E3A Maths A MP 2008

Thème de l'épreuve Polynômes annulateurs d'endomorphismes
Principaux outils utilisés polynômes, réduction, équations différentielles linéaires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 &? 3 5 Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques A MP Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Questions de cours et exemples. Soit E un R ---- espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. 1. Donner la définition d'un polynôme annulateur def. 2. Quelle est la structure de l'ensemble J f des polynômes annulateurs def? 3. Donner la définition du polynôme minimal de ] que l'on notera 1rf. 4. Prouver l'existence de arf. 5. Un premier exemple . Soit f l'endomorphisme de R4 de matrice canoniquement associée : M = (m,--,.) où V(i,j) & {1,...,4} >< {1,...,4}, m.,-- = -ä- (1 + (---1)"+1'). 5.1. Calculer M pour k & N'". 5.2. Déterminer 7l'f. 6. Un second exemple . 6.1. Chercher les solutions à valeurs réelles des équations différentielles : y" +y = ch(x) et y" +y == sh(x) où ch et sh sont respectivement les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. 6.2. On considère (H 1) l'équation différentielle : y... = y. Soit f une fonction de classe C4 sur R. Démontrer que f est solution de (H 1 ) si et seulement si la fonction g = j" + f est solution d'une équation différentielle du second ordre (H 2 ) que l'on déterminera. 6.3. Résoudre l'équation (H2 ). 6.4. En déduire les solutions de (H 1 ). 6.5. On note alors E le sous-espace vectoriel du R ---- espace vectoriel des applications de classe C°0 sur R à valeurs réelles engendré par ( cos, sin, ch, sh). 6.5.1. Quelle est la dimension de E '? 6.5.2. Justifier que la dérivation induit sur E un endomorphisme ô . 6.5.3. Déterminer le polynôme minimal m3 de E. Problème. Dans tout le problème, E = R[X] et [.(E ) désigne l'algèbre des endomorphismes de E muni de ses opérations usuelles. Soit n EUR N *. L'ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n sera noté E n = Rn[X]. L'endomorphisme identité de E est noté e, l'endomorphisme nul 9. Lorsque l'on est dans l'espace vectoriel normé E ... on notera respectivement ces endomorphismes en et On. On rappelle que si f est un endomorphisme de E, f 0 == e et VmEURN*,f"=fof""l. Lorsque f est un endomorphisme de E ... on note Xf son polynôme caractéristique. Soient u : P E E +----» u(P) : P' où P' désigne le polynôme dérivé de P, et v:PEUREr-->v(P) ===--R où R(X)=P(X+l). Partie 1 : Quelques propriétés des endomorphismes u et v. 1. Rappeler la dimension de E n. En donner une base usuelle. 2. Montrer que u et v sont des endomorphismes de E qui laissent stable E n. On note alors un et vn les endomorphismes induits par restriction de u et de v à E n. 3. Ecrire les matrices Un et V,, de un et vn dans la base canonique de E n. 4. Préciser le noyau et l'image de chacun de ces endomorphismes. 5. Les endomorphismes un et V,, commutent--ils '? 6. Quel est le polynôme caractéristique de un ? un est--il diagonalisable '? 7. Quel est le polynôme caractéristique de V,, ? vn est--il diagonalisable '? 8. On note wn : vn --- en et on pose : Q0 = 1, v k EUR {l,...,n}, Q,, = ---- [] (X--j). 8.1. Vérifier que la famille 13 = (Qk)0 1, il existe un réel (1 k non nul, tel que : Wn(Qk) = azka_1. 8.3. Ecrire la matrice Wn de wn dans la base E'. 8.4. Donner une base de Ker(wn) ainsi que de Im(wn). 8.5. Calculer, pour j E N etk e {O,...,n}, wÂ(QU. On rappelle que w,{ = wnowno...own . K_.___Y__--_--_--J j facteurs 9. Détermination des composantes d'un polynôme de E n dans la base 8. 9..1 SOIÏP EUR En. n Justifier l'existence et l'unicité de scalaires (fik)0< k 

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 E3A Maths A MP 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) et Chloé Mullaert (ENS Cachan). Ce sujet porte sur les polynômes annulateurs d'un endomorphisme d'un espace vectoriel, de dimension finie ou non, et en particulier sur l'existence du polynôme minimal de cet endomorphisme. Dans un premier temps, le sujet propose des questions de cours et des exemples sans grande difficulté, qu'il est important de traiter soigneusement. Le problème aborde ensuite l'étude de deux endomorphismes, l'un de l'espace vectoriel R[X] des polynômes à coefficients réels, l'autre de l'espace vectoriel Rn [X] (de dimension finie) des polynômes de degrés au plus un entier naturel n : la dérivation et l'application v : P 7 P(X + 1). · La première partie commence par des questions simples en dimension finie (matrices, noyaux, images, polynômes caractéristiques, diagonalisabilité, etc.). Elle introduit ensuite une base B de Rn [X] dans laquelle l'étude de la restriction de v est simplifiée, puis fait identifier les coordonnées d'un polynôme quelconque de Rn [X] dans cette base B. · Dans la deuxième partie, on détermine des polynômes minimaux d'endomorphismes en dimension finie puis on étudie des polynômes annulateurs d'endomorphismes en dimension infinie, certains admettant un polynôme minimal, d'autres non. · Enfin, dans la troisième partie, on exprime les restrictions à Rn [X] de la dérivation et de l'application v, l'une en fonction de l'autre, à l'aide de séries qui sont en fait des sommes finies. Ce sujet, d'une longueur raisonnable et sans difficulté majeure, constitue un bon outil de révision de l'algèbre linéaire avant les concours. Néanmoins, il demande rigueur et précision, qualités dont semblent avoir manqué nombre de candidats au vu du rapport du jury : « les résultats du cours ne sont pas toujours cités avec la précision nécessaire », « il a été constaté un manque de rigueur dans le raisonnement », « ce qui a le plus marqué le jury est le manque de rigueur dans la rédaction », etc. Indications Questions de cours et exemples 6.1 Résoudre l'équation homogène associée puis rechercher des solutions particulières de l'équation avec second membre. 6.5.3 Se servir du résultat de la question 6.4 pour démontrer que divise X4 - 1 puis déterminer . Notons une erreur dans l'énoncé : lire « déterminer le polynôme minimal de l'endomorphisme de E ». Problème I.4 Utiliser les matrices déterminées à la question I.3. Se souvenir des résultats concernant l'inversibilité des matrices triangulaires. I.8.1 Observer les degrés des polynômes Qk . k-2 Q (X - ). I.8.2 Mettre en facteur =0 I.8.4 Utiliser la question I.8.2. I.9.2 Exploiter la linéarité de wn j . I.9.4 Faire le lien entre les coordonnées dans une base et la base duale de cette base. II.3.1 Déterminer une relation entre les polynômes annulateurs de wn et ceux de vn . II.5.1 Utiliser la question II.3.2. III.1 Observer que la somme définissant exp(un ) est finie et penser à la formule de Taylor. III.2.1 Suivre l'indication de l'énoncé et utiliser le résultat de la question I.8.5. III.2.3 Que peut-on dire de deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie qui coïncident sur une base ? Questions de cours et exemples 1 Par définition, un polynôme annulateur de f est un polynôme P R[X] tel que l'endomorphisme P(f ) de E soit l'endomorphisme nul, c'est-à-dire : P annulateur de f Rappelons que si f L(E) et P = phisme n P P(f ) = 0L(E) n P ak Xk R[X], P(f ) est l'endomor- k=0 ak f k où les f k désignent les itérés de f pour la loi de composition. k=0 Le rapport du jury mentionne de graves confusions faites par les candidats entre les différents objets mathématiques, comme polynôme et endomorphisme. Pour éviter ces confusions et montrer au correcteur sa bonne compréhension du cours, il est important dans ce type de sujet de toujours préciser clairement à l'aide d'un indice de quel 0 il s'agit. Puisqu'ici on considère un polynôme d'endomorphisme donc un endomorphisme, le 0 est celui de L(E), l'ensemble des endomorphismes de E. 2 D'après le cours, L'ensemble Jf est un idéal de l'anneau R[X], appelé idéal annulateur de f . L'ensemble Jf est également un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel R[X]. Démontrons ces résultats. Jf est un sous-ensemble non vide de R[X] (il contient le polynôme nul) et pour tout (P, Q) Jf 2 , pour tout R, ( P - Q)(f ) = P(f ) - Q(f ) = 0L(E) donc P - Q Jf . La caractérisation des sous-espaces vectoriels permet de conclure que Jf est un sous-espace vectoriel et en particulier un sous-groupe additif de R[X]. En outre, pour tout P R[X] et tout Q Jf , (P Q)(f ) = P(f ) Q(f ) = P(f ) 0L(E) = 0L(E) Le produit P Q est ainsi un élément de Jf . On a alors démontré que Jf est un idéal de l'anneau R[X]. 3 Le polynôme minimal f de l'endomorphisme f est, par définition, l'unique générateur unitaire de l'idéal Jf annulateur de f , c'est-à-dire l'unique polynôme f R[X] unitaire tel que Jf = f R[X] = {f Q | Q R[X]} Un tel polynôme existe et est unique car l'espace E est de dimension finie. Ce résultat sera démontré dans la question suivante. 4 L'ensemble Jf étant un idéal de l'anneau R[X], il suffit de démontrer que cet idéal n'est pas réduit au polynôme nul, comme cela est détaillé en remarque. Par hypothèse, l'espace vectoriel E est de dimension finie. Notons n cette dimension. L'espace vectoriel L(E) des endomorphismes de E est alors aussi de dimension finie, égale à n2 . 2 On en déduit que la famille (e, f, . . . , f n ) de L(E), où e désigne l'endomorphisme 2 identité de E, est liée car son cardinal vaut n2 +1. Il existe donc (a0 , . . . , an2 ) Rn +1 non nul tel que n2 P ak f k = 0L(E) k=0 2 Définissons le polynôme P = n P ak Xk . Il est non nul et annulateur de f donc Jf n'est k=0 pas réduit à {0R[X] }. D'après le cours, Jf admet alors un unique générateur unitaire. Pour répondre à cette question, on pouvait également utiliser le théorème de Cayley-Hamilton, qui assure que le polynôme caractéristique de f est annulateur de f . Ce polynôme est non nul car de degré n, donc Jf 6= {0R[X] }. On a admis ici le résultat vu en cours sur la structure des idéaux de K[X], avec K = R ou C. Rappelons son énoncé et sa démonstration. Théorème. Pour tout idéal I de K[X] tel que I 6= {0K[X] }, il existe un unique polynôme unitaire P K[X] tel que I = P K[X] = {P Q | Q K[X]} Démonstration. Commençons par démontrer l'existence d'un tel polynôme P. Comme I n'est pas réduit au polynôme nul, l'ensemble des degrés des éléments non nuls de I est une partie non vide de N donc admet un plus petit élément d. Soit P I de degré d. Quitte à multiplier P par une constante non nulle (c'est possible puisque I est idéal), supposons que P est unitaire. Soit T un élément quelconque de I. P étant non nul, on effectue la division euclidienne de T par P : ! (Q, R) K[X]2 T = P Q + R et deg R < d Comme I est un idéal, P Q est un élément de I puis R = T-P Q I. Mais le degré de R est strictement inférieur à d, donc nécessairement R = 0K[X] . Ainsi T = P Q. On a démontré que I P K[X] et l'autre inclusion est une conséquence immédiate de la structure d'idéal de I donc I = P K[X]. L'existence est prouvée. Supposons maintenant qu'il existe (P1 , P2 ) K[X]2 unitaires tels que I = P1 K[X] = P2 K[X]. Alors P1 et P2 sont unitaires et associés donc égaux. L'unicité est également démontrée. 5.1 Par définition, Calculons d'abord 1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 M= 1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 M2 = 1/2 0 1/2 0 = M 0 1/2 0 1/2 Il s'ensuit par une récurrence immédiate que k N Mk = M