Mines Maths 1 MP 2004

ÉCOLE NATIÇNALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, '
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAHÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÊTOENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCDMMUNIÇATIDNS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentiomger de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1--Filière MP.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

L'objet de ce problème est principalement l'étude et le calcul de l'intégrale 
suivante :

I= oeÆ--------°'""' dt.
0 e"--1

Première partie

Le but de cette partie est d'établir une expression de l'intégrale I et 
d'étudier la fonction (p
définie par la relation suivante :

_êLC_OEQL
'P(0-- et,_l-

Variations de la fonction 
 O). Etant donné un réel X supérieur ou 
égal à a (X 2 a),
soient S(X) et C(X) les deux intégrales suivantes :

X ° X
sm:[üâ'-ÿ-£w ; C(X)=L£%$-£dr.

7. Existe-t--il une limite à chacune des expressions S(X) et C(X), lorsque le 
réel X croît vers
l'm' fini '?

Soient g et h les deux fonctions définies sur la demi--droite ouverte D par les 
relations
suivantes :

oo - _ X ° 00 X
g(x) =L %'31--dt =}im [ Â%'--'-dt ; h(x)=L --°--%--S--Ldt=ÿm [ -'°%ë£da

Une expression de la fonction f :
8. Résoudre l'équation difi'érenfielle vérifiée par la fonction f dans la 
demi--droite ouverte
D = ]0, oo[ ; exprimer la solution générale de cette équation à l'aide des deux 
fonctions g et h.

9. En déduire les deux expressions ci--dessous de la fonction f :

°° ' °°sinxt
flx>=iowdu=ÏO--äîld'--

u+x

Troisième partie

Un résultat intermédiaire : »
10. En utilisant les résultats établis dans les première et deuxième parties, 
démontrer la relation
suivante :

oesin k
1 "(+20 du.
k=l "" °

1 1. Démontrer le résultat suivant :

Somme de la série de tenue général cos(nu)/n2, n e N* :
Soit G la fonction, définie sur la droite réelle, périodique de période 27: 
(G(x + 27r) = G(x)),
dont la restriction au segment [O, 275] est définie par la relation suivante :

' 2 ' 2
G(x)=%--%£+%.

12. Étudier la parité de la fonction G. Déterminer le développement en série de 
Fourier, à

coefficients réels, de cette fonction G.
Quelle est la nature de la convergence de la série de Fourier ?

13. En déduire la somme T (x) de la série de terme général cos(m)/n2, n EUR 
N'", lorsque le réel
x appartient au segment [O, 275] :

Valeur de l'intégrale ! :
Soit ak le réel défini par l'intégrale suivante :

"k=Ï... m(Z--%"l "'"-
n=l

14. Calculer, pour tout entier naturel k, la valeur du réel ak.

Soit N un entier strictement positif. Soit IN le réel défini par la relation 
ci--dessous :

Nl

_ _ 2n+3
IN ":o(--_ l+(n+l)ln2n+------T

15. Démontrer que la valeur de l'intégrale I est égale à la limite de la suite 
(IN)NEURN. :

I=lim IN.

N-----+oo

En déduire que l'intégrale I est la somme d'une série convergente.

16. Après avoir montré que l'expression E N exp(l N) est égale' a un produit de 
facteurs,
déterminer la valeur de l'intégrale 1.

Soit J l'intégrale suivante :

Il est facile de calculer l'intégrale .] par la même méthode que celle qui a 
servi pour calculer
l'intégrale I ; il vient :

Jar...)

Soit K l'intégrale suivante :

K-- [°° arctan____t_ di
0 e"'+l

Calcul de l'intégrale K :
17. Calculer l'intégrale K, définie ci--dessus, en utilisant le résultat obtenu 
pour l'intégrale ! et
la valeur admise pour l'intégrale J.

FIN DU PROBLÈME