ENS Maths D MP (U) 2025

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

JEUDI 17 AVRIL 2025
08h00 - 14h00

FILIERE MP - Epreuve n° 7

MATHEMATIQUES D (U)

Durée : 6 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Le sujet comprend &8 pages, numérotées de 1 à &.

Points entiers dans les polytopes

XX *X

L'objectif de ce problème est de prouver une généralisation en dimension supérieure de

n=l mien
l'égalité 5 r° = 2 où m < n sont deux entiers, découverte par Michel Brion en 1988. d 1-z i=m XX *X Le problème comprend une partie préliminaire, puis 5 parties numérotées de 1 à 5. Les parties 1 et 2 sont indépendantes entre elles. La partie 3 repose sur des notions et sur des résultats de la partie 2. La partie 4 est indépendante des parties précédentes. À tout moment il est possible d'admettre le résultat d'une question et de l'utiliser ultérieurement, à condition de l'indiquer clairement. Le sujet est long et comporte des questions délicates : il est tout à fait normal de bloquer sur des questions et il est possible de réussir l'épreuve sans traiter une part substantielle du sujet. La clarté, la concision et la précision de la rédaction seront prises en compte dans la notation. Notations On note N = {0,1,2,...} l'ensemble des entiers positifs ou nuls et N° = {1,2,3,...} l'ensemble des entiers strictement positifs. On note Z l'ensemble des entiers relatifs, R l'en- semble des nombres réels et EUR l'ensemble des nombres complexes. Pour un ensemble À on note Card À son cardinal. Lorsque n > 1 est un nombre entier, on note (:,:) le produit scalaire canonique dans R".

Pour x ER, on note [x] le plus grand entier inférieur ou égal à x et {x} =x---{|x].
Partie préliminaire

Une fonction P : Z -- EUR est dite quasi-polynomiale s'il existe À EUR Net (k + 1) fonctions
périodiques Co. : ex : Z = C telles que P(n) = DT oci(n}n' pour tout n EUR Z. Si la fonction
ex n'est pas la fonction nulle, on dira que le degré de la fonction P est k et que la fonction
«x est son coefficient dominant.

(1) Montrer que l'ensemble des fonctions quasi-polynomiales forme un C-espace vectoriel.
(2) Montrer que si P.Q : Z -- C sont deux fonctions quasi-polynomiales telles que P(n) =
Q(n) pour tout n > 0, alors P = Q.

Dans la suite, on dira que P : N = C est quasi-polynomiale si c'est la restriction à N d'une

application quasi-polynomiale (uniquement définie grâce au résultat de la question (2)).
(3) Montrer qu'une fonction P : Z -- EUR est quasi-polynomiale si et seulement si il existe

un entier m EUR N° et m polynômes Pp,..., Pn_1 à coefficients complexes tels que pour
tout j EUR {0,...,m--1} et pour tout n EUR CZ congru à j modulo m, on ait P(n) = P;(n).
(4) Soit w une rare de l'unité et p EUR N°. Notons 5% R(n)r" le développement en série

entière de ---- sr Montrer que À est une fonction quasi-polynomiale puis déterminer

son degré et son coefficient dominant.

1 Décomposition d'un entier en parties

Soit k EUR N° et (a1,...,ax) EUR (N°) un k-uplet d'entiers strictement positifs. Lorsque k > 2,
on les suppose premiers entre eux dans leur ensemble. On définit une fonction P : N -- Cen
posant pour tout n EUR N:

P(n) = Card{(m1,...,nx) EUR N°: ma +:.:+ mar =n},
puis on définit la série entière F(x) -- a P(n)r"
(5) Montrer que le rayon de converge de F est supérieur ou égal à 1.
(6) Prouver l'égalité F(r) = Î 5 pour tout x EUR] -- 1,1[.

(7) En déduire que P est une Éntion quasi-polynomiale.
(8) Calculer le coefficient dominant de P.
On suppose dans la suite de cette partie que k = 2.
(9) On suppose dans cette question que (as, a2) = (2,3). Construire une fonction 6 : Z -- Z
de période 6 telle que P(n) -- rte pour tout n EUR N.
(10) On pose a = &,b = az,w, = exp (in /a),un = exp(2ir/b). À partir d'un développement
en éléments simples de la fraction TE j, montrer la formule

1 1 ,n IS un 1 pp
ve D: 1 de du b
FR) 2a , 2b jé ab ' a > 1 -- sit Le: b 2 -- wyfa (s)

pour tout entier n > 0.
(11) Démontrer que

n b'n an
Sr En ee DO
ab a b
pour tout entier n > 0, où a et b* sont des entiers vérifiant a*a -- 1 modulobet bb = 1

modulo a respectivement.

Indication. On pourra utiliser la formule (+) pour b = 1.

2 Étude des polytopes

Soit n > 1 un entier. On commence par une série de définitions.

-- On dit qu'un sous-ensemble compact non vide P EUR R" est un polytope s'il existe un
ensemble fini non vide Z et si pour tout à EUR 1 il existe une forme linéaire £; : R? -- R et
un réel a; EUR R tels que

P={rerR":tl(r) r, notée lim,_,,+ f(y), existe et qu'il existe un nombre fini de réels
x EUR R tels que f(x) # lim,.,,:+ f(y).

Si f EUR Vi, on définit x:(f) par la somme (ayant un nombre fini de termes non nuls)
x(f)= D, (F()-- lim, (u)),
TER

(20) On suppose que n > 1. Soit f EUR U,. Pour z EUR R, on définit la fonction f, : R°!'R
par f:(t1,...,Tn-1) = f(t1,...,Tn-1,2) pour tout (x1,...,x1_1) EUR R°-!. Démontrer
que f; EUR Un-1.

(21) Démontrer que la définition suivante permet de définir une forme linéaire y : W, -- R.
On définit x1(f) par la somme x1(f) = Der (f(æ) -- lim + f(y)), puis pour f EU,

avec n > 1, on pose

Xn(f) = X1(g) avec g défini par g(2) = Xn-1(f:) pour z EUR R.

On montrera en même temps la formule x,(1p) = 1 pour tout polytope P de R"' et on
justifiera que y, est indépendante du système de coordonnées à savoir que pour toute
application linéaire inversible À : R° -- R' on à xA(f © À) = xA(f) pour tout f EUR Us.

(22) Montrer que pour tout polytope P de R" et pour tout x EUR P \ P°, il existe une face
FCPtelequeF#PetzrerF,

(23) Montrer que pour tout polytope P de R', 1po EUR U, et Xn(1po) = (--1) UMP,
(24) En déduire la formule d'Euler 5[(--1)%"# = 1 où F parcourt les faces de P.
F

À
2.3 Triangulations

À nouveau, nous avons besoin d'une série de définitions.
__ On appelle complexe un ensemble fini non vide EUR de polytopes de R" tel que pour tout
P.Q EC, PNQ est soit vide, soit à la fois une face de Pet de Q.
C| = Upee P la réalisation de C.
__ Une face de EUR est un sous-ensemble F EUR |C| qui est une face de l'un des P EUR C.
__ On note y(C) = 5-1) E où F parcourt les faces de C.

__ On appelle simplexe un polytope de R"" de dimension k ayant k + 1 sommets.
PI | Yto] à

-- On appelle

_---- On appelle triangulation de P un complexe formé de simplexes dont la réalisation est
égale à P.

(25) Montrer que si P est un polytope de R" de dimension k# > 0, l'ensemble de ses faces de
dimension À -- 1 forme un complexe.

(26) Soit P un polytope de R" de dimension k > 0 et r EUR P°. Pour chaque face F de
dimension k-- 1 de P on note F, = Conv(FU{x}). Montrer que la famille des F, forme
un complexe dont la réalisation est égale à P.

(27) Montrer que tout polytope admet une triangulation.

(28) Montrer que tout complexe C dont la réalisation est convexe vérifie x(C) = 1.

3 Le polytope de Birkhoff

Soit n > 1 un entier. On note M, (R) l'ensemble des matrices n X n à coefficients réels et
MhAa(Z) l'ensemble des matrices n xn à coefficients entiers. On dit qu'une matrice M EUR M, (R)
est bistochastique si pour tous à,j EUR {1,...,n}ona

n n
M5>0 et D Mx= Mi=l
k=1 k=1

On note B, l'ensemble des matrices bistochastiques de M,(R) et S, le groupe symétrique
d'ordre n.

(29) Montrer que B, est un polytope et déterminer sa dimension.

(30) Pour tout o EUR Sn. on définit P9 EUR M,(R) comme suit : pour à,j EUR {1,2,...,n} on
pose Fÿ = 1 si j = oi), Pÿ = 0 sinon. Montrer que P° est un sommet de B, pour
tout o EUR Sn.

Les deux prochaines questions montrent que tout sommet de B, est de la forme P°.

(31) On suppose que M EUR B,\M,(Z). Montrer qu'il existe une suite (r1, 81), (r2, S2), (re, sk)

de paires d'indices avec k > 2 telle que

0 < Ms, < 1,0 < Mois  0 telle que {M +1Q.t EUR [-e,d} EUR B,, et conclure que tout sommet de B, est de
la forme P°.

4 Développement des fractions rationnelles

Soit n > l'un entier. On note C[{[Z"]] le C-espace vectoriel des fonctions f : Z" -- EUR. Pour
tout > EUR Z" on note à? : Z" -- EUR la fonction qui vaut 1 en + et 0 ailleurs. On pourra aussi
poser 1 = 2°.

Soit (fihier une famille d'éléments de C[[Z"]]. Si pour tout + EUR Z" on a Card{i EUR I :
fi) £ 0} < co, on note g = Ye, fi la fonction définie par g(+) = Ye, fi() pour tout > EUR Z". En particulier, pour tout f EUR C[[Z"]] on a

f= ÿ for.

EUREZz"

On note alors C[Z"] le sous-espace vectoriel de C[[Z"]] formé des fonctions nulles en dehors
d'un sous-ensemble fini de Z". Ainsi {1° : + EUR Z"} est une base de C[Z"].

Pour f,g EUR C[[Z"]|, lorsque pour tout 7 EUR Z" on a Card{(a,B) e Z' x Z':a+8 =
7 et f(a)g(8) À 0} < co, on définit fg par la formule (fg)() = S[ F(a)g(8) a+8=7 pour tout 7 EUR Z"'. On admet que cette opération est commutative et associative quand elle est définie. On admet aussi que cette loi munit C[Z"] d'une structure de C-algèbre commutative intègre et on notera C(Z") son corps des fractions défini ci-après. Un élément de ce corps est une expression de la forme avec P,Q EUR C[Z"] et Q Z 0; deux éléments 4 et a sont identifiés si et seulement si P1Q2 = P2Q:. Ces éléments s'ajoutent et se multiplient comme des fractions usuelles. On peut identifier P EUR C[Z"] à la fraction Ê e C(Z"). On dit que f EUR C[[Z"]] est rationnel s'il existe P EUR C[Z"] non nul tel que Pf EUR C[Z"]. On dit que f est de torsion s'il existe P EUR C[Z"] non nul tel que Pf = 0. On note R le C-espace vectoriel des éléments rationnels de C[[Z"]] et T le C-espace vectoriel des éléments de torsion de C[[Z")]. (33) Dans le cas où n = 1, montrer que les inclusions 0 EUR T CR © C[[Z"]] sont strictes. (34) On définit une application C-linéaire I : R -- C(Z") de la façon suivante. Si f EUR R vérifie Qf = P avec P,Q EUR C[Z"], on pose I(f) = 5. Montrer que I est bien définie, et que c'est une application linéaire de noyau T vérifiant I(Pf) = PI(f) pour tout f EUR R et P e C[Z"]. (35) Soit u : Z" -- R un morphisme de groupes injectif. Montrer qu'il existe une unique application s, : C(Z") -- R vérifiant les trois conditions suivantes : (a) s(Pf) = Psi(f) pour tout f e C(Z") et P EUR C[Z"]. (b) Isu(f)) = f pour tout f EUR C(Z"). c) Su(r) = g" si g est une combinaison linéaire finie d'éléments de la forme 1-g neN : 9 x? avec 7? EUR Z" vérifiant u(+) > 0.

5 Séries d'Euler-Maclaurin

Soit n > l'un entier. Soit À C R'" un sous-ensemble. Si + EUR R" on pose 7+ A = {y+a.a EUR
A}. Notons

Ea= Y. re C[[7"].

nEANZ?"
Si EA est rationnel (au sens défini dans la partie 4), on posera 1E4 = I(E4), où la fonction I
a été définie à la question (34).

5.1 Rationalité des séries associées aux cônes
(36) Montrer que si A et B sont deux sous-ensembles de R" et > EUR Z"" on a
Eau + Eang = Ea + Eg et E,}4 = 2'E4.

(37) Soit %1,-..,7x une famille de vecteurs de Z" EUR R' et

L
Cn:...,%) = {St : (isste) EUR (0, +ooff }.

Montrer que si Y,...,7k est une famille libre, E,;c(n.") est rationnel pour tout
v EUR R'.

(38) Généraliser la question précédente dans le cas où %1,...,7x EUR Z" est une famille de
vecteurs pas forcément libre mais pour laquelle il existe une forme linéaire £: R® --R
telle que £(;) > 0 pour i = 1,...,k.
Indication. On pourra trianguler le polytope P = {x EUR C(n,...,%) : EUR(x) = 1}.

5.2 Le théorème de Brion

Soit P C R* un polytope défini par P = {x EUR R": li(x) < a; pour tout à EUR 7}, où L est un ensemble fini et pour tout à EUR I, £; : R° -- R est une forme linéaire et a; EUR R. On dit que P est rationnel si pour tout EUR lona a; EUR Z'et li(x) EUR Z pour tout x EUR Z". Soient x EUR P et y EUR R"\ P. On dit que y voit æ si [x,y] N P = {x}, on a noté ici (x, y] = Conv({r, y}), le segment d'extrémités x et y. On note enfin E, l'ensemble des points de P vus par y. (39) Montrer que pour tout y EUR R'\P, Z, est la réalisation d'un complexe composé de faces de P. (40) Prouver que si y EUR R"\ P, on a X(Zy) = 1. Indication. On pourra choisir un hyperplan H et se ramener à montrer le même résultat pour {{[y,2]NH: 2e 5,)}. (41) Soit F une face de P et Soit y E R"\ P : montrer que y voit F, c'est-à-dire FC YX,, si et seulement si y # Cr. Dans la suite de cette partie 5.2, on suppose que P est rationnel. 42) Montrer que Ec. est rationnel pour toute face F de P et que Et, est de torsion si F F dim EF > 0.
(43) Prouver l'égalité
(dy FEcy _ Ep.
F face de P

(44) En déduire le théorème de Brion : pour tout polytope rationnel P, EP est rationnel et
on a

IEp=  Y IE.

v sommet de P

5.3 Application au théorème d'Ehrhart

Soit & EUR N°, n....,y%x EUR Z' et P = Conv(n,...,#%). Pour tout entier £ EUR N, on note
tP={tzr,re P}.

(45) Montrer l'égalité suivante pour t EUR N' :

IEp= D, "IE.

v sommet de P
(46) Montrer qu'il existe un polynôme fP(x) à coefficients complexes tel que pour tout t EUR N
on ait Card(tP NZ") = fp(t).

(47) Supposons maintenant que P est un polytope rationnel. Montrer qu'il existe une fonc-
tion quasi-polynomiale fP tel que Card(tP NZ") = fP(t) pour tout t EUR N.

Pour tout entier k > 1, notons

H,(k) = Card {a e M,(Z) : M5 > 0,9 Mie = Y Me = k pour i,j = 1,... "|
£=1 =1

(48) Montrer que H,(k) est un polynôme en k et déterminer son degré.