e3a Maths A MP 2008

  

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Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Questions de cours et exemples.

Soit E un R ---- espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E.
1. Donner la définition d'un polynôme annulateur def.

2. Quelle est la structure de l'ensemble J f des polynômes annulateurs def?

3. Donner la définition du polynôme minimal de ] que l'on notera 1rf.
4. Prouver l'existence de arf.

5. Un premier exemple .

Soit f l'endomorphisme de R4 de matrice canoniquement associée :
M = (m,--,.) où V(i,j) & {1,...,4} >< {1,...,4}, m.,-- = -ä- (1 + (---1)"+1'). 5.1. Calculer M pour k & N'". 5.2. Déterminer 7l'f. 6. Un second exemple . 6.1. Chercher les solutions à valeurs réelles des équations différentielles : y" +y = ch(x) et y" +y == sh(x) où ch et sh sont respectivement les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. 6.2. On considère (H 1) l'équation différentielle : y... = y. Soit f une fonction de classe C4 sur R. Démontrer que f est solution de (H 1 ) si et seulement si la fonction g = j" + f est solution d'une équation différentielle du second ordre (H 2 ) que l'on déterminera. 6.3. Résoudre l'équation (H2 ). 6.4. En déduire les solutions de (H 1 ). 6.5. On note alors E le sous-espace vectoriel du R ---- espace vectoriel des applications de classe C°0 sur R à valeurs réelles engendré par ( cos, sin, ch, sh). 6.5.1. Quelle est la dimension de E '? 6.5.2. Justifier que la dérivation induit sur E un endomorphisme ô . 6.5.3. Déterminer le polynôme minimal m3 de E. Problème. Dans tout le problème, E = R[X] et [.(E ) désigne l'algèbre des endomorphismes de E muni de ses opérations usuelles. Soit n EUR N *. L'ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n sera noté E n = Rn[X]. L'endomorphisme identité de E est noté e, l'endomorphisme nul 9. Lorsque l'on est dans l'espace vectoriel normé E ... on notera respectivement ces endomorphismes en et On. On rappelle que si f est un endomorphisme de E, f 0 == e et VmEURN*,f"=fof""l. Lorsque f est un endomorphisme de E ... on note Xf son polynôme caractéristique. Soient u : P E E +----» u(P) : P' où P' désigne le polynôme dérivé de P, et v:PEUREr-->v(P) ===--R où R(X)=P(X+l).

Partie 1 : Quelques propriétés des endomorphismes u et v.

1. Rappeler la dimension de E n. En donner une base usuelle.

2. Montrer que u et v sont des endomorphismes de E qui laissent stable E n.

On note alors un et vn les endomorphismes induits par restriction de u et de v 
à E n.
3. Ecrire les matrices Un et V,, de un et vn dans la base canonique de E n.

4. Préciser le noyau et l'image de chacun de ces endomorphismes.

5. Les endomorphismes un et V,, commutent--ils '?

6. Quel est le polynôme caractéristique de un ? un est--il diagonalisable '?

7. Quel est le polynôme caractéristique de V,, ? vn est--il diagonalisable '?

8. On note wn : vn --- en et on pose :

Q0 = 1, v k EUR {l,...,n}, Q,, = ---- [] (X--j).

8.1. Vérifier que la famille 13 = (Qk)0 1, il existe un réel (1 k non nul, tel que :

Wn(Qk) = azka_1.

8.3. Ecrire la matrice Wn de wn dans la base E'.

8.4. Donner une base de Ker(wn) ainsi que de Im(wn).

8.5. Calculer, pour j E N etk e {O,...,n}, wÂ(QU.

On rappelle que w,{ = wnowno...own .
K_.___Y__--_--_--J
j facteurs

9. Détermination des composantes d'un polynôme de E n dans la base 8.

9..1 SOIÏP EUR En.

n
Justifier l'existence et l'unicité de scalaires (fik)0< k