Thème de l'épreuve | Cinq exercices indépendants |
Principaux outils utilisés | probabilités, variables alétoires, suites et séries de fonctions, intégration, topologie des espaces vectoriels normés, suites complexes, espaces euclidiens, algèbre linéaire en dimension infinie |
Mots clefs | Cesàro, indépendance, orthogonal de Rn-1[X], loi géométrique, application linéaire en dimension infinie, isométrie, équivalence de normes, fraction rationnelle, pôle |
SESSION 2020 \( D MP8M NS e3a POLYTECH ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES Jeudi 7 mai :14h-18h N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a êté amené à prendre. RAPPEL DES CONSIGNES «_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. ° Ne pas utiliser de correcteur. «_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. 1/4 Exercice li. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans N et telles que : VkREN, P(X =k) =P(Y =D = pq où p E]0, If et g = 1 -- p. 1. Vérifier que l'on définit ainsi des lois de probabilité. 2. Justifier que la variable aléatoire X possède une espérance et la calculer. 3. Calculer P(X = Y) et P(X < Y). 4, Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y. Exercice 2. n | x Pour tout réel x et tout entier naturel n non nul, on pose : P,(x) = IE ch (=) k=1 e' +e ! 2 1. Montrer que pour tout x réel, la suite (P,(x)),aw est croissante. où VER, ch(f) -- 2. Déterminer l'ensemble J des réels x pour lesquels la suite (P,(x)),aw: est convergente. On pourra utiliser la suite (In(P,(x)) he: 3. Soit x EUR J. On note w(x) la limite de la suite (P, (x) ser. 3.1. Étudier la parité et la monotonie de la fonction & sur J. 3.2. Démontrer que la fonction 4 est continue sur J. Ï Ï 4.1. Prouver que la fonction fr ------ est intégrable sur R et calculer [ --, ch(f) r Ch On pourra utiliser un changement de variables. Ï 4.2. En déduire l'intégrabilité de la fonction --. p Exercice 3. QUESTIONS DE COURS 1. On considère le trinôme du second degré à coefficients complexes aX° + bX + c dont on note s} et s> les racines. Donner sans démonstration les expressions de a; = $, + s, et de oc; = 5,52 à l'aide des coeffi- cients a, bet c. 2. Soient a et b deux réels et (4,),ew une suite réelle définie par w EUR KR, #, EUR KR et la relation de récurrence : VnEN, uy:55 = au,:1 + bu, On note r, et r, les racines dans EUR de l'équation caractéristique associée à cette suite. Soit n EUR N. Exprimer #, en fonction de r;, ñ et ñn. On sera amené à distinguer trois cas et 1l n'est pas demandé d'exprimer les constantes qui apparaissent en fonction de #, et de u1. 2/4 + © 2% © *% % On note & l'ensemble des suites réelles x = (x,),-7 indexées par Z telles que les sous-suites (x, yen et (X_y)nen convergent. On admettra que l'ensemble Æ des suites réelles indexées par Z est un R-espace vectoriel. L'endomorphisme identité de l'espace E sera noté 1dg. On définit les applications S et T de EUR dans E par : Vxe®, S(x) =z, avec VneZ, z =x; et Vxe, T(x) = y, avec VneZ, y, = Xy-1 + Xp. . Donner un exemple de suite non constante, élément de EUR. . Montrer que EUR est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel E. 1 2 3. Prouver que si une suite x est dans , elle est bornée. 4, Montrer que T est un endomorphisme de EUR. On admettra qu'il en est de même pour S. 5 . SoientF={xeé, VNneZ, x, =x.,}) et G={xe 6, NneZ, x, = --x ,}. Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de EUR. ON . Étude de l'endomorphisme S Prouver que S est une symétrie de EUR dont on précisera les éléments caractéristiques. I . Étude de l'endomorphisme T On rappelle qu'une suite x est dans EUR lorsque les deux sous-suites (x,)sen et (X_»)nen Sont convergentes. 7.1. Soit À un réel. Montrer que si À {--2, 2}, Ker(T -- Aid) = {04} où 04 désigne le vecteur nul de EUR. On pourra utiliser les questions de cours. 7.2. L'endomorphisme T est-il injectif ? 7.3. Déterminer Ker(T -- 21d;) et Ker(T + 21d). 7.4. Déterminer alors l'ensemble de toutes les valeurs propres de l'endomorphisme T.. 8. On munit # de la norme infinie : si x EUR EUR, [xl = Sup {x;,|. nez +00 n + --n Soit N l'application qui à tout élément x de #, associe N(x) = > Ro , n=0 8.1. Vérifier que pour tout x de &, N(x) existe. 8.2. Démontrer que l'on définit ainsi une norme sur l'espace EUR. 8.3. Montrer que S est une isométrie de l'espace vectoriel normé (&, N). Est-elle continue ? 8.4. Prouver que dans cet espace normé, les sous-espaces vectoriels F et G sont des fermés. 8.5. Les deux normes || || et N sont-elles équivalentes ? 3/4 Exercice 4. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note E = KR,[X] et on pose, pour tout couple (P,Q) EUR E", 1 < P,O>=- [ P(HO(P) dr. 0 1. Démontrer que l'on définit ainsi sur E un produit scalaire. Dans la suite de cet exercice, E est l'espace euclidien R,[X] muni de ce produit scalaire. 2. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p. Donner sans démonstration la dimension de F--. 3. On prend dans cette question n = 2. Déterminer une base du sous-espace (R;[X1)"_. 4, On revient au cas général : n > 2 et soit LE (R,_,[X]) non nul. 4.1. Déterminer le degré de L. 1 4.2. On pose, lorsque cela est possible, pour x réel : &(x) = [ L(r) r° dr. 0 4.2.1. Montrer que w est une fonction rationnelle. 4.2.2. Déterminer les zéros et les pôles de &. Donner pour chacun son ordre de multiplicité. On pourra examiner les degrés du dénominateur et du numérateur de la fonction ra- tonnelle ©. 4.2.3. En déduire une expression de 4, à une constante multiplicative près, faisant apparaître le numérateur et le dénominateur sous forme factorisée. 4.3. En utilisant une décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle &, donner une base de (R,_:[X1)_. Exercice 5. Soit (w,),ew: une suite réelle convergente de limite EUR. Pour tout n EUR N°", on définit sur [ 0, 1] la fonction en escalier jf, par : VkeÏ1,nl, vie a fn) = wr et fl) = w,. 1 1. Déterminer [ fn(®) df. 0 2. Prouver que l'on a pour tout f EUR [ 0, IT, ff) = wiw1+1 où [x] désigne la partie entière du réel x. 3. En déduire pour tout f EUR [ 0, 1], la valeur de lim f,(r). n-- +00 Ï 4. Prouver alors que l'on a : lim -- > Wy = L. + © 2% © *% % FIN 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE - 201155 - D'après documents fournis
© Éditions H&K e3a Mathématiques MP 2020 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (professeur en CPGE) ; il a été relu par Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université) et Tristan Poullaouec (professeur en CPGE). Ce sujet est composé de 5 exercices indépendants. · Dans le court exercice 1, on s'intéresse à deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique sur N. · L'exercice 2 étudie la suite de fonctions Pn : x 7- n Y ch k=1 x k On montre sa convergence normale sur R vers et l'intégrabilité de 1/. · L'exercice 3, le plus long, est consacré à l'étude d'endomorphismes de l'espace vectoriel C des suites indexées par Z convergentes en + et en - T : (xn )nZ 7 (xn-1 + xn+1 )nZ et S : (xn )nZ 7 (x-n )nZ En particulier, on détermine le spectre de T et on montre que S est une isométrie pour une certaine norme sur C , non équivalente à la norme infinie usuelle sur les suites bornées. · L'exercice 4 porte sur l'espace euclidien Rn [X] muni du produit scalaire Z 1 (P, Q) 7- P(t)Q(t) dt 0 On y détermine une base de Rn-1 [X] . · Enfin, l'exercice 5 a pour but de démontrer le lemme de Cesàro à l'aide d'intégrales de suites de fonctions. Cet ensemble d'exercices ne pose pas de difficulté majeure, tout en demandant d'avoir bien compris les notions essentielles du programme des deux années. Il en utilise les principaux chapitres : algèbre linéaire, espaces euclidiens, suites et séries, probabilités et variables aléatoires discrètes, intégrabilité, suites et séries de fonctions. Il constitue un bon sujet de révisions et d'entraînement pour tester sa maîtrise des notions du cours. Publié dans les Annales des Concours © Éditions H&K Indications Exercice 1 1 Justifier la sommabilité de la famille (p q k )kN et calculer sa somme. 2 Remarquer que Z = X + 1 suit une loi géométrique. 3 Prouver d'abord que P(X < Y) = P(X > Y). n S {X = k} {Y = n - k}. 4 Remarquer que {S = n} = k=0 Exercice 2 1 Utiliser la positivité de ch et l'inégalité ch x > 1 pour tout x. P 2 Justifier la convergence de la série ln ch (x/k) à l'aide du développement limité ch x = 1 + x2 /2 + ox0 (x2 ). 3.1 Montrer d'abord que Pn est paire et croissante sur R+ . 3.2 Montrer que la convergence de ln(Pn ) vers ln est uniforme sur tout segment du type [ -a ; a ] avec a > 0. 4.1 Revenir à la définition de ch t puis utiliser le changement de variable u = e t . 4.2 Remarquer que Pn (x) > ch x pour tout x et tout n > 1. Exercice 3 2 Le cours assure que l'ensemble des suites réelles convergentes est un R-espace vectoriel. 4 Commencer par montrer que T(C ) C . 5 Interpréter F et G comme des noyaux d'endomorphismes construits avec S. 6 Faire apparaître F et G. 7.1 Traduire x Ker (T - IdE ) par une relation de récurrence linéaire pour la suite (xn )nN et en déduire son expression. Montrer que cette expression est encore vraie pour n < 0. On remarquera que les racines de l'équation caractéristique sont inverses l'une de l'autre. 7.2 Utiliser le résultat de la question 7.1. 7.3 La même technique que celle utilisée à la question 7.1 fonctionne. 8.1 Penser au résultat de la question 3. 8.3 Une isométrie est une application 1-lipschitzienne. 8.4 Un noyau est une image réciproque de {0}. 8.5 Utiliser la suite v (p) valant 1 en n = p et 0 ailleurs. Exercice 4 3 P R1 [X] se caractérise par son orthogonalité à 1 et X. 4 Si L Rn-1 [X], que vaut hL , Li ? 4.2.1 Décomposer L sur la base canonique et calculer explicitement l'intégrale dont on justifiera qu'elle converge au moins pour x > -1. 4.2.2 Les pôles sont donnés par la question 4.2.1, justifier qu'ils sont simples. Les zéros par la condition L Rn-1 [X] . Considérer la mise au même dénominateur de la fraction rationnelle. On montrera que tous les coefficients de L sont non nuls. 4.2.3 On connaît les racines du numérateur de donc on peut le factoriser. 4.3 Remarquer que dim Rn-1 [X] = 1 et que L en est une base. © Éditions H&K Exercice 5 1 La fonction fn est continue par morceaux sur un segment. Appliquer la relation de Chasles. 2 Utiliser fn (t) = wk où (k - 1)/n 6 t < k/n pour t 6= 1. 3 Si t 6= 0, bntc ---- +. n 4 Appliquer le théorème de convergence dominée à fn en remarquant qu'une suite convergente est bornée. Publié dans les Annales des Concours © Éditions H&K Exercice 1 1 Comme P(X = k) = P(Y = k) pour tout k N, il suffit de vérifier que l'on a bien des lois de variable aléatoire sur l'espace probabilisé (N, P(N), P kP). Or, pour tout p ] 0 ; 1 [, on a q = 1 - p ] 0 ; 1 [, donc la série géométrique q de raison q converge d'après le cours et + X qk = k=0 de sorte que P 1 1 = 1-q p P(X = k) converge et + X P(X = k) = k=0 + X p qk = p k=0 + X qk = 1 k=0 k Comme p q > 0 pour tout k N, on obtient bien La suite (p q k )kN définit une loi de variable aléatoire sur N. L'énoncé demande de vérifier que PX , la loi image de X, est bien une probabilité. Cela est incongru, puisque si X est une variable aléatoire discrète bien définie, alors le cours donne cette propriété... Autrement dit, on demande ici implicitement de vérifier la bonne définition des variables aléatoires X et Y. 2 On remarque que Z = X + 1 suit la loi géométrique de paramètre p puisque k N P(Z = k) = P(X = k - 1) = p q k-1 Il vient alors que Z admet une espérance et E(Z) = 1/p, d'où par linéarité La variable aléatoire X admet une espérance et E(X) = E(Z-1) = E(Z)-1 = 1 1-p q -1 = = p p p On peut aussi refaire le calcul en utilisant le développement en série entière de la dérivée de u 7 1/(1 - u) : p + X k kq = p k=0 + X k kq = pq k=1 + X k q k-1 = p q × k=1 1 q = (1 - q)2 p 3 Remarquons que l'on a l'union disjointe + S {X = Y} = ({X = k} {Y = k}) k=0 de sorte que, par -additivité de P, indépendance et égalité en loi de X et Y P(X = Y) = = + X k=0 + X k=0 où l'on a utilisé q 2 P({X = k} {Y = k}) = + X P(X = k) · P(Y = k) k=0 p2 q 2k = p2 + X (q 2 )k = p2 k=0 p2 1 = 1 - q2 (1 - q)(1 + q) < 1 pour la convergence de la série. Par conséquent, P(X = Y) = p p = 1+q 2-p