E3A Maths A MP 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants
Principaux outils utilisés continuité d'applications linéaires, calcul intégral, produit scalaire, séries entières, séries de Fourier

Corrigé

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V53C e 3 5 Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques A MP durée 4 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage des calculatrices est interdit Notations Soit 1 un intervalle de R contenant 0. EUR°(I ) désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de I dans R et on note : désigne Ilflloe = Suplf(ûfi)l CEE] On désigne par 81(1) l'espace vectoriel réel des fonctions de classe 81 de I dans R et on note : L1...___ {f 6 e°<1>; ]] Ifl existe} et Vf 6 W), llfl|1 = /, ... L2(1) : {fé (30(1);/|f|2 existe} et VfEL2(1), ||f|'l2= ,//|fl2 I 1 Partie I 1 - Soit f dans EUR°(I ) et c un réel strictement positif. Démontrer que l'équation : y'+cy=f admet une unique solution, notée cp( f ) dérivable sur I , et qui vérifie : v(f)(0) = 0 Démontrer : V:}: E [, cp(f)(oe) : e_"cæ /: czth(t) dt Tournez la page S.V.P Notations Soit 1 un intervalle de R contenant 0. EUR°(I ) désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de I dans R et on note : désigne HfHOED==mHJUTOEN CEE] On désigne par 81(1) l'espace vectoriel réel des fonctions de classe 81 de I dans R et on note : L1...___ {f 6 e°<1>; ]] Ifl existe} et Vf 6 W), llfl|1 = /, lfl L2(1) : {fé (30(1);/|f|2 existe} et VfEURL2(1),llf|'l2='//|le I 1 Partie I 1 - Soit f dans EUR°(I ) et c un réel strictement positif. Démontrer que l'équation : y' + cy = f admet une unique solution, notée cp( f ) dérivable sur I , et qui vérifie : vUXOE=fl) Démontrer : V:}: E [, cp(f)(oe) : e"°"' /: czth(t) dt 2 - Exprimer cp' ( f ) en fonction de f et go( f ) et démontrer que  gp( f ) est linéaire sur EURO(l ) Partie II On suppose dans cette partie que l'intervalle I est un segment [a, I)] avec a < () < b. 1 - Démontrer qu'il existe des réels positifs M1 et M2 tels que : Vf & EUR°(I), Ilf|ll< \ M1llf|lg 0, f,\ est la fonction définie sur I par: Va: EUR I, fÀ-(æ) = e')'oe 1 - Déterminer g0( f À). 2 - Démontrer que f A et cp(f,\) sont intégrables sur I . Calcu]EURf |lfA|l1 et l|O,g(2)+c/Ox29( ()dt=/Ûf(t)g(t En déduire que 90 est un endomorphisme continu de L2(l )et calculer: lll@llb= sup lls&(f)lb fEL'(D llf||2<1 Partie IV Soit R un réel strictement positif. On note G l'espace vectoriel réel des fonctions développables en série entière sur l'intervalle ]----R, R[. 1 - Démontrer que <,0 est un endomorphisme de G . 2 - Pour f élément de G, on note (on)"GN et (bn)...EURN les suites réelles pour lesquelles : +00 +00 \7'æ E ]--R, R[, f(oe) = Za...oe" et go(f)(æ) : î: bnæ" n=0 n=0 Exprimer, pour tout entier naturel n, bn en fonction des termes de la suite (ak) ,OEN. On pourra utiliser la relation f : lR  O. Vf & L2(1), llso(f)HH < A HfH2 b) Démontrer que (p est un isomorphisme de L2(I ) dans K. c) Démontrer que ga est continue de (L2(I), H H2) dans (K, |) HH). d) Démontrer que cp"1 est continue de (K, H HH) dans (L2(I), |! HQ). Tournez la page S.V.P Partie VI Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur IR et 2w-péfiodiques muni de la norme : 27r ' Vf @ E, l|fHE = ]) mm F désigne l'espace vectoriel réel des fonctions de classe (31 sur R et 2w--péfiodiques. F est muni de la norme : 27r 27r erR ||f||F= ] f2(t)dt+ ] f'2(t)dt 1 - Démontrer que, pour tout f dans E, il existe une unique solution, notée w( f ) dans F de l'équation : y' + au = f Exprimer «p(f)(0) en fonction de f etc. Démontrer que '(/J est un isomorphisme de E dans F. 2 - Pour tout f dans E et tout entier relatif k, on pose : 1 27I' 1 271" Ck(f) -- f(t)8_ikt dt et dk(f) = Ck (WD) = -- IP(J'Î)(1Ê)6_OElt dt =27Î () Exprimer d,,( f ) en fonction de ck( f ) 3 - Démontrer que, pour tout f dans E, la série Z,OEZ |ck( f ) {2 converge et : Pour g dans F, calculer Hg" F en fonction des c,,(g). Comparer HfHE et ]W(f)l|F pour f dans E. On pourra distinguer les cas 0 < 1 etc > 1. 4 - Démontrer que @ est continue de (E, H "E) dans (F, [| HF). Démontrer que $* est continue de (F, H HF) dans (E, )| HE).

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 E3A Maths A MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Chloé Mullaert (ENS Cachan). Dans ce problème, on fixe un nombre c > 0 et l'on considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants y + c y = f (1) posée sur un intervalle I contenant 0. Plus précisément, pour différents types de conditions initiales y0 , on s'intéresse à l'application qui, au second membre f , supposé continu sur I et à valeurs réelles, associe la solution du problème de Cauchy correspondant à l'équation différentielle (1) pour la donnée y(0) = y0 . Ce problème est divisé en 6 parties ; dans les 5 premières, on impose y(0) = 0. L'intervalle I est un segment dans la partie 2, R+ dans la partie 3. La partie 4 considère le cas où f est développable en série entière sur I = ] -R ; R [ pour un certain R > 0. La partie 5 étudie l'application lorsque l'on impose des conditions de régularité supplémentaires aux fonctions f . Enfin, la partie 6 s'intéresse à l'unique solution 2-périodique de (1) lorsque f est de plus 2-périodique. Dans chaque cas, on exploite la linéarité de et l'on montre sa continuité lorsque les espaces de départ et d'arrivée sont convenablement normés. On s'intéresse également à la bijectivité de et à la continuité de -1 . D'une longueur raisonnable pour une épreuve de 4 heures, ce sujet passe en revue beaucoup de points du programme d'analyse de deuxième année, notamment les équations différentielles linéaires, l'intégration des fonctions continues sur un segment et sur un intervalle non borné, ainsi que la continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés. Le rapport du jury sur cette épreuve précise explicitement que « le problème fait appel à de nombreuses connaissances du cours d'analyse. Il se veut progressif. Les premières parties sont très détaillées, ainsi que les premières questions des différentes parties suivantes. » Il constitue à coup sûr une excellente occasion de tester sa connaissance du cours. Indications I.1 Penser au théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires. II.2 Se servir de la formule donnant (f ) démontrée en I.1. II.5.b Utiliser le résultat de la question II.3 et raisonner comme en II.4. III.1 Utiliser le résultat de la question I.1. III.2 Justifier que f et (f ) sont continues sur R+ et utiliser le critère de domination en +. III.4 À l'aide du théorème de Fubini, établir que si f est intégrable sur R+ , il en est de même pour (f ) et 1 kf k1 c k(f )k1 6 III.5 Multiplier la relation g + cg = f par g et utiliser le fait que g 2 Ensuite, établir que pour f L2 (R+ ), on a (f ) L2 (R+ ) et = 2g g. 1 kf k2 c k(f )k2 6 IV.1 Utiliser le résultat de la question I.1. IV.2 Se servir de la relation (f ) + c (f ) = f et des propriétés des fonctions développables en séries entières pour montrer par récurrence que b0 = 0 et n > 1 bn = n P (-1)p-1 p=1 (n - p)! p-1 c an-p n! V.1.a Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz. V.2.a Utiliser le fait que B > 0 f L2 (R+ ) k(f )k2 6 B kf k2 V.2.c Penser au résultat de la question V.2.a. V.2.d Se servir de la relation -1 (y) = y + c y. VI.1 Déterminer quelles sont les solutions 2-périodiques de y + cy = f sur R. VI.2 Utiliser la relation (g) + c (f ) = f . VI.3 Penser à la relation de Parseval. Utiliser le résultat de la question précédente pour montrer que 1 kf kE k(f )kF 6 max 1, c Partie I I.1 Rappelons le théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1. Soit J un intervalle de R et t0 J. Soit a et b deux fonctions continues sur J à valeurs réelles et soit y0 R. Il existe une unique fonction y dérivable sur J à valeurs réelles telle que y(t0 ) = y0 et pour tout x J, y (t) = a(t) y(t) + b(t) Soit f C 0 (I) et c > 0. Ce théorème appliqué sur I, avec y0 = 0, la fonction a continue sur I égale à -c et la fonction b continue sur I égale à f assure que Pour tout f C 0 (I) et c > 0, il existe une unique solution y sur I à l'équation y + c y = f vérifiant y(0) = 0. La positivité de c n'est pas utilisée dans cette question. Soit f C 0 (I) et c > 0. Notons y la solution sur I de l'équation y + c y = f (1) vérifiant y(0) = 0. Dans le but de se ramener à un calcul de primitive par la méthode de variation de la constante, définissons la fonction ( I - R z: x 7- e cx y(x) Comme y est dérivable sur I, il en est de même de z. Soit x I, z (x) = c e cx y(x) + e cx y (x) = c e cx y(x) + e cx - c y(x) + f (x) z (x) = e cx f (x) car y est solution de l'équation (1) sur I. Par intégration, il vient Z x Z x z(x) = z(0) + z (t) dt = y(0) + e ct f (t) dt 0 0 Puisque y(0) = 0, ceci s'écrit encore z(x) = e cx y(x) = Z x e ct f (t) dt 0 Finalement, x I (f )(x) = y(x) = e -cx Z x e ct f (t) dt 0 On retrouve ainsi l'unicité de la solution du problème de Cauchy y + cy = f y(0) = 0 sur l'intervalle I. Par ailleurs, pour démontrer l'existence d'une solution à ce problème de Cauchy, il suffit de montrer que la fonction (f ) définie par l'expression précédente est bien dérivable sur I et vérifie l'équation (1) sur I. On peut se passer du calcul explicite qui permet d'obtenir la formule encadrée ci-dessus en utilisant l'unicité de la solution du problème de Cauchy et en vérifiant simplement que la fonction proposée par l'énoncé est bien solution de ce problème de Cauchy. Remarquons ici que la question est en deux temps et que chacun d'eux peut être une source d'erreur ou d'imprécision, ce qui n'est jamais vraiment souhaitable dans une première question. Voici l'avertissement du jury : « Les élèves ne reconnaissent pas explicitement le type linéaire de l'équation différentielle et en conséquence ne justifient pas toujours l'utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire et n'en rappellent pas les hypothèses. Ceux qui résolvent l'équation oublient souvent de vérifier l'unicité avec la condition initiale. » Enfin, le jury rappelle quelques conseils généraux à l'occasion de cette épreuve : « Nous conseillons aux futurs candidats de bien connaître les théorèmes-clés du programme ; quand un théorème est évoqué, il doit être énoncé et nécessite de vérifier toutes les hypothèses nécessaires à son application. » I.2 Comme y = (f ) est solution de l'équation (1) sur I, il vient (f ) = -c (f ) + f Puisque (f ) et f sont continues sur I, il vient par combinaison linéaire que (f ) est continue sur I. Par conséquent, (f ) est de classe C 1 sur I. Soit (f1 , f2 ) C 0 (I)2 et R. Posons y1 = (f1 ) et y2 = (f2 ). Alors, sur I, y1 + c y1 = f1 En particulier, Ceci s'écrit encore et y2 + c y2 = f2 (y2 + c y2 ) = f2 (y2 ) + c (y2 ) = f2 Par suite, on a également, par addition y1 + (y2 ) + c y1 + c (y2 ) = f1 + f2 c'est-à-dire (y1 + y2 ) + c (y1 + y2 ) = f1 + f2 Puisque (y1 + y2 )(0) = y1 (0) + y2 (0) = 0, l'unicité de la solution du problème de Cauchy démontrée en I.1 assure que (f1 + f2 ) = y1 + y2 = (f1 ) + (f2 ) C'est-à-dire que L'application est linéaire sur C 0 (I). Puisque (C 0 (I)) C 0 (I) et est linéaire, est un endomorphisme de C 0 (I). Le reste du problème est consacré à l'étude de la continuité de restreinte à certains sous-espaces de C 0 (I) munis d'une norme.