Mines Maths 1 MP 2002

]. 2065

A 2002 Math MP 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOWUNÏCA'I'IÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNIÇATÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE_ MATHEMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1-Filière MP.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

Soit (B,, ),,GN la suite des réels définis par les relations suivantes :

n
Bo : 1, B] = 1, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, B... = 2 05 
BP.
FO

. . A , ; ° " I
Les réels C£ sont les coefficients du bmome ; le nombre reel C',',, note aussr 
( ), est egal
P

au cardinal de l'ensemble des parties ayant p éléments d'un ensemble ayant n 
éléments.

PREMIÈRE PARTIE

I--l. Fonction E :
Soit E la fonction définie sur la droite réelle R par la relation suivante :

E(x) = exp(expx) = ee'.

a. Démontrer que la fonction E est développable en série entière sur la droite 
réelle R.

"5 Tournez la page S.V.P.

b. Étant donné un entier naturel n, soitA ,, le réel égal àla valeur de la 
dérivée n-ième de la
fonction E en 0 :

A,, : E...(O).

Démontrer, en admettant les conventions habituelles O0 = O! = 1, la relation 
suivante :
.. °° _k_"_
A " " 2 kg '
k=0

c. Établir, pour tout entier naturel n (n 2 0), une relation de récurrence 
exprimant A... en

fonction der, A1, ..., A,,.
En déduire l'expression suivante du réean en fonction de A,, :

_ 1
B,,---- -ê-A,,.

I-2. Comparaison de sommes infinies :
Soit (u,,),,21 une suite de réels strictement positifs (u,, > O) ; on suppose 
que, pour tout entier

naturel n, la série de terme général u,, k", k = l, 2, est convergente. Soit 
U,, sa somme :

U,, = il"; k".
k=l

a. Démontrer que, pour tout entier p donné supérieur ou égal à 1 (p 2 1 ), 
lorsque l'entier n
croît vers l'infini, le réel U,, est équivalent au reste d'ordre p de la série 
défini par la relation :

oo , ' . _
RP," : Zk=p uk k" ; c est--a--drre .

pour tout entier strictement positif p, U,, ... R = z u,, k".

b. Étant données deux suites (un),121 et (v,,)n21 de réels strictement positifs 
(u,, > 0, v,, > O),

démontrer que, si les réels u,, et v,, sont équivalents lorsque l'entier n 
croît vers l'infini (u,, «« v,,),
les deux suites de réels U,,, n = 1,2, et V,,, n = 1,2, définis par les 
relations suivantes :

«)

U,, : Êukk", V,, = Ev,kfl,
k=l

k=1
sont équivalentes, lorsque l'entier n croît vers l'infini :

U,, ... V,,.

I,-3 Fonction f,, :
Etant donné un entier n strictement positif (n 2 1), soit f,, la fonction 
définie sur la droite réelle

R par la relation suivante :

O, sixS 0,

ex {""--"2, six > O.

fn(x) :

-2/5-

Étant donné un entier n strictement positif (n _>_ 1 ), soit sk le réel défini 
par la relation suivante

Sk =fn(k).
a. Étudier, pour un entier n donné, la convergence de la série de terme général 
sk,
k = 0, 1,2, ; soit S,1 la somme de cette série:

en

S,, : Zf,,(k).

k=O

b. Démontrer, lorsque l'entier n croît vers l'infini, l'équivalence suivante :

A,,-- 1 oe ,,k.
Æëf()

DEUXIÈME PARTIE

Étant donné un réel ). strictement positif (2. > 0), soit (1) ,1 la fonction 
définie sur la demi-droite
ouverte ]0, oo [, par la relation suivante :

d>;,(x) : --x lnx+x+Àlnx.

Il-1.Étude de la fonction (Da :
a. Déterminer des équivalents de  00.

iii. pour tout réel a compris strictement entre 0 et 1, le réel n" est 
négligeable devant ,un,
lorsque l'entier n croît vers l'infini :

n" : o(pn) lorsquen --» oe.

TROISIÈME PARTIE

Étant donné un entier n strictement positif (n 2 1 ), soit g,, la fonction 
définie sur la droite
réelle R par la relation suivante :

gn=fnrifn(uno+æ).

III--1. Propriétés de la fonction g,, :
a Vérifier, pour tout entier n strictement positif et tout réel x, la relation 
suivante :

fn(x) =ffl(Ph) g,;( EUR x"' «E'-)

b. Donner l'allure du graphe de la fonction g,,.

c. Démontrer que la suite de fonctions (g,, )n21 converge simplement vers une 
fonction g;
expliciter cette fonction g.

d. Démontrer qu'il existe un entier no tel que, pour tout entier n supérieur ou 
égal à no
(n 2 no) et tout réel x strictement supérieur à -- Jîï (x > -- Jñ ), la 
fonction g,, vérifie la majoration

suivante:
g,,_ 0.

-4/5 -

QUATRIÈME PARTIE

Recherche d'un équivalent du réel B,, lorsque l'entier n croît indéfiniment.

' 1v-1. Intégrabilîté de la fonction g,, :
Démontrer que, pour tout entier n strictement positif, la fonction g,, est 
intégrable sur la droite
réelle. Soit ], la valeur de son intégrale :

I,, = JRgn(x) dx.

Démontrer que la suite de réels (I,, ),121 est convergente. ]] est admis que la 
limite de cette suite
est égale à J27t .

IV -2. Un encadrement de la somme S,, :

Étant donné un entier n strictement positif, d'après la question I-3.a, le réel 
S,, est la somme de
la série de terme général f,,(k), k = 0, 1,2,

Déterminer des réels K ,, et c,, tels que la somme S,, soit encadrée de la 
manière suivante au
moyen de l'intégrale [, :

Kn(In "En) E Sn S Kn(ln +EURn)-

Les réels K ,, et EUR,, seront explicités en fonction de n, ,u,, et de la 
fonction f,,. La suite EUR,, tend vers 0.
Indication : Soit p l'entier égal à la partie entière du réel ,u,, ; cet entier 
est défini par les
inégalités ci-dessous :

p£p,,