Mines Maths 1 MP 2004

Thème de l'épreuve Calcul d'une intégrale
Principaux outils utilisés intégration, séries numériques, séries de fonctions, séries de Fourier, intégrales à paramètres

Corrigé

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ÉCOLE NATIÇNALE DES PONTS ET CHAUSSÊES. ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, ' DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAHÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÊTOENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCDMMUNIÇATIDNS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2004 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentiomger de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 1--Filière MP. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'objet de ce problème est principalement l'étude et le calcul de l'intégrale suivante : I= oeÆ--------°'""' dt. 0 e"--1 Première partie Le but de cette partie est d'établir une expression de l'intégrale I et d'étudier la fonction (p définie par la relation suivante : _êLC_OEQL 'P(0-- et,_l- Variations de la fonction 

O). Etant donné un réel X supérieur ou égal à a (X 2 a), soient S(X) et C(X) les deux intégrales suivantes : X ° X sm:[üâ'-ÿ-£w ; C(X)=L£%$-£dr. 7. Existe-t--il une limite à chacune des expressions S(X) et C(X), lorsque le réel X croît vers l'm' fini '? Soient g et h les deux fonctions définies sur la demi--droite ouverte D par les relations suivantes : oo - _ X ° 00 X g(x) =L %'31--dt =}im [ Â%'--'-dt ; h(x)=L --°--%--S--Ldt=ÿm [ -'°%ë£da Une expression de la fonction f : 8. Résoudre l'équation difi'érenfielle vérifiée par la fonction f dans la demi--droite ouverte D = ]0, oo[ ; exprimer la solution générale de cette équation à l'aide des deux fonctions g et h. 9. En déduire les deux expressions ci--dessous de la fonction f : °° ' °°sinxt flx>=iowdu=ÏO--äîld'-- u+x Troisième partie Un résultat intermédiaire : » 10. En utilisant les résultats établis dans les première et deuxième parties, démontrer la relation suivante : oesin k 1 "(+20 du. k=l "" ° 1 1. Démontrer le résultat suivant : Somme de la série de tenue général cos(nu)/n2, n e N* : Soit G la fonction, définie sur la droite réelle, périodique de période 27: (G(x + 27r) = G(x)), dont la restriction au segment [O, 275] est définie par la relation suivante : ' 2 ' 2 G(x)=%--%£+%. 12. Étudier la parité de la fonction G. Déterminer le développement en série de Fourier, à coefficients réels, de cette fonction G. Quelle est la nature de la convergence de la série de Fourier ? 13. En déduire la somme T (x) de la série de terme général cos(m)/n2, n EUR N'", lorsque le réel x appartient au segment [O, 275] : Valeur de l'intégrale ! : Soit ak le réel défini par l'intégrale suivante : "k=Ï... m(Z--%"l "'"- n=l 14. Calculer, pour tout entier naturel k, la valeur du réel ak. Soit N un entier strictement positif. Soit IN le réel défini par la relation ci--dessous : Nl _ _ 2n+3 IN ":o(--_ l+(n+l)ln2n+------T 15. Démontrer que la valeur de l'intégrale I est égale à la limite de la suite (IN)NEURN. : I=lim IN. N-----+oo En déduire que l'intégrale I est la somme d'une série convergente. 16. Après avoir montré que l'expression E N exp(l N) est égale' a un produit de facteurs, déterminer la valeur de l'intégrale 1. Soit J l'intégrale suivante : Il est facile de calculer l'intégrale .] par la même méthode que celle qui a servi pour calculer l'intégrale I ; il vient : Jar...) Soit K l'intégrale suivante : K-- [°° arctan____t_ di 0 e"'+l Calcul de l'intégrale K : 17. Calculer l'intégrale K, définie ci--dessus, en utilisant le résultat obtenu pour l'intégrale ! et la valeur admise pour l'intégrale J. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 1 MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Dudas (ENS Ulm) ; il a été relu par David Lecomte (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE). L'épreuve se compose de trois parties représentant les différentes étapes du calcul de l'intégrale Z + Arctan t I= dt et - 1 0 Elles ne sont pas indépendantes ; cependant, la plupart des résultats sont donnés et permettent d'avancer dans le problème. · Dans la première partie, on étudie la fonction à intégrer et on effectue un développement en série de l'intégrale. Ce développement fait apparaître une famille dénombrable d'intégrales, dont le calcul passe par l'étude de la fonction Z + -x t e f (x) = dt 1 + t2 0 · Cette fonction est l'objet de la deuxième partie. On s'attache d'abord à sa régularité pour ensuite exhiber une équation différentielle qu'elle vérifie, et obtenir ainsi sa valeur. · La troisième partie est dédiée au calcul final de l'intégrale I. La théorie des séries de Fourier permet de simplifier encore son expression. On termine enfin le calcul en déterminant l'exponentielle de I. Le sujet du problème est classique et utilise les outils habituels de manipulation de séries et d'intégrales. Les dernières questions, assez calculatoires, reflètent bien l'inquiétude du jury sur les difficultés qu'ont les candidats à mener à bien leurs calculs. Le problème est assez long pour une épreuve de trois heures : même si les deux premières parties peuvent être traitées rapidement, la dernière nécessite du temps et de la concentration. Indications Première partie 1 Calculer un équivalent de en 0. 2 Relier la dérivée de à puis dériver pour étudier son signe. 3 Utiliser la question 1 pour le point 0 et majorer au voisinage de l'infini par une fonction intégrable sur R+ . 4 Vérifier que le théorème de convergence monotone s'applique. Penser ensuite à intégrer par parties. Deuxième partie 5 Pour la continuité, justifier l'emploi du théorème de continuité dominée. En ce qui concerne la limite, effectuer le changement de variable u = x t et majorer soigneusement. 6 Appliquer deux fois le théorème de dérivation dominée sous le signe somme sur les ensembles du type [, +[ pour tout > 0. 7 Intégrer par parties. 8 Résoudre l'équation caractéristique pour trouver la solution de l'équation homogène puis utiliser la méthode de variation des constantes. 9 Utiliser la question précédente et la formule sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b. Troisième partie 10 Utiliser les questions 4 et 9. 11 Faire une intégration par parties puis valider l'échange somme-intégrale par une majoration directe, utilisant l'intégrabilité de la fonction u 7- 1/(u + )2 . 12 Pour la parité de G, montrer que l'on peut se ramener au segment [0, 2 ]. Calculer ensuite les coefficients réels de la série trigonométrique en effectuant éventuellement des intégrations par parties. 14 Faire le changement de variable t = u + puis calculer l'intégrale de la fraction rationnelle obtenue. 15 Exprimer IN en fonction des réels ak . 16 Utiliser la formule de Stirling. 17 Remarquer que et 1 2 1 - t = 2 -1 e +1 e -1 Première partie 1 Pour qu'une fonction soit prolongeable par continuité en un point, il faut et il suffit qu'elle admette une limite finie en ce point. Pour montrer que c'est le cas pour au point 0, effectuons un développement limité du numérateur et du dénominateur. Il vient : Arctan t t + o(t) 1 = (t) = t e -1 1 + t + o(t) - 1 t0+ Ainsi, est prolongeable par continuité en 0 en posant (0) = 1 . Les développements limités en 0 des fonctions usuelles doivent être connus. Ils rendent compte du comportement de la fonction au voisinage de 0 et permettent de calculer des équivalents de fonctions plus générales. En cas d'oubli, on peut utiliser la formule de Taylor-Young : f (t) = f (0) + f (n) (0) n f (0) t + ···+ t + o(tn ) 1! n! 2 La fonction est de classe C 1 sur R+ comme quotient de deux fonctions C 1 dont le dénominateur ne s'annule jamais. Afin d'étudier les variations de , on peut alors chercher le signe de sa dérivée, donnée par : t R+ (t) = (1 + t2 )-1 (et - 1) - (Arctan t) ( et ) et = (t) (et - 1)2 (et - 1)2 On est donc ramené à l'étude du signe de , elle aussi de classe C 1 , ce qui nécessite le calcul de sa dérivée : e-t (1 + t2 ) - 2t (1 - e-t ) t R+ (t) = - (1 + t2 )2 1 + t2 e-t (1 + t2 ) - 2t (1 - e-t ) - (1 + t2 ) = (1 + t2 )2 2 -t (1 + t )(e - 1) - 2t (1 - e-t ) = (1 + t2 )2 -t e -1 ( + 2t + t2 ) < 0 (t) = (1 + t2 )2 Cela montre que la fonction est strictement décroissante et, étant donné que (0) = 0, la dérivée de reste strictement négative sur R+ . On en déduit le tableau de variation suivant : + 0 1/ 0 - Par conséquent, Sup (t) = tR + 1 Voici l'allure du graphe de : 1 0, 2 0, 1 0 0, 5 1 t 3 La fonction étant continue sur l'intervalle ]0, +[, prolongeable par continuité à l'intervalle [0, +[, il suffit de prouver qu'elle est intégrable au voisinage de l'infini pour justifier l'existence de I. La majoration t R+ |(t)| 6 t e -1 permet de conclure. En effet, e-t t e - 1 t+ et cette dernière fonction est positive et intégrable au voisinage de l'infini, si bien que L'intégrale I est bien définie. Attention à ne pas utiliser des fonctions de référence de signe non constant pour justifier que l'intégrale d'une fonction converge. Par on peut i texemple, Z X it e 1 e 1 dt existe, alors que montrer que lim et t 7 n'est =o + X 1 t t t t pas intégrale en +. 4 Pour tout réel t strictement positif, on a |e-t | < 1, ce qui permet d'écrire P 1 e-t -t e-kt = = e et - 1 1 - e-t k=0 t R+ Il s'agit alors d'échanger l'intégration et la sommation, ce que l'on effectue en vérifiant les hypothèses du théorème de convergence monotone. Pour cela, posons : k N t R+ fk (t) = e-kt Arctan t Les fonctionsP(fk )k>1 sont toutes continues et positives sur R+ . De plus, la série de fonctions fk converge simplement puisque l'on reconnaît une série géométrique : X X t R+ fk (t) = Arctan t × (e-t )k k>1 k=1 Arctan t Arctan t =e = t -t 1-e e -1 La somme de cette série n'est autre que , qui est continue et dont on a déjà vérifié l'intégrabilité sur R+ à la question 3. D'après le théorème de convergence monotone, Z + X Z + X I= fk (t) dt = fk (t) dt -t 0 k=1 k=1 0