Centrale Maths 2 MP-MPI 2023

Mathématiques 2 L
MP, MPI ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

Notations

-- Dans tout le sujet, n désigne un entier naturel non nul.

---- Étant donnés deux entiers naturels a et b, on note [a, b] l'ensemble des 
entiers naturels k tels que a < k < b. -- Pour deux suites de nombres réels (u,, }men EURt (Un)men» là notation u,, = O(v,,) signifie qu'il existe une suite bornée (M,, men telle que Pon ait mo EN | Vm>mo, Um = Mylm.

-- On pourra utiliser sans démonstration la formule suivante, qui précise la 
formule de Stirling lorsque n tend
Vers +00 :

2 (a (0)

Toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes.

I Résultats préliminaires

LA -

Calcul d'une intégrale classique

Rappelons que n désigne un entier naturel non nul. On note

L.A.1)

Q 1.

Q 2.
Q 3.

Q 4.

Q 5.

Q 6.

1
EE et Ke [ot
(1+42)" (1+42)"
0 0
Montrer que

Justifier l'existence de K,, et donner la valeur exacte de K..

Montrer que

+00

J'arert-0(x)

1
On pourra minorer 1 + +{? par un polynôme de degré 1.
En déduire que, lorsque n tend vers +co,

1

Établir la relation de récurrence K,, = K, ui + 5n En

En déduire un équivalent simple de Z,, lorsque n tend vers +oo.

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[.A.2)

Q 7. Justifier que

Q 8. Montrer que

+00
lim yn1, = | e * du
. 0
Q 9. En déduire les valeurs de
+00 +00
| e* du puis de | e %/2 qu.
0 -- 60

Dans toute la suite, on posera pour tout x réel

Oo

I.B -- Comportement asymptotique de 1 --
Soit æ > 0.
Q 10. En écrivant que w(t) < L(t) pour tout { > x, montrer que

+00

| tt dt < 2) x L Q 11. À l'aide de l'étude d'une fonction bien choisie, montrer que +00 x + rx) < p(t) dt. T Q 12. En déduire un équivalent simple de 1 -- ®(x) lorsque x tend vers +oo. IC --- Une inégalité maximale Dans cette sous-partie, n est un entier naturel non nul et Z,,..,7, sont des variables aléatoires discrètes indépendantes sur un espace probabilisé (Q,.4,P). p Pour tout p EUR [1,n], on note R,, -- 1 Zi On va montrer la propriété > < >
Vx > 0, P({max|R,| > 3r}) <3 max P({IR, | > x})

On admet que les différentes fonctions intervenant dans cette inégalité sont 
bien des variables aléatoires discrètes.

Pour simplifier, notons À l'événement { max |[R,| > 3x}. Ainsi,
I 3x}.

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Dans le cas où n > 2, définissons de plus les événements

A; ={lR|2>3x} et A, = {,max |R; < 3x} N{|R,]| > 3x}

pour p EUR [2,nl.

Q 13. Exprimer l'événement À à l'aide des événements À,,4,,...,A4,.
Q 14. Montrer que l'on a
P(A) < P({IR,I > }) + D P(A,OUIR, I < x}). p=1 Q 15.  Justifier que pour tout p EUR [1,n], on a l'inclusion A, N {R,| 2x}.
Q 16. En déduire que
P(A) < P(IR, [2 x}) + max P({IR, --R,| > 2x}).

I0
Q 21. Pour tout n EUR N*, montrer que B,, est une application décroissante sur 
R*.

On pourra distinguer selon que n est pair ou impair.

Dans la suite de cette partie, on fixe EUR > 0. La limite lim (x) = 0 assure de 
l'existence d'un nombre £ EUR R*

T-- +00

tel que (4) < 5 M049/2023-03-28 22:43:36 Page 3/5 CITES II.B -- Dans cette sous-partie, on va montrer lim sup |B,,(x) --p(x)| = 0. no To %e|0,0 On introduit pour cela l'ensemble 1, ={kE0,n] La EUR [0,£+1}} dont on peut vérifier que c'est un intervalle d'entiers. Dans la suite de cette sous-partie, on suppose que n et k varient de sorte que k EUR 1,,. Q 22. Montrer que l'on a kl(n -- k)! -- 27e "k"+1/2(n _ kyn-k+1/2 (: LO ()) n pour n tendant vers l'infini. On pourra utiliser la formule de Stirling rappelée en début d'énoncé. o() 1 Bt, x) -- V2r EU a Q 23. En déduire que, pour n tendant vers +oco, on a 9 = 2! n n Q 24. En déduire que I B,, (x -- n( n.k) V2r ) mil 1 -- Lo k 1 + Ln.k n nn puis que B (ty x) = _ exp (-2 | (1 +O (x) | Q 25. Montrer qu il existe un entier naturel n, tel que, pour tout entier n > 
n;,

sup |B,,(2) -- p(x)|
xe|0,4)

NI

II. C --

Q 26. Pour tout £ > 0, montrer qu'il existe un entier naturel n,, tel que, pour 
tout n 2 nr,
B, (4) < 29(£). Q 27. Conclure que la suite (AÀ,,),e1+ converge vers 0. III Applications Soit ((2,.4,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur (Q,.4,P) telle que PCX = --1) = 1/2 et P(X = 1) = 1/2. On considère une suite (X;),.,, de variables aléatoires discrètes sur ({,.4, P), mutuellement indépendantes et de même loi que À. On définit alors So=0 et  VneN, S,= X; i=1 On dit que (5, ),en est une marche aléatoire symétrique sur Z. On admettra que pour tout n > 1, $,, est une
variable aléatoire discrète sur (Q,.4,P).

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III. À -- Théorème central limite

Soit Z un intervalle de R et (f,,),ew- une suite de fonctions continues par 
morceaux sur 7 qui converge unifor-
mément sur 1 vers une fonction f également continue par morceaux sur J.

Q 28. Silu,), (respectivement (v,),a) est une suite de nombres réels 
appartenant à 7 qui converge
vers u EUR Î (respectivement v EUR 1), montrer que

n--+00

lim 'ataras _ Î f(x) de.

_ X,+1 _
On pose, pour tout à E N°, Y, = #5 et T, =), Y;.

Q 29. Montrer que, pour tout j EUR [0,n|,
Taj tl/Vn

PAT == | Bode.
Taj l/Vn
où æ,,,; à été défini dans la partie Il.

Considérons un couple (u,v) de réels tel que u < v, et notons . n + uA/n | nm + vA/n = Yi EUR Loin OR < je EE, Q 30.  Justifier que P (4 < 2 < v}) = D PAT, = j}). JE dy Q 31. En déduire que l'on a puis que EUTPIEES où les applications & et ® ont été définies dans la partie I. ITI.B -- Critère de tension Dans cette dernière sous-partie, on fixe EUR EUR |0,1|. Q 32. Montrer quil existe x, 2 1 tel que l'on ait Vx>zo,, MEN, Vn>n,, aP({IS,|>xyn}) 3xVn}) < 8e. eeoeFrINeee M049/2023-03-28 22:43:36 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA