Soit r un réel strictement positif fixé. La fonction est continue sur ] 0 ; [, tend vers + en 0+ et vers 0 en - , donc, en vertu d'un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel ] 0 ; [ tel que () = r. Pour tout r > 0, il existe ] 0 ; [ tel que () = r. Il est également possible d'utiliser directement le théorème des valeurs intermédiaires, c'est-à-dire de redémontrer le corollaire employé ici. Par définition des limites, il existe un réel 0 ] 0 ; [ tel que r ] 0 ; 0 ] () 6 2 et un réel 1 ] 0 ; [ tel que > 1 Ainsi, 0 < 1 et () > 2 r (0 ) < r < (1 ) Comme est continue sur [ 0 ; 1 ], il existe un réel ] 0 ; 1 [ appartenant donc à ] 0 ; [ tel que () = r. 3 Démontrons à l'aide des questions précédentes que la fonction g est surjective. Soit w C ; prouvons que w admet un antécédent par g dans C en distinguant 2 cas. Premier cas : w = 0. Par définition, 0 D et g(0) = 0 e 0 = 0 = w donc w admet bien un antécédent par g dans D. Second cas : w 6= 0. Il existe alors r > 0 et [ 2 ; 4 [ tel que w = r e i . Notons qu'il est licite de choisir dans cet intervalle car il est de longueur 2 et contient une de ses bornes. L'image de 0 par g étant égale à 0, cherchons un antécédent de w dans D r {0}. Soit alors z D r {0}. Il existe R > 0 et ] 0 ; [ tel que z = R e i . D'après la question 1, il suffit de disposer des égalités ( R exp(R cos ) = r R sin = - pour que w soit égal à g(z). Puisque ] 0 ; [, sin est non nul et donc ( ( R exp(R cos ) = r R exp(R cos ) = r - R = R sin = - sin - - exp cos = r sin sin - R = sin ( () = r R exp(R cos ) = r - R sin = - R = sin D'après la question 2, il existe ] 0 ; [ tel que () = r. Le système précédent admet donc une solution (R, ) R × ] 0 ; [. En outre, - > 0 car [ 2 ; 4 [ et ] 0 ; [, et sin > 0. Par conséquent, il existe une solution (R, ) dans R+ × ] 0 ; [ et donc un complexe z D tel que g(z) = w. Conclusion : La fonction g est surjective.