Mines Maths 1 MP 2013

Thème de l'épreuve Applications bilinéaires symétriques plates
Principaux outils utilisés formes bilinéaires, diagonalisation, topologie
Mots clefs formes bilinéaires symétriques plates, diagonalisation simultanée, vecteurs réguliers, endomorphisme auto-adjoint

Corrigé

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A 2013 MATH. IMP ECOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIËRE MP), ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI). CONCOURS 2013 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis àla disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page dela copie: MATHEMATIQ UES I - MR L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Applications bilinéaires symétriques plates Dans tout le problème, n est un entier supérieur ou égal à 2 et p est un entier supérieur ou égal à l. Les espaces vectoriels [R%" et [Rip sont munis de leurs produits scalaires canoniques, notés <-,--); en particulier pour p = 1, c'est le produit usuel dans [R. On rappelle qu'une application (p de [R%" >< [R%" dans [Rp est bilinéaire lorsque pour tous x, y dans R", les deux applications partielles z --->  . Le but du problème est d'établir, sous certaines conditions, qu'une applica- tion bilinéaire symétrique plate est diagonalisable. Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres. A. Formes bilinéaires symétriques plates Dans toute cette partie on pose p = 1. Soit 

< [R%" --> [R une forme bili- néaire symétrique. l) Justifier qu'il existe un unique endomorphisme u de [R%" tel que pour tous x, y dans R", < [R%" a valeurs dans [R, en posant (a ® 19) (x, y) : a(x)b(y) pour tous x, y dans R". 2) Montrer que pour tous a, 19 E W", a ® 19 est une forme bilinéaire sur HQ". Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit symé- trique. On rappelle que le rang d'une forme bilinéaire symétrique

< [R%" --> [R est égal au rang de la matrice (cp(e,--, e j)) où (e,--)1Sisn est une base quelconque de R". 1<ùj 1 et que le résultat est vrai pour toute dimension strictement inférieure à n. 6) Soit io EUR I . Montrer que si ui0 n'est pas une homothétie, les sous--espaces propres de ui0 sont de dimension strictement inférieure à n. Montrer par ailleurs que ces sous--espaces sont stables par tous les endomorphismes ui. 7) Conclure. C. Vecteurs réguliers Soit ça une application bilinéaire symétrique non nulle de [R%" >< [R%" dans [Rip . Si x E HQ", on note <,"b(x) l'application linéaire qui a tout y E [R%" associe n. On revient au cas général où ça est une application bilinéaire symétrique non nulle. 12) Montrer que l'ensemble 7/ des vecteurs réguliers pour (p est un ouvert de R". 13) Montrer que 7/ est dense dans R". D. Le cas 19 = n de noyau nul Dans cette partie,

< [R%" dans R", dont le noyau est réduit à Ker

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 Mines Maths 1 MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Antoine Sihrener (Professeur en CPGE) et Nicolas Martin (ENS Lyon). Le problème porte sur l'algèbre linéaire et bilinéaire. Il introduit la notion d'application bilinéaire symétrique plate et envisage quelques-unes de ses propriétés. Notons une petite intervention de la topologie. · La partie A est consacrée au cas particulier des formes bilinéaires symétriques, le but étant de démontrer que les formes bilinéaires symétriques plates sont exactement celles qui sont de rang 1. · La partie B généralise la très classique diagonalisation simultanée de deux endomorphismes qui commutent : les endomorphismes étant symétriques, on montre l'existence d'une base orthonormale commune de diagonalisation, et on étend le résultat à un ensemble quelconque d'endomorphismes. Si l'on connaît bien la diagonalisation simultanée, cela ne présente pas de difficulté majeure. · À la partie C, on passe au cas des applications bilinéaires symétriques de (Rn )2 dans Rp et on introduit la notion de vecteur régulier pour ces applications. Après quelques questions techniques, dont une relativement difficile, on établit une propriété des applications bilinéaires symétriques plates. On revient ensuite au cas général pour démontrer que l'ensemble des vecteurs réguliers pour une forme bilinéaire symétrique donnée est un ouvert dense de Rn . · La dernière partie porte sur le cas particulier des applications bilinéaires symétriques de (Rn )2 dans Rn de noyau nul, le but final étant d'établir que ces applications sont diagonalisables. Il n'est jamais commode de devoir, en trois heures, découvrir, comprendre et manipuler une notion nouvelle. Ce sujet plutôt abstrait est donc très formateur. Indications Partie A 2 Dans le cas où a b est symétrique, comparer les noyaux des formes linéaires a et b. 3 Utiliser le théorème de réduction des matrices symétriques réelles puis chercher ce que donne l'hypothèse sur le rang de pour les valeurs propres de la matrice de . 4 Remarquer que dans le cas p = 1, le produit scalaire n'est rien d'autre que le produit usuel des nombres réels. 5 Utiliser le théorème de réduction des matrices symétriques réelles pour obtenir une base dans laquelle la matrice de est diagonale. Puis, en utilisant l'hypothèse « est une forme plate », démontrer que tous les termes diagonaux de la matrice sont nuls sauf un. Partie B 7 Si ui0 est un endomorphisme symétrique qui n'est pas une homothétie, l'espace vectoriel E est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de ui0 . Si (ui )iI est une famille d'endomorphismes qui commutent avec ui0 , la restriction de ces endomorphismes à chaque sous-espace propre E de ui0 définit une famille d'endomorphismes symétriques de E qui commutent. Partie C 8 Penser à faire apparaître un polynôme caractéristique, le spectre d'une matrice réelle est fini. 9 Extraire une sous-matrice inversible de la matrice des coordonnées des vecteurs a1 , a2 , . . . , ar pour appliquer la question précédente. 10 Après l'indication de l'énoncé, utiliser la question 9 pour montrer l'existence d'un nombre réel t tel que (x, y) Im ((x e + ty)) et aboutir à une contradiction. 11 Utiliser la question précédente, puis l'hypothèse que est une application bilinéaire symétrique plate. 12 Penser à la continuité du déterminant. 13 À partir d'un vecteur non régulier v et d'un vecteur régulier v, montrer à l'aide de la question 8 l'existence de vecteurs réguliers de la forme v + tv avec t R. Partie D 14 Application immédiate de la question 11. 15 Écrire h(x)(y) | zi = h(x) e (v) e -1 (y) | (v) e (v) e -1 (z)i puis revenir à la définition de e pour pouvoir utiliser l'hypothèse que est une forme bilinéaire symétrique plate. 16 Utiliser le fait que e est bijective et la question précédente. 17 Poser i = (v) e -1 (ei ), puis exprimer (i , j ) et (j , i ). A. Formes bilinéaires symétriques plates 1 Montrons d'abord l'unicité. Supposons qu'il existe deux endomorphismes u et v tels que (x, y) Rn × Rn (x, y) = hu(x) | yi = hv(x) | yi Il en résulte hu(x) | yi - hv(x) | yi = 0. Par linéarité à gauche du produit scalaire, hu(x) - v(x) | yi = 0 pour tout couple (x, y) de vecteurs de Rn . Ainsi, pour x Rn , le vecteur u(x)-v(x) est orthogonal à tout élément y de Rn . Par conséquent, il appartient au sous-espace vectoriel orthogonal de Rn pour le produit scalaire canonique, qui est réduit au vecteur nul. Il en résulte que u(x) - v(x) = 0, ceci pour tout x élément de Rn , ce qui implique u = v. Montrons maintenant l'existence. On désigne par (ei )16i6n la base canonique de Rn . On définit un endomorphisme u de Rn en posant n P u(ei ) = (ei , ej )ej j=1 L'endomorphisme u est défini par la donnée des images des vecteurs de la base canonique. On a DP E P n n hu(ei ) | ek i = (ei , ej )ej ek = (ei , ej )hej | ek i = (ei , ek ) j=1 j=1 puisque la base canonique de R est orthonormale pour le produit scalaire canonique. Ainsi, on définit un endomorphisme u tel que (ei , ej ) = hu(ei ) | ej i pour tout couple d'entiers i et j compris entre 1 et n. Par linéarité de u et bilinéarité de et du produit scalaire canonique de Rn , on en déduit n (x, y) (Rn )2 (x, y) = hu(x) | yi Il existe un unique endomorphisme u de Rn tel que (x, y) = hu(x) | yi pour tout (x, y) (Rn )2 . On peut aussi utiliser le théorème de représentation des formes linéaires dans un espace vectoriel de dimension finie. Pour tout x Rn , l'application y 7 (x, y) est une forme linéaire, donc il existe un unique élément de Rn , que l'on note u(x), tel que, pour tout y Rn , (x, y) = hu(x) | yi. On définit ainsi une application u de Rn dans lui-même (à cause de l'unicité du vecteur u(x)) et on montre ensuite que cette application est linéaire. Par hypothèse, est une forme bilinéaire symétrique : d'où n 2 (x, y) (R ) (x, y) (Rn )2 (x, y) = (y, x) hu(x) | yi = (x, y) = (y, x) = hu(y) | xi = hx | u(y)i L'application u est un endomorphisme symétrique de l'espace euclidien (Rn , h | i). L'endomorphisme u étant symétrique de Rn dans lui-même, il est diagonalisable dans une base orthonormale (1 , . . . , n ). Ainsi, hu(i ) | j i = 0 si i est différent de j, ce qui est équivalent à (i , j ) = 0, pour tout couple (i, j) d'entiers naturels distincts compris entre 1 et n. Il en résulte que L'application est diagonalisable. 2 Puisque, pour tout couple (x, y) de vecteurs de Rn , (a b)(x, y) = a(x)b(y) est un produit de nombres réels, l'application ab est à valeurs dans R. Soient (x, y, z) Rn et (, µ) R2 . On a (a b)(x + µy, z) = a(x + µy)b(z) = (a(x) + µa(y))b(z) = a(x)b(z) + µa(y)b(z) (a b)(x + µy, z) = (a b)(x, z) + µ(a b)(y, z) Il en résulte que a b est linéaire à gauche, on montre de même qu'elle est linéaire à droite. Finalement, a b est une forme bilinéaire. L'application a b est symétrique si et seulement si (x, y) (Rn )2 a(x)b(y) = a(y)b(x) Supposons que a et b ne sont pas des formes linéaires nulles. Il existe un vecteur y appartenant à Rn tel que a(y) soit non nul. Soit x un élément du noyau de a. On a alors a(x)b(y) = 0, d'où a(y)b(x) = 0, ce qui entraîne que b(x) = 0. Il en résulte que Ker (a) Ker (b). On montre par un raisonnement analogue l'inclusion inverse. Les deux formes linéaires ayant le même noyau, elles sont proportionnelles. Réciproquement, si l'on suppose que b = a avec R, on a (x, y) (Rn )2 Par conséquent, (a b)(x, y) = a(x)a(y) = a(x)a(y) = a(y)a(x) = (a b)(y, x) La forme bilinéaire ab est symétrique si et seulement si les formes linéaires a et b sont proportionnelles. 3 Soient (e1 , e2 , . . . , en ) une base qui diagonalise et (f1 , f2 , . . . , fn ) la base duale correspondante. Puisque est de rang 1, la matrice de dans la base (e1 , e2 , . . . , en ), qui est diagonale, a un seul terme non nul. En changeant l'ordre des vecteurs de la base, si nécessaire, on peut supposer que la matrice de est diag(, 0, . . . , 0). Soient x = (x1 , x2 , . . . , xn ) et y = (y1 , y2 , . . . , yn ) deux éléments de Rn écrits dans la base (e1 , e2 , . . . , en ). Avec la matrice de , on a (x, y) = x 1 y1 = f1 (x)f1 (y). Si p est positif, on pose f = f1 ; si est négatif, on pose f = -f1 , c'est-à-dire f = ||f1 . Dans les deux cas, f Rn =+ -f f Voici une démonstration alternative pour éviter le recours à la dualité. Soit A la matrice de dans la base canonique de Rn . Puisque la forme bilinéaire est de rang 1, la matrice A est de rang 1. D'après le théorème du rang, elle admet un noyau de dimension n - 1, hyperplan que l'on désigne par H. Soit u un vecteur unitaire de Rn , orthogonal à H. Tout vecteur x de Rn se décompose de manière unique sous la forme x = x1 + u avec x1 H. Posons alors g(x) = . L'unicité de la décomposition de x dans la somme directe Rn = H Ru assure que g(x) est défini de manière unique, ainsi g est une application de Rn dans R.