Mines Maths 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Critère de diagonalisation de Klarès
Principaux outils utilisés diagonalisation, matrices nilpotentes, formes bilinéaires symétriques
Mots clefs décomposition de Dunford, critère de Klarès, commutation, conjugaison, orthogonalité pour une forme bilinéaire symétrique, base antéduale

Corrigé

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A 2011 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Critère de diagonalisation de Klarès Soit n un entier naturel non nul et M n (C) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes. On note O n la matrice nulle et I n la matrice identité de M n (C). La trace d'une matrice U de M n (C) est notée tr(U ). On dit que deux matrices U et V de M n (C) commutent si UV = V U . Une matrice N de M n (C) est dite nilpotente s'il existe un entier k > 0 pour lequel N k = O n . Dans tout le problème, on considère une matrice A de M n (C) et on note f l'endomorphisme de Cn canoniquement associé, c'est-à-dire l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de Cn est A. Le polynôme caractéristique de A est noté P et les valeurs propres complexes distinctes de A sont notées 1 , 2 , . . . , r . Pour tout i {1, . . . , r } on note : · i l'ordre de multiplicité de la valeur propre i , c'est-à-dire l'ordre de multiplicité de la racine i du polynôme P ; · P i le polynôme défini par P i (X ) = (i - X )i ; ³¡ ¢ ´ · F i le sous-espace vectoriel de Cn défini par F i = Ker f - i IdCn i ; · f i l'endomorphisme de F i obtenu par restriction de f à F i . La partie B, à l'exception de la question 11), est indépendante de la partie A. La partie C est indépendante des parties précédentes. A. Décomposition de Dunford 1) Justifier que l'espace vectoriel Cn est somme directe des espaces F i : Cn = r M Fi . i =1 2) En considérant une base de Cn adaptée à la somme directe précédente, montrer que pour tout i {1, . . . , r }, le polynôme caractéristique de f i est P i . (On pourra d'abord établir que P i est un polynôme annulateur de f i .) 3) Montrer qu'il existe une matrice inversible P de M n (C) telle que A = P -1 AP soit une matrice définie par blocs de la forme suivante : 1 I 1 + N1 0 · · · · · · 0 .. .. .. .. . . 0 . . . . . A = . . . .. .. .. . . . 0 0 · · · · · · 0 r I r + Nr où Ni M i (C) est nilpotente pour tout i {1, . . . , r }. 2 4) En déduire que la matrice A s'écrit sous la forme A = D + N , où D est une matrice diagonalisable et N une matrice nilpotente de M n (C) qui commutent. Les matrices D et N vérifiant ces conditions constituent la décomposition de Dunford de la matrice A. Dans toute la suite du problème, on admettra l'unicité de cette décomposition, c'est-à-dire que D et N sont déterminées de façon unique par A. Un exemple pour n = 3 : 3 -1 1 0 1 . 5) Calculer la décomposition de Dunford de A = 2 1 -1 2 B. Commutation et conjugaison Pour toute matrice B et toute matrice inversible P de M n (C), on note commB et conjP les endomorphismes de M n (C) définis par : ( commB (X ) = B X - X B X M n (C), conjP (X ) = P X P -1 . Le but de cette partie est de démontrer que A est diagonalisable si et seulement si comm A est diagonalisable. 6) Soit P une matrice inversible de M n (C). Calculer conjP -1 comm A conjP . Pour tous i , j {1, . . . , n}, on note E i , j la matrice de M n (C) dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à l'intersection de la i -ème ligne et de la j -ème colonne qui est égal à 1. 7) Si A est une matrice diagonale, montrer que pour tous i , j {1, 2, . . . , n}, comm A admet E i , j comme vecteur propre. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de comm A . 8) En déduire que si A est diagonalisable, comm A l'est aussi. 9) Montrer que si A est nilpotente, comm A l'est également, c'est-à-dire qu'il existe un entier k > 0 pour lequel (comm A )k est l'endomorphisme nul de M n (C). 10) Montrer que si A est nilpotente, et si comm A est l'endomorphisme nul, alors A est la matrice nulle. D'après la partie A, l'endomorphisme comm A admet une décomposition de Dunford de la forme comm A = d + n, où les endomorphismes diagonalisable d et nilpotent n commutent : d n = nd . 11) Déterminer la décomposition de Dunford de comm A à l'aide de celle de A et conclure. 3 C. Formes bilinéaires sur un espace vectoriel complexe Soit p un entier > 0 et E un espace vectoriel de dimension p sur C. On note E le dual de E , c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur E . On considère une forme bilinéaire symétrique b sur C, c'est-à-dire une application b : E × E - C linéaire par rapport à chacune de ses deux composantes (et non sesquilinéaire par rapport à la deuxième) et telle que b(x, y) = b(y, x) pour tous x, y E . Si F est un sous-espace vectoriel de E , on appelle orthogonal de F relativement à b le sous-espace vectoriel de E défini par © ª F b = x E ; y F, b(x, y) = 0 . On suppose que b est non dégénérée, c'est-à-dire que E b = {0}. 12) Soit u un endomorphisme de E . Démontrer les implications suivantes : (i) u est diagonalisable = (ii) Ker u = Ker (u 2 ) = (iii) Ker u Im u = {0}. Soit F un sous-espace vectoriel de E , de dimension q, et soit (1 , 2 , . . . , q ) une base de F . Pour tout i {1, . . . , q}, on note i la forme linéaire sur E définie par i (x) = b(i , x). 13) Montrer que (1 , 2 , . . . , q ) est une famille libre de E . On complète cette famille libre en une base (1 , 2 , . . . , p ) de E et on note (e 1 , e 2 , . . . , e p ) la base de E antéduale (dont (1 , 2 , . . . , p ) est la base duale). 14) Montrer que F b est engendré par (e q+1 , e q+2 , . . . , e p ), et en déduire la valeur de dim F + dim(F b ). D. Critère de Klarès Le but de cette partie est de démontrer que ¢la matrice A est diagonalisable si ¡ et seulement si Ker (comm A ) = Ker (comm A )2 . 15) Montrer que l'application de M n (C) × M n (C) dans C, définie par la formule (X , Y ) = tr(X Y ) pour tous X , Y M n (C), est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée. ¡ ¢ 16) Établir l'égalité Ker (comm A ) = Im (comm A ). 17) En déduire que si A est nilpotente, il existe une matrice X de M n (C) telle que A = comm A (X ). Calculer alors comm A+I n (X ) pour tout C. Soit D et N les matrices de la décomposition de Dunford de A définies à la question 4). 18) Démontrer qu'il existe une matrice X de M n (C) telle que N = comm A (X ). 19) Conclure. F IN DU PROBLÈME 4

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 Mines Maths 1 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Didier Lesesvre (ENS Cachan) et Tristan Poullaouec (Professeur agrégé). Ce problème contient uniquement de l'algèbre, principalement linéaire. Il démarre très fort, en utilisant dès la première question des résultats profonds du programme : théorème de Cayley-Hamilton et théorème de décomposition des noyaux. · La partie I, relativement classique, établit l'existence d'une décomposition de toute matrice complexe en somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente. Cette décomposition est appelée décomposition de Dunford dans ce sujet, mais vous l'avez peut-être déjà croisée sous le nom de décomposition de Jordan. La partie se termine par un excellent exercice : il faut synthétiser les quatre premières questions pour en déduire la démarche de décomposition sur un cas pratique. · Dans la deuxième partie, on définit à partir d'une matrice A un endomorphisme de Mn (C), commA , et on montre que A est diagonalisable si et seulement si commA l'est aussi, donnant ainsi une première application intéressante de la décomposition de Dunford. · La troisième partie reprend des résultats très classiques, sous un angle assez original puisque l'on utilise une forme bilinéaire symétrique non dégénérée dans un espace vectoriel complexe. · La quatrième partie utilise les résultats précédents pour démontrer un critère peu connu (mais qui semble rester au niveau de la théorie) pour qu'une matrice soit diagonalisable. En résumé c'est un bon problème, l'équilibre entre les parties classiques et originales est correct, la progressivité assez moyenne. Il peut être traité dès la fin du chapitre sur la réduction des endomorphismes, l'intervention des formes bilinéaires symétriques complexes non dégénérées servant à revoir le programme de première année. Indications Partie A 1 Il faut appliquer plusieurs théorèmes relativement profonds du programme dès cette première question. Chercher un théorème qui donne une décomposition d'un espace vectoriel en somme directe. 2 Penser au renseignement sur le spectre de fi que donne le polynôme annulateur Pi . 3 Écrire fi = i Id Fi + (fi - i Id Fi ). 4 Penser à utiliser les produits par blocs en utilisant la matrice trouvée à la question précédente. 5 Les quatre premières questions indiquent la démarche à appliquer à l'exemple. Partie B 7 Calculer commA (Ei,j ) pour obtenir des réels appartenant au spectre. Observer la famille de vecteurs propres obtenue. 8 Chercher à construire une base de vecteurs propres de commA à partir d'une base de vecteurs propres de commD , D étant une matrice diagonale semblable à A. 9 Chercher une écriture de (commA )k (X) qui permette de déterminer un exposant k convenable. 10 Chercher les matrices A telles que commA soit l'endomorphisme nul, puis penser au spectre d'une matrice nilpotente. 11 Question de synthèse, relire le problème pour voir comment partir. L'idée est d'utiliser les résultats des questions 8 et 9 pour construire une décomposition de commA puis la question 10 pour conclure. Partie C 12 Utiliser une matrice diagonale de u. 14 Bien séparer les inclusions. Partie D 16 Montrer que Im (commA ) est contenu dans [Ker (commA )] puis utiliser le théorème du rang. 17 Penser que la relation AX = XA permet de calculer (AX)k . 18 Utiliser la matrice A introduite à la question 3. 19 Question de synthèse, utiliser, entre autres, les résultats des questions 11 et 12. A. Décomposition de Dunford 1 Comme tout polynôme est scindé sur C, le polynôme caractéristique P de f (et de A) a pour expression r P(X) = (i - X) i=1 i D'après le théorème de Cayley-Hamilton, l'endomorphisme P(f ) est égal à l'endomorphisme nul, ce qui entraîne que le noyau de P(f ) est égal à Cn . Pour i 6= j, les polynômes (i - X)i et (j - X)j sont premiers entre eux puisque i 6= j . Ainsi, d'après le théorème de décomposition des noyaux, r r r L L L Ker (P(f )) = Ker [(i Id Cn -f )i ] = Ker [(f - i Id Cn )i ] = Fi i=1 Par conséquent, i=1 Cn = r L i=1 Fi i=1 Rappelons que le fait que le polynôme caractéristique d'une matrice soit scindé ne signifie pas que celle-ci soit diagonalisable, sinon les quatre premières questions du problème deviendraient d'une simplicité remarquable. Dans le même ordre d'idée, les Fi ne sont pas les sous-espaces propres de f : la puissance i n'est pas là simplement pour faire joli. 2 Prenons i [[ 1 ; r ]]. Pour tout x appartenant à Fi , on a, par définition de Fi , (i Id Cn -f )i (x) = 0 On en déduit que (i Id Fi -fi )i donc Pi (fi ) est égal à l'endomorphisme nul de Fi . Le polynôme Pi est de ce fait un polynôme annulateur de fi . Toute valeur propre d'un endomorphisme est racine de tout polynôme annulateur, donc i est la seule racine du polynôme caractéristique de fi qui est par conséquent de la forme (i -X)i où i = dim(Fi ). Le nombre complexe i n'est donc pas racine des polynômes caractéristiques des endomorphismes fj avec j 6= i. LaLmatrice de f dans une base adaptée à la r décomposition en somme directe Cn = i=1 Fi est une matrice diagonale par blocs Diag(A1 , . . . , Ar ). Le polynôme caractéristique de f est le produit des polynômes caractéristiques des matrices Ai , donc des endomorphismes fi . Ainsi, r P(X) = (i - X) i=1 i On déduit de l'unicité de la décomposition d'un polynôme en produit d'irréductibles de C[X] que i = i pour tout i [[ 1 ; r ]]. Par conséquent, Le polynôme caractéristique de fi est Pi . 3 Prenons i [[ 1 ; r ]]. Remarquons que fi -i Id Fi est un endomorphisme nilpotent de Fi (puisque (fi - i Id Fi )i est l'endomorphisme nul de Fi ) et que la restriction fi de f à l'espace vectoriel Fi peut s'écrire fi = i Id Fi + (fi - i Id Fi ) Plaçons-nous dans une base B = (B1 , B2 , . . . , Br ) adaptée à la décomposition de Cn en somme directe des Fj , c'est-à-dire que Bi est une base de Fi . D'après la question précédente, dim(Fi ) = i . La matrice de fi dans la base Bi est ainsi de la forme i Ii + Ni où Ni est la matrice de l'endomorphisme nilpotent fi - i Id Fi et donc une matrice elle-même nilpotente. En désignant par P la matrice de passage de la base canonique de Cn à la base B, on a A = P-1 AP avec A la matrice de f dans la base B qui est bien de la forme 1 I1 + N1 0 · · · 0 .. .. . . .. 0 . A = .. . . . . . . . 0 0 · · · 0 r Ir + Nr 4 Soient D et N les deux matrices suivantes écrites sous forme de blocs diagonaux D = Diag(1 I1 , . . . , r Ir ) et N = Diag(N1 , . . . , Nr ) On a A = D + N avec D diagonale. Chaque matrice Ni est nilpotente donc i [[ 1 ; r ]] ki N Ni ki = Oi Posons k = max(k1 , . . . , kr ). En faisant les produits par blocs, on obtient Nk = Diag(N1 k , . . . , Nr k ) = On donc la matrice N est nilpotente. De plus, comme les matrices Di = i Ii sont des matrices scalaires, elles commutent avec toutes les matrices. En particulier, i [[ 1 ; r ]] Di Ni = Ni Di On en déduit en faisant un produit par blocs que D et N commutent : D N = N D . Il ne reste qu'à calculer A = PA P-1 = P(D + N )P-1 = PD P-1 + PN P-1 En posant D = PD P-1 et N = PN P-1 , on a toutes les contraintes attendues : · D est diagonalisable car semblable à une matrice diagonale. · N est nilpotente puisque Nk = PNk P-1 = On car Nk = On . · N et D commutent puisque ND = PN P-1 PD P-1 = PN D P-1 = PD N P-1 = PD P-1 PN P-1 = DN On a bien A = D + N avec D diagonalisable et N nilpotente qui commutent. 5 On va adapter à ce cas particulier la démarche utilisée dans les quatre questions précédentes pour tomber sur la décomposition de Dunford de la matrice A proposée. Commençons par déterminer son polynôme caractéristique : det(A - x I3 ) = 3 - x -1 1 2 -x 1 1 -1 2 - x 2 - x -1 1 = 2 - x -x 1 0 -1 2 - x 1 -1 1 1 = (2 - x) 1 -x 0 -1 2 - x (C1 C1 + C2 ) (forme multilinéaire) 1 -1 1 0 = (2 - x) 0 -x + 1 0 -1 2-x det(A - x I3 ) = (2 - x)2 (1 - x) (L2 L2 - L1 ) (développement 1re colonne)