Mines Maths 1 MP 2008

Thème de l'épreuve Inégalité d'Alexandrov
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, topologie, déterminants, formes quadratiques
Mots clefs permanents, inégalité d'Alexandrov, espaces de Lorentz

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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A 2008 MATH. I MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP,
Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Inégalité d'Alexandrov
Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal à 1. On note Sn le groupe 
des
permutations de In = {1, · · · , n}.
On note Mn, p (R) l'espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes, à 
coefficients
réels. Pour une matrice M  Mn, n (R) de coefficients mij , on notera mj le 
j-ème vecteur
colonne de M , celui dont les composantes sont (mij , i = 1, · · · , n). On 
écrira ainsi
M = (m1 , · · · , mn ).
On remarquera que mij est indifféremment le coefficient en ligne i et colonne j 
de
M ainsi que la i-ième composante de mj . On identifiera une matrice colonne m 
et le
vecteur de Rn dont les composantes dans la base canonique de Rn sont les 
coefficients
de m. On note k k la norme euclidienne de Rn et x.y représente le produit 
scalaire
euclidien de deux vecteurs de Rn . On note S la sphère unité de Rn , 
c'est-à-dire
S = {x / kxk = 1}.
Pour une matrice M  Mn, n (R), pour i et j éléments de {1, · · · , n}, on note 
M (i|j)
la matrice obtenue en supprimant de M la i-ème ligne et la j-ième colonne. Pour 
un
vecteur colonne m, m(j) représente le vecteur colonne m duquel on a ôté la 
j-ième
composante.
Soit Q une matrice symétrique réelle de Mn,n (R). On note BQ la forme bilinéaire
associée : pour tout x et y de Rn ,
BQ (x, y) = Qx.y,
et on note Q la forme quadratique associée : Q (x) = BQ (x, x).
Définition 1. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn , on dira que Q est définie 
positive
(respectivement positive, respectivement définie négative) sur V lorsque
Q (x) > 0 pour tout x appartenant à V  S
(respectivement Q (x) > 0, respectivement Q (x) < 0). On notera V+ (respectivement - V+ 0 , respectivement V ) l'ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquels Q est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative). On pose r(Q ) = max+ (dim V ) et s(Q ) = max- (dim V ), V V V V avec la convention que maxV  dim V = 0. 2 I Permanents Définition 2. Pour M = (m1 , . . . , mn )  Mn, n (R), on définit son permanent, noté per, par per : n Mn, 1 (R) - R 7 (m1 , . . . , mn ) - X m1(1) m2(2) . . . mn(n) . Sn On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, c'est-à-dire invariante par permutation des vecteurs. 1. Établir pour tous m1 , m2 , · · · , mn éléments de Mn, 1 (R), l'inégalité | per(m1 , · · · , mn )| 6 n! n Y kmj k. j=1 n 2. Pour (m1 , · · · , mn ) et (r1 , r2 · · · , rn ) éléments de Mn, 1 (R) suivante : , établir l'inégalité | per(m1 , · · · , mn ) - per(r1 , · · · , rn )| 6 n! n X km1 k . . . kmj-1 k kmj - rj k krj+1 k . . . krn k, j=1 où l'on convient que km1 k . . . kmj-1 k = 1 pour j = 1 et krj+1 k . . . krn k = 1 pour j = n. 3. Montrer la propriété suivante : pour tout j  In , per M = n X i=1 II mij per M (i|j) . (1) Formes quadratiques Dans toute cette partie, Q est une matrice symétrique réelle inversible. On note sp(Q) = (1 , · · · , n ) la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, n+ (Q) le nombre de termes strictement positifs dans sp(Q) et n- (Q) le nombre de termes strictement négatifs dans sp(Q). 3 - 4. Soit H  V+ 0 et G  V , montrer que H et G sont en somme directe et que r(Q ) + s(Q ) 6 n. 5. Montrer que r(Q ) > n+ (Q).
On a alors de même s(Q ) > n- (Q).
6. Montrer que r(Q ) = n+ (Q) et que s(Q ) = n- (Q).
Soit R une autre matrice symétrique réelle inversible de taille n telle qu'il 
existe
une constante  satisfaisant la propriété suivante : pour tout x et y de Rn ,
|BQ (x, y) - BR (x, y)| 6 kxk kyk.
7. Montrer qu'il existe  > 0 tel que r(Q ) = r(R ) si  6 .

III

Espaces de Lorentz

Définition 3. Soit Q  Mn,n (R), une matrice symétrique et Q la forme quadratique
associée. On dit que (Rn , Q) est un espace de Lorentz lorsque les propriétés 
suivantes
sont vérifiées :
i) Q est inversible,
ii) r(Q ) = 1 et s(Q ) = n - 1.
On suppose dans cette partie que Q  Mn,n (R) est telle que (Rn , Q) soit un 
espace
de Lorentz. Soit a un vecteur tel que Q (a) > 0 et b  Rn . Soit l'application  
définie
par
 : R - R
-
7  Q (b + a).
8. On suppose, dans cette question, que a et b sont linéairement indépendants.
Montrer qu'il existe au moins une valeur de  telle que
() < 0. 9. Établir la propriété : BQ (a, b)2 > Q (a)Q (b),
avec égalité si et seulement si a et b sont colinéaires.
On pourra s'inspirer de la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
4

(2)

IV

Inégalité d'Alexandrov

On veut maintenant établir le théorème suivant. On note (e1 , · · · , en ) la 
base
canonique de Rn .
Théorème 1. Soit n un entier supérieur à 2. Soit m1 , · · · , mn des éléments 
de Rn à
composantes strictement positives. Soit Q la matrice symétrique dont les 
coefficients
sont définis par
qij = per(m1 , m2 , · · · , mn-2 , ei , ej ), i  In , j  In
Soit BQ et Q les formes bilinéaires et quadratiques associées à Q 
respectivement.
L'espace (Rn , Q) est un espace de Lorentz.
10. Calculer r(Q ) et s(Q ) pour n = 2, c'est-à-dire pour
0 1
Q=
.
1 0
!

On suppose le théorème 1 établi pour tout k 6 n - 1.
11. Établir pour tout j de In l'inégalité :

2

per(m1 , · · · , mn-3 , mn-2 , c, ej )

> per(m1 , · · · , mn-3 , mn-2 , mn-2 , ej )
× per(m1 , · · · , mn-3 , c, c, ej ), (3)

avec égalité si et seulement si c(j) et mn-2 (j) sont colinéaires.
Dans les questions 12 et 13, c est un élément de Rn tel que Qc = 0.
12. Établir l'identité :
0 = Qc.c =

n
X

mj,n-2 per(m1 , · · · , mn-3 , c, c, ej )

j=1

13. Montrer que pour tout j  In ,
per(m1 , · · · , mn-2 , c, ej ) = 0 et per(m1 , · · · , mn-2 , mn-2 , ej ) > 0.
5

14. En déduire Qc = 0 si et seulement si c = 0.
Soit e =

Pn

i=1 ei ,

pour tout  appartenant à [0, 1], on pose

B (x, y) = per(m1 + (1 - )e, · · · , mn-2 + (1 - )e, x, y).
On note Q et  la matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme
bilinéaire symétrique B .
15. Expliciter Q0 . Montrer que ses valeurs propres sont (n - 1)! et -(n - 2)! 
et que
r(Q0 ) = 1 ainsi que s(Q0 ) = n - 1.
16. Soit  et  deux éléments distincts de [0, 1]. Montrer que, pour tout x et 
tout y
de Rn ,
|B (x, y) - B (x, y)| 6 n n!| -  | kxkkyk

n-2
Y
j=1

(kmj k +

n).

17. Établir que r(Q1 ) = 1 et s(Q1 ) = n - 1.
On pourra raisonner par l'absurde et considérer  = sup[0,1] { / r(Q ) = 1}.
18. Établir l'inégalité d'Alexandrov qui stipule que pour m1 , · · · , mn-1 
vecteurs de
Rn à coordonnées strictement positives et b vecteur quelconque de Rn ,

2

per(m1 , · · · , mn-1 , b)

> per(m1 , · · · , mn-1 , mn-1 ) per(m1 , · · · , b, b).

Fin du problème

6