E3A Maths B MP 2008

Thème de l'épreuve Convergence d'une série de Fourier. Équation aux dérivées partielles. Droites à distance 1 de deux autres.
Principaux outils utilisés séries de Fourier, fonctions de plusieurs variables, géométries affine et vectorielle

Corrigé

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 E' 23 CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques B MP Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. LK57 E 3 a CONCOURS ENSAM -- ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques B MP Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Exercice I 1. On considère la fonction g de variable réelle définie par : g(u) : 01 là 162 sin(t u) dt. (a) Montrer que la fonction g est définie sur R. (h) Déterminer, pour tout u > 1, un réel ou dans ]0,1[ tel que : /aî JÎÎ--ÎÏÎ dt : ----\--ËÎ (c) Dériver t r----> 1t_ t2 et intégrer par parties [0% \/ÏÎ_ÎZÎ sin(t u) dt pour en déduire que : Vu > 1, |g(u)l $ --\Î----Ü 2. Soit f la fonction 27r-périodique sur R dont la restriction à ] ---- 7r, 7r] est représentée dans un repère orthonormal (O, ?, ?) par le demi--cercle de centre O, de rayon W et d'ordonnées positives. (a) Pour tout oe EUR ] --- 7r, 7r], donner l'expression de f (gr) en fonction de a:. (b) Énoncer le théorème de DIRICHLET. S'applique--til à la fonction f '? 3. (a) Exprimer, pour n 6 N, les coefficients de FOURIER trigonométriques de f notés an et b,,. 2 (b) Montrer que : Vn E N'", a,, : -7-OE-- g(7r n). 4. (a) Établir la convergence normale de la série de FOURIER de f. Cela contredit-il le 2°b ? (b) Montrer à l'aide du théorème de PARSEVAL que la série de FOURIER de f converge vers f. Exercice II Soient les fonctions f : R2 ---> IR de classe %"2 telles que : V(a:, y) EUR R2, f (56, y) 74 0, ainsi que l'équation : 82 f Ôf ô'f 1. (a) Montrer qu'une telle fonction f vérifie l'équation (EUR ) si et seulement si il existe une fonction réelle @, de classe "61 sur R, telle que : V(w,y) 6 R2, â--£-- (...) == a<æ> f<æ,y>. (b) En déduire que les solutions de (EUR ) ne s'annulant pas sont exactement les fonctions de la forme (a:,y) +---> _go(æ) My), où cp et gb sont des fonctions de classe 'EUR2 sur R ne s'annulant pas. Pour une telle solution f de (EUR ), y--a--t-il unicité du couple (cp, @) ? (c) Soient g et h deux fonctions de classe (62 de R dans R* et telles que g(0) : h(0). Montrer qu'il existe une et une seule solution f de (EUR ) ne s'annulant pas et telle que : Va: EUR IR, f(æ,0) = 9(OE) et W} EUR R f(0ay) = h(y)- 2. Dans cette question, f désigne une solution de EUR sur R2, strictement positive. (a) Montrer que f présente en (oe0,yo) un maximum local si et seulement si les fonctions a: +---> f(æ, yo) et @) +----> f(æ, yo) présentent respectivement en 330 et en yo un maximum local. (b) En déduire que l'ensemble des points de llEURä2 où f présente un maximum local est de la forme A >< B, où A et B sont deux parties de lR a préciser. 3. Soit maintenant la fonction F : R2 ----> R définie par : V(oe,y) EUR lR2, F(oe,y) : (:ry)3 + loeyl3. (a) Montrer que F est de classe %? sur R2. (On pourra écrire F comme une composée). (b) Démontrer que F vérifie l'équation (é' ) (c) Montrer qu'il n'existe pas de fonctions < D, HH' : Oh { MN. On a donc HH' : min{MN| (M, N) E A >< D} : d(A,D) : c'est la distance de A à. D. On rappelle d'autre part que si D est parallèle à. A, la distance de A a D est l'une quelconque des distances NN', lorsque N EUR D et que N ' désigne le projeté orthogonal de N sur A. 3. On note % le cylindre de révolution d'axe A et de rayon 1. (a) Donner une équation cartésienne de (EUR et en déduire que les plans tangents a ce cylindre sont les plans d'équations oe cosw + y sinw : 1, pour ou E ] ---- 71", W]. (b) Montrer que toute droite D telle que d(A, D) = 1 est incluse dans un plan tangent a %" . (c) Réciproquement, toute droite D incluse dans un plan tangent a % vérifie--telle d(A, D) = 1 ? 4. Soit A' une droite parallèle à. A et telle que d(A, A' ) == 1, coupant le plan Il en un point O' . (a) Soient, dans le plan II, les cercles I' et I" de rayon 1 et de centres respectifs O et O' . Déterminer dans ce plan les tangentes communes à F et I". _; _) (On pourra au besoin considérer le plan Il comme orienté par la base ( z , ] ).) (b) Décrire précisément l'ensemble des droites affines D de E telles que d(A, D) : d(A' , D) = 1.

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 E3A Maths B MP 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (ENS Cachan) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Guillaume Batog (ENS Cachan). Le sujet comporte trois exercices indépendants. · L'exercice 1 porte sur les séries de Fourier : il étudie un exemple de fonction développable en série de Fourier au sens de la convergence normale, mais ne relevant pas pour autant du théorème de Dirichlet. Il nécessite de bien connaître les théorèmes relatifs aux séries de Fourier mais aussi les convergences de séries de fonctions. · L'exercice 2 propose de résoudre une équation aux dérivées partielles d'ordre 2. On montre que les solutions ne s'annulant pas sont des fonctions de classe C 2 à variables séparées. On étudie ensuite une conséquence de ce résultat sur les extrema locaux des solutions, puis on termine par l'étude d'un contreexemple. Cet exercice utilise les notions au programme de première année sur les fonctions de deux variables. · L'exercice 3 traite de géométrie dans l'espace euclidien de dimension 3 : il vise à déterminer l'ensemble des droites à distance 1 de deux droites parallèles distantes de 1. Le raisonnement est largement guidé, mais il faut savoir manipuler à la fois les géométries vectorielle et affine pour réussir. Comme dans tout exercice de géométrie, il est utile de faire des dessins pour soutenir l'intuition et appuyer les démonstrations. Il s'agit, au moins dans les exercices 2 et 3, d'un sujet étonnant puisqu'il aborde des thématiques sur lesquelles on s'attarde peu en deuxième année. Cependant, la seconde épreuve du concours E3A a pour but d'évaluer les candidats principalement sur des sujets qui ne sauraient faire l'objet d'un problème de quatre heures : il est donc important de ne négliger aucune partie du programme des deux années de préparation. Indications Exercice I 1.a Montrer que l'intégrande de g(u) est une fonction intégrable sur [ 0 ; 1 [. Z 1 1 1.b Calculer, pour ] 0 ; 1 [, l'intégrale dt. 1 - t2 1.c Pour obtenir la majoration, découper l'intégrale en deux parties selon les intervalles [ 0 ; u ] et [ u ; 1 [, puis majorer indépendamment chacun des termes. 2.a Écrire l'équation cartésienne du cercle de centre O et de rayon . 2.b Montrer que f n'est pas de classe C 1 par morceaux. 3.b Utiliser l'expression de f trouvée à la question 2.a pour expliciter le coefficient an . 4.a Utiliser la relation de la question 3.b, ainsi que la majoration de la question 1.c. 4.b Le théorème de Parseval fournit une convergence en norme k · k2 . Combiner ce résultat avec la convergence uniforme (c'est-à-dire en norme k · k ) qu'implique la convergence normale démontrée précédemment. Exercice II 1.a Pour démontrer le sens direct de l'équivalence, il s'agit de poser 1 f u(x, y) = (x, y) f (x, y) x et de démontrer que cette fonction ne dépend pas de la variable y. 1.b Pour trouver à partir d'une solution de (E ), exhiber une fonction a vérifiant les conditions de la question 1.a, considérer A une de ses primitives, puis poser (x) = eA(x) avec R . 1.c Poser f (x, y) = g(x)h(y)/g(0) pour l'existence de la fonction f . 2.a Il y a une erreur dans l'énoncé : les fonctions partielles considérées sont les fonctions x 7- f (x, y0 ) et y 7- f (x0 , y). Utiliser la définition d'un maximum local. 3.a Montrer que F(x, y) = g(xy) avec g : R - R une fonction de classe C 2 . 3.b Dériver la fonction composée de la question 3.a. 3.c Raisonner par l'absurde et utiliser les valeurs de F(x, x), F(x, -x) et F(-x, x). Exercice III 1.a Utiliser le théorème de Pythagore. 1.b Montrer que p(D) est soit un singleton, soit une droite. 2.b Appliquer l'inégalité et le cas d'égalité de la question 1.a aux couples (H, H ) et (M, N), ainsi que le théorème de Pythagore dans le triangle Ohp(N). 3.a Quelle est l'équation cartésienne de l'ensemble défini comme l'intersection du cylindre C avec le plan affine ? Pour trouver l'équation des plans tangents, penser à utiliser le gradient pour trouver un vecteur normal. 3.b Distinguer deux cas : les droites parallèles à et les autres droites. 4.a Munir le plan d'une base orthogonale dans laquelle les points O et O ont pour coordonnées respectives (0, 0) et (1, 0). 4.b Dans le cas d'une droite D non parallèle à , utiliser les notations de la question 2 pour montrer que le projeté de D sur est une tangente commune aux deux cercles et . Conclure grâce à la question précédente. Exercice I 1.a La fonction g est une intégrale à paramètre. Fixons u R et montrons que g(u) est bien définie. Notons h(t) l'intégrande, c'est-à-dire ( [ 0 ; 1 [ - R h : t t 7- sin(tu) 1 - t2 La fonction t 7- 1 - t2 ne s'annulant pas sur l'intervalle [ 0 ; 1 [, on peut déduire par composition, produit et inverse de fonctions continues que la fonction h est continue sur [ 0 ; 1 [. Pour tout t [ 0 ; 1 [, |t sin(tu)| 6 1. De plus, 1 1 1 =p - 2 1-t 2 1-t (1 - t) (1 + t) t1 1 ainsi h(t) = O - t1 1-t La fonction t 7- 1/ 1 - t est positive et intégrable sur l'intervalle [ 0 ; 1 [ car on peut se ramener à la fonction intégrable de référence x 7- 1/ x, définie sur ] 0 ; 1 ], par changement de variable x = 1 - t. D'après le théorème de comparaison pour les fonctions positives, h est intégrable sur l'intervalle [ 0 ; 1 [. Donc g(u) est bien définie. La fonction g est définie sur R. 1.b Soit ] 0 ; 1 [. Calculons l'intégrale Z 1 1 t dt = - 1 - t2 = 1 - 2 2 1-t r 1 Ainsi, considérons u = 1 - u Z 1 p t 1 De ce fait, 0 < u < 1 et dt = 1 - 2u = 2 u u 1 - t 1.c Notons la fonction t 7- t/ 1 - t2 définie sur [ 0 ; 1 [ : elle est dérivable sur [ 0 ; 1 [ car c'est le quotient de deux fonctions dérivables sur [ 0 ; 1 [ dont le dénominateur ne s'annule pas sur [ 0 ; 1 [. Dérivons en utilisant la dérivée d'un quotient. 1 - t2 + t2 / 1 - t2 1 t [ 0 ; 1 [ (t) = = 1 - t2 (1 - t2 )3/2 Soit u > 1 fixé. Intégrons par parties l'intégrale de l'énoncé en intégrant la fonction t 7- sin(tu) et en dérivant la fonction t 7- t/ 1 - t2 : Z u Z u t cos(tu) t - cos(tu) u 1 sin(tu) dt = + dt 2 2 2 u u 1-t 1-t 0 0 (1 - t ) 0 Z u u cos(u u) 1 cos(tu) =- + dt 2 2 u u 1 - u 0 (1 - t ) u u u-1 or, = = 2 u/ u u u 1 - u Z u Z u t cos(tu) u-1 1 sin(tu) dt = - cos(u u) + dt u u 1 - t2 0 0 (1 - t2 ) En découpant l'intégrale g(u) en deux parties, par la relation de Chasles, et en utilisant l'inégalité triangulaire ainsi que la question précédente, on a pour tout u > 1 Z 1 Z u t t |g(u)| 6 sin(tu) dt + sin(tu) dt 2 1-t 1 - t2 0 u Z u 1 cos(tu) u-1 1 6 cos(u u) + dt + 2 u u u 0 (1 - t ) 1 Le premier terme de la somme ci-dessus est majoré par puisque u u-1 u-1 u 1 u > 1 cos(u u) 6 6 = u u u u Le deuxième terme, en majorant |cos(tu)| par 1, vérifie : Z u Z 1 u 1 1 cos(tu) dt 6 dt 2 u u 0 0 (1 - t ) (1 - t2 ) u 1 t = u 1 - t2 0 u = u 1 - u 2 u-1 = u Z u 1 1 cos(tu) dt 6 u u 0 (1 - t2 ) En résumé u > 1 3 |g(u)| 6 u 2.a Commençons par tracer le graphe de la y f (x) fonction f (voir figure). Soit x ] - ; ]. Sur cet intervalle, le graphe de la fonction f est le demi-cercle de centre O, de rayon et - x 0 d'ordonnées positives. Ainsi, le point M de coordonnées (x, f (x)) fait partie de ce demi-cercle. En exploitant l'équation cartésienne du cercle de centre O et de rayon , les coordonnées du point M vérifient 2 x + f (x)2 = 2 f (x) > 0 Ainsi, en extrayant la racine carrée, on trouve x ] - ; ] f (x) = 2 - x2 2.b L'énoncé du théorème de Dirichlet est : Soit v une fonction continue par morceaux, 2-périodique. Si v est de classe C 1 par morceaux sur R, alors la série de Fourier de v converge simplement sur R et a pour somme v(t+ ) + v(t- ) P a0 + + an cos(nt) + bn sin(nt) = 2 2 n=1 où (an )n>0 et (bn )n>1 sont les coefficients de Fourier réels de la fonction v.