Mines Maths 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Réduction de certaines matrices de coefficients binomiaux
Principaux outils utilisés polynômes, dénombrement, algèbre linéaire, réduction des endomorphismes symétriques
Mots clefs polynômes réciproques de première et deuxième espèce

Corrigé

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAËRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI). CONCOURS 2012 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis àla disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page dela copie : M'lTHÉAMTIQUES I - MR L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai-- sons des initiatives qu'il est amené à prendre. Réduction de certaines matrices de coefficients binomiaux Le but du problème est d'étudier la réduction de matrices définies à partir d'un résultat sur les dénombrements de certaines familles entières, en utilisant les propriétés des polynômes réciproques. Les parties A, B et C sont indépendantes. A. Equations algébriques réciproques On note R[X ] l'algèbre des polynômes à coefficients réels. Si P EUR R[X], on note deg(P) son degré. Si n EUR N, R,,[X] désigne le [Ri-espace vectoriel des poly-- nômes P EUR R[X] tels que deg(P) S n. 1) Montrer que si n EUR N, l'application un : R,,[X ] --+ R,, [X ] donnée par la for-- mule u,,(P) (X) = X "P(%) est bien définie, et que c'est une symétrie. Un polynôme R de MX] est dit réciproque de première espèce s'il est non nul et invariant par udeg(R) ; il est dit réciproque de deuxième espèce s'il est non nul et transformé en son opposé par udeg(R). On note 9" (respectivement @) l'en- semble des polynômes de R[X ] réciproques de première (respectivement de deuxième) espèce. 2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur ses coefficients pour qu'un polynôme non nul de R[X ] appartienne à ? (respectivement à 9). 3) Établir que si R EUR R[X ] est réciproque (c'est-à-dire R EUR 9 U@) et x est une racine de R, alors x est non nul et % est aussi une racine de R. Montrer par ailleurs que tout polynôme de @ admet 1 pour racine, et que tout polynôme de 93 de degré impair admet -- 1 pour racine. 4) Étant donné trois polynômes P, Q, R de R[X ] tels que P : QR, montrer que si deux d'entre eux sont réciproques, alors le troisième l'est aussi. Etablir un lien entre les espèces de ces trois polynômes réciproques. 5) Vérifier que P EUR ? implique (X - 1)P EUR @ . Réciproquement, montrer que si D EUR @, il existe un unique P EUR 9 tel que D = (X-- DP. 6) Établir un résultat analogue caractérisant les polynômes de 9" de degré impair dans Rin. 7) Montrer que si 73 E N, alors il existe un unique P EUR R[X] tel que X"+%=P(X+%) Quel est le degré de P? Soit R un élément de R[X ] réciproque n'admettant ni 1 ni ---1 comme racine. 8) Montrer que R est réciproque de première espèce et de degré pair. En déduire qu'il existe P EUR R[X ] tel que pour tout x E R*, on ait l'équivalence R(x) : 0 «=> P(x + %) = 0. Y a--t--il unicité du polynôme P ? de deg(P)? B. Un problème de dénombrement Si i et j sont des entiers strictement positifs, on note Si,j (respectivement SQ_J.) l'ensemble des familles u = ( uk) kEUR{0,1,...,i} à valeurs dans N telles que u0 : 1 et uo+ u1+---+ui =j (respectivement u0=1 et uo+u1+---+ui sj). La notation f ] E désigne la restriction d'uneapplication f a une partie B de son ensemble de départ. 9) Vérifier que SM et 8; ]. sont des ensembles finis et montrer que l'applica- tion [ Si+Lj _" Si,] u *-- ul{0,1,...,i} est bien définie et bij ective. Dans toute la suite du problème, on note s...- et s; ]. les cardinaux respectifs de I Si,]' et Si,j' '. s' + s'. ! .. 10) Montrerque si z+l,j+l-- "H H...... -- . . , , . 'j+1 - sw+1 + si,]. et en dedu1re que 3 Si p, (7 E N, on note (';) le nombre de parties à c] éléments d'un ensemble à p éléments. Il) Prouver que s;. ]. : (i+ê--l) et en déduire la valeur de si,j. C. Polynôme caractéristique d'un produit de matrices Si n EUR N*, M ,, (R) désigne la R--algèbre des matrices carrées d'ordre n à coef- ficients réels, d'élément neutre I ,, pour la multiplication. On note GL,,(R) l'en-- semble des matrices inversibles de M,,(R). Si M EUR M,,(R), on note det(M) son déterminant et (I) M son polynôme caractéristique. Dans cette partie, on démontre que pour tous A, B dans M ,, (R), on a l'égalité AB = CDBA- 12) Établir le résultat lorsque A est inversible. 13) Conclure en considérant la suite (A -- %]") keN*. D. Etude spectrale de certaines matrices Soit 11 EUR N. On considère désormais les matrices S: (s,- ,),11512, ,,,... et S' : (s'.j),--je{12, _,,+1} }de Mn+1(R), où si j et s'. ]. ont été définis dans la partie B. 14) Montrer que S est diagonalisable. La diagonaliser pour n = O et 1, et cal- culer (DS pour n = O, 1 et 2. 15) Montrer que l'application #! : (R,,[XD2 _» R définie par la formule +00 w(P. Q) = [O P(t)Q(t)e"tdt est un produit scalaire. On suppose désormais R,, [X] muni de celui-ci. 16) Vérifier que la famille @ : (BO,B1,... .,Bn) définie par B,--= --, est une base de R,,[X] et évaluer 1//(B,-,B,-) pour i,j EUR {O, 1,...,n}. En déduire que S est définie positive. Que peut--on en conclure sur les rangs de 8 et de S' ? Pour i EUR {O, 1, . . . , n}, on note f,-- : R --> [R l'application définie par la formule fi (t) : le". La notation f (k) désigne la dérivée k-ième d'une fonction f : R ----> R. 17) Pour l' EUR {O, l,...,n} fixé, vérifier que pour tous j,lc EUR N, f;"(t) : 0(t'k) quand t --> +oo. Montrer que la formule suivante : (i)( f,- ..., Li(t)=(-- l)i i' e (tER) définit un polynôme L, EUR R[X] dont on déterminera les coefficients. 18) Montrer que $ : (L0, L1, . . . , Ln) est une base orthonormale de R,, [X]. (On pourra au préalable calculer w(Li, B j) pour j S i.) On considère l'endomorphisme r de Rn [X] défini par T(P) (X) : P(X --- 1). On note T sa matrice dans la base canonique (1,X,X2,...,X") et U = T'1 son inverse. 19) Expliciter T et U et les comparer àla matrice de passage de % à $. En déduire S en fonction de U, puis les valeurs de det(8) et det(S' ). On considère la matrice D : (di, j),-, je{1,2,.... ...... de Mn+1(R) définie par d___ (--1)i+1 sii=j; "'" 0 sii;£j. 20) Calculer (DU)2 et en déduire que S'1 est semblable à U U t , où U t désigne la transposée de U. 21) En conclure que CDS est un polynôme réciproque et préciser de quelle espèce. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 1 MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Nicolas Martin (ENS Lyon) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Le problème traite d'algèbre, avec beaucoup de questions faciles et des difficultés calculatoires. Il est peu progressif et l'enchaînement entre les différentes parties est plutôt faible. · La partie A porte sur les polynômes réciproques, notion qui a probablement été rencontrée en exercice en Sup. Elle porte d'ailleurs exclusivement sur le programme de première année et mis à part les deux dernières questions, elle est assez facile. · La partie suivante est du même genre : en terme de connaissances, le cours de Sup suffit largement. Vous pouvez utiliser ces deux parties pour réviser les notions de l'année précédente. · La partie C est quasiment une question de cours, vous la verrez en classe, souvent avec une méthode différente de celle de l'énoncé. Vous pouvez utiliser ces deux questions à la fin du chapitre sur la réduction des endomorphismes, ne serait-ce que pour vous convaincre qu'il faut absolument connaître ce grand classique pour les concours. · La partie D commence par deux questions similaires, mais cette fois sur l'algèbre euclidienne. Il y a ensuite quelques questions avec des difficultés essentiellement calculatoires et, vers la fin, on utilise des résultats un peu plus profonds du cours de Spé. C'est à utiliser après l'étude de la réduction des endomorphismes symétriques. Il y a bien à la fin un lien avec les deux premières parties, mais cela ne suffit pas à faire un beau problème déductif. Ce sujet est donc plutôt à utiliser comme illustration du cours pendant l'année que comme problème de révision. Indications Partie A 1 Poser P(X) = n P ak Xk et ne pas oublier de montrer la linéarité. k=0 2 P et un (P) sont deux polynômes : ils sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux. 3 Penser à la condition sur les coefficients d'une équation du second degré pour que 1 ou -1 soit « racine évidente ». Pour le cas des polynômes réciproques de deuxième espèce, distinguer ceux de degré pair et ceux de degré impair. 4 Vérifier que si P = QR, alors un (P) = un (Q) un (R) puis étudier les différents cas possibles. 5 Remarquer que X - 1 appartient à D puis appliquer la question précédente. Pour la réciproque, penser à factoriser à partir de la condition « 1 est racine ». 6 C'est la question précédente, mutatis mutandis (c'est-à-dire « en changeant ce qui doit être changé »). 7 Question difficile si on ne connaît pas le « truc » : 1 1 · pour l'existence, procéder par récurrence en calculant X + Xp + p X X · pour l'unicité, penser que deux polynômes qui sont égaux sur un sousensemble infini de R sont égaux. 8 Le début se déduit des questions précédentes. Faire ensuite un regroupement de termes symétriques en isolant le terme central et appliquer la question précédente. Partie B 9 La condition sur les sommes implique que chaque élément est inférieur ou égal à j. Vérifier le caractère « bien défini » se restreint ici à vérifier que l'ensemble d'arrivée est le bon. Montrer la bijectivité en séparant injectivité et surjectivité. 10 Écrire Si,j comme réunion de deux ensembles disjoints (et connus). Utiliser la question précédente : s'il existe une bijection entre deux ensembles finis, ils ont même cardinal. 11 Procéder par récurrence sur p = i + j et utiliser la propriété fondamentale des coefficients binomiaux (formule du triangle de Pascal). Partie C 13 Le spectre est fini. Pour une matrice non inversible A, on peut donc trouver un entier N tel que k > N entraîne que 1/k n'est pas valeur propre de A. On peut 1 alors appliquer la question précédente à la matrice A - In qui est inversible. k Partie D 14 Vérifier que la matrice S est symétrique réelle. 16 Utiliser le résultat classique « une famille de polynômes échelonnés en degrés est libre ». Pour le calcul de l'intégrale, procéder par intégrations par parties successives ou reconnaître la fonction d'Euler. Remarquer enfin que S est la matrice d'un produit scalaire. Pour la matrice S , montrer que l'on peut passer de S à S par des opérations élémentaires. (j) 17 Montrer par récurrence que fi (t) = Pj (t) e -t où Pj est un polynôme. Utiliser ensuite la formule de Leibniz de dérivation d'un produit de fonctions. 18 Procéder, encore une fois, par intégrations par parties pour calculer (Li , Bj ) et distinguer les cas où i = j et i < j. 19 Pour déterminer la matrice T, développer (X - 1)i par la formule du binôme de Newton. Pour déterminer U, commencer par chercher -1 (P). Utiliser ensuite la matrice d'un produit scalaire dans une base orthonormale et la formule de changement de base pour une forme bilinéaire symétrique. 20 Utiliser l'endomorphisme d de la matrice D dans la base canonique de Rn [X] et calculer (d -1 )2 . 21 Se servir des résultats des questions 13 et 19. A. Équations algébriques réciproques Notons dès à présent que, pour que l'on puisse garder le caractère d'« indéterminée » de X, il faut se placer sur l'espace vectoriel des fractions rationnelles, dont les polynômes sont un sous-espace vectoriel, et, pour vérifier le caractère « bien défini » des applications proposées, prendre conscience qu'après passage sur cet espace des fractions rationnelles, on retombe bien sur l'espace des polynômes. 1 Posons n N. Montrons dans un premier temps que l'application proposée est n n P P bien définie. Prenons P Rn [X] tel que P(X) = ak Xk . Alors P(1/X) = ak X-k k=0 est une fraction rationnelle correctement définie. Ainsi, n P 1 n un (P)(X) = X P ak Xn-k = X k=0 k=0 est bien un polynôme puisque n - k > 0 pour toutes les valeurs de k possibles. On en déduit que un (P) est bien un polynôme qui de plus est de degré inférieur ou égal à n. L'application un est bien définie. Montrons à présent que un est une symétrie, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une application linéaire qui vérifie un un = Id Rn [X] . Concernant la linéarité, 1 2 2 n (P, Q) Rn [X] (, µ) R un (P + µQ)(X) = X (P + µQ) X 1 1 = Xn P + µXn Q X X = un (P)(X) + µun (Q)(X) (P, Q) Rn [X]2 (, µ) R2 un (P + µQ)(X) = (un (P) + µun (Q))(X) Les polynômes un (P + µQ) et (un (P) + µun (Q)) sont égaux : un est bien une application linéaire. Concernant la composition, prenons P Rn [X]. On a n 1 1 1 un un (P) (X) = Xn un (P) = Xn P = P(X) X X 1/X ce qui signifie bien que un un (P) = P, c'est-à-dire un un = Id Rn [X] . L'application un est une symétrie de Rn [X]. 2 Soit P Rn [X]. Posons P(X) = n P k=0 n P ak Xk . On a vu à la question précédente que ak Xn-k = un (P) = k=0 n P an-k Xk k=0 Deux polynômes étant égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux, PP De même PD k [[ 0 ; n ]] ak = an-k k [[ 0 ; n ]] ak = -an-k