e3a Maths 1 MP 2020

Thème de l'épreuve Cinq exercices indépendants
Principaux outils utilisés probabilités, variables alétoires, suites et séries de fonctions, intégration, topologie des espaces vectoriels normés, suites complexes, espaces euclidiens, algèbre linéaire en dimension infinie
Mots clefs Cesàro, indépendance, orthogonal de Rn-1[X], loi géométrique, application linéaire en dimension infinie, isométrie, équivalence de normes, fraction rationnelle, pôle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 \( D MP8M

NS
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.

1/4
Exercice li.

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans N et 
telles que :
VkREN, P(X =k) =P(Y =D = pq

où p E]0, If et g = 1 -- p.
1. Vérifier que l'on définit ainsi des lois de probabilité.
2. Justifier que la variable aléatoire X possède une espérance et la calculer.
3. Calculer P(X = Y) et P(X < Y). 4, Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y. Exercice 2. n | x Pour tout réel x et tout entier naturel n non nul, on pose : P,(x) = IE ch (=) k=1 e' +e ! 2 1. Montrer que pour tout x réel, la suite (P,(x)),aw est croissante. où VER, ch(f) -- 2. Déterminer l'ensemble J des réels x pour lesquels la suite (P,(x)),aw: est convergente. On pourra utiliser la suite (In(P,(x)) he: 3. Soit x EUR J. On note w(x) la limite de la suite (P, (x) ser. 3.1. Étudier la parité et la monotonie de la fonction & sur J. 3.2. Démontrer que la fonction 4 est continue sur J. Ï Ï 4.1. Prouver que la fonction fr ------ est intégrable sur R et calculer [ --, ch(f) r Ch On pourra utiliser un changement de variables. Ï 4.2. En déduire l'intégrabilité de la fonction --. p Exercice 3. QUESTIONS DE COURS 1. On considère le trinôme du second degré à coefficients complexes aX° + bX + c dont on note s} et s> les racines.

Donner sans démonstration les expressions de a; = $, + s, et de oc; = 5,52 à 
l'aide des coeffi-
cients a, bet c.

2. Soient a et b deux réels et (4,),ew une suite réelle définie par w EUR KR, 
#, EUR KR et la relation de
récurrence :

VnEN, uy:55 = au,:1 + bu,

On note r, et r, les racines dans EUR de l'équation caractéristique associée à 
cette suite.
Soit n EUR N. Exprimer #, en fonction de r;, ñ et ñn.

On sera amené à distinguer trois cas et 1l n'est pas demandé d'exprimer les 
constantes qui
apparaissent en fonction de #, et de u1.

2/4
+ © 2% © *% %

On note & l'ensemble des suites réelles x = (x,),-7 indexées par Z telles que 
les sous-suites (x, yen
et (X_y)nen convergent.

On admettra que l'ensemble Æ des suites réelles indexées par Z est un R-espace 
vectoriel.
L'endomorphisme identité de l'espace E sera noté 1dg.

On définit les applications S et T de EUR dans E par :

Vxe®, S(x) =z, avec VneZ, z =x;
et

Vxe, T(x) = y, avec VneZ, y, = Xy-1 + Xp.

. Donner un exemple de suite non constante, élément de EUR.

. Montrer que EUR est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel E.

1

2

3. Prouver que si une suite x est dans , elle est bornée.

4, Montrer que T est un endomorphisme de EUR. On admettra qu'il en est de même 
pour S.
5

. SoientF={xeé, VNneZ, x, =x.,}) et G={xe 6, NneZ, x, = --x ,}.
Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de EUR.

ON

. Étude de l'endomorphisme S
Prouver que S est une symétrie de EUR dont on précisera les éléments 
caractéristiques.

I

. Étude de l'endomorphisme T
On rappelle qu'une suite x est dans EUR lorsque les deux sous-suites (x,)sen et 
(X_»)nen Sont
convergentes.

7.1. Soit À un réel. Montrer que si À &# {--2, 2}, Ker(T -- Aid) = {04} où 04 
désigne le vecteur
nul de EUR.

On pourra utiliser les questions de cours.
7.2. L'endomorphisme T est-il injectif ?
7.3. Déterminer Ker(T -- 21d;) et Ker(T + 21d).
7.4. Déterminer alors l'ensemble de toutes les valeurs propres de 
l'endomorphisme T..

8. On munit # de la norme infinie : si x EUR EUR, [xl = Sup {x;,|.
nez

+00
n + --n
Soit N l'application qui à tout élément x de #, associe N(x) = > Ro ,
n=0
8.1. Vérifier que pour tout x de &, N(x) existe.

8.2. Démontrer que l'on définit ainsi une norme sur l'espace EUR.
8.3. Montrer que S est une isométrie de l'espace vectoriel normé (&, N). 
Est-elle continue ?
8.4. Prouver que dans cet espace normé, les sous-espaces vectoriels F et G sont 
des fermés.

8.5. Les deux normes || || et N sont-elles équivalentes ?

3/4
Exercice 4.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note E = KR,[X] et on 
pose, pour tout couple
(P,Q) EUR E",

1
< P,O>=- [ P(HO(P) dr.
0

1. Démontrer que l'on définit ainsi sur E un produit scalaire.
Dans la suite de cet exercice, E est l'espace euclidien R,[X] muni de ce 
produit scalaire.

2. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p. Donner sans 
démonstration la dimension
de F--.

3. On prend dans cette question n = 2.
Déterminer une base du sous-espace (R;[X1)"_.

4, On revient au cas général : n > 2 et soit LE (R,_,[X]) non nul.

4.1. Déterminer le degré de L.

1
4.2. On pose, lorsque cela est possible, pour x réel : &(x) = [ L(r) r° dr.
0

4.2.1. Montrer que w est une fonction rationnelle.

4.2.2. Déterminer les zéros et les pôles de &. Donner pour chacun son ordre de 
multiplicité.
On pourra examiner les degrés du dénominateur et du numérateur de la fonction 
ra-
tonnelle ©.

4.2.3. En déduire une expression de 4, à une constante multiplicative près, 
faisant apparaître
le numérateur et le dénominateur sous forme factorisée.

4.3. En utilisant une décomposition en éléments simples de la fonction 
rationnelle &, donner
une base de (R,_:[X1)_.

Exercice 5.

Soit (w,),ew: une suite réelle convergente de limite EUR.
Pour tout n EUR N°", on définit sur [ 0, 1] la fonction en escalier jf, par :

VkeÏ1,nl, vie a fn) = wr et fl) = w,.

1
1. Déterminer [ fn(®) df.
0

2. Prouver que l'on a pour tout f EUR [ 0, IT, ff) = wiw1+1 où [x] désigne la 
partie entière du réel x.

3. En déduire pour tout f EUR [ 0, 1], la valeur de lim f,(r).
n-- +00

Ï
4. Prouver alors que l'on a : lim -- > Wy = L.

+ © 2% © *% %

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 201155 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Mathématiques MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université) et Tristan Poullaouec
(professeur en CPGE).

Ce sujet est composé de 5 exercices indépendants.
· Dans le court exercice 1, on s'intéresse à deux variables aléatoires 
indépendantes
suivant une loi géométrique sur N.
· L'exercice 2 étudie la suite de fonctions
Pn : x 7-

n
Y

ch

k=1

x
k

On montre sa convergence normale sur R vers  et l'intégrabilité de 1/.
· L'exercice 3, le plus long, est consacré à l'étude d'endomorphismes de 
l'espace
vectoriel C des suites indexées par Z convergentes en + et en -
T : (xn )nZ 7 (xn-1 + xn+1 )nZ

et

S : (xn )nZ 7 (x-n )nZ

En particulier, on détermine le spectre de T et on montre que S est une 
isométrie
pour une certaine norme sur C , non équivalente à la norme infinie usuelle sur
les suites bornées.
· L'exercice 4 porte sur l'espace euclidien Rn [X] muni du produit scalaire
Z 1
(P, Q) 7-
P(t)Q(t) dt
0

On y détermine une base de Rn-1 [X] .
· Enfin, l'exercice 5 a pour but de démontrer le lemme de Cesàro à l'aide 
d'intégrales de suites de fonctions.
Cet ensemble d'exercices ne pose pas de difficulté majeure, tout en demandant
d'avoir bien compris les notions essentielles du programme des deux années. Il 
en
utilise les principaux chapitres : algèbre linéaire, espaces euclidiens, suites 
et séries,
probabilités et variables aléatoires discrètes, intégrabilité, suites et séries 
de fonctions.
Il constitue un bon sujet de révisions et d'entraînement pour tester sa 
maîtrise des
notions du cours.

Indications
Exercice 1
1 Justifier la sommabilité de la famille (p q k )kN et calculer sa somme.
2 Remarquer que Z = X + 1 suit une loi géométrique.
3 Prouver d'abord que P(X < Y) = P(X > Y).
n
S
{X = k}  {Y = n - k}.
4 Remarquer que {S = n} =
k=0

Exercice 2
1 Utiliser la positivité de ch et l'inégalité ch x > 1 pour tout x.
P
2 Justifier la convergence de la série
ln ch (x/k) à l'aide du développement
limité ch x = 1 + x2 /2 + ox0 (x2 ).
3.1 Montrer d'abord que Pn est paire et croissante sur R+ .
3.2 Montrer que la convergence de ln(Pn ) vers ln  est uniforme sur tout segment
du type [ -a ; a ] avec a > 0.
4.1 Revenir à la définition de ch t puis utiliser le changement de variable u = 
e t .
4.2 Remarquer que Pn (x) > ch x pour tout x et tout n > 1.
Exercice 3
2 Le cours assure que l'ensemble des suites réelles convergentes est un R-espace
vectoriel.
4 Commencer par montrer que T(C )  C .
5 Interpréter F et G comme des noyaux d'endomorphismes construits avec S.
6 Faire apparaître F et G.
7.1 Traduire x  Ker (T -  IdE ) par une relation de récurrence linéaire pour la
suite (xn )nN et en déduire son expression. Montrer que cette expression est
encore vraie pour n < 0. On remarquera que les racines de l'équation caractéristique sont inverses l'une de l'autre. 7.2 Utiliser le résultat de la question 7.1. 7.3 La même technique que celle utilisée à la question 7.1 fonctionne. 8.1 Penser au résultat de la question 3. 8.3 Une isométrie est une application 1-lipschitzienne. 8.4 Un noyau est une image réciproque de {0}. 8.5 Utiliser la suite v (p) valant 1 en n = p et 0 ailleurs. Exercice 4 3 P  R1 [X] se caractérise par son orthogonalité à 1 et X. 4 Si L  Rn-1 [X], que vaut hL , Li ? 4.2.1 Décomposer L sur la base canonique et calculer explicitement l'intégrale dont on justifiera qu'elle converge au moins pour x > -1.
4.2.2 Les pôles sont donnés par la question 4.2.1, justifier qu'ils sont 
simples. Les zéros
par la condition L  Rn-1 [X] . Considérer la mise au même dénominateur de
la fraction rationnelle. On montrera que tous les coefficients de L sont non 
nuls.
4.2.3 On connaît les racines du numérateur de  donc on peut le factoriser.
4.3 Remarquer que dim Rn-1 [X] = 1 et que L en est une base.

Exercice 5
1 La fonction fn est continue par morceaux sur un segment. Appliquer la relation
de Chasles.
2 Utiliser fn (t) = wk où (k - 1)/n 6 t < k/n pour t 6= 1. 3 Si t 6= 0, bntc ---- +. n 4 Appliquer le théorème de convergence dominée à fn en remarquant qu'une suite convergente est bornée. Publié dans les Annales des Concours Exercice 1 1 Comme P(X = k) = P(Y = k) pour tout k  N, il suffit de vérifier que l'on a bien des lois de variable aléatoire sur l'espace probabilisé (N, P(N), P kP). Or, pour tout p  ] 0 ; 1 [, on a q = 1 - p  ] 0 ; 1 [, donc la série géométrique q de raison q converge d'après le cours et + X qk = k=0 de sorte que P 1 1 = 1-q p P(X = k) converge et + X P(X = k) = k=0 + X p qk = p k=0 + X qk = 1 k=0 k Comme p q > 0 pour tout k  N, on obtient bien
La suite (p q k )kN définit une loi de variable aléatoire sur N.
L'énoncé demande de vérifier que PX , la loi image de X, est bien une 
probabilité. Cela est incongru, puisque si X est une variable aléatoire 
discrète bien
définie, alors le cours donne cette propriété... Autrement dit, on demande ici
implicitement de vérifier la bonne définition des variables aléatoires X et Y.
2 On remarque que Z = X + 1 suit la loi géométrique de paramètre p puisque
k  N

P(Z = k) = P(X = k - 1) = p q k-1

Il vient alors que Z admet une espérance et E(Z) = 1/p, d'où par linéarité
La variable aléatoire X admet une espérance et
E(X) = E(Z-1) = E(Z)-1 =

1
1-p
q
-1 =
=
p
p
p

On peut aussi refaire le calcul en utilisant le développement en série entière
de la dérivée de u 7 1/(1 - u) :
p

+
X

k

kq = p

k=0

+
X

k

kq = pq

k=1

+
X

k q k-1 = p q ×

k=1

1
q
=
(1 - q)2
p

3 Remarquons que l'on a l'union disjointe
+

S

{X = Y} =

({X = k}  {Y = k})

k=0

de sorte que, par -additivité de P, indépendance et égalité en loi de X et Y
P(X = Y) =
=

+
X

k=0
+
X
k=0

où l'on a utilisé q

2

P({X = k}  {Y = k}) =

+
X

P(X = k) · P(Y = k)

k=0

p2 q 2k = p2

+
X

(q 2 )k = p2

k=0

p2
1
=
1 - q2
(1 - q)(1 + q)

< 1 pour la convergence de la série. Par conséquent, P(X = Y) = p p = 1+q 2-p