Mines Maths 1 MP 2006

Thème de l'épreuve Théorème de Perron-Frobenius
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, compacité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2006 MATH. 1 MP ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : . , ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Pour K = R ou C, on note M...;(K) l'ensemble des matrices à n lignes et 1 colonnes à coefficients dans K. Un élément de M...;(R) sera considéré comme élément de Mn,1(C). Dans la suite, on identifie les matrices carrées (respectivement les matrices colonnes) et les endomorphismes (respective-- ment les vecteurs) canoniquement associés dans C'": par exemple, on note par la même lettre une matrice T de Mn,n(R) et l'endomorphisme de C" dont T est la matrice dans la base canonique de C". Si ,M EUR M...(K) et a: EUR K, (M :::)2 désigne la i--ième composante du vecteur M :1: E K". On note 1" la matrice identité de Mn,n(C). Pour 33 = (331, ,:cn) E K", on note HOEH1 -- Z |OEz'l et I|Mll1-- ---- Sup oeEURK"\{O} ||î'îll1 pour M EUR Mn,n(K ), la norme matricielle subordonnée. Définition 1 On dit qu'une matrice M EUR M...;(R),de coefiîcients notés (mi--351 S i S n, 1 5 j 5 l), est positive (respectivement strictement po-' sitive}, ce que l'on note M 2 0 (respectivement M > 0}, lorsque tous ses ' coeflicients sont positifs (respectivement strictement positifs ) : mij Z 0 (resp. mij > O)pourtout(i,j) EUR{1,--- ,n} >< {1,---- ,l}. Pour deus: matrices M et N de M...;(R), M 2 N (respectivement M > N ) lorsque M ---- N 2 O (reSpectivemerit M ---- N > O).' Une matrice M EUR M,...(R) de coefilcients notés (ml--351 £ i,j S n) est dite stochastique lorsqu'elle est positive et que de plus ZmÜ = 1, pour toutj E {l, ,n}., On définit les ensembles B, B+ et E par: B ={oeEURR"/æ20etæ#0}, +={oeER"/OE>O}, 2 = {CE E R" /llell1 = 1}- Nous souhaitons montrer le résultat suivant : Théorème 1 (Perron--Frobenius) Soit T E Mn,n(R) stochastique telle que (ln +T)""1 > 0. Il eæiste un vecteur strictement positif 5130 satisfaisant Ta:0 : (130. Toutes les valeurs propres de T sont de module inférieur à 1 et pour tout vecteur y de 2 0 B, 1 -- 230 -- ] : k--l--i>Ëbok ZT y I 10) 11) Les deux parties sont dans une large mesure indépendantes. Un vecteur propre strictement positif on suppose que T est un élément positif de M,...(R) tel que P = (L,, +T)""1 est strictement positive. Montrer que pour tout 513 EUR B, l'ensemble I'OE : {9 EUR R+ / 9513 _<_ T:c} est non vide, fermé et borné. On note 9(oe) son plus grand élément. Montrer que pour tout a: EUR B, on peut calculer 9(æ) de la manière sui-- vante: 9(oe)=min{ 0 et tout 513 EUR B, 9(ozoe) : 9(a:). Montrer que P(B) C E'". Montrer que pour tout 513 EUR B, 9(Pæ) Z 9(æ) et 9(Pæ) > 0. Soit 11: EUR B un vecteur propre de T. Montrer que 9(Pa:) : 9(æ). Soit :L' EUR B tel que 9(Pa:) : 9(a:), montrer que a: est un vecteur propre de T pour la valeur propre 9(æ). Soit G = B D 2. Montrer que l'application 9 est continue de P(C) dans R. Justifier l'existence de 330 EUR P(C) tel que 9(oe0) : sup 9(33). OEEURP(C) Montrer que sup 9(æ) Z sup 9(a:) æEURP(C) xEURC Montrer que sup 9(æ) : sup 9(oe). _OEEURB æEURC 12) Montrer que sup 9(a:) : sup 9(æ) et que 9(æ0) : sup 9(:c) OEEC ,æEURP(C) æEURC On pose (% : 9(æ0). 13) Montrer que 330 est un vecteur propre, strictement positif, de T pour la valeur pr0pre 90 et que 90 > 0. II Une méthode d'approximatîon On suppose maintenant que T est stochastique et telle que P = (I" +T)"'1 est strictement positive. Pour un vecteur a: = (561, ---- ,:b,,) de (C", on note æ+ le vecteur (loell, --- , |xnl), où |z| est le module du complexe 2. Pour tout entier k _>_ 1, on pose 14) Soit 9 E C et a: E C" un vecteur propre deT pour la valeur propre 9. Montrer que |Hloe+ S Taï". 15)" En déduire que 19] £ 90. 16) Montrer que |9| ||æ+||1 S |læ+||1 et en déduire que |9| S 1. 17) En déduire 90 = 1. 18) Montrer que pour tout j 2 1, Tj et R, sont des matrices stochastiques. 19) Établir, pour tout k: 2 1, les inégalités suivantes: ...... s 1 et "murs 1. . 20) Montrer que pour tout k 2 1, ||TRk ---- R,,Hl < 2 k. 21) Soit &: E C", montrer que la suite (Rkæ, k 2 1) a au moins une valeur d'adhérence. 22) 23) 24) 25) _ 26) 27) 28) 29) Soit y une valeur d'adhérence de la suite (ka, k 2 1), montrer que Ty : y et que pour tout k 2 1, Rky : y. Soit y et 2 deux valeurs d'adhérence de (Rkæ, k _>_ 1), montrer pour tous les entiers ... et l, l'identité suivante: y -- z : R;(R...æ ---- z) -- R...(R;æ -- y). Montrer que la suite (Run, k 2 1) a exactement une valeur d'adhérence. Montrer qu'il existe une matrice R telle que Ra: : klim Rka: pour tout ---+ 00 a: E C" et klim ||R;ç -- R||1 : 0. Montrer que T et R commutent. Montrer que RT : R et R2 = R. Caractériser R en fonction de Ker(T -- In) et Im(T --- In). On admet que Ker(T --- I,...) est de dimension 1. Pour 33 E B, expliciter R3: en fonction de "su..., ||oe0||1 et 230. FIN DU PROBLÈME Ce théorème possède d 'innombrabIes applications. L'une des dernières est son utilisation dans le classement (PageRank) des pages Web effectué par le plus connu des moteurs de recherche. -

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 Mines Maths 1 MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a été relu par Roger Mansuy (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce sujet a pour objectif de démontrer une version du théorème de PerronFrobenius, qui est un résultat important d'algèbre. De nombreux problèmes peuvent être modélisés et exprimés par une relation faisant intervenir une matrice, notons-la T, par exemple en théorie des graphes, en probabilités (chaînes de Markov), dans les systèmes dynamiques discrets, dans l'étude des suites récurrentes, etc. Sous certaines conditions, le comportement asymptotique est essentiellement contrôlé par le module de la plus grande valeur propre de T. L'enjeu du théorème de Perron-Frobenius est de donner une condition suffisante pour qu'une matrice admette une valeur propre positive supérieure aux modules de toutes les autres valeurs propres. En outre, cette valeur propre est alors de multiplicité 1 et il existe un vecteur propre associé dont les coefficients sont tous strictement positifs. Ce résultat admet de très nombreuses applications pratiques. L'énoncé se place résolument dans un cadre probabiliste (sans demander un quelconque raisonnement de probabilités) en introduisant des matrices, dites stochastiques, dont chaque coefficient est compris entre 0 et 1, et dont la somme sur une colonne vaut 1 : ces nombres s'interprètent naturellement comme des probabilités. Pour ces matrices, l'hypothèse classique du théorème est que T soit irréductible, c'est-à-dire qu'elle ne soit pas semblable, via une matrice de permutation, à une matrice triangulaire par blocs (cette propriété a une interprétation naturelle dans les chaînes de Markov). Cette condition est équivalente à ce que tous les coefficients de (In + T)n-1 soient strictement positifs, et c'est la formulation retenue par l'énoncé. L'épreuve se compose de deux parties : · Dans la première partie, on démontre l'existence d'un vecteur propre x0 de T, pour une certaine valeur propre 0 > 0 qui majore le module des autres valeurs propres de T, et dont toutes les composantes sont strictement positives. Tout en se familiarisant avec les notations introduites par l'énoncé, on est amené à utiliser des propriétés de compacité dans l'espace normé Rn et à manipuler des bornes supérieures de parties de R. · Dans la seconde partie, on établit les autres propriétés annoncées dans le théorème de Perron-Frobenius, cité dès les préliminaires. On introduit des suites de matrices stochastiques convergentes de sorte que la matrice limite (elle aussi stochastique) ait les propriétés souhaitées pour conclure ; on admet toutefois que dim Ker (T - In ) = 1. Ces deux parties sont largement indépendantes : il suffit en effet d'admettre le résultat principal de la première partie (donné à la question 13) pour pouvoir traiter la seconde dans son intégralité. Le sujet peut par ailleurs paraître un peu long pour une épreuve de trois heures. Indications Partie I I.3 Utiliser le résultat de la question précédente. I.4 Utiliser le fait que P est strictement positive et qu'un vecteur de B est toujours non nul. I.5 Utiliser le fait que P et T commutent pour montrer successivement que x Px , puis que, si x B, alors Tx B. I.6 Utiliser la question 3. I.7 Raisonner par l'absurde en supposant que Tx - (x)x 6= 0. I.8 Remarquer que C B et utiliser le résultat de la question 4. I.9 Dans un premier temps, montrer que P(C) est compacte. I.10 Utiliser le résultat de la question 5. I.11 Utiliser le résultat de la question 3. I.12 Utiliser les questions précédentes. I.13 Montrer que 0 = (Px0 ) et faire la synthèse des résultats précédents. Partie II II.14 T étant stochastique, elle est positive. II.15 Utiliser la question précédente et le fait qu'un vecteur propre est, par définition, non nul. II.16 Utiliser le fait que T est positive, puis le fait qu'elle est stochastique. II.17 Justifier que 1 est valeur propre de T et utiliser le résultat de la question 13. t II.18 Notons e = (1, . . . , 1) Rn . Vérifier qu'une matrice S de Mn,n (R) est stot chastique si et seulement si elle est positive et S e = e. Utiliser ensuite cette caractérisation. II.19 Utiliser le fait que la norme k · k1 est une norme matricielle subordonnée à une norme sur Rn . II.20 Utiliser la définition de Rk . II.21 Montrer que la suite (Rk x)k>1 est bornée dans (Rn , k · k1 ). II.22 Utiliser le résultat de la question 20. II.23 Utiliser le fait que Rm et Rl sont des polynômes en T. II.24 Raisonner par l'absurde en supposant que la suite (Rk x)k>1 admet au moins deux valeurs d'adhérence distinctes et utiliser la question précédente. Utiliser la question 21 pour conclure. II.25 À l'aide de la question précédente, justifier que la suite (Rk x)k>1 converge. II.26 Constater que T commute avec Rk et effectuer un passage à la limite. II.27 Utiliser le résultat de la question 20 et deux passages à la limite. II.28 Montrer que Ker (T - In ) = Im R et que Im (T - In ) = Ker R à l'aide de la question précédente et du théorème du rang. II.29 Utiliser l'énoncé du théorème de Perron-Frobenius donné par l'énoncé pour conjecturer l'expression de Rx. I. Un vecteur propre strictement positif 1 Avant de commencer ce corrigé, nous attirons l'attention du lecteur sur le fait que si les matrices stochastiques, qui interviennent naturellement en théorie des probabilités, sont « positives » au sens donné par l'énoncé, la notion de positivité qui est utilisée pour les définir n'a que peu de rapport avec celle des matrices symétriques « positives » qui figurent au programme de mathématiques des classes de MP. Soit x un élément de B. Montrons que x est un ensemble non vide car il contient 0. Puisque T est une matrice positive de Mn,n (R), il vient que, pour tout i {1, . . . , n}, n P le réel (Tx)i = tij xj est positif en tant que somme de produits de réels positifs. j=1 On a donc i {1, . . . , n} (0x)i = 0 6 (Tx)i Ceci s'écrit encore 0x 6 Tx. On en déduit que 0 x . Montrons maintenant que x est borné. Puisque x B, on a x 6= 0. On en déduit qu'il existe i {1, . . . , n} tel que xi > 0. Ainsi, pour tout x , on a xi 6 (Tx)i . Ceci prouve que x est borné par (Tx)i /xi . Enfin, on montre que x est fermé. Si (m )mN est une suite d'éléments de x convergeant vers R, alors i {1, . . . , n} m N (m xi ) 6 (Tx)i On en déduit, en passant à la limite quand m tend vers l'infini dans cette inégalité, que, pour tout i {1, . . . , n}, xi 6 (Tx)i . Cette dernière inégalité valant pour tout i, on en déduit que x 6 Tx. Puisqu'en outre R+ comme limite de réels positifs, on a finalement x . On a donc montré que x est une partie non vide, fermée et bornée de R. En fait, x est une partie non vide fermée et bornée bien particulière de R. En effet, c'est un segment, comme le lecteur pourra aisément le montrer en adaptant la réponse à la question suivante : x = [ 0 ; (x) ]. 2 D'après la question précédente, x est une partie non vide et majorée de R ; elle admet donc une borne supérieure. x étant en outre fermée dans R, on en déduit que sa borne supérieure est aussi son plus grand élément. Ceci justifie la définition de (x). Notons (Tx)i . Mx = min 1 6 i 6 n et xi 6= 0 xi Si x , alors pour tout i {1, . . . , n} tel que xi 6= 0, on a xi 6 (Tx)i , et donc 6 (Tx)i /xi . On en déduit que 6 Mx . Puisque (x) x , on a en particulier (x) 6 Mx En outre, si x est tel que < Mx , alors on peut choisir > 0 tel que + 6 Mx . On a alors pour tout i {1, . . . , n} tel que xi 6= 0, ( + )xi 6 Mx xi 6 (Tx)i xi = (Tx)i xi De plus, pour i {1, . . . , n} tel que xi = 0, on a trivialement 0 = ( + )xi 6 (Tx)i . On en déduit + x . On a donc montré qu'aucun élément de x strictement inférieur à Mx n'est un majorant de x . Or (x) est le plus grand élément de x . On en déduit Mx 6 (x). Finalement, on a montré que (Tx)i . (x) = min 1 6 i 6 n et xi 6= 0 xi 3 Soient x B et > 0. Pour tout i {1, . . . , n}, on a l'équivalence (x)i 6= 0 xi 6= 0 et l'identité (T(x))i = (Tx)i (T(x))i (Tx)i (Tx)i = = . On en déduit que (x)i xi xi (Tx)i . (T(x))i . 1 6 i 6 n et xi 6= 0 = 1 6 i 6 n et (x)i = 6 0 xi (x)i Ainsi, si xi 6= 0, alors et donc, avec la question précédente (x) = (x) 4 Soit x B. Il existe j0 {1, . . . , n} tel que xj0 > 0. Alors, puisque P est strictement positive, on a, pour tout i {1, . . . , n}, (Px)i = n P pij xj > pij0 xj0 > 0 j=1 On en déduit que Px B+ . Donc P(B) B+ 5 Remarquons que, si x et y sont des vecteurs de Rn tels que 0 6 x 6 y et si M Mn,n (R) est positive, alors Mx 6 My. En effet, pour tout i {1, . . . , n}, on a (Mx)i = n P mij xj 6 j=1 n P mij yj = (My)i j=1 Soient maintenant x B et x . Par définition de x , on a 0 6 x 6 Tx. La matrice P étant positive, on déduit de la remarque ci-dessus que P(x) 6 PTx. En outre, puisque la matrice P = (In + T)n-1 est un polynôme en T, elle commute avec T. On a donc Px 6 TPx et par conséquent Px . Finalement, on a montré que pour tout x B, x Px . On en déduit x B (x) 6 (Px)