Mines Maths 1 MP 2000

Thème de l'épreuve Étude d'un espace euclidien de matrices
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire, action d'un groupe, nombres complexes, séries numériques, géométrie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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J. 1032 OOMATH.I-MP , ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIÛNS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE FILOERE MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--ENR L'emploi de la calculette est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats dela filière MP, comporte 5 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'éfloncé, ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le but de ce probléme est l'étude d' endomorphismes définis par l'action d'un groupe sur un espace vectoriel de matrices complexes. SoitM l'ensemble des matrices complexes m d'ordre 2 qui s'écrivent sous la forme suivante : aib m= . (l'E a) Dans cette relation, a et b sont des nombres complexes, i vérifie :" 2 = --l, & (resp. 5) est le nombre complexe conjugué de a (resp. b). Partie préliminaire 0. L'ensemble M est un espace vectoriel réel : Démontrer qu'en munissant l'ensemble M de l'addition des matrices et de la multiplication des matrices par un réel, l'ensemble M est un espace vectoriel réel. Préciser sa dimension. Démontrer que. le.produit de deux matrices ml et m; de l'espace M appartient àM. Soit 1 la matrice unité d'ordre 2. Soit m une matrice appartenant à l'espace vectoriel M ; la matrice transposée de la matrice m est notée 'm. Si p est un entier naturel, mP est le produit de la matrice m -1/5- p--fois par elle--même ; classiquement m° = I . Soit G le sous-ensemble des matrices g appartenant à l'espaceM dont le déterminant est égal à 1 : G= {geM | detg= 1}. Il est admis que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe. Soit U le sous--ensemble des matrices u de l'espaceM anfisyméüiques dont le carré est égal à l'opposé de la matrice identité : U= {u GM | u+'u=0, u2 =--1}. Soit Vle sous-ensemble des matrices symétriques v appartenant à l'espace M : V= {veM | v= 'v}. 11 est admis que le sous-ensemble Vde M est un sous-espace vectoriel réel. Soient ml et mz deux matrices appartenant à l'espace vectoriel M ; il est admis que la trace de la matrice ñ1.'mg est réelle ; soit (ml | m2) le réel défini par la relation suivante : (m1 | m2) = %Tr(fil.'mz) = %Tr(mfirîû. L'égalité entre les traces des matrices îñ1.'mz et m1.'îñz est admise. Il est admis que l'espace (M,(. | .)) est un espace euclidien. Si le produit scalaire (m | m2), de deux matrices m1 et m2, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le sous-espace vectoriel V de M est un espace euclidien lorsqu'il est muni du produit scalaire induit par celui de M Première partie 1.1. Propriétés élémentaires des matrices de l'espaceM : Soit m une matrice de l'espace M ; démontrer que les matrices m +5? et m.'ñ s'expriment au moyen de la matrice identité [, du déterminant detm, de la trace T rm de la matrice m. Soit g une matrice appartenant àM ; déduire du résultat précédent que, pour qu'une matrice g de l'espaceM appartienne au groupe G, il faut et il suffit qu'il existe une relation simple entre les matrices g"1 et 'g. Soit m une matrice de l'espaceM dont la trace est nulle (Trm = O) ; établir la relation : m = --' rî ; calculer les matrices m2, ('m)2 en fonction du déterminant de la matrice m et de la matrice unité I. 1.2 Matrices u : Déterminer les matrices u qui appartiennent à l'ensemble U défini ci-dessus. Soit m une matrice de l'espace M, u une matrice de l'ensemble U. Comparer les deux produits de matrices : m.u et u.fi Démontrer que, lorsque la trace de la matrice m est nulle (T rm = 0), les deux matrices m.u et u.m appartiennent au sous-espace vectoriel V. 1.3. Norme d'une matrice m : Soit m une matrice de l'espaceM ; calculer la norme de la matrice m (|| m Il: J(m | m) ) en -2/5- fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices m et w de l'espace M la norme Il m.w || du produit des matrices m et w avec le produit Il m Il . Il w || des normes de ces matrices. 1.4. Matrices appartenant à G : a. Démontrer que toute matrice g appartenant au groupe G s'écrit, de manière unique, sous la forme g = I cosâ+m, où 9 est un réel appartenant au segment [O, n'] et m une matrice de trace nulle (Trm = 0) qui appartient àM. Calculer, en fonction du réel 0, le déterminant de la matrice m, ainsi définie à partir de la matrice g, ainsi que le carré m2 de la matrice m. b. Soit m une matrice de l'espaceM différente de 0 (m = O) : démontrer que la matrice gl définie par la relation ci-dessous appartient au groupe G : I--5 Un sous-groupe de G : Soit gl une matrice, de trace nulle (Trg1 = O), appartenant à G ; soit G(g1) l'ensemble des matrices me définies par la relation suivante ma = I cosB +g; sinB, où 9 est un réel quelconque appartenant au segment [O, 27r] ; soit : G(g1) = {ma = I cosô +g1 sin0 | 0 e [O,27c]}. a Démontrer que l'ensemble G(g1) est un sous--groupe commqu du groupe G. b. Soit m une matrice de l'espace M ; la matrice exponentielle de la matrice m est définie par la relation expm = E --â-- m". ":o . Calculer la matrice exp(9.gl ). Deuxième partie Cette partie est consacrée à l'étude d'une application définie dans le sous--espace vectoriel Vdes matrices symétriques de M à l'aide d'une matrice du groupe G. Dans toute cette partie, g est une matrice donnée du groupe G, de trace nulle (T rg = O) ; étant donnée une matrice w appartenant au sous-espace vectoriel Vsoit lg (w) la matrice définie par la relation suivante : ' Ig(w) = g.w +w.'g. -3/5-- II-l. L'endomorphîsme lg de V: a. Déterminer la dimension du sous--espace vectoriel réel Vde l'espace vectoriel M Déterminer une base de ce sous-espace vectoriel. b. Démontrer que l'application lg : w ---> lg (w) est un endomorphisme de l'espace vectoriel V. Démontrer que cet endomorphisme lg n'est pas nul. II-2. Propriétés de l'endomorphisme lg : a. Comparer l'endomorphisme lg o lg : w i--> lg(lg(w)) àl'endomorphismew i----> 2g.lg(w). Calculer l'expression lg(g.lg(w)) en fonction de lg(w). Comparer les deux normes || Ig(w) II et Il g.lg(w) Il. Calculer, pour une matrice u de l'ensemble U, l'expression lg (g.u). b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques v et w de l'espace V, les produits scalaires (lg (v) | w) et (v ! 18 (w)). En déduire l'endomorphisme adjoint de l'endomorphisme lg. c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice w de V, les matrices 18 (w) et g.lg (w) sont perpendiculaires. II--3. Une base de l'espace V: Etant données une matrice v de l'espace vectoriel Vtelle que son image par l'endomorphisme lg soit différente de 0 (lg (v) 4h 0), une matrice u de l'ensemble U (u appartient àM, est antisymétrique, u2 = --I), soient kg le produit des matrices g et u, h1 l'image de la matrice v par l' application lg, M le produit des matrices g et h : ho = g.u, h = lg(v), h; = g.lg(v). a. Calculer les produits scalaires de la matrice u avec chacune des matrices h ,, 0 5 i S 2, et des matrices h,«,0 5 i 5 2, deux à deux : (u | h,--),OSiSZ,(hk | h,),05k5152. b. Démontrer que la suite des matrices h ,, 0 S i S 2, est une base de l'espace vectoriel V. Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à l'endomotphisme lg dans cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à l'endomorphisme %lg. Il--4. Un endomorphisme de l'espace vectorielM : Soit 0 un réel donné appartenant au segment [O, 27z] ; soit me la matrice appartenant au groupe G (question 1--5) définie par la relation suivante : ma = 10050 + gsin0. Soit sa l'application qui, à une matrice w de l'espace vectoriel M, associe la matrice mg.w : Sa 2 W l--> "19.W. Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme sa dans la base définie par les matrices Il, ho, h1, 112. -4/5 - Troisième partie Soit m une matrice donnée de l'espace vectorielM. A toute matrice w du sous-espace vectoriel V de M est associée la matrice m.w. 'm. III-1. Endomorphîsme url... de l'espace V: a... Démontrer que l'application w n---> m.w.'m est un endomorphisme de l'espace vectoriel V. L'endomorphisme w o--> m.w.'m de Vest noté w.... Calculer m.u. 'm où u est une matrice de l'ensemble U. b. Déterminer les matrices m de l'espace vectoriel M pour lesquelles l'application v... est l'application identité. III--2. Endomorphîsme wg : Soit g.une matrice, différente des matrices I (identité) et -I, appartenant au groupe G. a Démontrer, à l'aide de la question 1--4, qu'il existe un réel 0 appartenant à l'intervalle ouvert ]0, u[ et une matrice m, appartenant àM, difi'érente de O, de trace nulle, tels que la relation ci-dessous soit vérifiée : g=Icos0+m;06]0,ü[,m GM Soit 7 la matrice définie à partir de la matrice m par la relation suivante : 1 Jdetm b. Exprimer, pour toute matrice w de l'espace vectoriel V, la matrice 1418 (w) en fonction des matrices w, 17 (w), w,(w) et du réel 9. 7= m. c. Soit v une matrice de l'espace vectoriel Vtelle que son image par l'application I, soit différente de 0 (!7 (v) 4: 0). D'après la question H--3.b, la famille y.u, l,(v), 7.I,,(v) est une base de l'espace vectoriel V. Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme wg dans cette base. Calculer le déterminant de cette matrice noté det wg. Caractéfiser la transformation géométrique définie par l'endomorphisme wg. III--3. Endomorphîsmc w... : Soit m une matrice, différente des matrices O, I et --I, appartenant à l'espace vectoriel M. Démontrer qu'il existe une matrice g appartenant au groupe G telle que l'endomorphisme w... soit proportionnel à l'isomorphisme wg. En déduire une interprétation géométrique de l'endomorphisme Win. FIN DU PROBLEME -5/5-

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 Mines Maths 1 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Chevalier (ENS Ulm) ; il a été relu par Brice Goglin (ENS Lyon) et par Clotilde Breuillin (Mines de Paris). Cette épreuve se présente comme un long enchaînement d'exercices plus ou moins difficiles, pour au bout du compte réaliser une étude complète d'un espace euclidien composé de matrices 2 × 2 complexes. Cette étude fait appel à de nombreuses parties du programme, et amène beaucoup de petits calculs sur les matrices, les produits scalaires, les nombres complexes, etc. De la sorte, elle juge avant tout l'aisance du candidat à manipuler de nombreuses notions vues au cours des deux années de classe préparatoire. Peu de connaissances sont indispensables pour traiter le problème ; en revanche, un entraînement substantiel peut se révéler payant avec ce type d'épreuves, comme c'est souvent le cas au concours commun Mines ­ Ponts et Chaussées. Il faut dire également que cette épreuve est relativement longue : le temps imparti n'est que de trois heures alors qu'il en faudrait plutôt quatre pour avoir le temps de la rédiger complètement. Il faut néanmoins éviter de sauter beaucoup de questions, car les résultats ne sont pas donnés et l'interdépendance des parties est assez importante. En particulier, les formules trouvées à la question I.1 et à la question II.2.a sont utilisées intensivement dans toute la suite du sujet. Il y a cependant assez peu de questions vraiment difficiles, et les calculs ne sont jamais très compliqués (en règle générale, dans une épreuve de concours, un calcul trop compliqué est le signe d'une mauvaise voie) ; en deux mots, rien d'insurmontable dans cette épreuve par rapport au niveau général du concours. Indications I-2 En écrivant pour une matrice quelconque de M la formule u + t u = 0, on obtient, pour les éléments de U, peu de degrés de liberté ; notamment, leur trace doit être nulle. On utilise alors une formule trouvée à la question I-1 pour calculer le carré d'un élément de M de trace nulle, et on trouve enfin que U ne contient que deux éléments, u et -u (ce dernier est aussi égal à t u). On peut utiliser ce résultat pour démontrer une propriété pour tout élément de U. I-4.a Écrire d'emblée g = xI+m où m n'a que des imaginaires purs sur sa diagonale, puis vérifier que x peut bien prendre la forme du cosinus d'un angle que l'on appellera : il suffit pour cela que x appartienne à l'intervalle [-1; 1]. I-4.b Vérifier avant tout que m 6= 0 det(m) > 0 pour tout m M. I-5.a Montrer que det(m ) = 1, donc que G(g1 ) est un sous-ensemble de G, puis que m m = m+ , formule dont découlent toutes les propriétés nécessaires pour que G(g1 ) soit un sous-groupe commutatif de G. I-5.b Écrire g1 = m 2 et utiliser la formule ci-dessus pour multiplier les m . Ensuite, écrire exp g1 = I + g1 , à comparer avec le nombre complexe + i dont la valeur peut être calculée en le considérant comme la somme d'une série. II-1.b On peut montrer que lg n'est pas nul en calculant un terme de lg (w) et en montrant que ce dernier ne peut pas être nul pour tout w. II-2.a Attention à cette question calculatoire, dont les résultats sont indispensables pour une grande partie de la suite du problème. II-2.b Écrire le produit scalaire avec la trace et utiliser tous les moyens disponibles pour manipuler une trace, en plus de toutes les principales propriétés des éléments g, v et w. II-3.a Cette question comporte en fait dix questions distinctes, soit dix calculs à réaliser. On n'omettra pas d'utiliser les résultats trouvés précédemment, notamment aux questions II-2.a et II-2.b. II-3.b La question précédente montre que (u, h0 , h1 , h2 ) est une base orthogonale. On en extrait (h0 , h1 , h2 ), base orthogonale de V dont on déduit une base orthonormée en normant les vecteurs. On détermine la matrice en calculant les images par lg des vecteurs de la base. III-1.b On peut répondre à cette question en calculant un coefficient de la matrice t m w m -w, qui doit être nul pour tout w. III-2.c Utiliser la formule obtenue à la question III-2.b pour calculer les images par g des vecteurs de la base ( u, l (v), l (v)). Partie préliminaire 0 M est en bijection avec R4 par la relation qui à (x, y, z, t) associe la matrice x + iy i (z + it) i (z - it) x - iy L'addition est naturellement préservée, de même que la multiplication par un réel. La bijection ci-dessus est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels réels, dotant M d'une structure d'espace vectoriel de dimension 4 sur R. En conclusion, dimR M = 4 Attention : M n'est pas un espace vectoriel sur C. En effet, la multiplication 0 i par les scalaires imaginaires ne stabilise pas M. Par exemple, i = i 0 0 -1 6 M puisque, dès lors que ib = -1, on a b = i et ib = -i2 = 1 -1 0 alors qu'on aurait voulu ib = -1. Si m1 et m2 sont dans M, leur produit (avec les notations naturelles) est : a1 ib1 a2 ib2 a1 a2 - b1 b2 ib2 a1 + ib1 a2 = ib1 a1 ib2 a2 ib2 a1 + ib1 a2 a2 a1 - b2 b1 = a ib ib a avec les nombres complexes a et b définis par a = a1 a2 - b1 b2 et b = b2 a1 + b1 a2 . Par conséquent, M est stable par produit interne. Suite à cette question, la plupart des autres propriétés élémentaires de M, G, U et V sont admises au début de la page 2 de l'énoncé. Il est heureux que celui-ci ne demande pas de faire toutes les vérifications élémentaires que cela demanderait ! Première partie I-1 Soit m= a ib ib a On a alors det(m) = aa + bb et Tr (m) = a + a. Calculons à présent le produit et la somme de m avec t m : a ib a -ib a+a 0 t m+ m= + = = (a + a) I 0 a+a ib a -ib a m + t m = Tr (m) I donc mt m = ce qui revient à À présent, or a ib ib a a -ib -ib a = aa + bb 0 0 aa + bb = aa + bb I mt m = det(m) I g G det (g) = 1 g t g = det (g) I donc g G g t g = I t g = g -1 Supposons maintenant, comme le demande l'énoncé, que Tr (m) = 0. On a alors m + t m = Tr (m) I = 0, donc m = -t m. On calcule m2 en utilisant a + a = 0 = a = -a (a imaginaire pur). 2 a ib a ib a - bb 0 2 m = = = a2 - bb I ib -a ib -a 0 a2 - bb Comme on obtient det (m) = aa + bb = a (-a) + bb = -a2 + bb, Tr (m) = 0 = m2 = - det(m) I Par ailleurs, comme t (AB) = t Bt A, on a 2 (t m) = t m × t m = t m2 = t (- det (m) I) et finalement Tr (m) = 0 = (t m)2 = - det(m) I Cette identité est symétrique de la précédente. I-2 Soit U = {u M | u + t u = 0 ; u2 = -I} Si u est une matrice quelconque de M, on a