e3a Maths 1 MP 2021

SESSION 2021 EUR y MPSM

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/4
Exercice 1

. . . --X : 0
Dans tout l'exercice, Z est le segment [0, 1] et f la fonction définie sur J 
par : x k si " " x
On considère la suite de fonctions (f,),en définies sur / par :
eVxel, fo(x) = Î
0 si x =0

eVneN',Vxel,f,(x) = (--1)"

n |
1. Montrer que f et toutes les fonctions f, sont continues sur J.

2. On considère la série de fonctions > fn:
n>0
Démontrer que cette série de fonctions converge simplement sur / vers une 
fonction que l'on

déterminera.

(x In(x))" sinon

3. Étudier les variations de la fonction Y continue sur /, définie pour tout f 
EUR]0, 1] par @(f) = t In(f).
4, Représenter graphiquement la fonction 4 sur J en précisant les tangentes aux 
bornes.
5. Démontrer que la série de fonctions > fn converge normalement sur L.

n>0

+00
6. On pose pour tout réel x et lorsque cela est possible ['(x) = [ ledit.
0

6.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction I.
6.2. Soit n EUR N. Calculer I (n + 1).

1
7. Soit n EUR N°. Calculer l'intégrale J, = [ fn(0) df.
0

On pourra effectuer le changement de variable u = -- In(f).

1 +00
8. On pose J = [ f(®) dt. Montrer que l'on a : J = > n ".
0

n=]
9. Trouver un rang n, pour lequel la somme partielle d'ordre n, sera une valeur 
approchée de J à
107 près.

Exercice 2

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E un espace euclidien de 
dimension n dont le produit
scalaire est noté (|) et la norme ||||.
On note 1dZ l'endomorphisme identité de E et 0 l'endomorphisme nul de E.

1. Soit f un endomorphisme symétrique de E que l'on suppose non inversible et 
non nul.

1.1. Citer le théorème spectral.
1.2. Montrer que 0 est valeur propre de f et que f admet au moins une valeur 
propre non nulle.

1.3. Montrer que les sous-espaces Ker(f) et Im(f) sont orthogonaux.
Sont-1ls supplémentaires ? On justifera la réponse.
On suppose désormais et jusqu'à la fin de l'exercice que f admet exactement k + 
1 valeurs
propres deux à deux distinctes (1;);joxy avec :
k>1, d=0 et 0 Dj.
j=0

1.5. Prouver que l'on a pour tout couple (4, j) de [[0, k]° tels que i # j, po 
p j = 0.

k
1.6. Démontrer que : f = > À; P;.
j=0

k
1.7. Soit p le projecteur orthogonal sur Im(f). Montrer que l'on a : p = > Dj.
j=1

k
On note alors f' l'endomorphisme de E défini par : f* = > TP appelé inverse 
généralisé de f.
je

2. Quelques propriétés de l'inverse généralisé
2.1. Montrer que l'on a: fo f' = p.
En déduire que : Y (x, y) EUR E°,(f(9 = po) = x- f(y) EUR Ker(f)).
2.2. Soit y un vecteur de E.
Montrer que l'ona:Vxer, LG -- y|| = Inf1l7(2) y = x-f'(y) EUR Ker()}

3. Application à un exemple
On prend E un espace euclidien de dimension 4 et Z = (e;,e,e3, e4) une base 
orthonormale

de E.
3 O0 -I1 O0
| | O 1 O0 -I
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans Z est : A -- LL 90 3 0
O --1 O0 1!

3.1. Justifier que f est un endomorphisme symétrique, non nul et non inversible.
3.2. Montrer que 2 est valeur propre double de la matrice À.

3.3. En déduire que f admet exactement 3 valeurs propres : lo < À < 4.
On note pour tout j EUR [0,21], M; la matrice de p; dans la base Z.

3.4. Justifier que l'on peut écrire À sous la forme : À = 2 M; + 4 M.
3.5. Montrer que E; est de dimension 1 et déterminer un vecteur v;, de E; tel 
que [lv,l| = 1.
3.6. Démontrer que : Vxe E, pa(x) = (xlvi) vo.

3.7. Déterminer la matrice M.

4, En déduire la matrice associée à f" relativement à la base Z.

Exercice 3

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N définies 
sur un même espace
probabilisé (Q, A, P).

Pour |f| < 1, on définit les fonctions génératrices de X et de Y respectivement 
par :

il
e Gx() = D =$

e Gr =2- V2-1.

3/4
Déterminer le développement en série entière de la fonction G*--.

Donner le terme d'ordre n EUR N° du développement en série entière de la 
fonction 1 + (1+5)//7.
En déduire le développement en série entière de la fonction G.

Pour tout n EUR N, calculer P(X = n) et P(Y = n).

Soient S =X +YetnEe N. Déterminer P(S = n).

ASE

Calculs d'espérances et de variances

6.1. Justifier que la variable aléatoire X + 1 suit une loi géométrique dont on 
déterminera le
paramètre.

6.2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire X.

6.3. Déterminer à l'aide de la fonction génératrice G l'espérance des variables 
aléatoires Y et
Y(Y - 1).

6.4. En déduire la variance de la variable aléatoire Y.

6.5. Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire S.

Exercice 4

Dans tout l'exercice, n est un entier naturel non nul.

1
Soit ç l'application qui à tout polynôme P de R,[XT] associe w(P) = [ P(?) dr.
0

1. Démontrer que B = (1, x -- 1, X(X -- 1), XX - 1)) est une base de R,[X|.
2. Généralités sur

2.1. Démontrer que 4 est une forme linéaire sur R,[X].

2.2. Déterminer Im(o) et la dimension du noyau de ©.

3. On considère alors l'application ÿ qui à tout polynôme P de R,[X] associe le 
polynôme © tel
que :

VxeRkR, O(x) -- [ P(?) dt.

(0
3.1. Justifier que l'application y est linéaire.

3.2. Démontrer que Im() = Vect(X, X°7,..., X"*1).
3.3. Démontrer que : P EUR Ker(o) > y(P)E Vect(X{(X -- 1),.., X"(X -- 1)).
3.4. Donner alors une base de Ker(o).
4, On note H = Z(R,[X],R).
4.1. Donner la dimension de #.

4.2. Pour k EUR [0, nf, soit Y, la forme linéaire sur R,[X] qui à tout polynôme 
P de R,[X]
P(0)

k!
Démontrer que la famille (Yo, ..., W,) est une base de #.

asSOCIeE

4.3. Déterminer les composantes de w dans cette base.

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 211159 - D'après documents fournis

e3a Mathématiques MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (professeur en CPGE) ; il a été
relu par Sélim Cornet (professeur agrégé) et Gilbert Monna (professeur 
honoraire en
CPGE).

Ce sujet est constitué de quatre exercices indépendants qui abordent les grands
thèmes du programme.
· Au cours du premier exercice, on établit la convergence normale d'une série
de fonctions vers la fonction x 7- x-x prolongée par continuité en 0, afin
de calculer l'intégrale de cette fonction sur [ 0 ; 1 ]. On retrouve au passage 
la
fonction  d'Euler, dont on détermine l'expression sur N .
· On s'intéresse ensuite à l'inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique f
d'un espace euclidien, que l'on définit à l'aide des projecteurs orthogonaux sur
les sous-espaces propres de f . L'étude débouche sur un exemple concret en
dimension 4.
· Dans le troisième exercice, on étudie deux variables aléatoires entières qui 
sont
caractérisées par leurs fonctions génératrices. On détermine leurs lois, 
espérances et variances, ainsi que celles de leur somme.
· Le dernier exercice est consacré à l'étude de formes linéaires définies à 
l'aide
d'intégrales sur l'espace Rn [X].
Ce sujet ne contient pas de difficulté particulière : les questions sont bien 
détaillées,
les résultats essentiels apparaissent explicitement dans l'énoncé et les quatre 
exercices
restent très proches du cours (on retrouve d'ailleurs quelques grands 
classiques). Rien
ne s'oppose donc à ce qu'un candidat bien préparé le traite dans le temps 
imparti.

Indications
Exercice 1
1.1 Ces fonctions étant clairement toutes continues sur l'intervalle ] 0 ; 1 ], 
il suffit
d'étudier leur continuité (à droite) en 0.
1.2.1 Utiliser le développement en série entière de la fonction exponentielle 
sur R.
1.5.1 Se servir de la question 1.3 pour calculer kfn k .
1.6.1 Étudier l'intégrabilité sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; + [ en comparant à des 
intégrales
de Riemann.
Z 1
1.7 Pour a  ] 0 ; 1 ], calculer
fn (t)dt à l'aide du changement de variable proposé,
puis faire tendre a vers 0.

a

1.8 Utiliser les résultats des questions 1.5 et 1.7.
1.9 On pourra majorer le reste de la série à l'aide du reste d'une série 
géométrique.
Exercice 2
2.1.2 Se servir de la diagonalisabilité de f pour le second point.
2.1.5 Expliciter les sous-espaces Im (pj ) et Ker (pi ).
2.1.6 Pour x  E, calculer f (x) à l'aide du résultat de la question 2.1.4.
2.1.7 Utiliser les questions 2.1.3 et 2.1.4.
2.2.1 Se servir des résultats des questions 2.1.6, 2.1.5 et 2.1.7.
2.3.2 On peut trouver des vecteurs propres de la matrice A à la main, en 
effectuant
des combinaisons simples des colonnes.
2.3.4 Utiliser le résultat de la question 2.1.6.
2.3.5 Se servir de la question 2.3.3.
2.3.7 Penser au résultat précédent et à l'expression matricielle du produit 
scalaire.
2.4 On commencera par déterminer M1 à l'aide de la question 2.3.4.
Exercice 3
3.1 On pourra exprimer GX à l'aide de la fonction f : t 7- 1/(1 - t).
3.4 Se servir de la définition des fonctions génératrices.
3.5 Utiliser l'indépendance de X et Y, ainsi que les résultats de la question 
3.4.
3.6.3 Faire le lien avec les dérivées successives de GY en 1.
Exercice 4
4.3.2 Déterminer l'image par  de la base canonique B0 = (1, X, . . . , Xn ).
4.3.3 On pourra montrer que les deux propriétés sont équivalentes à (P)(1) = 0.
4.3.4 Trouver des antécédents par  des polynômes qui apparaissent à la question 
4.3.3, et utiliser les résultats des questions 4.3.3 et 4.2.2.
4.4.2 Utiliser la formule de Taylor en 0 pour exprimer tout polynôme à l'aide 
des k .
4.4.3 Se servir des calculs effectués à la question précédente.

Publié dans les Annales des Concours

Exercice 1
1.1 La fonction f0 étant constante, elle est évidemment continue sur I. Pour les
autres, on va d'abord justifier qu'elles sont continues sur l'intervalle ] 0 ; 
1 ] avant
d'étudier leur continuité (à droite) en 0.
· La fonction f a pour expression sur ] 0 ; 1 ]
f (x) = x-x = exp (-x ln x)
si bien qu'elle est continue sur cet intervalle en tant que composée de 
fonctions
usuelles continues sur leurs ensembles de définition. Étudions sa continuité en 
0 :
on sait que lim+ x ln x = 0 d'après les croissances comparées, et par conséquent
x0

lim f (x) = exp(0) = 1 = f (0)

x0+

par continuité de l'exponentielle. La fonction f est bien continue en 0, donc
La fonction f est continue sur I.
· Soit maintenant n  N . Comme f , la fonction fn est composée de fonctions
usuelles continues, donc elle est continue sur ] 0 ; 1 ]. De plus, lim+ x ln x 
= 0
x0

d'où par produit de limites
lim fn (x) = 0 = fn (0)

x0+

ce qui prouve que fn est continue en 0. De ce fait,
Pour tout n  N, la fonction fn est continue sur I.
La continuité de ces fonctions va permettre de définir leurs intégrales sur
l'intervalle [ 0 ; 1 ] en fin d'exercice.
P
1.2 Puisque fn (0) = 0 pour tout n > 1, la série numérique
fn (0) converge et
+
X

fn (0) = f0 (0) +

+
X

fn (0) = 1 = f (0)

n=1

n=0

Soit x  ] 0 ; 1 ]. La fonction exponentielle est développable en série entière 
sur R et
y  R

ey =

+
X
yn
n!
n=0

En particulier, on obtient pour y = -x ln x
e -x ln x = f (x) =

+
+
+
X
X
X
(-x ln x)n
(-1)n
=
(x ln x)n =
fn (x)
n!
n!
n=0
n=0
n=0

Ceci prouve que
La série de fonctions

P

fn converge simplement sur I vers la fonction f .

On ne peut pas dire que ce soit une grosse surprise, étant donnée la façon
dont sont introduites les fonctions f et (fn )nN .
1.3 Puisque la fonction  est continue sur I, on a nécessairement

Publié dans les Annales des Concours

(0) = lim+ (t) = lim+ t ln t = 0
t0

t0

Il est quand même étonnant que cette valeur n'apparaisse pas dans l'énoncé.
En outre,  est dérivable sur ] 0 ; 1 ] en tant que produit de fonctions 
dérivables et
1
= ln t + 1
t
0 (t) > 0  ln t > -1  t > 1/e
0 (t) = 1 × ln t + t ×

t  ]0;1]
Ainsi,

t  ]0;1]

par croissance de ln, ce qui permet de dresser le tableau de variations de  sur 
I :
t

0

1/e

0

-

 (t)

0

1
+

0
(t)

0
&

%
-1/e

1.4 Notons tout d'abord que lim+ 0 (t) = -, ce qui montre que la courbe de 
t0

admet l'axe des ordonnées pour tangente au point d'abscisse 0. Par ailleurs, 0 
(1) = 1
donc la tangente au point d'abscisse 1 a pour pente 1, et ainsi pour équation y 
= x-1.
Voici alors la courbe demandée :
y

1/e

x

O

-1/e
1.5 On a kk = 1/e d'après la question 1.3. Par définition, on a fn = (-1)n n /n!
pour tout entier n  N donc
n
e -1
(1/e )n
=
kfn k =
n!
n!
P -1 n
e
/n! converge puisque la fonction exponentielle est
Or, la série numérique
développable en série entière sur R, si bien que
P
La série de fonctions
fn converge normalement sur I.
1.6.1 Soit x  R. Pour que le nombre (x) existe, il faut et il suffit que les 
intégrales
Z 1
Z +
x-1 -t
données par I1 =
t
e dt et I2 =
tx-1 e -t dt soient convergentes.
0

1

· Notons tout d'abord que I1 est impropre en 0 et que l'on a tx-1 e -t  tx-1 .
t0
Z 1
D'après le critère de Riemann,
tx-1 dt converge si, et seulement si, 1-x < 1,
0

ce qui est équivalent à x > 0. On en déduit, par comparaison de fonctions
positives, que l'intégrale I1 converge si, et seulement si, x > 0.