E3A Maths A MP 2007

Thème de l'épreuve Distance d'un vecteur à un hyperplan dans un R-espace vectoriel normé
Principaux outils utilisés topologie, calcul matriciel, réduction, formes linéaires, produit scalaire

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W48X

Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Objectifs.

Le but du problème est d'étudier, dans un R--espace vectoriel normé, la 
distance d'un vecteur à

un hyperplan.
Dans la partie I, on étudie un exemple dans l'ensemble M.,, (R) des matrices 
carrées d'ordre n

à coefficients réels.
Dans la partie II, on étudie le cas de la dimension finie, puis on montre que 
les hyperplans sont

fermés ou denses.
Dans la partie III, on étudie le cas des hyperplans denses.
Dans la partie IV, on étudie un exemple d'hyperplan fermé.
Les quatre parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I.

M,, (R) est l'ensemble des matricOE carrées d'ordre n > 2, à. coefficients 
réels, ou le munit du
produit scalaire défini par :
' (AIB) == tr ('AB)

où A et B sont deux matrices de M,. (R), 'A est la transposée de la matrice A 
et tr ('AB) est
la trace de la matrice 'AB.

Soit F = ( fi,j)1gign la matrice de Mn (R) définie par :
1+oo

b) Montrer qu'il existe une suite (y 0 extraite de la suite (yn)n20 qui 
converge vers
un élément de H .

o) En déduire qu'il existe yo appartenant à l'hyperplan H tel que :
d(OE0,H) : ||OEo --- yo|l'

On dit que la distance de 130 à. l'hyperplan H est atteinte en yo.

2) On suppose dans cette question que E est un R--espaoe vectoriel normé de 
dimension quel---
conque.

a) Montrer que si h est une forme linéaire continue sur E alors le noyau, Kerh, 
est fermé
dans E.

b) Montrer que si le noyau, Kerh, de h est fermé alors h est continue. On 
pourra montrer
que, si h n'est pas continue, alors il existe une suite (t,, )n20 de E telle 
que :

lim t,, = O.
n----++oo
h (t,,) = 1, pour tout entier n.

Puis, on utilisera la suite (t,, ------- t0)n20 pour mettre en évidence une 
contradiction.

c) Montrer que si H est un hyperplan de E alors l'adhérence H de H est un 
sous--espace
vectoriel de E.

d) En déduire que tout hyperplan de E est fermé ou dense, c'est à. dire H = H 
ou H = E.

Partie III.

On suppose dans cette partie que E est un espace préhilbertien muni du produit 
scalaire :
E X E l------> R

(sv, y) '----> (OEly)
1) Déterminer H ' , l'orthogonal de H.

2) Que dire de H @ E'?

3) Pour tout vecteur :: de E, calculer la distance d (x, H).
4) La distance d (a:, H) est--elle toujours atteinte? Justifier.

et que H est un hyperplan dense de E, c'est à dire H = E.

Partie IV.

On suppose dans cette partie que H est un hyperplan fermé, d'un R--espace 
vectoriel normé E
de dimension quelconque. H est le noyau de la forme linéaire h, continue non 
nulle sur E. 330 désigne
un vecteur fixé de E. On rappelle que la norme de l'application h subordonnée 
àla norme de E est

définie par :
lh(OE)l
IHM =sup -

- page 3

1) a) Montrer que, pour tout élément y de H on a :

|h(OE0)|
a: -----y 2
" ° " mmu
. . , . |h (æ0)|
b) En dédmre que la distance de mo à. 1 hyperplan H est supérieure ou égale à 
... h| || .

c) Montrer que ci (ne... H) = 0 si et seulement si 580 EUR H.
d) On considère dans cette question æg $ H .
&) Montrer qu'il existe une suite (wn)n>0 d'éléments de E \{O} vérifiant :

l|lhlll =-- nm """"-

n-->+°° l|wn||

fi) Montrer que, pour tout entier n, il existe un réel Àn non nul et un vecteur 
yn de H
tel que : wn : Ànæ0 + y,,.
7) Prouver que, pour tout entier n :

e) En déduire que, pour tout vecteur 1130 de E, on a :

|h(æo)|_
|||h|||

2) Dans cette question, E est l'ensemble des suites réelles de limite nulle, on 
munit cet ensemble

de la norme infinie, c'est à. dire que si u EUR E alors u : (un)">0 et Hulloo : 
sup lun], E est ainsi
/ nEURN

d(æo,H) :

un R--espace vectoriel normé.
h est l'application définie de E dans R par :

Un
h (u) : 22n+1
n=O
a) Montrer que la série }: 2ÎÏ-1 est convergente.

b) Montrer que h est une forme linéaire continue non nulle sur E, en déduire 
...la] Il < 1. c) Soit (UP)?)0 une suite d'éléments de E, on notera U,, (n) le terme de rang 77. de la suite 'vp. On définit U,, par : v,,(n)=1si0