SESSION 2025
MP8M
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
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MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·
·
·
Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées,
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
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Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
1/4
EXERCICE 1
Soit f la fonction définie sur R4 muni de son produit scalaire canonique, par :
X = (x, y, z, t) R4 , f (X) = x2 + y2 + z2 + t2
On cherche les extrema éventuels de la fonction f sous la contrainte : H = {X =
(x, y, z, t) R4 , x + y = 2}
et les points où ces extrema sont atteints.
Première méthode
1. Déterminer les extrema de la fonction h (u, v, w) R3 2u2 + v2 + w2 - 4u +
4.
2. Déterminer les solutions du problème posé.
Deuxième méthode
Soit g X = (x, y, z, t) R4 x + y - 2.
3. En utilisant la fonction g, déterminer les extrema possibles de f restreinte
à H.
4. Retrouver les solutions du problème posé.
Troisième méthode
Soit F = {X = (x, y, z, t) R4 , x + y = 0} et Y = (-1, -1, 0, 0) R4 .
5. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de R4 et en donner la dimension.
6. Déterminer le sous-espace orthogonal du sous-espace F.
7. Calculer la distance d(Y, F) entre Y et le sous-espace vectoriel F.
8. Soit X R4 . Justifier que : X H X + Y F.
9. En déduire la structure de l'ensemble H.
10. Retrouver de nouveau les solutions du problème posé.
EXERCICE 2
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On note En-1 = Cn-1 [X] le C-espace vectoriel de dimension n, des polynômes de
degré inférieur ou
égal à n - 1 et à coefficients dans C.
On note B = (Q0 , Q1 , ..., Qn-1 ) où, pour tout k 0, n - 1, Qk (X) = X k , la
base canonique de En-1 .
Pour tout C, on note l'endomorphisme de En-1 qui à tout polynôme P, associe :
1 n-1
(P) = P(q ) X q
n q=0
Soit A la matrice de l'endomorphisme dans la base canonique B de En-1 .
1
2i
Soit = e n . On rappelle que n = 1 et que = -1 = .
n
1. Déterminer, suivant la valeur de l'entier relatif m, la somme : m = m(r-1) .
r=1
On note A = (ak, )1k,n la matrice associée à l'endomorphisme dans la base B de
En-1 .
2. Écrire la matrice A dans le cas où n = 3. On utilisera le nombre complexe j
= e 3 .
2i
2/4
1
3. Démontrer que, pour tout couple (k, ) 1, n2 , on a : ak, = (k-1)(-1) .
n
4. La matrice A est-elle symétrique ? Peut-on affirmer qu'elle est
diagonalisable ?
5. Calculer A × A . En déduire que A est inversible et déterminer son inverse.
6. Déterminer alors un nombre complexe tel que : -1
= .
7. Calculer (A )2 puis vérifier que (A )4 = In .
8. La matrice A est-elle diagonalisable ?
Éléments propres de
Xn - 1
. En particulier, L0 (X) = 1 + X + + X n-1 .
X - q
9. Déterminer les valeurs propres possibles de .
On note, pour q 0, n - 1, Lq (X) =
10. Exprimer les n racines du polynôme X n - 1 à l'aide de puissances de .
11. En déduire que : q 0, n - 1, Lq En-1 .
On pose H0 = Vect(Q0 , L0 ) et on admet que (Q0 , L0 ) en est une base.
12. Vérifier que H0 est stable par .
13. Écrire la matrice de l'endomorphisme induit par sur H0 dans la base (Q0 ,
L0 ).
14. En déduire :
-- un vecteur non nul de Ker( - IdEn-1 ),
-- un vecteur non nul de Ker( + IdEn-1 ).
15. Dans le cas n = 3, déterminer le spectre de A .
16. Dans le cas n = 4, déterminer les valeurs propres de A .
0
0
17. Déterminer les valeurs propres de la matrice
0
n-1
n
On suppose à présent n 5.
0
0
n
0
n
0
0
0
0
n
n-1
0
0
18. Montrer que le sous-espace vectoriel G = Vect(Q1 , Qn-1 , L1 , Ln-1 ) est
de dimension 4 et est stable
par .
19. Déterminer le spectre de .
3/4
EXERCICE 3
Question de cours
1. Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle et
son domaine de validité.
*****
+
xn
.
2
n=0 (n !)
2. Montrer que la fonction f est définie sur R.
On pose, lorsque cela est possible, f (x) =
3. Justifier que f est de classe C sur R.
4. Démontrer que la fonction f est lipschitzienne sur tout segment [a, b] de R.
5. Prouver que pour tout réel positif x, f (x) e x .
6. Soient x et y deux réels positifs. On note z = max(x, y). Prouver que l'on a
: f (x)- f (y) ez x-y.
7. Prouver que l'on a : f (x) - 1 x.
x0
1
dt.
1 t [ f (t)]2
8. Justifier que g est de classe C sur ]0, +[.
On pose, pour tout x > 0, g(x) =
x
9. Étudier le signe de g sur ]0, +[.
10. Montrer que : g(x) ln(x).
x0
11. Prouver que pour tout t > 0, on a : f (t) > 1 + t.
12. En déduire que g possède une limite finie lorsque x tend vers +.
13. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle F(X) =
g(x) ln (
x
1
1
)+
+ ln(2) -
x+1
x+1
2
15. En déduire que g est majorée par ln(2) sur ]0, +[.
FIN
4/4
I M P R I M E R I E N A T I O N A L E 25 1047 D'après documents fournis
14. Démontrer que pour tout x > 1, on a :
1
.
X(1 + X)2
