E3A Maths B MP 2006

Thème de l'épreuve Étude du reste d'une série alternée. Équivalent de la somme d'une série entière. Réduction de la matrice de Frobenius.
Principaux outils utilisés séries numériques, séries entières, réduction

Corrigé

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K23Y E 3 &) CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques B MP durée 3 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de la calCulatrice n'est pas autorisé Exercice 1. Soit E (----1 )" un une série alternée avec : 1120 i) VneN,un>0, un+l __= 1 Un ' ii) lim n ---* + 00 iii) la suite (un) converge en décroissant vers O, M V " E N» un+2""n+l ? un+1 "un- 1. Vérifier que: V n E N, |Rn|+ |Rn+1 | = un. +00 2. Vérifier que : V 11 E N, |Rn|--- |Rn+1 ] == 2 (--1)P[un+p ---un+1+p]. p=0 En déduire la monotonie de la suite ( |Rn | )n>0. 3. Montrer que : V n e N, 3%-- < |Rn| < u"2*1 . 4. En déduire qu'au voisinage de l'infini : Rn ... (----l )" %'--'--. +oo Page] /4 Tournez la page S.V.P 5. Application : +00 Déterminer un équivalent au voisinage de l'infini de : an = E (-----1 )k ---1--'}--EURk--. k=n Exercice 2. Soient deux suites (an)neN et (bn)neN à termes strictement positifs et telles que : an ... bn. ...) +00 On suppose d'autre part que la fonction f : t r--+ f(t) = 2 an t" est définie sur R. n=0 +00 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction g : 1 H» g(t) = 2 bn t" ? n=0 2. Justifier l'existence d'une suite (7n)neN convergeant vers 0 et telle que : VneN, an=bn (l+yn) 3. Soit m & N. 3.1. Prouver l'existence de 5... = sup |ynl. n>m 3.2. Montrer que : m fli) 1 Z Vt>O,VmEN, EÜÎ ----l <ôm+bm+1tm+1 l}'nlbnt"- n=0 3.3. En déduire que :flt) ... g(t). +00 Applications : +oe 1 n+l (' + 1 ) 4. Soit h la fonction définie par : t u---> h(t) = 2 --------------Jl--t------------- ... t". n=0 4.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction h. 4.2. Trouver un équivalent de h(t) au voisinage de +00. 5. Soit (E) l'équation différentielle définie sur R : ty"(t) + (1 ----t)y'(t) == 1 5.1. Démontrer que (E) possède une unique solution 2 développable en série entière à l'origine telle que :z(0) = 0 et z'(0) = 1. Préciser les coefficients de ce développement. 5.2. Donner une expression simple de z ' (t) pour t > 0. 5.3. Trouver un équivalent de z(t) au voisinage de l'infini. Page 2 / 4 Exercice 3. Soit n 6 ,N* et E = M,,(C ). La matrice identité de E est notée In. V i E {l,...,n--- 1}'fi,i+l : ] SoitF == (f,--j) la matrice deE définie par: fn,] : 1 fij = 0 sinon Question 1. 1. Déterminer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de F. On note {Âk , 1 < k < n } les valeurs propres de F. 2. La matrice F est--elle diagonalisable dans E ? La matrice F est-elle inversible ? 3.SoitG= (FP, pe Z }. Montrer que G est un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des matrices. Préciser tous les éléments générateurs du groupe G. 4. Déterminer la dimension et une base de Vect(G). 5. Calculer la trace d'un élément de G. Question 2. 11 Soit le polynôme p == 2 kX""1 etA = p(F ). k=l 1. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de la matrice A est : "(Îl+l)} { n __ } {...2 U Àk--l'1 

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 E3A Maths B MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Romain Cosset (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Ce sujet, de taille et de difficulté moyennes, comporte trois exercices indépendants. · Le premier a pour objectif de trouver un équivalent du reste d'une série alternée. Les questions initiales utilisent des théorèmes classiques et demandent de savoir manier correctement les inégalités. Il se conclut par une application du résultat P au cas particulier de la série (-1)k (ln k)/k. · Le deuxième démontre que si les termes généraux de deux séries de fonctions sont équivalents, alors les fonctions sommes sont équivalentes elles aussi. Ce résultat est mis en oeuvre sur deux exemples. · Le troisième est centré sur l'algèbre linéaire et la réduction. Il étudie la matrice de Frobenius 0 1 0 ··· 0 .. . . . .. .. . . . . .. .. .. F = ... . . 0 .. 0 . 1 1 0 ··· ··· 0 Son objectif est de calculer l'inverse d'une matrice s'exprimant comme un polynôme en F via des résultats classiques de diagonalisation. Les trois exercices constituent de bons sujets de révision sur les thèmes abordés. Sans présenter de grande difficulté, ils permettent de s'assurer que les théorèmes du cours sont assimilés. Indications Exercice 1 1 Utiliser le critère des séries alternées et montrer que Rn est du signe de (-1)n . 2 Exploiter l'indication de la question précédente ainsi que l'hypothèse iv). 3 La suite (|Rn |) est décroissante. 4 Utiliser l'hypothèse ii) ainsi que la question précédente. 5 Montrer que la suite (an ) vérifie les quatre hypothèses du début de l'exercice. Exercice 2 2 Revenir à la définition de l'équivalence. 3.2 Décomposer la somme du numérateur en deux parties. 3.3 Fixer un entier m bien choisi, et ne faire varier que t. n+1 1 1 1+ . 4.1 Déterminer un équivalent de bn = n! n+1 5.1 Raisonner par analyse-synthèse. Exercice 3 1.1 Développer le déterminant par rapport à sa première colonne. 1.3 Considérer le polynôme minimal de F. 1.5 Raisonner en termes d'endomorphismes. 2.1 Les valeurs propres de p(F) sont les p(i ). 2.2 Le déterminant est le produit des valeurs propres. 3.1 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton. 3.2 Appliquer la question 1.4 . 3.4 Utiliser les deux questions précédentes. 3.5 D'une part, exploiter la question 1.5 et l'expression de A-1 . D'autre part, la trace est la somme des valeurs propres, et celles de A-1 sont les inverses de celles de A. Exercice 1 1 Les hypothèses i) et iii) assurent que la série de terme général (-1)n un vérifie le critère des séries alternées. Elle converge donc, ce qui justifie l'existence de la suite (Rn ). Il ne faut pas oublier de justifier l'existence de la suite (Rn ) pour valider les calculs bien que ce ne soit pas explicitement demandé par l'énoncé. Le critère des séries alternées suffit pour obtenir ce résultat, même si, comme le signale le rapport du jury, « dans trop de copies, les résultats élémentaires sur les séries alternées ne sont pas maîtrisés. » Rappelons le critère des séries alternées. Soit P (unn) une suite réelle décroissante et convergeant vers 0. Alors la série (-1) un converge. Soient n N et N > n. Posons Rn,N = (-1)n N P (-1)k-n uk k=n Par définition, Rn = lim Rn,N N+ En outre, si n et N ont la même parité, Rn,N = (-1)n (un - un+1 ) + (un+2 - un+3 ) + · · · + (uN-2 - uN-1 ) + uN Dans le cas contraire, Rn,N = (-1)n (un - un+1 ) + (un+2 - un+3 ) + · · · + (uN-1 - uN ) Dans les deux cas, la parenthèse est positive comme somme de termes positifs puisque (un ) est décroissante et un > 0 pour tout n N. Ainsi, Rn est du signe de (-1)n et + + P P (-1)k-n-1 uk |Rn | + |Rn+1 | = (-1)k-n uk + k=n+1 k=n + P = un + + k-n (-1) uk - (-1)k-n uk k=n+1 k=n+1 d'où P |Rn | + |Rn+1 | = un 2 Soit n N. Utilisons l'expression de |Rn | déterminée à la question précédente : + |Rn | - |Rn+1 | = = = + P (-1)k-n uk - k=n + P k=n + P (-1)k-n uk - P (-1)k-n-1 uk k=n+1 + P (-1)k-n uk+1 k=n (-1)k-n (uk - uk+1 ) k=n + |Rn | - |Rn+1 | = P (-1)k (un+k - un+k+1 ) k=0 On obtient + |Rn | - |Rn+1 | = P k=0 d'après la propriété iv). (un+2k - un+2k+1 ) - (un+2k+1 - un+2k+2 ) | {z } >0 Si vous avez correctement justifié l'inégalité demandée à la question précédente en utilisant la suite (Rn,N )N , le correcteur vous pardonnera à cette question de travailler directement sur la somme infinie. Finalement, La suite (|Rn |) est décroissante. 3 Comme la suite (|Rn |) est décroissante, |Rn | > |Rn+1 | pour tout n N. En outre, la question 1 assure que |Rn+1 | = un - |Rn |. On en déduit que |Rn | > un 2 De même, pour n N , |Rn | 6 |Rn-1 | et la question 1 appliquée au rang précédent donne l'égalité |Rn-1 | = un-1 - |Rn |, d'où |Rn | 6 un-1 2 un un-1 6 |Rn | 6 2 2 Finalement, 4 D'après l'hypothèse ii), un n+ un-1 . La question précédente montre alors que |Rn | n+ un 2 D'après le calcul de la question 1, Rn = (-1)n |Rn |, donc Rn (-1)n n+ un 2 5 Montrons que la suite (an ) vérifie les quatre hypothèses du début de l'énoncé, en posant un = ln(n)/n pour tout n N . La propriété i) est vérifiée par positivité de la fonction logarithme (pour n > 1 car u0 n'est pas définie). Soit n > 1. On a un+1 ln(n + 1) n = un ln(n) n + 1 dont la limite est 1 quand n tend vers + : la propriété ii) est vraie. De plus, pour tout n N , un+1 - un = n ln(n + 1) - (n + 1) ln(n) n ln(1 + 1/n) - ln(n) 1 - ln(n) = 6 n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) car ln(1 + 1/n) 6 1/n. Cette quantité est négative quand n > 3 : (un )n>3 est décroissante. Par croissances comparées, la suite (un ) converge vers 0, ce qui montre que la propriété iii) est vraie (à partir du rang 3). Enfin, posons ( ] 1 ; + [ - R+ ] 1 ; + [ - R f: et g : ln(x) x 7- f (x + 1) - f (x) x 7- x