© Éditions H&K
E3A Maths A MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) et Chloé Mullaert (ENS Cachan).
Ce sujet porte sur les polynômes annulateurs d'un endomorphisme d'un espace
vectoriel, de dimension finie ou non, et en particulier sur l'existence du
polynôme
minimal de cet endomorphisme.
Dans un premier temps, le sujet propose des questions de cours et des exemples
sans grande difficulté, qu'il est important de traiter soigneusement.
Le problème aborde ensuite l'étude de deux endomorphismes, l'un de l'espace
vectoriel R[X] des polynômes à coefficients réels, l'autre de l'espace
vectoriel Rn [X]
(de dimension finie) des polynômes de degrés au plus un entier naturel n : la
dérivation
et l'application v : P 7 P(X + 1).
· La première partie commence par des questions simples en dimension finie
(matrices, noyaux, images, polynômes caractéristiques, diagonalisabilité, etc.).
Elle introduit ensuite une base B de Rn [X] dans laquelle l'étude de la
restriction
de v est simplifiée, puis fait identifier les coordonnées d'un polynôme
quelconque
de Rn [X] dans cette base B.
· Dans la deuxième partie, on détermine des polynômes minimaux d'endomorphismes
en dimension finie puis on étudie des polynômes annulateurs d'endomorphismes en
dimension infinie, certains admettant un polynôme minimal,
d'autres non.
· Enfin, dans la troisième partie, on exprime les restrictions à Rn [X] de la
dérivation et de l'application v, l'une en fonction de l'autre, à l'aide de
séries qui
sont en fait des sommes finies.
Ce sujet, d'une longueur raisonnable et sans difficulté majeure, constitue un
bon
outil de révision de l'algèbre linéaire avant les concours. Néanmoins, il
demande
rigueur et précision, qualités dont semblent avoir manqué nombre de candidats
au vu
du rapport du jury : « les résultats du cours ne sont pas toujours cités avec la
précision nécessaire », « il a été constaté un manque de rigueur dans le
raisonnement »,
« ce qui a le plus marqué le jury est le manque de rigueur dans la rédaction »,
etc.
© Éditions H&K
Indications
Questions de cours et exemples
6.1 Résoudre l'équation homogène associée puis rechercher des solutions
particulières de l'équation avec second membre.
6.5.3 Se servir du résultat de la question 6.4 pour démontrer que divise X4 - 1
puis déterminer . Notons une erreur dans l'énoncé : lire « déterminer le
polynôme minimal de l'endomorphisme de E ».
Problème
I.4 Utiliser les matrices déterminées à la question I.3. Se souvenir des
résultats
concernant l'inversibilité des matrices triangulaires.
I.8.1 Observer les degrés des polynômes Qk .
k-2
Q
(X - ).
I.8.2 Mettre en facteur
=0
I.8.4 Utiliser la question I.8.2.
I.9.2 Exploiter la linéarité de wn j .
I.9.4 Faire le lien entre les coordonnées dans une base et la base duale de
cette base.
II.3.1 Déterminer une relation entre les polynômes annulateurs de wn et ceux de
vn .
II.5.1 Utiliser la question II.3.2.
III.1 Observer que la somme définissant exp(un ) est finie et penser à la
formule
de Taylor.
III.2.1 Suivre l'indication de l'énoncé et utiliser le résultat de la question
I.8.5.
III.2.3 Que peut-on dire de deux endomorphismes d'un espace vectoriel de
dimension
finie qui coïncident sur une base ?
© Éditions H&K
Questions de cours et exemples
1 Par définition, un polynôme annulateur de f est un polynôme P R[X] tel que
l'endomorphisme P(f ) de E soit l'endomorphisme nul, c'est-à-dire :
P annulateur de f
Rappelons que si f L(E) et P =
phisme
n
P
P(f ) = 0L(E)
n
P
ak Xk R[X], P(f ) est l'endomor-
k=0
ak f k où les f k désignent les itérés de f pour la loi de composition.
k=0
Le rapport du jury mentionne de graves confusions faites par les candidats
entre les différents objets mathématiques, comme polynôme et endomorphisme.
Pour éviter ces confusions et montrer au correcteur sa bonne
compréhension du cours, il est important dans ce type de sujet de toujours
préciser clairement à l'aide d'un indice de quel 0 il s'agit. Puisqu'ici on
considère un polynôme d'endomorphisme donc un endomorphisme, le 0 est celui
de L(E), l'ensemble des endomorphismes de E.
2 D'après le cours,
L'ensemble Jf est un idéal de l'anneau R[X], appelé idéal annulateur de f .
L'ensemble Jf est également un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel R[X].
Démontrons ces résultats. Jf est un sous-ensemble non vide de R[X]
(il contient le polynôme nul) et pour tout (P, Q) Jf 2 , pour tout R,
( P - Q)(f ) = P(f ) - Q(f ) = 0L(E)
donc P - Q Jf . La caractérisation des sous-espaces vectoriels permet de
conclure que Jf est un sous-espace vectoriel et en particulier un sous-groupe
additif de R[X]. En outre, pour tout P R[X] et tout Q Jf ,
(P Q)(f ) = P(f ) Q(f ) = P(f ) 0L(E) = 0L(E)
Le produit P Q est ainsi un élément de Jf . On a alors démontré que Jf est
un idéal de l'anneau R[X].
3 Le polynôme minimal f de l'endomorphisme f est, par définition, l'unique
générateur unitaire de l'idéal Jf annulateur de f , c'est-à-dire l'unique
polynôme f R[X]
unitaire tel que
Jf = f R[X] = {f Q | Q R[X]}
Un tel polynôme existe et est unique car l'espace E est de dimension finie.
Ce résultat sera démontré dans la question suivante.
4 L'ensemble Jf étant un idéal de l'anneau R[X], il suffit de démontrer que cet
idéal
n'est pas réduit au polynôme nul, comme cela est détaillé en remarque. Par
hypothèse,
l'espace vectoriel E est de dimension finie. Notons n cette dimension. L'espace
vectoriel L(E) des endomorphismes de E est alors aussi de dimension finie,
égale à n2 .
© Éditions H&K
2
On en déduit que la famille (e, f, . . . , f n ) de L(E), où e désigne
l'endomorphisme
2
identité de E, est liée car son cardinal vaut n2 +1. Il existe donc (a0 , . . .
, an2 ) Rn +1
non nul tel que
n2
P
ak f k = 0L(E)
k=0
2
Définissons le polynôme P =
n
P
ak Xk . Il est non nul et annulateur de f donc Jf n'est
k=0
pas réduit à {0R[X] }. D'après le cours, Jf admet alors un unique générateur
unitaire.
Pour répondre à cette question, on pouvait également utiliser le théorème
de Cayley-Hamilton, qui assure que le polynôme caractéristique de f est
annulateur de f . Ce polynôme est non nul car de degré n, donc Jf 6= {0R[X] }.
On a admis ici le résultat vu en cours sur la structure des idéaux de K[X],
avec K = R ou C. Rappelons son énoncé et sa démonstration.
Théorème. Pour tout idéal I de K[X] tel que I 6= {0K[X] }, il existe un
unique polynôme unitaire P K[X] tel que
I = P K[X] = {P Q | Q K[X]}
Démonstration. Commençons par démontrer l'existence d'un tel polynôme P. Comme
I n'est pas réduit au polynôme nul, l'ensemble des degrés
des éléments non nuls de I est une partie non vide de N donc admet un
plus petit élément d. Soit P I de degré d. Quitte à multiplier P par une
constante non nulle (c'est possible puisque I est idéal), supposons que P est
unitaire. Soit T un élément quelconque de I. P étant non nul, on effectue la
division euclidienne de T par P :
! (Q, R) K[X]2
T = P Q + R et
deg R < d Comme I est un idéal, P Q est un élément de I puis R = T-P Q I. Mais le degré de R est strictement inférieur à d, donc nécessairement R = 0K[X] . Ainsi T = P Q. On a démontré que I P K[X] et l'autre inclusion est une conséquence immédiate de la structure d'idéal de I donc I = P K[X]. L'existence est prouvée. Supposons maintenant qu'il existe (P1 , P2 ) K[X]2 unitaires tels que I = P1 K[X] = P2 K[X]. Alors P1 et P2 sont unitaires et associés donc égaux. L'unicité est également démontrée. 5.1 Par définition, Calculons d'abord 1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 M= 1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 M2 = 1/2 0 1/2 0 = M 0 1/2 0 1/2 Il s'ensuit par une récurrence immédiate que k N Mk = M
