ENS Maths C MP-MPI (ULSR) 2025

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

VENDREDI 18 AVRIL 2025
08h00 - 12h00

FILIERES MP et MPI

Epreuve n° 9

MATHEMATIQUES C (ULSR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Q ) à û / ,
Fonctions d'un grand nombre de variables aléatoires

Soit (9, .4, P) un espace probabilisé. Les variables aléatoires sur Q intervenant dans le problème
sont discrètes, à valeurs dans des sous-ensembles dénombrables de R.
Rappels, notations

Soit X une variable aléatoire positive ou nulle, à valeurs dans l'ensemble {r,;n EUR N} C R+.
L'espérance de X est

E[X] = Dre = th): (1)

Dans le cas général où X est une variable aléatoire à valeurs dans l'ensemble {r,in EN} CR,
et si E[|X|] est finie, l'espérance de X est par définition la quantité

E[X] := D 2 P(X =) =, lim Dex = In). (2)
n=0
Si E[X°?] est finie, alors E[|X|] est finie et on a
(OElIX|)* < E[x?]. (3) Dans ce cas, la variance de X est la quantité Var(X) :=E [ex -E [x] . (4) On rappelle l'expression alternative Var(X) = E[X?] -( (E(X]) (5) On rappelle aussi l'inégalité de Markov : si X est une variable aléatoire positive ou nulle d'espé- rance finie et t > 0, alors

PIX > +) < EUX]. (6) On dit que des variables aléatoires X1, X2,..., À sont indépendantes si Efy(X1)- nv (Xn)] = Efpi(X)]: E [UN (XN)] (7) pour toutes fonctions bornées Y1,...,Y#n: R --R. On note 14 la fonction indicatrice d'un ensemble À, de sorte que 14(x) = 1 si EUR A et 0 sinon. On appelle constante numérique toute constante absolue (telle que 2,6, In(2), e%, cos(46), etc.) indépendante des paramètres intervenant par 8 ailleurs, qui sont les suivants : la constante K, le nombre N, et les variables aléatoires X1, X2 :: I Amplitude d'une somme de variables aléatoires Soit N EUR N°. On considère N variables aléatoires X51,..., XN identiquement distribuées et satisfaisant, pour une certaine constante X° 2 1, et pour tout n EUR {1,..., N}, et E[An]=0, Var(\,) 1, donner un exemple de variables aléatoires satisfaisant les hypothèses
(8)-(9) et telles que P(|Sx| > N) > 1/2.

1.3) On suppose que les variables aléatoires X1,..., Xx sont deux à deux décorrélées, c'est-à-
dire :

Vi 0,
1
P (IS! > VW) <3- (13) 1.4) Soit k un entier supérieur ou égal à 2. On dit que des variables aléatoires (Y,):>1 sont
k-indépendantes si

Efp1(Yn) ++ Ve (Yn)] = Eli (Vn)l EE [Uk (Yn)] (14)

pour tous indices 1 < n1 <-::< nx et pour toutes fonctions bornées #1,...,#x: R--R. 14.2) Démontrer que la k-indépendance implique la j-indépendance si j < k. L4.b) Qu'est-ce que la N-indépendance pour N variables aléatoires Y1,...,YN ? LA4.c) Soit Y1 et Y2 des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur {0,1} : pour n = 1,2, 1 P(Yh = 0) = P(Yn = 1) = 5" (15) Soit Y3 la variable aléatoire sur {0,1} définie par Y3:=Y1+Y2 mod 2. (16) Démontrer que les variables aléatoires (Y1, Y2, Ya) sont 2-indépendantes mais pas 3-indépendan- tes. 15) Soit À un entier pair dans {2,..,,N}. On suppose dans cette question que les variables aléatoires X1,...,XN sont k-indépendantes. On introduit les notations suivantes : T désigne l'ensemble {1,..., NN} SiT =(m,...,n)eT et ne {1,...,N}, on note mr(n) la multiplicité de n dans T', c'est-à-dire mr(n) = Card{ie {1,...,k};ni=n}. (17) Pour £ EUR {1,...,k}, on note 7e l'ensemble des T dans T faisant intervenir exactement £ indices distincts, et où chacun a une multiplicité au moins 2, à savoir : T EUR Te si Card({n EUR {1,...,N}; mr(n) > 0}) -- £, (18)

et
Vne{1,..,N}, mr(n) >0= mr(n) >2. (19)

Enfin, on notera [74] le cardinal de 74.

1.5.a) Déterminer [7i| et [Tel pour £ > k/2.
1.5.b) Justifier
N
sf] - E Tex"), .
TET n=1

puis

k/2 N
E [ts] =DYSIIE [xart)] (21)

{=1TETIn=1
1.5.c) Démontrer que
k/2
E[(S\)"] < D K*-217. (22) 4=1 1.5.4) Soit £e {1,...,k/2}. Justifier l' estimation suivante : EUR ITel < (Je < Té. (23) On pourra considérer l'ensemble des T EUR T faisant intervenir au plus £ éléments distincts. L.5.e) Pour £ EUR {1,...,k/2}, démontrer que a > te", (24)

puis en déduire que

k-e
ris (et (à) (25)

L.5.f) Démontrer que

k/2

(a). (26)

=

£[(sw"] < Ol = Il 1.5.g) On suppose kK?< N. (27) Démontrer que _ sén è 0 Nek\° Nek\" k Me <2 : 28 e[s']< (5) c2(%) ss) is 2Ne (29) 7 kK? 1.5.h) Démontrer (sous l'hypothèse (27)) l'estimation suivante : pour tout t{ > 0,
k
vVek/2
P(ISn| > tVN) < | . / | | (30) L6) On suppose maintenant que les variables aléatoires X1,..., Xx sont indépendantes, de sorte qu'elles sont k-indépendantes pour tout k EUR {2,...,N}. On veut maintenant établir la borne suivante : il existe des constantes numériques a, 5 > 0 (indépendantes de K > 1 et N) telles que
pour tout { > O,
P(ISn| > tVN) < Bexp(--at?/K?). (31) 1.6.a) Justifier qu'il suffit de considérer le cas K = 1, ce que l'on fera dans les trois questions suivantes. N 1.6.b) Soit k le plus grand entier pair de {1,..., N} inférieur ou égal à = Justifier que (27) est satisfaite si e 0 telles que (31) est vérifée pour
tout t > 0.
II Concentration de combinaisons de variables aléatoires
L'espace R\ est muni du produit scalaire canonique noté (:, +) et de la norme euclidienne associée,

notée |-|: pour x ER",
Ie := {z,x)1/2 (34)

Soit (e;)1 0 telles que pour toute fonction 1-lipschitzienne et convere F': RV =; R, pour tout
me R, pour tout t > 0,

P(F(X)>m)> > -- P(F(X) o) < exp (+) . (42) I1.1.b) Démontrer que (37) est vérifiée. IL2) Soit x un point arbitraire de Q". Soit P\ l'ensemble des sommets de l'hypercube [0,1], c'est-à-dire l'ensemble des combinaisons linéaires des e; pour à EUR {1,..., N} à coefficients 0 ou 1. Si À est une partie non-vide de Q", ou définit les sous-ensembles P4(x) et Ra(x) de PY comme suit : soit H; l'hyperplan orthogonal à e;, engendré par les e; pour j # à. Alors z EUR Pa(x) siil existe a EUR À tel que Vie{1,...,N},2EUReHi--a-zedH,;, (43) tandis que z EUR RA(x) si il existe a EUR À tel que vVie{1,...,N},z2eH N peut se réécrire comme combinaison convexe d'au plus m éléments de B.

I1.2.e) Soit B un sous-ensemble non-vide de RY. Démontrer que l'(B) est un ensemble convexe,
et qu'il est compact si B l'est.

IL.2.f) Représenter graphiquement et nommer (en tant qu'objet géométrique) l'enveloppe con-
vexe T(B) en dimension N = 3, dans les trois cas suivants :

B={e,er,e1+e2}, B={e,e,e1 +e2,e>+es}, B= Pi. (50)

Pour chacun de ces exemples, dire si B peut correspondre à un ensemble PA(x).

I1.2.g) Soit À C Q" non-vide et x EUR Q". Justifier que l'inf dans (48) est atteint.

11.2.h) Soit À C QN non-vide et x EUR Q". Justifier que q(x, À) < VN. A quelle condition a-t-on g(x, À) = 07? IL2.i) Soit x EUR QN et A C QN non-vide, Justifier que q(z, À) = inf{lzlz EUR T(Ra(x))}. (51) 11.2.j) Soit x EUR QN et A C QN avec À convexe. Démontrer que d(x, À) < 2Kq(x, À). (52) I1.2.k) Soit + > 0 une constante numérique. Démontrer que la propriété :
« pour tout ensemble À C Q" convexe, on a P(X EUR A)E {exp (ra(X, A)°?)] <1» (53) implique (37). 11.3) Soit 1 LA Yo -- à (54) L'objet de la fin de cette partie ITest Ja preuve par récurrence sur la dimension N de la propriété (53), pour + -- +0. Pour N entier naturel non nul, on introduit donc l'hypothèse de récurrence HX suivante : « Soit (0,4, F) un espace probabilisé, Soit N variables aléatoires X3...., X y à valeurs dans un ensemble fini, indépendantes et identiquement distribuées, satisfaisant (R) et soit X = (Xi)iien le vecteur aléatoire de composantes X3...., Xn. Alors (53) est vérifiée pour + -- 0 -- î ». 11.3.a) On considère le cas N = 1. Démontrer que (53) est satisfait lorsque + < In(2). et donc pour ? = 0. On suppose maintenant N > 1, et on se fixe À C QN convexe. On adopte les notations suivantes :
on décompose

T--(T,TrnN) avec 3 = (rihicsen 1 EUR RNT 1. (55)

SiACR"et0EUR R, on note
Ao:= {be R\-!;(b,0) EUR A} (56)

la section de À au niveau @. On note aussi
ÀA:={aeR"-1;30EURR,(à,6) EUR A} (57)
la projection de À sur R\-1,
11.3.b) Soit r EUR QN. Soit À C Q\ tel que A4, soit non-vide. Soit z EUR PN-1. Démontrer que
ZE Pa, (&) -- (3,0) EUR Pa(x) (58)

et
ze PA(x) -- (Z, D) EUR PA(x). (59)

I1.3.c) Démontrer que, pour tout À EUR [0,1], on a
g(x, AP < (1-- A)? + À 9(, 4e)? + (1 -- À) (8, À). (60) On fixe rw EUR R tel que P(Xw = rw) > 0 et on considère la probabilité

P(BN{XN =zNn})

P(B) := P(BIXN = zN) = PXy=27) PouBed4, (61)
ainsi que l'espérance associée
E[Z] := EE à [Zl{xn=zn)] (62)
pour toute variable aléatoire Z.
IL3.d) En admettant l'hypothèse de récurrence HN-1, démontrer
P(X EUR A)E [exp (09(X, A)°)] < e*, (63) et justifier que, pour tout À EUR [0,1], on a P(X EUR A5) P(X EUR A)'TXE [exp (n0q(X, A}°)] < evwti-x}?, (61) Indication : on pourra admettre l'inégalité de Hôülder : EfeYen-n2] <{Ef TP {E(e]} (65) pour À EUR [0,1] et Y,Z des variables aléatoires. On prendra par ailleurs soin de bien préciser quel est l'espace probabilisé considéré dans l'application de Hn_1. I1.3.e) On suppose L P(X EUR À) > 0, (66)

et on définit

_ P(X EUR An)
Démontrer que
re-w(-X*p(X EUR À)E [exp (109(X, A)?)] < 1. (68) IL.3.f) On admet provisoirement l'inégalité suivante : pour tout + EUR [0,0], pour tout r EUR]0, 1], 1 À =1(1-2)? < sup re? . 2-r. set . Justifier que à P(X EUR À)E [exp (19(X,4)°)] < (2-r). (70) On distinguera les cas P(X EUR 4,4) > 0 et P(X EUR Az) = 0.
IL.3.g) Démontrer que

P(X EUR A)E [exp (09(X, 4)°) 1{xw=z,3] < R(2--r)P(XN = zn), (71) » R- PU EUR A) " PXEÀ) (72) IL3.h) Démontrer que P(X EUR A)E {exp (19(X,4)°)] < R(2 -- R), (73) où R est défini dans (72), puis démontrer (53) et conclure l'hérédité Hy_1 = Hn. On prendra bien garde à tenir compte du cas où (66) n'est pas vérifié. IL3.i) Justifier (69).