Mines Maths 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Familles presque orthogonales de vecteurs dans des espaces euclidiens et préhilbertiens
Principaux outils utilisés espaces euclidiens et préhilbertiens, réduction des endomorphismes, études de fonctions, suites, intégration
Mots clefs théorème spectral, produit scalaire, développement asymptotique

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AERÇNAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATTONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2003 ÉPREUVE DE_ MATHÉMATIQUES PREMIERE EPREUVE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENS'IÏM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la c0pie: MATHÉMATIQUES l-Filière MP. Cet' enoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être 1me erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Première partie Le but de cette première partie est d'établir des résultats qui seront utiles dans la seconde partie. Étant donné un entier n strictement positif (n 2 l), soient S,, et I,, les deux réels définis par les relations ci-dessous : n--l n--l ' _ 1 . .. "--Z(îfl;i+j+l) ' I" IdeIO-------- x+y+l Intégrale I ,,. 1. Calculer, pour toute valeur de l'entier strictement positif n, l'intégrale I,,. 2. Déterminer les constantes A, B, C et D figurant dans le développement limité de la fonction n »--+ I,, à l'infini qui s'écrit sous la forme suivante : I,, =An+B lnn+C+--%--+o(%--). Somme S,, : 3. Etablir un encadrement du réel S,, à l'aide de I,,. 4. En déduire que la somme S,, est équivalente à l'infini à 2 n ln2. Soit J,, l'intégrale suivante : Intégrale J ,, : . 5. Déterminer la relation qui lie l'intégrale J,, au réel $,. En déduire, lorsque l'entier n croît indéfiniment, un équivalent de J,, à l'infini. Seconde partie. Soit E un espace préhflberfien réel ; soit (x, y) H (x l y) le produit scalaire de cet espace. La norme d'un vecteur x de E, déduite de ce produit scalaire est notée "x Il. Étant donné un réel ;: supérieur ou égal à 1 (p 2 l), une suite de n vecteurs d'un espace euclidien E,,, de dimension finie n, x, , x2, x,, est dite p--presque orthogonale (en abrégé u--p.o.) si et seulement si : i. les vecteurs x1, x2, ..., x,, sont de norme unité, ii. pour toute suite finie de n réels a,, 02, ..., a,, la norme du vecteur 221 a, x,-- vérifie la double inégalité suivante : n " 2 " ifZ_ 1 tel que, pour tout entier n strictement positif, pour toute suite extraite x,,l , xk2, x,,, de la suite (x,,),OEN et pour toute suite finie de n réels a,, az, ..., a,,, la norme du vecteur 2221 a,-- xki vérifie la relation suivante : n " 2 " -tzca.->ZS g..., 5u2'- i-_--_l i=l i=1 Remarque : la suite des indices k,, k2, k,, de la suite extraite ku , xk2, ..., xk,,, est une suite monotone strictement croissante k, < 162 < < k,,. Premières propriétés : Soit E,, un espace euclidien de dimension n. 6. Démontrer que, pour qu'une suite de n vecteurs x, , x2, ..., x,, soit une base orthonormée de E ,, il faut et il sulfit qu'elle soit une suite l-presque orthogonale. 7. Démontrer que, si une suite de n vecteurs x, , x2, ..., x,, de E,, est u--presque orthogonale, la suite est libre. Un exemple : Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur le segment [O, 1 ] ; le produit scalaire de deux fonctions f et g de E est défini par la relation suivante : 1 (fl g) = f°f(x)g(x) dx. Soit (P,, ),,eN la suite des fonctions de E définies par la relation suivante : P.,(x) = J2n +1 x". 8. Démontrer que, bien que la suite des fonctions P,, de norme unité soit libre, la suite (P,, ),,GN n'est pas presque orthogonale. » Soit ( V1, V2, ..., V,,) une suite libre de n vecteurs indépendants unitaires d'un espace eucüdien E ,, de dimension n. SoitM la matrice carrée d'ordre n dont les éléments m ,.]. sont égaux aux produits scalaires des vecteurs V,-- et V,--. Etant donnée une suite de n réels al, az, ..., a... soitA le vecteur de R" de coordonnées a; , az, ..., a,, et W le vecteur égal àla combinaison linéaire des vecteurs V1, V2, V,, avec les coefficients al, az, ..., a,, : A=v 02 ;W=Êa,-V ,--._.l an La suite de vecteurs V1 , V2, ..., V" est p--presque orthogonale : 9. Démontrer l'existence d'une matrice Carrée P orthogonale et d'une matrice diagonale D dont tous les éléments de la diagonale sont différents de O, telles que : M = 'P.D.P. 10. Établir la relation qui lie la norme du vecteur Wau réel 'AMA; 'A désigne la matrice transposée de la matrice colonne A. 11. En déduire que les éléments de la matrice D sont strictement positifs, puis en déduire un encadrement de la norme du vecteur Wà l'aide des valeurs propres de la matrice M et de la norme du vecteur B égal à l'image par la matrice P du vecteurA (B = PA). 12. En déduire que la suite (V1 , V2, ..., V,,) est p--presque orthogonale ; préciser des valeurs possibles pour le réel p. Soit maintenant (V,, ) ,à, une suite dénombrable de vecteurs unitaires d'un espace préhfibertien réel E. Une condition suffisante : 13. Démontrer que, s'il existe un réel et, strictement supérieur à 3 (a > 3 ), tel que le produit scalaire de deux vecteurs VP et Vq soit majoré en valeur absolue par le réel rip--'Il, c' est--à--dire : ___1_ KV | V)|< ..., la suite (V,,),,21 est presque ofllrogonale. Deux questions préliminaires : 4 14. Soit f la fonction définie dans le quart de plan [l, oo[ x [l, oe[ par la relation suivante : f(x,y)=____W J2xy"_ y+.ry+l Soit G la fonction, définie sur la demi--droite [1, oo[, par la relation suivante : G(x) = lim f(x, y). y-->ao Étudier les variations des six fonctions définies sur la demi-droite fermée [1 , oo[ par les relations suivantes : xr--+f(x,l); y+-->f(l,y);G : x»----»limj(x,y); y----m y H?_l}læf(&ÿ) ; ly: fo(x,y); fi:= ny(x,y)-- 15. Soit 7 un réel strictement compris entre 0 et 1 (0 < 7 < 1). Démontrer l'existence d'une fonction (p,, définie sur la demi-droite fermée [l, oe[, telle que, pour tout réel y de la demi-droite [1, oo[, la relation ci-dessous soit vérifiée : f($ï@)à y) = 7 Démontrer l'existence d'un réel [3 tel que la fonction G, définie ci--dessus, prenne la valeur 7 en ce point : G(fl) = y. Démontrer que ce réel 5 est strictement supérieur à 1 et est un minorant de l'image par (a,. de la demi--droite fermée [1, oo[. Soit (Ph) une suite extraite de la suite des polynômes considérés à la question 8. L'application i +--> k,-- est une suite strictement croissante. Pour simplifier les notations, soit Q ,-- le polynôme Pki : Qi =sz" Étude de la suite (Q,-- ),>0: 16 On choisit une suite (k ),>0 telle que la suite (Q, ) ..., soit presque orthogonale. Démontrer que le réel # entrant dans la définition de la presque ofihogonaüté est strictement supérieuràl (y > 1). Démontrer qu'il existe un réel 5, strictement supérieur à 1 (B > 1), tel que, pour tout indice i, les indices k,--_ et k... soient liés par la relation suivante : ki+l 2 [3 ki- FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 1 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alexis Devulder (ENS Ulm) ; il a été relu par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce sujet fait intervenir à la fois des techniques d'analyse et des outils algébriques dans des espaces euclidiens, puis préhilbertiens. Il s'intéresse plus particulièrement à des suites « presque orthogonales » de vecteurs, et reste d'une longueur raisonnable. Le sujet reste relativement accessible, mais certaines questions sont délicates, surtout à la fin de l'épreuve. · La première partie étudie le comportement asymptotique de certaines quantités qui seront utiles dans la seconde partie. On y encadre des sommes doubles Sn par des intégrales doubles, que l'on calcule avant d'en donner un développement asymptotique. On en déduit un équivalent de Sn lorsque n tend vers l'infini. · Dans la seconde partie, on introduit la notion de presque orthogonalité d'une suite de vecteurs. On y rencontre des espaces euclidiens, puis préhilbertiens, une matrice symétrique réelle, des fonctions polynomiales, des suites réelles, des majorations parfois délicates de sommes doubles, ainsi qu'une étude de fonction de deux variables. On étudie d'abord quelques propriétés de la notion de presque orthogonalité en dimension finie : en particulier, toute base de vecteurs unitaires est presque orthogonale, ce qui n'est pas le cas en dimension infinie (on exhibe le contreexemple d'une suite (Pi )iN de fonctions polynomiales). On donne ensuite une condition suffisante pour qu'une famille libre infinie de vecteurs unitaires soit presque orthogonale. Enfin, on prouve le résultat suivant : si (Pki )iN est une suite extraite presque orthogonale de la suite de fonctions polynomiales rencontrée précédemment, alors la suite (ki )iN croît au moins aussi rapidement qu'une suite géométrique. Indications Première Partie 1 1 par une intégrale double de i+j+1 x+y+1 sur un carré de coté 1. Pour minorer Sn , faire intervenir In-1 et des sommes P1 partielles de . k k n 1 P 4 Utiliser la question précédente, et se souvenir que ln n. + k=1 k n 3 Lorsque c'est possible, encadrer Deuxième partie 8 Montrer que la suite de vecteurs en utilisant la question 5. n P 1 Pi ne satisfait pas la condition (ii) 2i +1 i=1 9 Pour montrer que les coefficients diagonaux de D sont non nuls, considérer un vecteur X de En tel que MX = 0. Exprimer chaque coordonnée de MX en fonction d'un produit scalaire. Remarquer que la famille (Vi ) est une base, et se rappeler qu'un vecteur orthogonal à tous les éléments d'une base est nul. 11 Pour montrer la stricte positivité des coefficients diagonaux de D, remarquer que M est définie positive. 12 Utiliser la question 11. Poser µ0 = max max{, sp (M)}, 1 min{, sp (M)} et montrer que seuls les réels µ > µ0 conviennent. w n w2 wP w 1 2 2 w 13 Développer w ai Vki w w et majorer |ai aj | par 2 (ai ) + (aj ) . i=1 |ki -kj | + n P P 1 k 1 Majorer ensuite par 2 . j=1 a k=1 a j6=i 15 Montrer que fy et G sont des bijections. Pour étudier les propriétés de , utiliser les variations de fy et G établies à la question 14. 16 Exprimer (Qi | Qi+1 ) à l'aide de la fonction f , puis minorer (Qi | Qi+1 ) grâce à la condition (ii) et définir ainsi un réel . Enfin, utiliser la question 15. I. Première partie 1 On commence par calculer, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel positif x, Z n y=n dy = ln(x + y + 1) y=0 0 x+y+1 = ln(x + n + 1) - ln(x + 1) On en déduit que Z n Z In = dx 0 = Z 0 n 0 dy x+y+1 n [ln(x + n + 1) - ln(x + 1)] dx n n In = (x + n + 1) ln(x + n + 1) - 1 - (x + 1) ln(x + 1) - 1 0 0 puisqu'une primitive de ln sur ] 0 ; + [ est t 7 t(ln t - 1). On obtient ensuite In = (2n+1){ln(2n+1)-1}-(n+1){ln(n+1)-1}-(n+1){ln(n+1)-1}+{ln(1)-1} donc n N In = (2n + 1) ln(2n + 1) - (2n + 2) ln(n + 1) 2 Soit n un entier naturel non nul. Commençons par écrire In sous une forme qui se prête mieux à l'utilisation de développements limités en 0 : 2n + 1 In = (2n + 1) ln - ln(n + 1) n+1 2(n + 1) - 1 = (2n + 1) ln - ln(n + 1) n+1 1 1 In = (2n + 1) ln 2 + ln 1 - - ln n - ln 1 + 2(n + 1) n Or, lorsque n tend vers +, 1 1 = 2(n + 1) 2n 1 1 = 2n 1 1+ n 1 1 1- +o n n u2 + o u2 u0 2 d'où, par composition des développements limités, 1 1 1 1 ln 1 - = ln 1 - 1- +o 2(n + 1) 2n n n 1 1 1 1 =- + - 2 +o 2n 2n2 8n n2 1 3 1 1 Par suite, In = (2n + 1) ln 2 - + 2 - ln n - + o 2n 8n n n De plus, ln (1 + u) = u - 3 1 In = 2n ln 2 - ln n + ln 2 - 1 - +o 4n n D 1 In = An + B ln n + C + + o n n soit On a donc bien avec A = 2 ln 2, B = -1, C = ln 2 - 1, et D = - 3 4 3 On considère la fonction F: + + R × R - R (x, y) 7- 1 x+y+1 Pour deux entiers naturels i et j, encadrons F(i, j) par des intégrales doubles de la fonction F sur des carrés de coté 1, lorsque c'est possible. Il s'agit en fait d'une généralisation en dimension 2 de la méthode classique d'encadrement de sommes par des intégrales. On remarque que la fonction F est décroissante par rapport à chacune de ses deux variables, ce qui donne en particulier (i, j) N2 (x, y) [ i ; i + 1 ] × [ j ; j + 1 ] et en intégrant cette inégalité, on trouve Z i+1 Z (i, j) N2 dx i j+1 F(x, y) 6 F(i, j) dy 1 6 x+y+1 i+j+1 j Soit alors n un entier naturel non nul. En sommant l'inégalité précédente pour i et j compris entre 0 et n - 1, on obtient (grâce à la relation de Chasles), n N In 6 Sn On a de même, (i, j) (N )2 (x, y) [ i - 1 ; i ] × [ j - 1 ; j ] F(i, j) 6 F(x, y) donc en intégrant cette inégalité, il vient 1 6 i+j+1 (i, j) (N )2 n-1 P n-1 P puis, pour n N , i=1 j=1 Z i dx i-1 Z j j-1 dy x+y+1 1 6 In-1 i+j+1 Il ne reste qu'à ajouter les termes manquants : n-1 n-1 n-1 P n-1 P P P 1 1 1 Sn = + + i + j + 1 i + 0 + 1 0 + j+1 i=1 j=1 i=0 j=1 n P 1 6 In-1 + 2 -1 k=1 k c'est-à-dire soit n N n N Sn 6 In-1 + 2 n 1 P -1 k=1 k In 6 Sn 6 In-1 + 2 n 1 P -1 k=1 k