e3a Maths 1 MP 2020

Thème de l'épreuve Cinq exercices indépendants
Principaux outils utilisés probabilités, variables alétoires, suites et séries de fonctions, intégration, topologie des espaces vectoriels normés, suites complexes, espaces euclidiens, algèbre linéaire en dimension infinie
Mots clefs Cesàro, indépendance, orthogonal de Rn-1[X], loi géométrique, application linéaire en dimension infinie, isométrie, équivalence de normes, fraction rationnelle, pôle

Corrigé

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 e3a Mathématiques MP 2020 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (professeur en CPGE) ; il a été relu par Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université) et Tristan Poullaouec (professeur en CPGE). Ce sujet est composé de 5 exercices indépendants. · Dans le court exercice 1, on s'intéresse à deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique sur N. · L'exercice 2 étudie la suite de fonctions Pn : x 7- n Y ch k=1 x k On montre sa convergence normale sur R vers et l'intégrabilité de 1/. · L'exercice 3, le plus long, est consacré à l'étude d'endomorphismes de l'espace vectoriel C des suites indexées par Z convergentes en + et en - T : (xn )nZ 7 (xn-1 + xn+1 )nZ et S : (xn )nZ 7 (x-n )nZ En particulier, on détermine le spectre de T et on montre que S est une isométrie pour une certaine norme sur C , non équivalente à la norme infinie usuelle sur les suites bornées. · L'exercice 4 porte sur l'espace euclidien Rn [X] muni du produit scalaire Z 1 (P, Q) 7- P(t)Q(t) dt 0 On y détermine une base de Rn-1 [X] . · Enfin, l'exercice 5 a pour but de démontrer le lemme de Cesàro à l'aide d'intégrales de suites de fonctions. Cet ensemble d'exercices ne pose pas de difficulté majeure, tout en demandant d'avoir bien compris les notions essentielles du programme des deux années. Il en utilise les principaux chapitres : algèbre linéaire, espaces euclidiens, suites et séries, probabilités et variables aléatoires discrètes, intégrabilité, suites et séries de fonctions. Il constitue un bon sujet de révisions et d'entraînement pour tester sa maîtrise des notions du cours. Indications Exercice 1 1 Justifier la sommabilité de la famille (p q k )kN et calculer sa somme. 2 Remarquer que Z = X + 1 suit une loi géométrique. 3 Prouver d'abord que P(X < Y) = P(X > Y). n S {X = k} {Y = n - k}. 4 Remarquer que {S = n} = k=0 Exercice 2 1 Utiliser la positivité de ch et l'inégalité ch x > 1 pour tout x. P 2 Justifier la convergence de la série ln ch (x/k) à l'aide du développement limité ch x = 1 + x2 /2 + ox0 (x2 ). 3.1 Montrer d'abord que Pn est paire et croissante sur R+ . 3.2 Montrer que la convergence de ln(Pn ) vers ln est uniforme sur tout segment du type [ -a ; a ] avec a > 0. 4.1 Revenir à la définition de ch t puis utiliser le changement de variable u = e t . 4.2 Remarquer que Pn (x) > ch x pour tout x et tout n > 1. Exercice 3 2 Le cours assure que l'ensemble des suites réelles convergentes est un R-espace vectoriel. 4 Commencer par montrer que T(C ) C . 5 Interpréter F et G comme des noyaux d'endomorphismes construits avec S. 6 Faire apparaître F et G. 7.1 Traduire x Ker (T - IdE ) par une relation de récurrence linéaire pour la suite (xn )nN et en déduire son expression. Montrer que cette expression est encore vraie pour n < 0. On remarquera que les racines de l'équation caractéristique sont inverses l'une de l'autre. 7.2 Utiliser le résultat de la question 7.1. 7.3 La même technique que celle utilisée à la question 7.1 fonctionne. 8.1 Penser au résultat de la question 3. 8.3 Une isométrie est une application 1-lipschitzienne. 8.4 Un noyau est une image réciproque de {0}. 8.5 Utiliser la suite v (p) valant 1 en n = p et 0 ailleurs. Exercice 4 3 P R1 [X] se caractérise par son orthogonalité à 1 et X. 4 Si L Rn-1 [X], que vaut hL , Li ? 4.2.1 Décomposer L sur la base canonique et calculer explicitement l'intégrale dont on justifiera qu'elle converge au moins pour x > -1. 4.2.2 Les pôles sont donnés par la question 4.2.1, justifier qu'ils sont simples. Les zéros par la condition L Rn-1 [X] . Considérer la mise au même dénominateur de la fraction rationnelle. On montrera que tous les coefficients de L sont non nuls. 4.2.3 On connaît les racines du numérateur de donc on peut le factoriser. 4.3 Remarquer que dim Rn-1 [X] = 1 et que L en est une base. Exercice 5 1 La fonction fn est continue par morceaux sur un segment. Appliquer la relation de Chasles. 2 Utiliser fn (t) = wk où (k - 1)/n 6 t < k/n pour t 6= 1. 3 Si t 6= 0, bntc ---- +. n 4 Appliquer le théorème de convergence dominée à fn en remarquant qu'une suite convergente est bornée. Publié dans les Annales des Concours Exercice 1 1 Comme P(X = k) = P(Y = k) pour tout k N, il suffit de vérifier que l'on a bien des lois de variable aléatoire sur l'espace probabilisé (N, P(N), P kP). Or, pour tout p ] 0 ; 1 [, on a q = 1 - p ] 0 ; 1 [, donc la série géométrique q de raison q converge d'après le cours et + X qk = k=0 de sorte que P 1 1 = 1-q p P(X = k) converge et + X P(X = k) = p = k=0 + X qk = k=0 + X p qk = 1 k=0 k Comme p q > 0 pour tout k N, on obtient bien La suite (p q k )kN définit une loi de variable aléatoire sur N. L'énoncé demande de vérifier que PX , la loi image de X, est bien une probabilité. Cela est incongru, puisque si X est une variable aléatoire discrète bien définie, alors le cours donne cette propriété... Autrement dit, on demande ici implicitement de vérifier la bonne définition des variables aléatoires X et Y. 2 On remarque que Z = X + 1 suit la loi géométrique de paramètre p puisque k N P(Z = k) = P(X = k - 1) = p q k-1 Il vient alors que Z admet une espérance et E(Z) = 1/p, d'où par linéarité La variable aléatoire X admet une espérance et E(X) = E(Z-1) = E(Z)-1 = 1 1-p q -1 = = p p p On peut aussi refaire le calcul en utilisant le développement en série entière de la dérivée de u 7 1/(1 - u) : p + X k kq = p k=0 + X k kq = pq k=1 + X k q k-1 = p q × k=1 1 q = (1 - q)2 p 3 Remarquons que l'on a l'union disjointe + S {X = Y} = ({X = k} {Y = k}) k=0 de sorte que, par -additivité de P, indépendance et égalité en loi de X et Y P(X = Y) = = + X k=0 + X k=0 où l'on a utilisé q 2 P({X = k} {Y = k}) = + X P(X = k) · P(Y = k) k=0 p2 q 2k = p2 + X (q 2 )k = p2 k=0 p2 1 = 1 - q2 (1 - q)(1 + q) < 1 pour la convergence de la série. Par conséquent, P(X = Y) = p p = 1+q 2-p