Mathématiques 2
MP
4 heures Calculatrice autorisée
2021
Inégalités de Bernstein
Le but de ce problème est d'étudier les inégalités dites de Bernstein dans deux
cadres différents.
La première partie s'intéresse à la démonstration de l'inégalité de Bernstein
pour les polynômes et à certaines
applications. La deuxième partie introduit la notion de transformée de Fourier
et permet d'établir une inégalité
de Bernstein pour des fonctions dont la transformée de Fourier vérifie
certaines propriétés.
Les deux parties de ce sujet sont complètement indépendantes et peuvent être
traitées dans l'ordre désiré.
T Inégalité polynomiale de Bernstein et applications
Dans cette partie,
-- sin EUR N, on note C,,[X] le C-espace vectoriel des polynômes à coefficients
complexes de degré inférieur ou
égal à n ;
-- si n EUR N*, on note #,, le C-espace vectoriel des fonctions f : R -- EUR
vérifiant
(ap) EC", 3(b,.,0,) EC", VÉER, f(6) = ao + ÿ (ax cos(kt) + by sin(kt)).
k=1
On remarque que les éléments de $,, sont des fonctions bornées ;
-- si Î est un intervalle non vide de R et si f est une fonction bornée de 7
dans EUR, on note
lire = suplf(æ)|.
xel
On admet que f + |flræ(r définit une norme sur le C-espace vectoriel des
fonctions bornées de 7 dans C.
TI.A -- Polynômes de Tchebychev
On définit la suite de polynômes (T,,),en par T5 =1,T =Xet VneN, To = 2XT,.;
--T,.
Q 1. Pour tout n dans N, déterminer le degré de T;,, puis montrer que (7,
)5c7 = ; et déduire des questions
11 et 12 que
(1 --wy) 2sin(vx/2)
VOER, f'(0) = L D f(O+ ) 1) (L.3)
_ 2n pr Th 2 sin(çpy/2)2
Q 14. En déduire que
VOER, |f"(0)1 < n|flLe(m) (L.4) I.C --- Quelques conséquences de l'inégalité (I.4) Soit nr un entier naturel non nul. Q 15. Déduire des questions 3 et 14 que VP EC, IXT, Væz EUR [1,1 P'(a) V1 2?| < nf Pier Q 16. Montrer que VQEC, AIX} [Q(DI 0, @l(t) = P,(1/tje- tt.
Soit Y la fonction définie sur KR par
sité]-Lil.
sinon.
Û
VIER, (6) = Len
Q 28. Montrer, en l'exprimant à l'aide de &, que 1 est de classe CT.
Q 29. Soit à l'unique primitive de Y s'annulant en 0. Montrer que 6 est de
classe C®, constante sur |--oo, --1]
(on note À cette constante) et constante sur [1,+c| (on note B cette
constante). Vérifier que À Æ B.
Q 30. Construire alors une fonction p EUR C®(R), constante égale à 1 sur
[--1,1] et constante égale à O0 sur
R\[---2, 2|.
ITI.D -- Inégalités de Bernstein
On admet les formules suivantes, dites formules d'inversion de Fourier :
+00
à I Le A
-- si f EUR LR) et si f EUR L'(R), alors, pour tout x ER, f(x) -- 5 | eité f(£)
dé :
T
l +00
-- si a EUR L'(R), si a est la fonction de R dans C:æx+ 5 | eltéa(£) dé, et si
a EUR L!(R), alors a = à.
T
On remarque que ces résultats permettent d'affirmer que, si f et g sont deux
fonctions continues telles que f, g,
f et ÿ sont intégrables et si f = g, alors f -- g.
On considère toujours la fonction p définie à la question 30.
Soit r la fonction de R dans C telle que, pour tout réel x,
rl) = 3e | eép(e) ae
_ 27T
--D
Q 31. Montrer que r est dérivable sur KR et donner une expression de sa
fonction dérivée (faisant éventuelle-
ment intervenir une intégrale).
Q 32. Montrer que x HR x*r(x) est bornée sur R et en déduire que r est
intégrable et bornée sur R.
On admet qu'en utilisant la même méthode, on montre que r" est intégrable et
bornée sur KR.
Soit À > O0 et soit f EUR L!(R) N CR) telle que fe L1(R) et telle que f soit
nulle en dehors du segment |--À, À].
On note r, la fonction de R dans C telle que r,(x) = r(Ax) pour tout réel x.
Q 33. On admet que f xr, est intégrable. Montrer que f = Àf *xr,.
Q 34. En déduire que, si f EUR L(R), il existe une constante C' EUR R°,
indépendante de À et de f, telle que
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