E3A Maths B MP 2007

Thème de l'épreuve Solutions de xy'+α y =F(x). Recherche d'extréma. Solutions d'une équation déterminantielle.
Principaux outils utilisés théorème de Cauchy-Lipschitz, fonctions de deux variables réelles, algèbre linéaire, déterminants

Corrigé

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GN66 e 3 & CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques B MP durée 3 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. L'usage de la calculatrice est interdit Exercice 1 Soit F une fonction de classe 600 sur R développable en série entière sur R. On pose : Soit & un réel strictement positif. On considère l'équation différentielle 5 : æy' + ay : F(oe). 1. On désigne par J un intervalle de R qui ne contient pas 0. Résoudre sur J l'équation homogène :cy' + ay == 0 ; on pourra poser 2 : loe|°'y et déterminer une équation différentielle du premier ordre vérifiée par z. On désigne par I la réunion des intervalles ] -- 00, O[ et ]O, +oo[. 2. 2a) Résoudre sur I l'équation homogène a:y' + ay : 0 2b) Quelles sont les solutions sur I de l'équation homogène :cy' + ay : 0 qui admettent une limite finie en 0 '? 3. Soient a,b deux réels. Justifier que l'équation différentielle 8 admet une unique solution f définie sur I et telle que f ( -----1) = a et f (1) = b. On énoncera précisément le théorème utilisé. 4. Montrer qu'il existe au plus une solution de EUR sur I qui admet une limite finie en O. 5. Soit f une fonction développable en série entière ; son rayon de convergence noté R est supposé non nul. On note (az--)OEN les coefficients de f : Vac EUR] -- R, R[, f(oe) = z a.æi. z"=0 5a) On suppose que f est solution de l'équation différentielle 5 sur ] -- R, R[. Exprimer les coefiicients (ai)iEURN en fonction des coefficients (Üi)z'EURN de F. Que peut on dire alors de R'? 5b) Réciproquement, démontrer que 8 admet une unique solution développable en série entière sur R. On introduira la série entière : dont on déterminera le rayon de convergence. 5c) Au vu des résultats précédents, quelles précisions peut--on apporter à la question 4 '? 6. Dans cette question, V:): E R, F (:D) : eoe . 6a) Soit il: EUR]0, +oo[ ; démontrer que l'intégrale f0æ ta_1etdt est convergente. On définit h sur ]0, +oo[ en posant : 1 CC Vac EUR]0,+oo[, h(oe) : --/ ta_1etdt. () 6b) Montrer que il est solution de l'équation différentielle 8 sur ]0, +oo[. 6c) Montrer que h(a:) admet une limite finie lorsque oe tend vers 0 par valeurs positives. Déterminer cette limite. Gd) En déduire que : Exercice 2 Soit f la fonction définie sur R2 : f(oe, y) = 5123 -- 8oe(1 + y2). Dans l'exercice, on considère le disque unité D et le cercle unité C : 19={(æ3.y)6R2lil?'+y2 < 1}, C: {(oe,y) EURR2 |:I:2+y2 : 1}. 1. On se propose d'étudier les éventuels extrema locaux de f. la). lb). lc). 1d). le). H). Justifier que f est de classe C°° sur R2. Calculer les dérivées partielles % et % de f au point (oe0,yo). Démontrer que les peints (SEQ, yo) tels que %£(:m, yo) : 0 et %£(oe... yo) : 0 sont exacte-- ment les points (1, O) et (--1,0) . Effectuer un développement limité à. l'ordre 2 de la fonction (h, k) >--> f (1 + h, k) au voisinage de (0,0). Le point (1, O) est--il un extremum local de f ? Si oui, est--ce un minimum ou un maximum local '? De même, le point (--1,0) est--il un extremum local de f ? Si oui, est--ce un minimum ou un maximum local '? Justifier votre réponse. Quels sont les extrema locaux de f ? On énoncera avec soin le théorème utilisé. 2. Désormais, soit 9 la fonction définie sur le disque unité D par g(oe, y) = 333 ---- 3æ(1 + y2). Za). 2h). 2c). Qd). Justifier que g admet un maximum A et un minimum a sur D. Démontrer que A ne peut être atteint que sur le cercle C . Montrer que, Vt E R, g(cos t, sin t) = 2 cos t(2 cos2 t -- 3). En déduire la valeur de A et les points de C sur lesquels f atteint cette valeur. Déterminer la valeur de a et les points de C sur lesquels g atteint cette valeur. Exercice 3 Soit n un entier naturel 2 1. On considère Jn la matrice de taille n à coefficients réels dont tous les coefficients sont égaux à % : 1 1 1 H 5 H 1 1 1 1 1 1 Le vecteur de R" dont toutes les coordonnées sont égales à. 1 est noté v. 1. Montrer l'égalité Jnv : v. 2. Déterminer l'image de Jn. Quelle est la dimension du noyau de J,, '? 3. Calculer Jä. 4. Montrer que J,, est diagonalisable. Expliciter ses valeurs propres et pour chacune, préciser la multiplicité. Soit M une matrice de taille n à coefficients réels. 5. Dans cette question, on considère l'équation 8 d'inconnue le réel £L' : det(M + {BJ,--,) : 0 (8). On note 85 l'ensemble des solutions de l'équation EUR . (a) Lorsque M = 0, la matrice nulle, déterminer 85. (b) Lorsque M = I , la matrice identité, montrer que 85 est réduit à. un unique élément. Préciser cet élément. (c) On suppose M inversible. Soit 56 E R. (i) Montrer qu'un vecteur W dans le noyau de M + £L'Jn est colinéaire au vecteur M "lv. ' (ii) Soit W : M"1v. En notant a la somme des coordonnées du vecteur M"1v, démontrer l'équivalence : (M+oeJn)w : 0@ (1+oe%) : 0. En déduire que 85 est au plus de cardinal 1. Pour quelle valeur de a, l'ensemble 55 est--il vide ? (d) On se propose de déterminer 85 lorsque M est non inversible. (i) Montrer que 55 est non vide. (ii) S'il existe un réel b tel que M + (Un est inversible, établir une bijection entre Sg et l'ensemble des solutions de l'équation (F ) d'inconnue oe, définie par : det(M + un + æJn) = 0 (f). (iii) Conclure. 6. Soit f la fonction de la variable réelle :1: définie en posant : f(æ) : det(M + :):Jn). (a) Démontrer qu'il existe des réels & et 5 tels que : Væ E R, f (a:) : oz + 335. Expliciter & et fl en fonction de M et des coefficients de la comatrice de M. On rappelle que la comatrice de M est la matrice dont le (i, j)-ème coefficient est le déterminant de la matrice obtenue en retirant a M sa i--ème ligne et sa j--ème colonne, multiplié par (--1)'+3 , pour tous les indices z' et j dans {1,...,n}. (b) Retrouver ainsi les résultats de la question 5.

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 E3A Maths B MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Chloé Mullaert (ENS Cachan) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Le sujet comporte trois exercices indépendants. · Le premier exercice porte sur la résolution d'équations différentielles. On étudie un cas classique x y (x) + y(x) = F(x) où l'on doit se placer sur un intervalle ne contenant pas zéro pour espérer être dans les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz. Lorsque le second membre est développable en série entière, on s'intéresse en particulier aux solutions de même type et à leurs propriétés (rayon de convergence, limite en zéro). Les raisonnements de cet exercice sont classiques et il offre donc un bon moyen de se les approprier. · Le deuxième exercice traite de la recherche d'extrema locaux d'une fonction régulière. Seules les conditions d'ordre 1 sont étudiées ; l'exercice n'aborde pas les questions de conditions suffisantes et nécessaires d'ordre 2 pour être un extremum local. Il exige peu de connaissances, mais il nécessite d'avoir assimilé les arguments classiques et de maîtriser le calcul de dérivées partielles. · Le dernier exercice est plus difficile. Après avoir étudié la matrice 1 1 ··· n n .. Jn = ... . 1 1 ··· n n on étudie les solutions d'une équation par deux méthodes. Dans la première, une étude de cas soigneuse permet de conclure ; dans la seconde, un calcul astucieux de déterminant conduit aux mêmes résultats. Indications Exercice 1 1 La dérivée de t 7 |t| est t 7 t |t| -2 . 2.a La fonction y est solution de l'équation homogène sur I si et seulement si ses restrictions à R+ et R- sont solutions de l'équation homogène respectivement sur R+ et R- . 3 Sur les intervalles R+ et R- , x ne s'annule pas donc on divise par x pour se ramener dans les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz. 4 Montrer que si deux solutions conviennent alors elles sont égales. 5.a Comparer les coefficients ai aux coefficients i . Z x 6.b La fonction x 7 t-1 e t dt est une primitive de t 7 t-1 e t . 0 6.c Faire une intégration par parties et utiliser le fait que la fonction t 7 t e t est croissante sur R+ . 6.d Utiliser les conclusions des questions 4 et 5. Exercice 2 2.a Utiliser la compacité de D. 2.c Faire une étude de fonction. Exercice 3 2 Utiliser le théorème du rang. 5.a Utiliser le fait que det (xJn ) = xn det (Jn ) = 0 et la question 2. 5.b Se ramener au spectre de Jn . 5.c.ii Distinguer deux cas suivant que est nul ou non. 5.d.i Montrer que zéro appartient à SE . 5.d.iii Séparer les cas suivant qu'il existe ou pas un réel b tel que M + bJn soit inversible et utiliser les conclusions de la question 5.c.ii. n 1 P Ei où (E1 , . . . , En ) est la base canonique de Mn,1 (R) 6.a Introduire C = n i=1 de sorte que toutes les colonnes de Jn soient égales à C puis utiliser la multilinéarité et l'antisymétrie du déterminant. Enfin, vérifier que si on note les colonnes de M par (M1 , . . . , Mn ), alors det(M1 , . . . , Mi-1 , Ek , Mi+1 , . . . , Mn ) = (Com M)i,k Exercice 1 1 Si on suit l'indication en définissant z par z (x) = |x| y (x) pour tout x J, ce qui est possible car est strictement positif, alors z est dérivable sur R si et seulement si y l'est et, dans ce cas, pour tout réel x -2 -2 z (x) = x |x| y (x) + |x| y (x) = x |x| y (x) + xy (x) D'après le rapport du jury, la dérivation de la valeur absolue a posé problème à de nombreux candidats. Rappelons que la dérivée de t 7 |t| , sur tout intervalle de R ne contenant pas zéro, est -2 t 7 t |t| . En effet, sur R- , |t| = (-1) t donc la dérivée de t 7 |t| sur R- vaut t 7 (-1) t-1 . Sur R+ , |t| = t donc la dérivée de t 7 |t| sur R+ vaut t 7 t-1 . Ainsi, la dérivée de t 7 |t| est égale à ( t-1 si t > 0 t 7 -1 (-1) t si t < 0 c'est-à-dire à t 7 |t| t t-1 on retrouve le résultat en utilisant l'égalité t2 = |t|2 qui implique, pour tout t -2 non nul, t-1 = t |t| . Ainsi, pour tout x 6= 0, on a l'équivalence y (x) + x y (x) = 0 z (x) = 0 Par conséquent, y est solution de l'équation homogène sur J si et seulement si z = 0 sur J c'est-à-dire si et seulement si z est constante sur J (car J est un intervalle). Finalement, les solutions de l'équation homogène sont les fonctions x 7 C |x| - avec CR D'après le rapport du jury, « certains candidats semblent avoir été déroutés par l'indication ». Il précise que cette indication n'est en rien obligatoire, on peut arriver au résultat sans celle-ci. Comme 0 / J, on a l'équivalence y (x) + x y (x) = 0 y (x) = - y (x) x La fonction x 7 /x est continue sur J et admet pour primitive sur cet intervalle la fonction A : x 7 ln(|x|). D'après le cours, lessolutions de l'équation homogène sont donc les fonctions x 7 C exp -A(x) avec C R. Par conséquent, on retrouve le résultat sans passer par l'intermédiaire de z. 2.a Par définition, y est solution de l'équation homogène sur I = R si et seulement si ses restrictions à R+ et R- sont solutions de l'équation homogène. Ainsi, y est solution sur I si et seulement s'il existe deux constantes C1 et C2 telles que ( - C1 |x| si x > 0 y (x) = - C2 |x| si x < 0 2.b Comme > 0, lim |x| - x0 = +. Par conséquent, la fonction x 7 C |x| - admet une limite finie en zéro si et seulement si C = 0. On en déduit que La seule solution qui admette une limite finie en zéro est la solution nulle. 3 Posons J = R+ . Pour tout x J, on a l'équivalence y (x) F (x) y (x) + x y (x) = F (x) + y (x) = x x La fonction (x, y) 7 F (x) /x - y/x étant de classe C 1 sur J × R, on peut appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz. En particulier, il existe une unique solution f + sur J = R+ telle que f (1) = a. Par un raisonnement analogue, il existe une unique solution f - sur J = R- telle que f (-1) = b. Ainsi, f est une solution de E sur I telle que f (1) = a et f (-1) = b si et seulement si sa restriction à R+ est f + et sa restriction à R- est f - . En particulier, L'équation différentielle E admet une unique solution f définie sur I telle que f (1) = a et f (-1) = b. ( f + (x) si x > 0 Elle est donnée par f (x) = f - (x) si x < 0 4 Soient f1 et f2 deux solutions de E sur I admettant des limites finies en zéro, alors leur différence f1 - f2 est solution de l'équation homogène sur I et admet une limite finie en zéro. D'après 2.b, f1 - f2 est identiquement nulle donc f1 = f2 . Ainsi, Il existe au plus une solution de E sur I qui admette une limite finie en zéro. 5.a Soit f : x 7 P ai xi une fonction développable en série entière de rayon de i=0 convergence R. D'après le cours, on peut dériver terme à terme sur ] -R ; R [ : P x ] -R ; R [ f (x) = i ai xi-1 donc i=1 P x f (x) = x ] -R ; R [ d'où i ai xi i=0 P x f (x) + f (x) = x ] -R ; R [ (i + ) ai xi i=0 Dès lors, si f est solution de E, alors par unicité du développement en série entière, i N (i + ) ai = i Or, pour tout i N, i + > > 0, donc i + est non nul. Ainsi, i N ai = i i+ Dans le rapport du jury, il est conseillé aux candidats de « s'interroger lorsque l'on divise par un paramètre » afin de ne pas diviser par zéro. On ne saurait trop insister sur ce point ! i |i | 6 i+ ainsi le rayon de convergence de f est au moins aussi grand que celui de F c'est-à-dire En particulier, i N |ai | = R=