Centrale Maths 2 MP-MPI 2025

MP, MPI
4 heures

Calculatrice autorisée

2025

Mathématiques 2

Étude d'un modèle probabiliste de ferromagnétisme

Notations et rappels
­ Si n  N , si E1 , . . . ,En désignent des ensembles finis, et si a est une 
fonction définie sur E1 × · · · × En et à
valeurs réelles, alors on note
X
X X
X
a(x1 , . . . ,xn ) =
···
a(x1 , . . . ,xn ).
x1 E1 x2 E2

(x1 ,...,xn )E1 ×···×En

xn En

­ Soit n  N . On rappelle que, pour un n-uplet (X1 , . . . ,Xn ) de variables 
aléatoires réelles finies sur un univers ,
la formule de transfert s'écrit : pour toute fonction f définie sur X1 () × · · 
· × Xn () et à valeurs réelles,
X

E f (X1 , . . . ,Xn ) =
f (x1 , . . . ,xn ) P (X1 = x1 ,X2 = x2 , . . . ,Xn = xn ) .
(x1 ,...,xn )X1 ()×···×Xn ()

­ Pour tout n  N\{0,1}, on note n l'ensemble {-1,1}n .
­ Pour (n, p)  (N )2 , Mn,p (R) désigne l'ensemble des matrices de taille n × p 
à coefficients réels. Si n = p, on
obtient l'ensemble Mn (R) des matrices carrées réelles de taille n, et on note 
In la matrice identité de Mn (R).

Problématique et objectifs

On étudie un modèle de ferromagnétisme : un matériau est constitué de 
particules qui peuvent, chacune, être orientées
dans un sens ou un autre, Nord (+1) ou Sud (-1). Elles sont soumises, d'une 
part à un champ magnétique extérieur,
d'autre part à une température extérieure qui a tendance à les agiter dans tous 
les sens, et enfin à une interaction
locale qui a tendance à les aligner dans le même sens.
Dans tout le sujet, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, et  est un 
réel strictement positif, qui représente
l'inverse de la température.

On considère une matrice symétrique Jn = (Jn (i,j))1i,jn de Mn (R), appelée 
matrice d'interaction. Pour tout
(i,j)  J1, nK2 , Jn (i,j) mesure l'interaction entre les particules numérotées 
i et j.
On définit une fonction Hn sur R+ × n par

x = (x1 , . . . ,xn )  n , h  R+ ,

Hn (h,x) = -

2

X
1i,jn

Jn (i,j) xi xj - h

n
X

xi .

i=1

Pour tous x  n et h  R+ , Hn (h,x) mesure l'énergie de la configuration x 
couplée avec un champ magnétique
extérieur d'intensité h. Le premier terme dans son expression est l'interaction 
locale des particules.

On définit alors, h étant fixé, un n-uplet de variables aléatoires Xn,1 ,Xn,2 , 
. . . ,Xn,n tel que, pour tout

x = (x1 , . . . ,xn )  n , la probabilité que Xn,1 ,Xn,2 , . . . ,Xn,n prenne 
la valeur x est proportionnelle à e-Hn (h,x) ,
c'est-à-dire que, pour tout x  n ,

1
P Xn,1 = x1 ,Xn,2 = x2 , . . . ,Xn,n = xn =
e-Hn (h,x) ,
Zn (h)
où
Zn (h) =

X
y=(y1 ,...,yn )n

1/6

e-Hn (h,y) .

n

1 X
On introduit la variable aléatoire Mn,h =
Xn,i , puis les fonctions
n i=1
mn : h  R+ 7- E(Mn,h )

n : h  R+ 7-

et

1
ln Zn (h) .
n

On note enfin, sous réserve d'existence, m et  les limites simples des suites 
de fonctions (mn )n1 et (n )n1 . La
fonction m est appelée magnétisation et la fonction , pression.
Ce problème est constitué de deux parties indépendantes A et B.

- La partie A consiste en l'étude du spectre de la matrice d'interaction dans 
plusieurs cas particuliers. Elle est
elle-même découpée en cinq sous-parties, lesquelles sont indépendantes, à 
l'exception de la sous-partie V, qui fait
appel à des résultats de la sous-partie IV.
- La partie B utilise des notations introduites dans la première mais en est 
totalement indépendante. Elle consiste
en l'étude de la convergence de la magnétisation. Elle est elle-même découpée 
en quatre sous-parties.
 La sous-partie I comporte une seule question préliminaire.
 La sous-partie II se concentre sur le modèle d'Ising. On y montre que les 
particules ne conservent pas
d'aimantation lorsque l'on retire le champ magnétique extérieur.
 Les sous-parties III et IV sont indépendantes de la sous-partie II. Elles 
explorent le cas particulier du
modèle de Curie-Weiss. Dans la sous-partie III, on montre que la conservation 
de l'aimantation dépend de
la valeur de  par rapport à 1. Dans la sous-partie IV, on étudie le 
comportement asymptotique du champ
magnétique moyen au point critique  = 1 et sans champ magnétique extérieur.

Partie A ­ Étude du spectre de la matrice d'interaction
On fixe h  R+ .

I ­ Quelques inégalités générales
Q1. Expliquer pourquoi la matrice Jn est diagonalisable.
Q2. On note max la plus grande des valeurs propres de Jn et min la plus petite. 
Montrer que
x  n ,

n min 

X

Jn (i,j) xi xj  n max .

1i,jn

Q3. En déduire que
x  n ,

min
max
 Hn (h,x)  n h - 
.
n -h - 
2
2

Q4. Donner un encadrement de Hn dans le cas où Jn est de plus une matrice 
orthogonale distincte de ±In .
Plus généralement, l'étude du spectre complet de Jn présente un intérêt 
physique pour l'étude du modèle. Dans cette
partie, on s'intéresse à quelques cas particuliers.

II ­ Le modèle de Curie-Weiss
1
On note Jn(C) la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients valent , à 
l'exception de ses coefficients diagonaux, qui
n
sont nuls. Chaque particule interagit donc de la même façon avec toutes les 
autres particules.
Q5. Déterminer le spectre de Un = n Jn(C) + In , puis celui de Jn(C) .

III ­ Le modèle sinus
On note Jn(S) la matrice de Mn (R) définie par
(i,j)  J1, nK2 ,

Jn(S) (i,j) = 

2/6

2
sin
2n + 1

2ij
2n + 1

.

Q6. Montrer que, pour tous p  N et x  R\Z,
p
X
k=1

1
cos (2 k x) =
2

!

sin (2 p + 1) x
-1 .
sin(x)

Q7. En déduire que Jn(S) est une matrice orthogonale symétrique.

IV ­ Le modèle d'Ising unidimensionnel
Pour tout k  J1, nK, on note Cn,k la matrice de Mn (R) définie par

1 si (i  J1, kK et j = i + n - k) ou (i  Jk + 1, nK et j = i - k)
(i,j)  J1, nK2 , Cn,k (i,j) =
0 sinon
3

On remarque que Cn,n = In . On pose Jn(1) = Cn,1 + Cn,n-1 .

·

2

Q8. Vérifier que, dans le cas où n = 9, Jn est la matrice dont, pour tout (i,j) 
 J1, 9K , le
coefficient d'indice (i,j) vaut 1 si les sommets i et j du graphe ci-contre 
sont reliés par
une arrête et vaut 0 sinon. Cela signifie que chaque particule n'est en 
interaction qu'avec
ses deux voisins les plus proches.
(1)

2

·

4·

·1
·9

5·

·

6

·
·

8

7

Q9. Écrire, en langage Python, une fonction mat_adj(graphe) qui prend en 
argument un graphe de m  N sommets,
orienté ou non, représenté par un dictionnaire ayant pour clefs les entiers de 
0 à m - 1, et pour valeur associée
à une telle clef la liste d'adjacence du sommet correspondant, et qui renvoie, 
en respectant l'énumération des
sommets, la matrice d'adjacence de ce graphe.
Ainsi mat_adj({0: [1, 2], 1: [0], 2: [0, 1, 2]}) doit renvoyer
[[0, 1, 1], [1, 0, 0], [1, 1, 1]].
k
Q10. Montrer que, pour tout k  J1, nK, Cn,1
= Cn,k .

Q11. En déduire un polynôme annulateur de Cn,1 , puis son spectre.
Q12. En déduire que Jn(1) admet les valeurs propres suivantes, énumérées avec 
leur multiplicité :

2k
,
k  J0, n - 1K.
k = 2 cos
n

V ­ Le modèle d'Ising bidimensionnel
Soit (u,v,r,s)  (N )4 . Soient A = (aij ) 1iu  Mu,v (R) et B  Mr,s (R). On 
définit le produit de Kronecker de A
1jv

par B, et on note A  B, la matrice de Mur,vs (R) qui est définie par u v blocs 
de taille r × s de telle manière que, pour
tout (i,j)  J1, uK × J1, vK, le bloc d'indice (i,j) soit ai,j B. Autrement dit,

a11 B a12 B · · · a1v B
 a21 B a22 B · · · a2v B 

AB = .
..
..  .
.
.
.
 .
.
.
. 
au1 B

au2 B

···

auv B

Outre u, v, r et s, on se donne encore deux entiers naturels non nuls, w et t.
Q13. Montrer que  est une application bilinéaire de Mu,v (R) × Mr,s (R) dans 
Mur,vs (R).

Q14. Montrer que, pour toutes matrices A  Mu,v (R), A  Mv,w (R), B  Mr,s (R) et 
B   Ms,t (R),
(A  B) (A  B  ) = (A A )  (B B  ).
Q15. Montrer que si A  Mu (R) et B  Mr (R) sont diagonalisables, alors A  B est 
diagonalisable et
Sp(A  B) = {µ |   Sp(A), µ  Sp(B)}.
On pourra commencer par déterminer l'inverse du produit de Kronecker de deux 
matrices inversibles.
3/6

On pose N = n2 et

4

·

(2)
JN
= In  Jn(1) + Jn(1)  In  MN (R).

1

(2)
Q16. Vérifier que, dans le cas où n = 3, JN
est la matrice telle que, pour tout (i,j) 
2
J1, 9K , le coefficient d'indice (i,j) vaut 1 si les sommets i et j du graphe 
ci-contre
sont reliés par une arête (les arêtes comptent qu'elles soient en pointillés ou 
en
plein), et vaut 0 sinon.

·
·

·

5

7

·8
2·

(2)

Q17. On revient au cas général. Montrer que les valeurs propres de JN sont les 
j + k ,
pour (j,k)  J1, nK2 .

·
·

6

·9

3

Partie B ­ Étude de la convergence de la magnétisation
Cette partie reprend les notations de la précédente mais les résultats sont 
totalement indépendants.
On se donne h  R+ .

I ­ Magnétisation spontanée
Q18. Justifier que la fonction n est dérivable sur R+ et que n = mn .
On admet que, lorsque  est dérivable sur R+ , alors (lim n ) = lim n , 
c'est-à-dire   = m, sur R+ .
Enfin on note (toujours sous réserve d'existence) m+ = lim+ m(h) la 
magnétisation spontanée : il s'agit du champ
h0

magnétique moyen lorsque l'on fait tendre le champ magnétique extérieur vers 0. 
S'il reste strictement positif, les
particules conservent une aimantation. Ce n'est pas le cas s'il est nul.

II ­ Le modèle d'Ising
Dans cette sous-partie, on suppose que Jn = Jn(1) , matrice introduite dans la 
sous-partie A-IV.
On adoptera la convention suivante : pour tout x = (x1 , . . . ,xn )  n , on 
note xn+1 = x1 et x0 = xn .
Q19. Vérifier que
n
X Y

Zn (h) =

e  xi xi+1 +hxi .

xn i=1

Q20. Montrer que, pour tous entiers naturels p et q supérieurs ou égaux à 2, 
pour toute matrice
M = (M (i,j))1i,jq  Mq (R) et pour tout (i,j)  J1, qK2 , le coefficient 
d'indice (i,j) de la
matrice M p est
p-1

X
Y
M (i,k2 )
M (kr ,kr+1 ) M (kp ,j),
r=2

(k2 ,...,kp )J1,qKp-1

le produit valant 1 dans le cas où p = 2.

On pose A =

e -h
e-+h

e--h
.
e +h

Q21. Montrer que Zn (h) = tr (An ), où tr désigne la trace d'une matrice carrée.
Q22. Déterminer les valeurs propres de la matrice A.
Q23. Montrer alors que
q

n (h) ----- ln e  ch(h) + e 2 ch2 (h) - 2 sh(2) .
n+

Q24. En déduire une expression de la fonction m et conclure que m+ = 0.

On rappelle que m =   lorsque  est dérivable sur R+ .

4/6

III ­ Le modèle de Curie-Weiss
Dans cette sous-partie, on suppose que Jn = Jn(C) , matrice introduite dans la 
sous-partie A-II.
Q25. Pour tout x  n , on pose sn (x) =

n
X

xi . Vérifier que

k=1

X

Zn (h) = e- 2

xn

Z +
Q26. Montrer que

exp
(sn (x))2 + h sn (x) .
2n

x2

e- 2 dx converge. On admet que sa valeur est

2 .

-

Q27. Montrer que
a  R+ ,

u  R,

au2
e 2

Z +
=

t2

e ut- 2a 

-

dt
.
2a

Q28. En déduire que
r
Zn (h) =
Q29. Montrer que, pour tout t  R,

n
2 e  

n
X Y

Z +  X
-

 nt2
-
e(t+h)sn (x) e 2 dt.

xn

n

e(t+h)xi = (2 ch(t + h)) .

xn i=1

On pose Gh : x 7-

(x - h)2
- ln(2 ch(x)).
2

Q30. Montrer que
r
Zn (h) =

n
2 e  

Z +

e-nGh (x) dx.

-

Q31. En distinguant les cas selon que   1 ou  > 1, montrer que Gh admet un 
minimum sur R+ atteint en un
unique point uh . Montrer de plus que
(a) si   1 et h = 0, alors uh = 0 ;
(b) si  > 1, alors uh > 0 ;
(c) quel que soit   R+ ,
(i) Gh (uh ) = 0 ;
(ii) h =  G0 (uh ) ;
(iii) Gh (uh ) > 0 lorsque h > 0.
On suppose désormais que h > 0.
Q32. Justifier que Gh atteint son minimum sur R en un unique point qui est uh .
b h : x 7- Gh (x + uh ) - min Gh . Montrer que
Q33. On note G
n (h) = -Gh (uh ) -

 1
1
ln 2 e    + ln
2n
n

Q34. On pose h = Gh (uh ) et on note fh : x 7-
h
sur R tout entier en posant fh (0) =
.
2

Z +

b h ( tn )
-n G
dt

e

.

-

b h (x)
G
. Montrer que fh est prolongeable en une fonction continue
x2

Q35. Justifier que fh est minorée par un réel strictement positif ch (que l'on 
ne cherchera pas à déterminer).
Q36. Montrer alors que
Z +

b h ( tn )
-n G
dt -----
n+

e
-

puis conclure que (h) = -Gh (uh ).
5/6

r

2
h

Q37. Montrer que G0 réalise une bijection continue de [u0 ; +[ dans R+ . En 
déduire que la fonction u : h 7- uh est
continue sur R+ et dérivable sur R+ .
Q38. En déduire que  est dérivable sur R+ et que m(h) =

u(h) - h
pour tout h  R+ .

Q39. Montrer alors que m+ = 0 si   1, et m+ > 0 si  > 1.

IV ­ Convergence en loi pour la loi de Curie-Weiss au point critique
Dans cette sous-partie, on suppose toujours que Jn = Jn(C) . De plus, on 
suppose que  = 1 et h = 0.
 4
Z +
x
On note Z =
exp -
dx et on considère la fonction
12
-
 4
x
1
exp -
.
 : x 7-
Z
12
Q40. Justifier que, pour toute fonction f continue et bornée sur R, la quantité

 2
Z +  
t
t
dt
1/4

+ n Mn
exp -
E n,f =
E f
1/4
2
n
2
-
est bien définie.
Une démonstration analogue à celle de la sous-partie précédente permet alors de 
montrer que, pour toute fonction f
continue et bornée sur R,
Z
+

E n,f -----
n+

f (u)  (u) du.
-

Q41. Soit K  R+ , et soit f une fonction K-lipschitzienne et bornée sur R. 
Montrer que

E n,f - E f n1/4 Mn

2K

n1/4

2

et en déduire que
Z +

E f n1/4 Mn
-----
f (u)  (u) du.
n+

-

On se donne x  R et  > 0. Soit k un entier naturel non nul tel que k 

fk : u  R 7-

2
. On définit la fonction
 Z

1
si u  x
1 - k(u - x) si x < u  x + k1 0 sinon Q42. Montrer que fk est k-lipschitzienne sur R. Q43. En déduire qu'il existe n0  N tel que, pour tout n  n0 , P n 1/4 Mn  x  + 2 Z x+ k1 Z x Q44. Montrer finalement que P n 1/4 (u) du. - Mn  x ----- n+ Fin 6/6 (u) du. - M065 - 2 mai 2025 - 16:05:43 c b e a