e3a Maths 1 MP 2021

SESSION 2021 EUR y MPSM

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/4
Exercice 1

. . . --X : 0
Dans tout l'exercice, Z est le segment [0, 1] et f la fonction définie sur J 
par : x k si " " x
On considère la suite de fonctions (f,),en définies sur / par :
eVxel, fo(x) = Î
0 si x =0

eVneN',Vxel,f,(x) = (--1)"

n |
1. Montrer que f et toutes les fonctions f, sont continues sur J.

2. On considère la série de fonctions > fn:
n>0
Démontrer que cette série de fonctions converge simplement sur / vers une 
fonction que l'on

déterminera.

(x In(x))" sinon

3. Étudier les variations de la fonction Y continue sur /, définie pour tout f 
EUR]0, 1] par @(f) = t In(f).
4, Représenter graphiquement la fonction 4 sur J en précisant les tangentes aux 
bornes.
5. Démontrer que la série de fonctions > fn converge normalement sur L.

n>0

+00
6. On pose pour tout réel x et lorsque cela est possible ['(x) = [ ledit.
0

6.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction I.
6.2. Soit n EUR N. Calculer I (n + 1).

1
7. Soit n EUR N°. Calculer l'intégrale J, = [ fn(0) df.
0

On pourra effectuer le changement de variable u = -- In(f).

1 +00
8. On pose J = [ f(®) dt. Montrer que l'on a : J = > n ".
0

n=]
9. Trouver un rang n, pour lequel la somme partielle d'ordre n, sera une valeur 
approchée de J à
107 près.

Exercice 2

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E un espace euclidien de 
dimension n dont le produit
scalaire est noté (|) et la norme ||||.
On note 1dZ l'endomorphisme identité de E et 0 l'endomorphisme nul de E.

1. Soit f un endomorphisme symétrique de E que l'on suppose non inversible et 
non nul.

1.1. Citer le théorème spectral.
1.2. Montrer que 0 est valeur propre de f et que f admet au moins une valeur 
propre non nulle.

1.3. Montrer que les sous-espaces Ker(f) et Im(f) sont orthogonaux.
Sont-1ls supplémentaires ? On justifera la réponse.
On suppose désormais et jusqu'à la fin de l'exercice que f admet exactement k + 
1 valeurs
propres deux à deux distinctes (1;);joxy avec :
k>1, d=0 et 0 Dj.
j=0

1.5. Prouver que l'on a pour tout couple (4, j) de [[0, k]° tels que i # j, po 
p j = 0.

k
1.6. Démontrer que : f = > À; P;.
j=0

k
1.7. Soit p le projecteur orthogonal sur Im(f). Montrer que l'on a : p = > Dj.
j=1

k
On note alors f' l'endomorphisme de E défini par : f* = > TP appelé inverse 
généralisé de f.
je

2. Quelques propriétés de l'inverse généralisé
2.1. Montrer que l'on a: fo f' = p.
En déduire que : Y (x, y) EUR E°,(f(9 = po) = x- f(y) EUR Ker(f)).
2.2. Soit y un vecteur de E.
Montrer que l'ona:Vxer, LG -- y|| = Inf1l7(2) y = x-f'(y) EUR Ker()}

3. Application à un exemple
On prend E un espace euclidien de dimension 4 et Z = (e;,e,e3, e4) une base 
orthonormale

de E.
3 O0 -I1 O0
| | O 1 O0 -I
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans Z est : A -- LL 90 3 0
O --1 O0 1!

3.1. Justifier que f est un endomorphisme symétrique, non nul et non inversible.
3.2. Montrer que 2 est valeur propre double de la matrice À.

3.3. En déduire que f admet exactement 3 valeurs propres : lo < À < 4. On note pour tout j EUR [0,21], M; la matrice de p; dans la base Z. 3.4. Justifier que l'on peut écrire À sous la forme : À = 2 M; + 4 M. 3.5. Montrer que E; est de dimension 1 et déterminer un vecteur v;, de E; tel que [lv,l| = 1. 3.6. Démontrer que : Vxe E, pa(x) = (xlvi) vo. 3.7. Déterminer la matrice M. 4, En déduire la matrice associée à f" relativement à la base Z. Exercice 3 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N définies sur un même espace probabilisé (Q, A, P). Pour |f| < 1, on définit les fonctions génératrices de X et de Y respectivement par : il e Gx() = D =$ e Gr =2- V2-1. 3/4 Déterminer le développement en série entière de la fonction G*--. Donner le terme d'ordre n EUR N° du développement en série entière de la fonction 1 + (1+5)//7. En déduire le développement en série entière de la fonction G. Pour tout n EUR N, calculer P(X = n) et P(Y = n). Soient S =X +YetnEe N. Déterminer P(S = n). ASE Calculs d'espérances et de variances 6.1. Justifier que la variable aléatoire X + 1 suit une loi géométrique dont on déterminera le paramètre. 6.2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire X. 6.3. Déterminer à l'aide de la fonction génératrice G l'espérance des variables aléatoires Y et Y(Y - 1). 6.4. En déduire la variance de la variable aléatoire Y. 6.5. Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire S. Exercice 4 Dans tout l'exercice, n est un entier naturel non nul. 1 Soit ç l'application qui à tout polynôme P de R,[XT] associe w(P) = [ P(?) dr. 0 1. Démontrer que B = (1, x -- 1, X(X -- 1), XX - 1)) est une base de R,[X|. 2. Généralités sur 2.1. Démontrer que 4 est une forme linéaire sur R,[X]. 2.2. Déterminer Im(o) et la dimension du noyau de ©. 3. On considère alors l'application ÿ qui à tout polynôme P de R,[X] associe le polynôme © tel que : VxeRkR, O(x) -- [ P(?) dt. (0 3.1. Justifier que l'application y est linéaire. 3.2. Démontrer que Im() = Vect(X, X°7,..., X"*1). 3.3. Démontrer que : P EUR Ker(o) > y(P)E Vect(X{(X -- 1),.., X"(X -- 1)).
3.4. Donner alors une base de Ker(o).
4, On note H = Z(R,[X],R).
4.1. Donner la dimension de #.

4.2. Pour k EUR [0, nf, soit Y, la forme linéaire sur R,[X] qui à tout polynôme 
P de R,[X]
P(0)

k!
Démontrer que la famille (Yo, ..., W,) est une base de #.

asSOCIeE

4.3. Déterminer les composantes de w dans cette base.

FIN

4/4

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