Centrale Maths 2 MP-MPI 2023

Thème de l'épreuve Autour de la fonction gaussienne
Principaux outils utilisés intégration, calcul asymptotique, variables aléatoires, suites et séries numériques et de fonctions, probabilités, analyse réelle
Mots clefs intégrale de Gauss, théorème central limite, fonctions en escalier, inégalité maximale, critère de tension, formule de Stirling, marche aléatoire

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Mathématiques 2 L
MP, MPI ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

Notations

-- Dans tout le sujet, n désigne un entier naturel non nul.

---- Étant donnés deux entiers naturels a et b, on note [a, b] l'ensemble des 
entiers naturels k tels que a < k < b. -- Pour deux suites de nombres réels (u,, }men EURt (Un)men» là notation u,, = O(v,,) signifie qu'il existe une suite bornée (M,, men telle que Pon ait mo EN | Vm>mo, Um = Mylm.

-- On pourra utiliser sans démonstration la formule suivante, qui précise la 
formule de Stirling lorsque n tend
Vers +00 :

2 (a (0)

Toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes.

I Résultats préliminaires

LA -

Calcul d'une intégrale classique

Rappelons que n désigne un entier naturel non nul. On note

L.A.1)

Q 1.

Q 2.
Q 3.

Q 4.

Q 5.

Q 6.

1
EE et Ke [ot
(1+42)" (1+42)"
0 0
Montrer que

Justifier l'existence de K,, et donner la valeur exacte de K..

Montrer que

+00

J'arert-0(x)

1
On pourra minorer 1 + +{? par un polynôme de degré 1.
En déduire que, lorsque n tend vers +co,

1

Établir la relation de récurrence K,, = K, ui + 5n En

En déduire un équivalent simple de Z,, lorsque n tend vers +oo.

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[.A.2)

Q 7. Justifier que

Q 8. Montrer que

+00
lim yn1, = | e * du
. 0
Q 9. En déduire les valeurs de
+00 +00
| e* du puis de | e %/2 qu.
0 -- 60

Dans toute la suite, on posera pour tout x réel

Oo

I.B -- Comportement asymptotique de 1 --
Soit æ > 0.
Q 10. En écrivant que w(t) < L(t) pour tout { > x, montrer que

+00

| tt dt < 2) x L Q 11. À l'aide de l'étude d'une fonction bien choisie, montrer que +00 x + rx) < p(t) dt. T Q 12. En déduire un équivalent simple de 1 -- ®(x) lorsque x tend vers +oo. IC --- Une inégalité maximale Dans cette sous-partie, n est un entier naturel non nul et Z,,..,7, sont des variables aléatoires discrètes indépendantes sur un espace probabilisé (Q,.4,P). p Pour tout p EUR [1,n], on note R,, -- 1 Zi On va montrer la propriété > < >
Vx > 0, P({max|R,| > 3r}) <3 max P({IR, | > x})

On admet que les différentes fonctions intervenant dans cette inégalité sont 
bien des variables aléatoires discrètes.

Pour simplifier, notons À l'événement { max |[R,| > 3x}. Ainsi,
I 3x}.

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Dans le cas où n > 2, définissons de plus les événements

A; ={lR|2>3x} et A, = {,max |R; < 3x} N{|R,]| > 3x}

pour p EUR [2,nl.

Q 13. Exprimer l'événement À à l'aide des événements À,,4,,...,A4,.
Q 14. Montrer que l'on a
P(A) < P({IR,I > }) + D P(A,OUIR, I < x}). p=1 Q 15.  Justifier que pour tout p EUR [1,n], on a l'inclusion A, N {R,| 2x}.
Q 16. En déduire que
P(A) < P(IR, [2 x}) + max P({IR, --R,| > 2x}).

I0
Q 21. Pour tout n EUR N*, montrer que B,, est une application décroissante sur 
R*.

On pourra distinguer selon que n est pair ou impair.

Dans la suite de cette partie, on fixe EUR > 0. La limite lim (x) = 0 assure de 
l'existence d'un nombre £ EUR R*

T-- +00

tel que (4) < 5 M049/2023-03-28 22:43:36 Page 3/5 CITES II.B -- Dans cette sous-partie, on va montrer lim sup |B,,(x) --p(x)| = 0. no To %e|0,0 On introduit pour cela l'ensemble 1, ={kE0,n] La EUR [0,£+1}} dont on peut vérifier que c'est un intervalle d'entiers. Dans la suite de cette sous-partie, on suppose que n et k varient de sorte que k EUR 1,,. Q 22. Montrer que l'on a kl(n -- k)! -- 27e "k"+1/2(n _ kyn-k+1/2 (: LO ()) n pour n tendant vers l'infini. On pourra utiliser la formule de Stirling rappelée en début d'énoncé. o() 1 Bt, x) -- V2r EU a Q 23. En déduire que, pour n tendant vers +oco, on a 9 = 2! n n Q 24. En déduire que I B,, (x -- n( n.k) V2r ) mil 1 -- Lo k 1 + Ln.k n nn puis que B (ty x) = _ exp (-2 | (1 +O (x) | Q 25. Montrer qu il existe un entier naturel n, tel que, pour tout entier n > 
n;,

sup |B,,(2) -- p(x)|
xe|0,4)

NI

II. C --

Q 26. Pour tout £ > 0, montrer qu'il existe un entier naturel n,, tel que, pour 
tout n 2 nr,
B, (4) < 29(£). Q 27. Conclure que la suite (AÀ,,),e1+ converge vers 0. III Applications Soit ((2,.4,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur (Q,.4,P) telle que PCX = --1) = 1/2 et P(X = 1) = 1/2. On considère une suite (X;),.,, de variables aléatoires discrètes sur ({,.4, P), mutuellement indépendantes et de même loi que À. On définit alors So=0 et  VneN, S,= X; i=1 On dit que (5, ),en est une marche aléatoire symétrique sur Z. On admettra que pour tout n > 1, $,, est une
variable aléatoire discrète sur (Q,.4,P).

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III. À -- Théorème central limite

Soit Z un intervalle de R et (f,,),ew- une suite de fonctions continues par 
morceaux sur 7 qui converge unifor-
mément sur 1 vers une fonction f également continue par morceaux sur J.

Q 28. Silu,), (respectivement (v,),a) est une suite de nombres réels 
appartenant à 7 qui converge
vers u EUR Î (respectivement v EUR 1), montrer que

n--+00

lim 'ataras _ Î f(x) de.

_ X,+1 _
On pose, pour tout à E N°, Y, = #5 et T, =), Y;.

Q 29. Montrer que, pour tout j EUR [0,n|,
Taj tl/Vn

PAT == | Bode.
Taj l/Vn
où æ,,,; à été défini dans la partie Il.

Considérons un couple (u,v) de réels tel que u < v, et notons . n + uA/n | nm + vA/n = Yi EUR Loin OR < je EE, Q 30.  Justifier que P (4 < 2 < v}) = D PAT, = j}). JE dy Q 31. En déduire que l'on a puis que EUTPIEES où les applications & et ® ont été définies dans la partie I. ITI.B -- Critère de tension Dans cette dernière sous-partie, on fixe EUR EUR |0,1|. Q 32. Montrer quil existe x, 2 1 tel que l'on ait Vx>zo,, MEN, Vn>n,, aP({IS,|>xyn}) 3xVn}) < 8e. eeoeFrINeee M049/2023-03-28 22:43:36 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA