Thème de l'épreuve | Quatre exercices indépendants |
Principaux outils utilisés | suites et séries de fonctions, réduction des endomorphismes, probabilités, polynômes, intégration |
Mots clefs | suites de fonctions, fonction gamma, théorème spectral, inverse généralisé, série génératrice, espérance, variance, forme linéaire, base duale |
SESSION 2021 EUR y MPSM NES e3a POLYTECH ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a êté amené à prendre. RAPPEL DES CONSIGNES «_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. ° Ne pas utiliser de correcteur. «_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/4 Exercice 1 . . . --X : 0 Dans tout l'exercice, Z est le segment [0, 1] et f la fonction définie sur J par : x k si " " x On considère la suite de fonctions (f,),en définies sur / par : eVxel, fo(x) = Î 0 si x =0 eVneN',Vxel,f,(x) = (--1)" n | 1. Montrer que f et toutes les fonctions f, sont continues sur J. 2. On considère la série de fonctions > fn: n>0 Démontrer que cette série de fonctions converge simplement sur / vers une fonction que l'on déterminera. (x In(x))" sinon 3. Étudier les variations de la fonction Y continue sur /, définie pour tout f EUR]0, 1] par @(f) = t In(f). 4, Représenter graphiquement la fonction 4 sur J en précisant les tangentes aux bornes. 5. Démontrer que la série de fonctions > fn converge normalement sur L. n>0 +00 6. On pose pour tout réel x et lorsque cela est possible ['(x) = [ ledit. 0 6.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction I. 6.2. Soit n EUR N. Calculer I (n + 1). 1 7. Soit n EUR N°. Calculer l'intégrale J, = [ fn(0) df. 0 On pourra effectuer le changement de variable u = -- In(f). 1 +00 8. On pose J = [ f(®) dt. Montrer que l'on a : J = > n ". 0 n=] 9. Trouver un rang n, pour lequel la somme partielle d'ordre n, sera une valeur approchée de J à 107 près. Exercice 2 Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et E un espace euclidien de dimension n dont le produit scalaire est noté (|) et la norme ||||. On note 1dZ l'endomorphisme identité de E et 0 l'endomorphisme nul de E. 1. Soit f un endomorphisme symétrique de E que l'on suppose non inversible et non nul. 1.1. Citer le théorème spectral. 1.2. Montrer que 0 est valeur propre de f et que f admet au moins une valeur propre non nulle. 1.3. Montrer que les sous-espaces Ker(f) et Im(f) sont orthogonaux. Sont-1ls supplémentaires ? On justifera la réponse. On suppose désormais et jusqu'à la fin de l'exercice que f admet exactement k + 1 valeurs propres deux à deux distinctes (1;);joxy avec : k>1, d=0 et 0 Dj. j=0 1.5. Prouver que l'on a pour tout couple (4, j) de [[0, k]° tels que i # j, po p j = 0. k 1.6. Démontrer que : f = > À; P;. j=0 k 1.7. Soit p le projecteur orthogonal sur Im(f). Montrer que l'on a : p = > Dj. j=1 k On note alors f' l'endomorphisme de E défini par : f* = > TP appelé inverse généralisé de f. je 2. Quelques propriétés de l'inverse généralisé 2.1. Montrer que l'on a: fo f' = p. En déduire que : Y (x, y) EUR E°,(f(9 = po) = x- f(y) EUR Ker(f)). 2.2. Soit y un vecteur de E. Montrer que l'ona:Vxer, LG -- y|| = Inf1l7(2) y = x-f'(y) EUR Ker()} 3. Application à un exemple On prend E un espace euclidien de dimension 4 et Z = (e;,e,e3, e4) une base orthonormale de E. 3 O0 -I1 O0 | | O 1 O0 -I Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans Z est : A -- LL 90 3 0 O --1 O0 1! 3.1. Justifier que f est un endomorphisme symétrique, non nul et non inversible. 3.2. Montrer que 2 est valeur propre double de la matrice À. 3.3. En déduire que f admet exactement 3 valeurs propres : lo < À < 4. On note pour tout j EUR [0,21], M; la matrice de p; dans la base Z. 3.4. Justifier que l'on peut écrire À sous la forme : À = 2 M; + 4 M. 3.5. Montrer que E; est de dimension 1 et déterminer un vecteur v;, de E; tel que [lv,l| = 1. 3.6. Démontrer que : Vxe E, pa(x) = (xlvi) vo. 3.7. Déterminer la matrice M. 4, En déduire la matrice associée à f" relativement à la base Z. Exercice 3 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N définies sur un même espace probabilisé (Q, A, P). Pour |f| < 1, on définit les fonctions génératrices de X et de Y respectivement par : il e Gx() = D =$ e Gr =2- V2-1. 3/4 Déterminer le développement en série entière de la fonction G*--. Donner le terme d'ordre n EUR N° du développement en série entière de la fonction 1 + (1+5)//7. En déduire le développement en série entière de la fonction G. Pour tout n EUR N, calculer P(X = n) et P(Y = n). Soient S =X +YetnEe N. Déterminer P(S = n). ASE Calculs d'espérances et de variances 6.1. Justifier que la variable aléatoire X + 1 suit une loi géométrique dont on déterminera le paramètre. 6.2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire X. 6.3. Déterminer à l'aide de la fonction génératrice G l'espérance des variables aléatoires Y et Y(Y - 1). 6.4. En déduire la variance de la variable aléatoire Y. 6.5. Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire S. Exercice 4 Dans tout l'exercice, n est un entier naturel non nul. 1 Soit ç l'application qui à tout polynôme P de R,[XT] associe w(P) = [ P(?) dr. 0 1. Démontrer que B = (1, x -- 1, X(X -- 1), XX - 1)) est une base de R,[X|. 2. Généralités sur 2.1. Démontrer que 4 est une forme linéaire sur R,[X]. 2.2. Déterminer Im(o) et la dimension du noyau de ©. 3. On considère alors l'application ÿ qui à tout polynôme P de R,[X] associe le polynôme © tel que : VxeRkR, O(x) -- [ P(?) dt. (0 3.1. Justifier que l'application y est linéaire. 3.2. Démontrer que Im() = Vect(X, X°7,..., X"*1). 3.3. Démontrer que : P EUR Ker(o) > y(P)E Vect(X{(X -- 1),.., X"(X -- 1)). 3.4. Donner alors une base de Ker(o). 4, On note H = Z(R,[X],R). 4.1. Donner la dimension de #. 4.2. Pour k EUR [0, nf, soit Y, la forme linéaire sur R,[X] qui à tout polynôme P de R,[X] P(0) k! Démontrer que la famille (Yo, ..., W,) est une base de #. asSOCIeE 4.3. Déterminer les composantes de w dans cette base. FIN 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE - 211159 - D'après documents fournis
e3a Mathématiques MP 2021 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (professeur en CPGE) ; il a été relu par Sélim Cornet (professeur agrégé) et Gilbert Monna (professeur honoraire en CPGE). Ce sujet est constitué de quatre exercices indépendants qui abordent les grands thèmes du programme. · Au cours du premier exercice, on établit la convergence normale d'une série de fonctions vers la fonction x 7- x-x prolongée par continuité en 0, afin de calculer l'intégrale de cette fonction sur [ 0 ; 1 ]. On retrouve au passage la fonction d'Euler, dont on détermine l'expression sur N . · On s'intéresse ensuite à l'inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique f d'un espace euclidien, que l'on définit à l'aide des projecteurs orthogonaux sur les sous-espaces propres de f . L'étude débouche sur un exemple concret en dimension 4. · Dans le troisième exercice, on étudie deux variables aléatoires entières qui sont caractérisées par leurs fonctions génératrices. On détermine leurs lois, espérances et variances, ainsi que celles de leur somme. · Le dernier exercice est consacré à l'étude de formes linéaires définies à l'aide d'intégrales sur l'espace Rn [X]. Ce sujet ne contient pas de difficulté particulière : les questions sont bien détaillées, les résultats essentiels apparaissent explicitement dans l'énoncé et les quatre exercices restent très proches du cours (on retrouve d'ailleurs quelques grands classiques). Rien ne s'oppose donc à ce qu'un candidat bien préparé le traite dans le temps imparti. Indications Exercice 1 1.1 Ces fonctions étant clairement toutes continues sur l'intervalle ] 0 ; 1 ], il suffit d'étudier leur continuité (à droite) en 0. 1.2.1 Utiliser le développement en série entière de la fonction exponentielle sur R. 1.5.1 Se servir de la question 1.3 pour calculer kfn k . 1.6.1 Étudier l'intégrabilité sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; + [ en comparant à des intégrales de Riemann. Z 1 1.7 Pour a ] 0 ; 1 ], calculer fn (t)dt à l'aide du changement de variable proposé, puis faire tendre a vers 0. a 1.8 Utiliser les résultats des questions 1.5 et 1.7. 1.9 On pourra majorer le reste de la série à l'aide du reste d'une série géométrique. Exercice 2 2.1.2 Se servir de la diagonalisabilité de f pour le second point. 2.1.5 Expliciter les sous-espaces Im (pj ) et Ker (pi ). 2.1.6 Pour x E, calculer f (x) à l'aide du résultat de la question 2.1.4. 2.1.7 Utiliser les questions 2.1.3 et 2.1.4. 2.2.1 Se servir des résultats des questions 2.1.6, 2.1.5 et 2.1.7. 2.3.2 On peut trouver des vecteurs propres de la matrice A à la main, en effectuant des combinaisons simples des colonnes. 2.3.4 Utiliser le résultat de la question 2.1.6. 2.3.5 Se servir de la question 2.3.3. 2.3.7 Penser au résultat précédent et à l'expression matricielle du produit scalaire. 2.4 On commencera par déterminer M1 à l'aide de la question 2.3.4. Exercice 3 3.1 On pourra exprimer GX à l'aide de la fonction f : t 7- 1/(1 - t). 3.4 Se servir de la définition des fonctions génératrices. 3.5 Utiliser l'indépendance de X et Y, ainsi que les résultats de la question 3.4. 3.6.3 Faire le lien avec les dérivées successives de GY en 1. Exercice 4 4.3.2 Déterminer l'image par de la base canonique B0 = (1, X, . . . , Xn ). 4.3.3 On pourra montrer que les deux propriétés sont équivalentes à (P)(1) = 0. 4.3.4 Trouver des antécédents par des polynômes qui apparaissent à la question 4.3.3, et utiliser les résultats des questions 4.3.3 et 4.2.2. 4.4.2 Utiliser la formule de Taylor en 0 pour exprimer tout polynôme à l'aide des k . 4.4.3 Se servir des calculs effectués à la question précédente. Publié dans les Annales des Concours Exercice 1 1.1 La fonction f0 étant constante, elle est évidemment continue sur I. Pour les autres, on va d'abord justifier qu'elles sont continues sur l'intervalle ] 0 ; 1 ] avant d'étudier leur continuité (à droite) en 0. · La fonction f a pour expression sur ] 0 ; 1 ] f (x) = x-x = exp (-x ln x) si bien qu'elle est continue sur cet intervalle en tant que composée de fonctions usuelles continues sur leurs ensembles de définition. Étudions sa continuité en 0 : on sait que lim+ x ln x = 0 d'après les croissances comparées, et par conséquent x0 lim f (x) = exp(0) = 1 = f (0) x0+ par continuité de l'exponentielle. La fonction f est bien continue en 0, donc La fonction f est continue sur I. · Soit maintenant n N . Comme f , la fonction fn est composée de fonctions usuelles continues, donc elle est continue sur ] 0 ; 1 ]. De plus, lim+ x ln x = 0 x0 d'où par produit de limites lim fn (x) = 0 = fn (0) x0+ ce qui prouve que fn est continue en 0. De ce fait, Pour tout n N, la fonction fn est continue sur I. La continuité de ces fonctions va permettre de définir leurs intégrales sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] en fin d'exercice. P 1.2 Puisque fn (0) = 0 pour tout n > 1, la série numérique fn (0) converge et + X fn (0) = f0 (0) + + X fn (0) = 1 = f (0) n=1 n=0 Soit x ] 0 ; 1 ]. La fonction exponentielle est développable en série entière sur R et y R ey = + X yn n! n=0 En particulier, on obtient pour y = -x ln x e -x ln x = f (x) = + + + X X X (-x ln x)n (-1)n = (x ln x)n = fn (x) n! n! n=0 n=0 n=0 Ceci prouve que La série de fonctions P fn converge simplement sur I vers la fonction f . On ne peut pas dire que ce soit une grosse surprise, étant donnée la façon dont sont introduites les fonctions f et (fn )nN . 1.3 Puisque la fonction est continue sur I, on a nécessairement Publié dans les Annales des Concours (0) = lim+ (t) = lim+ t ln t = 0 t0 t0 Il est quand même étonnant que cette valeur n'apparaisse pas dans l'énoncé. En outre, est dérivable sur ] 0 ; 1 ] en tant que produit de fonctions dérivables et 1 = ln t + 1 t 0 (t) > 0 ln t > -1 t > 1/e 0 (t) = 1 × ln t + t × t ]0;1] Ainsi, t ]0;1] par croissance de ln, ce qui permet de dresser le tableau de variations de sur I : t 0 1/e 0 - (t) 0 1 + 0 (t) 0 & % -1/e 1.4 Notons tout d'abord que lim+ 0 (t) = -, ce qui montre que la courbe de t0 admet l'axe des ordonnées pour tangente au point d'abscisse 0. Par ailleurs, 0 (1) = 1 donc la tangente au point d'abscisse 1 a pour pente 1, et ainsi pour équation y = x-1. Voici alors la courbe demandée : y 1/e x O -1/e 1.5 On a kk = 1/e d'après la question 1.3. Par définition, on a fn = (-1)n n /n! pour tout entier n N donc n e -1 (1/e )n = kfn k = n! n! P -1 n e /n! converge puisque la fonction exponentielle est Or, la série numérique développable en série entière sur R, si bien que P La série de fonctions fn converge normalement sur I. 1.6.1 Soit x R. Pour que le nombre (x) existe, il faut et il suffit que les intégrales Z 1 Z + x-1 -t données par I1 = t e dt et I2 = tx-1 e -t dt soient convergentes. 0 1 · Notons tout d'abord que I1 est impropre en 0 et que l'on a tx-1 e -t tx-1 . t0 Z 1 D'après le critère de Riemann, tx-1 dt converge si, et seulement si, 1-x < 1, 0 ce qui est équivalent à x > 0. On en déduit, par comparaison de fonctions positives, que l'intégrale I1 converge si, et seulement si, x > 0.