A 2009 MATH. I MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP,
Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Problème des moments
On note E l'ensemble des fonctions f continues, définies sur R, à valeurs
positives ou nulles, et vérifiant l'équation
Z
f (x)d x = 1.
R
Lorsqu'elle existe, la fonction caractéristique de f E est la fonction f : R
C
définie par la formule
Z
f (t ) =
e i t x f (x)d x.
R
Lorsque pour un entier k Ê 0, la fonction x 7 |x|k f (x) est intégrable sur R,
on
appelle moment d'ordre k de f la quantité
Z
a k ( f ) = x k f (x)d x.
R
Si, pour tout entier k Ê 0, la fonction x 7 |x|k f (x) est intégrable sur R, on
dit
que f admet des moments de tous ordres.
On admettra que pour tout C,
Z
p
¡ 2 ¢
¡
x2 ¢
d x = 2 exp
.
exp x -
2
2
R
A. Questions préliminaires.
Les résultats de ces questions, indépendantes les unes des autres, pourront être
utilisés dans la suite du problème.
1) Soit f E . On suppose, dans cette question, que f admet des moments
de tous ordres.
Montrer l'existence de f et de ses dérivées successives que l'on exprimera à
l'aide de f .
2) Montrer que pour tout réel x et tout entier n Ê 1,
¯
¯
¯
m¯
n
n-1
¯ i x X (i x) ¯ |x|
·
¯e -
¯É
¯
¯
n!
m=0 m!
3) Soit a, b R tels que a < b. Montrer que la fonction h a,b définie sur R par ( -i t a e - e -i t b si t 6= 0 h a,b (t ) = it b-a si t = 0 est continue sur R. 2 4) Montrer que pour tout réel t , |h a,b (t )| É b - a. 5) Montrer que pour tout entier k Ê 0, e k Ê kk · k! B. La fonction f caractérise f On considère la fonction R définie pour tout (, T ) R × R+ par la formule ZT sin(t ) dt R(, T ) = t -T et la fonction S définie pour tout T R par la formule ZT sin x S(T ) = d x. x 0 On admet que limT + S(T ) = . 2 6) Exprimer R(, T ) à l'aide de S. 7) Soit x, y R. Calculer la limite de R(x, T ) - R(y, T ) quand T + (on discutera de cette limite en fonction des signes de x et y). 8) Soit a, b R tels que a < b. Montrer que Zb Z 1 T h a,b (t ) f (t )d t = f (t )d t . lim T + 2 -T a 9) En déduire qu'étant donné deux fonctions f et g de E , si f = g , alors f = g. C. La suite a k ( f ) ne caractérise pas toujours f On définit la fonction f 0 par ¡ (ln x)2 ¢ 1 exp - 2 p x 2 f 0 (x) = 0 pour x > 0,
pour x É 0.
10) Montrer que f 0 E .
11) Montrer que f 0 admet des moments de tous ordres et calculer a k ( f 0 )
pour
tout k N.
On introduit, pour a [-1, 1], la fonction f a définie sur R par la formule
f a (x) = f 0 (x) · (1 + a sin(2 ln x)).
12) Montrer que f a E , et que a k ( f 0 ) = a k ( f a ) pour tout k N.
3
D. Une condition sur la suite a k ( f )
Dans cette partie, f est une fonction de E qui admet des moments de tous
ordres, et vérifie en outre la condition (U) suivante :
1
a 2k ( f ) 2k
(U)
Il existe M > 0 tel que pour tout entier k > 0, 0 É
É M.
2k
Z
On pose b k ( f ) = |x|k f (x)d x pour tout entier k > 0.
R
13) Montrer que, pour tout entier k Ê 0, on a l'inégalité
¢2
¡
b 2k+1 ( f ) É a 2k ( f ) · a 2k+2 ( f ).
1
bk ( f ) k
14) En déduire que la suite de terme général
est majorée par 2M .
k
15) Montrer que pour tous x et h réels, et pour tout entier n Ê 1,
¯
¯
¯
¯ |h|n
m
n-1
X
h
¯
¯
(m)
b n ( f ).
(x)
¯ f (x + h) -
¯É
f
¯
¯
m!
n!
m=0
16) Montrer que, pour un certain A > 0 que l'on exprimera en fonction de M ,
on a l'égalité
hm
X
f (x + h) =
(m)
(x)
f
m!
m=0
pour tout réel x et pour tout h tel que |h| < A. 17) En déduire que si est un entier > 0 et g une fonction de E admettant des
moments de tous ordres tels que a k ( f ) = a k (g ) pour tout k N, alors
f (x) = g (x)
, A
] (on pourra procéder par récurrence).
pour tout x [- A
2
2
18) Conclure.
E. Application
19) Résoudre en f E le système d'équations suivant :
(
a 2k ( f ) = (2k - 1)a 2k-2 ( f )
a 2k-1 ( f ) = 0
pour tout entier k Ê 1. (On pourra utiliser la fonction caractéristique de f .)
F IN DU PROBLÈME
4
