Mines Maths 1 MP 2001

Thème de l'épreuve Étude de la réduction et de la diagonalisation des applications semi-linéaires
Principaux outils utilisés réduction d'un endomorphisme, valeurs et vecteurs propres

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 Math MP 1 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPEROEURES DE L'AER0NAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAÏTÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCATÏONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECI--INIQUE (Filière STI). CONCOURS D'ADMISSION 2001 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIERE EPREUVE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis àla disposition des concours : Cycle Intemational, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie: MATHÉMATIQUES 1--F111ere MP Cet énoncé comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Dans tout ce problème l'entier n est supérieur ou égal à 1 (n 2 l) ; E est un espace vectoriel complexe de dimension n. Le but de ce problème est d'étudier les applications semi--linéaires de l'espace vectoriel complexe E dans lui-même. Une application u de E dans lui-même est semi--linéaire si elle possède la propriété suivante : Pour tout scalaire a et tout couple de vecteurs x et y de l'espace vectoriel E la relation ci--dessous est vérifiée : u(ax+y) = & u(x) + u(y). Le nombre complexe à est le nombre complexe conjugué de a. Un nombre complexe p est une valeur co--propre del' application semi--linéaire u S'il existe un vecteur x différent de 0 tel que la relation ci--dessous soit vérifiée: u(x) = ux. Le vecteur x est un vecteur co--propre associé à la valeur co--propre u. Tournez la page S.V.P. - 1/6 - Première partie Le but de cette partie est d'étudier, pour une application semi--linéaire u donnée, les valeurs et vecteurs co--propres. 1--1. Premières propriétés. Soit u une application semi-linéaire de l'espace vectoriel E. a. Démontrer qu'étant donné un vecteur x, différent de O, appartenant à l'espace E, il existe au plus un nombre complexe # tel que la relation u(x) = u x ait lieu. b. Démontrer que, si le nombre complexe ,il est une valeur co--propre de l'application semi--linéaire u, pour tout réel 9, le nombre complexe # ei " est encore valeur co--propre de l'application semi-linéaire u. Exprimer un vecteur co--propre associé à la valeur co-propre ,u ei " en fonction d'un vecteur co--propre x associé àla valeur co--propre u et du réel 9. c. Étant donnée une valeur co--propre y de l'application semi--linéaire u, soit E f_. l'ensemble des vecteurs x de l'espace vectoriel E qui vérifient la relation u(x) = y x : E" = {x EUR E | u(x) = px}. Est-ce que l'ensemble E _" est un espace vectoriel complexe ? réel ? d. Etant données deux applications semi--linéaires u et v, étudier la linéarité de l'application composée u 0 v. 1--2. Matrice associée à une application semi--linéaire : Soit u une application semi--linéaire de l'espace vectoriel E ; soit (e,-- ) 19.5" une base de l'espace vectoriel E. À un vecteur x, de coordonnées xl , x2, ...,x" est associée une matrice--colonne X d'éléments x; , 552, ...,x,,, appelée (abusivement) vecteur. a. Démontrer qu'à l'application semi--linéaire u est associée dans la base (e,--) 1515" de E une matrice A, carrée, complexe, d'ordre n, telle que la relation y = u(x) s'écrive : Y = AX La matrice--colonne ?? est la matrice complexe conjuguée de la matrice-colonne X. b. SoientA et B les matrices associées à une même application semi--linéaire u dans les bases (e,--)ISËn et (f,--)ISËH respectivement. Soit S la matrice de passage de la base (e,--)ISËn à la base (f,--) 199?" Exprimer la matrice B en fonction des matrices A et S. Etant donnée une matrice carrée A, Complexe, d'ordre n, le vecteur X , difïérent de 0, (X = O) est un vecteur co--propre de la matrice carrée A, associé à la valeur co-propre ,a, si le vecteur X et le nombre complexe p vérifient la relation matricielle ci--dessous : AÎ=uX. Dans la suite toutes les matrices considérées sont des matrices carrées complexes. --2/6- 1--3. Exemples : < _ 0 ----1 a. Soit A la matrice d'ordre 2 définie par la relation suivante : A = 1 0 . Rechercher a . les valeurs co--propres # et les vecteurs co-propres X = !) associés. b. Démontrer que, si une matrice/! est réelle et admet une valeur propre réelle À, cette matfice a au moins une valeur co-propre. 1--4. Correspondance entre les valeurs co-propres de la matrice A et les valeurs propres de la matrice AZ : ' SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n. a. Démontrer que, si le scalaire # est une valeur co--propre de la matrice A, le nombre réel | ,u|2 est une valeur propre de la matrice AZ . b. Soit À une valeur propre positive ou nulle (À ?. O) de la matrice AZ etX un vecteur propre associé : AÂX= ÀX. Démontrer que le réel JÎ est une valeur co-propre de la matrice A en envisageant les deux cas suivants : i. les vecteurs AX etX sont liés ; ii. les vecteurs AÎ etX sont indépendants ; c. En déduire que, pour que le réel positif ou nul il soit _yaleur co-propre de la matrice A, il faut et il suffit que le réel u2_ soit valeur propre de la matrice AA. 1--5. Cas d'une matrice triangulaire supérieure : Dans cette question la matrice A est une matrice triangulaire supérieure (les éléments situés en--dessous de la diagonale principale sont nuls). a. Démontrer que, si ). est une valeur propre de la matrice A, pour tout réel 9, le nombre complexe ). ei 9 est une valeur co-propre de la matrice A. b. Démontrer que, si y est une valeur co--propre de la matrice A, il existe un réel 9 tel que le nombre complexe ,u ei " soit valeur propre de la matrice A. c. SoitA la matrice définie par la relation ci-dessous : Démontrer que le réel 1 est valeur co--propre de cette matrice et déterminer un vecteur X _ , a + ib co--propre assocre. Poser :X = _ c + zd Tournez la page S.V.P. - 3/6 - ' 1--6. Une caractérisation des valeurs co--propres : SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n ; soient B et C les matrices réelles définies par la relation suivante : A=B+iC. Démontrer que le nombre complexe ,u est valeur co-propre de la matrice A si et seulement si le nombre réel lui est une valeur propre de la matrice D, carrée réelle d'ordre 2n, définie par blocs par la relation suivante : B C D = C --B Seconde partie Étant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, s'il existe une matrice carrée complexe S d'ordre n inversible (S & GL,,(C)) telle que la relation -------1 B = SA.S soit vérifiée, les deux matrices A et B sont dites co--semblables. Si une matrice A est co-semblable à une matrice diagonale, la matrice A est dite co--diagonalisable Le but de cette partie est de rechercher à quelles conditions une matrice est co-diagonalisable. II-l. Une relation d'équivalence : Etant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre 11, ces matrices sont dites satisfaire la relation % si et seulement si ces deux matrices sont co--semblables : A % B @ 33 @ GL,,(C) : B = SAS". Démontrer que la relation z est une relation d'équivalence dans l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre n. II--2. Indépendance des vecteurs co-propres : SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n, soient X 1, X 2, ..., X k, k vecteurs co--propres de la matrice A associés à des valeurs co--propres ... , ,u2, uk ; l'entier k est inférieur ou égal à l'entier n (k 5 n). Démontrer que, si les valeurs co--propres pp, p = l, 2, ..., k ont des modules différents les uns ' des autres (p #= q => |,upl =t= |pq|), la famille (X1, X2,..., Xk) est libre. En déduire que, si la matrice AÂ a n valeurs propres Àp, p = l, 2, ...,n , positives ou nulles, (À,, Z O), distinctes les unes des autres (p # q =:-- ÀP qt lq), la matriceA est co--diagonalisable II--3. Quelques propriétés : a. Soit S une matrice carrée complexe d'ordre n inversible (S e GL,,(C)) ; soitA la matrice définie par la relation A : S.S Calculer la matrice produit AZ . -4/6 - b. SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n telle que AA : [,,, démontrer qu'il existe au moins un réel 9 tel que la matrice S(9) définie par la relation ci--dessous S(9) = de A + et" 1... soit inversible. Calculer, en donnant au réel 9 cette valeur, la matrice A.ËÎÔÎ ; en déduire la matrice S(9).ËÎËÎ "1 . Il--4. Une condition nécessaire : SoitA une matrice d'ordre n co--diagonalisable. Il existe par suite une matrice S inversible telle que la matrice S"1A.S soit diagonale.. Démontrer que la matrice AA est diagonalisable, que ses valeurs propres sont positives ou nulles et que le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice AA . II-5. Une condition suffisante : _ Soit A une matrice carrée complexe d'ordre n qui vérifie les trois propriétés suivantes : i. la matrice AZ est diagonalisable, __ ii. les valeurs propres de la matrice AA sont positives ou nulles, iii. le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice AA . Soient 2,1, M., ...,Àk, les valeurs propres, deux à deux distinctes, de la matrice AA ; elles sont positives et ordonnées de façon qu'elles vérifient la relation suivante : À1>Àz>...>Àk20. Les valeurs propres À1 , À2, ..., Àk ont respectivement les multiplicités n1 , 112, nk. Soit [F la matrice identité d'ordre p. Une matrice diagonale A, semblable àla matrice AA, s'écrit par blocs avec les conventions précédentes sous la forme suivante : 11 1... 0 0 A: () ,121n2 o 0 0 Aki": Par hypothèse il existe une matrice S inversible telle que AA = S.A.S"'. Soit B la matrice définie par la relation suivante : B : S'1A.Ê. a Démontrer les relations : B.Ë = 38; EA = AB. b. Démontrer que la matrice B s'écrit par blocs sous la forme ci-dessous ; dans cette Tournez la page S.V.P. -- 5/6 -- expression chaque matrice B p est une matrice d'ordre np : B1 0 0 () BO B: 2 0 0 ...Bk c. Démontrer qu'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale A d'ordre n telles que la relation ci-dessous ait lieu : ----1 B = P.A.P . En déduire que toute matrice vérifiant les hypothèses i, ii et iii est co-diagonalisable. II--6. Exemples : a. SoitA une matrice symétrique réelle d'ordre n ; est--elle co--diagonalisable ? b. Soient A, B, C et D les matrices d'ordre 2 suivantes : il 1--1 A: ,B= , 01° 1 1 01 1.i ,D= . 0 0 il Est--ce que ces matrices sont diagonalisables ? co--diagonalisables ? ("3 || FIN DU PROBLÈME -6/6-

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 Mines Maths 1 MP 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Beck (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) et Sébastien Gadat (ENS Cachan). Ce problème traite d'une notion nouvelle, par rapport au programme, d'algèbre linéaire : les valeurs co-propres et les vecteurs co-propres. La principale difficulté du problème réside donc dans la nouveauté de la notion et non dans la théorie elle-même. La première partie permet de se familiariser avec cette nouvelle notion et de la relier à celles de matrice, de valeur propre et de vecteur propre. Elle offre des exemples et des contre-exemples permettant d'éclairer les théorèmes démontrés. La deuxième partie est consacrée à la notion de co-diagonalisation et à ses liens avec la diagonalisation. Elle se termine par des exemples qui illustrent les différents théorèmes vus dans cette partie. Indications Partie I I-1.a Choisir deux valeurs co-propres pour un même vecteur co-propre et vérifier qu'elles sont égales. i I-1.b Prendre x = e- 2 x. I-1.c Utiliser la question I-1.b. I-1.d Calculer u(v(ax + y)). I-2.a Prendre les vecteurs {u(ei )}16i6n comme colonnes de la matrice. I-2.b Écrire les changements de base X = PX , Y = PY puis utiliser les égalités AX = Y et BX = Y . I-3.a Résoudre à la main le système AX = µX et trouver pour quelles valeurs de µ il possède une solution non nulle. I-3.b Considérer un vecteur propre associé à la valeur propre . I-4.a Conjuguer l'expression AX = µX. I-4.b.i Montrer qu'on peut écrire AX = X puis montrer que ||2 = ; enfin, utiliser la question I-1.b. I-4.b.ii Calculer A AX + X et choisir et convenablement. I-4.c Utiliser la question I-4.a, puis la question I-4.b. I-5.a Remarquer que les valeurs propres de A sont les éléments diagonaux de la matrice A. Ensuite, utiliser la question I-4.b et la question I-1.b. I-5.b Selon le même raisonnement qu'à la question I-5.a, on a |µ|2 qui est valeur propre de AA. On utilise ensuite les questions I-4.b et I-1.b. I-5.c Utiliser la question I-5.a, puis résoudre le système AX = X. I-6 Utiliser la question I-1.b pour montrer que |µ| est une valeur co-propre de A, puis écrire X = X1 + iX2 où X1 et X2 sont réels. Pour la réciproque, découper le vecteur propre X en deux vecteurs X1 et X2 de taille n et prendre X1 +iX2 ; utiliser enfin la question I-1.b. Partie II II-1 Vérifier la réflexivité, la symétrie et la transitivité. II-2 Utiliser la question I-4.a et ce qu'on sait sur les vecteurs propres d'une matrice. Pour la deuxième partie, effectuer un changement de base et utiliser la question I-2.b. II-3.a Remarquer que S-1 = S -1 ni . II-3.b det(S()) = e A -e , où A est le polynôme caractéristique de A. Il a donc un nombre fini de racines. -2i II-4 Écrire que S-1 AS = D et que S-1 AS = D puis calculer le produit. II-5.a Utiliser le fait que = . II-5.b Décomposer B en blocs de la bonne taille et calculer B - B. II-5.c Remarquer que Bi Bi = i Id . Puis utiliser la question II-3.b. Si k = 0, utiliser l'hypothèse sur le rang. II-6.a La matrice A se diagonalise en base orthonormée (réelle). II-6.b Pour les co-diagonalisations, utiliser la question II-4 et la question II-5. Pour la diagonalisation de B et D, calculer B et D . Partie I I-1.a Soient et µ tels que u(x) = x = µx. On a alors ( - µ)x = 0 donc, comme x 6= 0, - µ = 0. D'où = µ. Il existe donc au plus un nombre complexe µ tel que u(x) = µx. i I-1.b Soit x un vecteur co-propre pour la valeur co-propre µ, posons x = e- 2 x. i i Alors u x = e- 2 u(x) = e 2 µx = ei µx Comme x 6= 0, alors x 6= 0 et x est un vecteur co-propre pour la valeur co-propre ei µ. On a en fait montré que si on avait une valeur co-propre, alors tous les nombres de même module étaient aussi valeur co-propre. L'ensemble des valeurs co-propres de u est donc formé de cercles de centre O dans le plan complexe. i I-1.c Si µ est non nul et si x appartient à Eµ , d'après la question I-1.b, alors e- 2 x appartient à Eei µ . Comme µ 6= 0, si 6 0 [2] alors µ 6= ei µ. Et d'après la ques i tion I-1.a, x = e- 2 x ne peut appartenir à Eµ quand x est colinéaire à x. Si µ est non nul, Eµ n'est pas un espace vectoriel complexe. Si µ est nul et si x et y appartiennent à E0 , alors (, ) C2 u(x + y) = u(x) + u(y) = 0 D'où x + y appartient à E0 . E0 est un espace vectoriel complexe. Si x et y appartiennent à Eµ alors (, ) R2 u(x + y) = u(x) + u(y) = µx + µy Or et sont réels et donc égaux à leur conjugué, ce qui donne u(x + y) = µ(x + y) D'où x + y appartient à Eµ . Les Eµ sont des espaces vectoriels réels. I-1.d u v est linéaire. En effet (, ) C2 Or donc u v(x + y) = u(v(x) + v(y)) = u v(x) + u v(y) z C z=z u v(x + y) = u v(x) + u v(y) u v est une application linéaire.