Centrale Maths 2 MP 2020

Thème de l'épreuve Espaces à noyau reproduisant
Principaux outils utilisés espaces préhilbertiens, équations différentielles linéaires, réduction, intégration, séries entières
Mots clefs produit scalaire, réduction en dimension quelconque, autoadjoint, équations différentielles, noyau reproduisant, théorème du rang

Corrigé

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Mathématiques 2

T

MP ©
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Caleulatrice autorisés (CN

Espaces à noyau reproduisant

Les espaces à noyau reproduisant ont des applications dans divers domaines 
comme l'apprentissage statistique
ou la résolution d'équations aux dérivées partielles.

Ce problème présente en partie IT quelques exemples d'espaces à noyau 
reproduisant, l'un de ces exemples étant
obtenu à partir de l'étude préalable dans la partie IT d'un opérateur intégral. 
La partie IV propose quelques
résultats sur les espaces à noyau reproduisant.

L'attention du candidat est attirée sur le fait que l'espace préhilbertien 
étudié n'est pas le même dans les
différentes parties du problème.

Définitions
Soit Z un intervalle de R et soit (E, (,-)) un espace préhilbertien réel muni 
de la norme || associée au produit
scalaire. On dit que E est un espace à noyau reproduisant sur I lorsqu'il 
vérifie les trois propriétés suivantes :

1. l'espace E est un sous-espace vectoriel de l'espace F(1,R) des fonctions 
définies sur 1 et à valeurs dans R:
2. pour tout x EUR 1, l'application V, : (E, ||) -- R définie par V,(f) = f(x) 
est continue ;
3. pour tout x EUR 1, il existe une application k, EUR E vérifiant,
VIJEE, f(x) = (ks, f).
On appelle alors noyau reproduisant l'application K définie par

V(z,t) EUR T2, K{(x,t) = k,(t).

Soit [a,b] un segment de R. On dit qu'une fonction f : [a,b] -- R est de classe 
Cl par morceaux s'il existe une
subdivision (t;)0<;<, de [a,b] telle que, pour tout à EUR [1,p], la restriction de f à ]x;_,,x;[ se prolonge en une fonction de classe ©! sur [x;_,,7;]. IT Préliminaires Soit (E, (:,-)) un espace préhilbertien réel, de norme associée |:|. Soit w un endomorphisme de E vérifiant, V(æ,y) EE,  (u(x),y) = (x, u(y)). Q 1. Soit Fun sous-espace vectoriel de E stable par u. Montrer que l'orthogonal F1 de Fest stable par u. On suppose qu'il existe un vecteur unitaire +, EUR F vérifiant {u(æo), To) = sup (u(x),x). zeF,|x|=1 Pour tout vecteur unitaire y EUR F'orthogonal à x,, on pose, pour tout réel #, (6) = x, cost + ysint, p(E) = (uo7(t),7(6)). Q 2. Montrer que w est de classe C1. Q 3. Calculer |y(t)| puis justifier que w'(0) = 0. Q 4. En déduire que u(x,) est orthogonal à y. 5. Montrer que x, est vecteur propre de u. q 0 prop II Étude d'un opérateur Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel des fonctions f : [0,1] -- R continues, muni du produit scalaire défini par, VDEE,  (f.9)= | F9 dr. 0 2020-03-06 10:49:59 Page 1/4 (cc) BY-NC-SA On note |:| la norme associée au produit scalaire. Pour tout s EUR [0,1}, on définit la fonction k, par, _ ftfl--s) sits.
On note également, pour tout (s,t) EUR [0,1]*, K(s,t) = k,(t).
Q 6. Soit s EUR |0,1|. Tracer la courbe représentative de k, sur |0,1|.

Q 7. Montrer que K est continue sur [0,1] x [0,1|.
Pour tout f EUR E, on pose,

Vse[01,  T(f)(s) = | (6) F(6) dt.

Q 8. Montrer que Test un endomorphisme continu de E.

Soit F'le sous-espace vectoriel de Æ formé des fonctions polynomiales. Pour k 
EUR N, on note p, la fonction définie
par pL(x) = x.

Q 9. Pour tout k EUR N, calculer T'(p,). En déduire que Fest stable par T°

Q 10. En déduire (T(p)) pour tout pe F.

Q 11. Soit f EUR E. Calculer T(f)(0) et T'(f)(1).

Q 12. Pour tout f EUR E, montrer que T{(f) est de classe EUR? puis que T(f)" = 
--f.
Q 13. Montrer que T'est injectif.

Q 14. Déterminer l'image de T.

Q 15. Soit À EUR R une valeur propre non nulle de T'et f un vecteur propre 
associé. Montrer que f est solution
de l'équation différentielle À f" = --f.

Q 16. Déterminer les valeurs propres de T'et montrer que les sous-espaces 
propres associés sont de dimen-
Sion 1.

Pour tout # EUR N°, on pose g,(x) = V2sin(krx). On note G = Vect((g)pen) et H = 
GT.
Q 17. Justifier que, pour tout (f,g) EUR E*,ona

(T(F).g) = (F. T(g))

On pourra utiliser la question 12.

On admet que,

If = 1
hEH,|h|=1
Q 18. En déduire que H = {0}.
Q 19. Montrer que la famille de vecteurs (g,)£en- est orthonormale.
On admet pour la suite que (gL)Len est une suite totale.

Pour tout f EUR E, on pose,

+00
1
Vx EUR 0,1} P(x) -- > 2e > 9»)9k(&):
n=1
Q 20. Montrer que ® est continue.
N
Pour tout N EUR N, on pose fn = D CF, gx)9r-
k=1

Q 21. Montrer que
li T -- | --=0.
ii IT) | =0

Q 22. En déduire T(f) = ®.

2020-03-06 10:49:59 Page 2/4 CO) 8Y-Nc-sA
IIT Exemples d'espaces à noyau reproduisant

Dans cette partie, E, désigne l'espace vectoriel des fonctions f : [0,1] -- R 
continues, de classe ©! par morceaux,
et vérifiant f(0) = f(1) = 0.

ITT. À -- Un exemple

Q 23. Montrer que l'on définit un produit scalaire sur E, en posant

Ve),  (|9- | f'(bg/ (6 dt.

Dans la suite de cette partie, on désigne par N la norme associée à ce produit 
scalaire.
Q 24. Montrer que, pour toute fonction f : [0,1] -- R de classe ©! telle que 
f(0) = 0, on a

x

Ve) 1< le f GO) at 0 On pose, pour tout f EUR E., UP) = KO Ode 0 où k, a été défini dans la partie précédente. Q 25. Soit fe E, de classe EUR*?. Montrer que U(f) = --T(f"). En déduire que U(f) = f. Q 26. Montrer que U est l'application identité de E;. Q 27.  Démontrer que l'espace préhilbertien (E,, (- | -)) est un espace à noyau reproduisant et que son noyau reproduisant est l'application ÆX définie dans la partie précédente. ITI.B -- Un contre-exemople On considère à nouveau l'espace ÆE des fonctions continues de [0,1] dans R, muni du produit scalaire défini par (f,g) = [rot dt. Q 28. Montrer que (ÆE, (:,-)) n'est pas un espace à noyau reproduisant. ITI.C -- Fonctions développables en série entière Q 29. Soit (a), EUR R\ une suite de réels telle que la série > _(a,) soit 
convergente.

Montrer que le rayon de convergence de la série entière Ù at" est supérieur ou 
égal à 1.

Dans la suite de cette sous-partie, on considère l'ensemble Æ, des fonctions de 
|---1,1[ dans R de la forme
+00
th ÿ at"
n=Û0
où (a,,), EUR R\ et > _(a,) convergente. Pour f, g EUR E,, on pose
+00 +00 +00
(f,g) = d_ a,b, où fit) at"etgith D) b,t".
n=Û0 n=0 n=0

Q 30. Montrer que Æ, muni de (-,-) est un espace préhilbertien réel.
Q 31. Soitx Ee |[---1,1[. Déterminer g, EUR E, tel que, pour tout f EUR E,,

J(x) -- (9x J)

Q 32. En déduire que E, est un espace à noyau reproduisant et préciser son 
noyau.

2020-03-06 10:49:59 Page 3/4 CO) 8Y-Nc-sA
III.D -- Autre exemple parmi les fonctions de classe C! par morceaux
On se donne dans cette sous-partie un réel a > CO.

On considère l'espace E, des fonctions f : [0,a] -- R, continues et de classe 
©! par morceaux sur [0,a|, et
vérifiant f(0) = 0. On munit FE, du produit scalaire défini, pour f, g EUR E2, 
par

(fo) = | f'(bg (0) dt.

Q 33. Montrer que la fonction (x,y) + min(x,y) est un noyau reproduisant sur 
(Æ3,(- | :)).

Soit Æ, l'espace des fonctions continues sur [0, a], à valeurs dans R, de 
classe C1 par morceaux et vérifiant de
plus f(a) = 0. Soit  : [0,a] -- R de classe ©! vérifiant w(a) = 0 et, pour tout 
x EUR [0, a], w'(x) < 0. Q 34. Déterminer un produit scalaire sur Æ, tel que la fonction (x,y) R min(y(x),w(y)) soit un noyau reproduisant sur l'espace préhilbertien Æ,. IV Quelques résultats sur les espaces à noyau reproduisant IV.A - Continuité Soit (E, (:,-)) un espace à noyau reproduisant sur un intervalle Z, de noyau reproduisant K. Pour tout (x, y) EUR 1*, on pose k,(y) = K{x,y). Soit x EUR Î'et V, définie sur E par V,(f) = f(x). On pose N(V,) = sup |f(x)|. IfI=1 Q 35.  Démontrer que N(V,)= VER). XI ZX On suppose que Æ est continue sur Z X J. Q 36.  Démontrer que toutes les fonctions de Æ sont continues. IV.B - Construction d'un espace à noyau reproduisant On note ici Æ l'espace vectoriel des fonctions continues définies sur [0,1] et à valeurs dans R muni du produit scalaire défini par (J,9) = [ro dt. On considère une fonction À : [0,1] x [0,1] -- R continue. On s'intéresse à l'application T': E -- E définie par T(f)(x) = | A(x,6)f(0 dt. On suppose que ker T'est de dimension finie. Q 37.  Justifier que T'induit un isomorphisme de (ker T')= sur ImlT On note désormais $ la bijection réciproque de cet isomorphisme. On définit le produit scalaire @ sur Im T'en posant, pour tout (f,g) EUR (ImT}*, e(F:g) = (S(F), S(g)) On considère l'application K définie sur [0,1] par K{x,y) = | A(x,t)A(y,t)dt / Q 38. Montrer que (Im 1',4) cest un espace à noyau reproduisant, de noyau K°. ee erFINee.e 2020-03-06 10:49:59 Page 4/4 CO) 8Y-Nc-sA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Julie 
Gauthier (professeur agrégé) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à 
l'université).

Ce sujet traite d'espaces à noyau reproduisant, qui sont des espaces 
préhilbertiens réels de fonctions d'un intervalle I vers R pour lesquels toutes 
les applications f 7 f (x) sont des formes linéaires continues et tels que pour 
tout x  I,
il existe une fonction kx : I  R représentant toutes les fonctions f par le 
biais de
l'égalité f (x) = hkx , f i. Il est composé de quatre parties.
· Dans la première, on montre une propriété élémentaire sur les vecteurs propres
des endomorphismes autoadjoints. La question 5 sera plusieurs fois utile par la
suite.
· La partie II introduit un opérateur T défini avec une intégrale dont on 
obtient
une expression analytique. Pour cela, le sujet propose une étude exhaustive de
ses éléments propres. La dimension de l'espace ambiant est infinie, ce qui rend
la chose un peu délicate.
· La partie suivante étudie trois exemples d'espaces à noyau reproduisant et
un contre-exemple en utilisant l'opérateur T de la partie II. Signalons que la
dernière question est la plus difficile car elle demande de la créativité.
· La partie IV contient deux sous-parties et propose d'établir des résultats 
généraux sur les espaces à noyau reproduisant. On commence par montrer que
tous les éléments d'un tel espace sont continus, puis on voit comment construire
un espace à noyau reproduisant à partir d'une généralisation de l'opérateur T
introduit en partie II.
Ce sujet est très long et assez répétitif. Il était impossible de le terminer 
dans le
temps imparti, même en rédigeant de façon très lapidaire ! Le jour de 
l'épreuve, il ne
fallait pas hésiter à traiter en priorité les questions les plus simples. Les 
parties, et
même les sous-parties, sont assez indépendantes et ne sont pas rangées par 
difficulté
croissante. Les questions 14 et 16 sont longues et calculatoires. Il fallait 
aussi prendre
garde à ne pas confondre les différents produits scalaires et normes manipulés 
au
cours de l'épreuve.
Ce sujet permet de revoir les notions essentielles concernant les espaces 
préhilbertiens réels et de travailler certaines subtilités entre dimensions 
finie et infinie.
Le chapitre d'intégration est lui aussi à l'honneur car il constitue la base de 
chaque
exemple à l'exception de celui sur les séries entières. Enfin, certaines 
questions de
la partie II demandent une bonne maîtrise des équations différentielles, 
notamment
dans leur aspect calculatoire.

Publié dans les Annales des Concours

Indications
Partie I
2 Développer l'expression de (t).
3 Montrer que 0 est un extremum local pour .
4 Utiliser la formule établie à la question 2.

5 Remarquer que u stabilise (R x0 ) .
Partie II
7 Introduire
- = {(s, t)  [ 0 ; 1 ] 2 | t < s} et + = {(s, t)  [ 0 ; 1 ] 2 | t > s}

et établir la continuité de K en tout point de la diagonale {(s, s)  [ 0 ; 1 ] 
2 }.
10 Commencer par établir que
k  N

s  [ 0 ; 1 ]

T(pk )00 (s) = -sk

12 La fonction ks n'étant pas dérivable en s, découper l'intégrale en deux sur 
[ 0 ; s [
et ] s ; 1 ].
14 Raisonner par analyse-synthèse.
16 Utiliser la question 13 pour justifier que T n'admet pas 0 pour valeur 
propre.
Soit   R une valeur propre de T. Résoudre l'équation différentielle
y 00 +

1
y=0

en discutant suivant le signe de . Montrer, en utilisant les résultats des 
questions 11 et 15, que si  < 0 ou que    N , alors  n'est pas valeur propre. 17 Remarquer que (f, g)  E2 hT(f ), gi = hT(f ), T(-g)00 i 18 Utiliser les questions 1, 5 et 17. 19 On rappelle que (p, q)  R 2 cos(p) - cos(q) = -2 sin p+q 2 sin p-q 2 21 Utiliser la question 16 pour obtenir une expression de T(gk ) puis la question 20. 22 On rappelle qu'une famille de vecteurs (xi )iI est totale dans l'espace vectoriel E si, par définition, Vect {xi | i  I} = E Utiliser la question 8. Partie III 25 Attention, on n'a pas a priori T(f 00 ) = T(f )00 . Montrer directement en intégrant par parties que T(f 00 ) = -f . 26 La démarche suggérée par l'énoncé, à savoir utiliser le résultat de la question 25, semble vouée à l'échec ou du moins, assez délicate... Calculer plutôt directement U(f )(s) pour f  E1 et s  [ 0 ; 1 ] en découpant l'intégrale suivant une subdivision bien choisie contenant s. 28 Construire une suite de fonctions (fn ) qui converge vers 0 pour la norme associée au produit scalaire mais qui ne converge pas simplement vers la fonction nulle. On pourra par exemple imposer fn (0) = 1 pour tout n  N. 30 Établir que (x, y)  R2 33 Remarquer que : (x, y)  R2 x2 + y 2 > 2 |x y|

1 si y < x 0 min(x, ·) (y) = 0 si y > x

34 Chercher un produit scalaire de la forme

 E4 - R
Z a
h·, ·i :

(t) f 0 (t) g 0 (t) dt
(f, g) 7-
0

où  : [ 0 ; a ]  R est une application à déterminer.
Partie IV
p
35 Commencer par montrer que N(Vx ) 6 hkx , kx i pour tout x  I. Pour conclure
à l'égalité, distinguer les cas kx = 0 et kx 6= 0. On pourra étudier la 
fonction f : x 7 kx /kkx k.
36 Remarquer que : f  E x  I

f (x) : x 7 h·, f i  kx

37 Rappelons que si F est un sous-espace vectoriel de E de dimension finie, 
alors F
est un supplémentaire. Utiliser le théorème du rang.

38 Commencer par montrer que pour tout x  [ 0 ; 1 ], A(x, ·)  (Ker T) où 
l'orthogonal est pris au sens du produit scalaire h·, ·i. Introduire un élément 
fx  Im T
tel que S(fx ) = A(x, ·).

I. Préliminaires
1 Soit x  F . Montrons que u(x)  F . Pour y  F,
hu(x), yi = hx, u(y)i = 0
car u(y)  F et x  F . Ainsi, u(x)  F , ceci pour tout x  F . Par conséquent,
Si F est stable par u alors F l'est aussi.
Un endomorphisme u vérifiant la propriété
(x, y)  E2

hu(x), yi = hx, u(y)i

est dit autoadjoint.
2 Pour t  R,
(t) = hu(x0 cos(t) + y sin(t)), x0 cos(t) + y sin(t)i
= hcos(t) u(x0 ) + sin(t) u(y), x0 cos(t) + y sin(t)i
(u est linéaire)
2
2
(t) = cos (t) hu(x0 ), x0 i + sin (t) hu(y), yi + 2 cos(t) sin(t) hu(x0 ), yi
ceci car hu(x0 ), yi = hx0 , u(y)i et par bilinéarité du produit scalaire. 
Ainsi,  est une
combinaison linéaire de fonctions de classe C 1 donc
L'application  est de classe C 1 sur R.
3 Soit t  R. On a alors
k(t)k2 =
=
=
=
2
k(t)k =

t  R

Ainsi,
De ce fait,

h(t), (t)i
hx0 cos(t) + y sin(t), x0 cos(t) + y sin(t)i
cos2 (t) kx0 k2 + sin2 (t) kyk2
(x0  y)
2
2
cos (t) + sin (t)
(x0 et y étant unitaires)
1

t  R

k(t)k = 1

(t) = hu((t)), (t)i 6 hu(x0 ), x0 i

ce qui prouve que  a un maximum global donc local en 0. L'application  étant
dérivable au voisinage de 0 d'après le résultat de la question 2, il s'ensuit 
que
0 (0) = 0
4 Dérivons l'expression de  obtenue à la question 2. Pour tout t  R,
0 (t) = -2 cos(t) sin(t) hu(x0 ), x0 i + 2 cos(t) sin(t) hu(y), yi
-2 sin2 (t) hu(x0 ), yi + 2 cos2 (t) hu(x0 ), yi
Par conséquent, 0 (0) = 2 hu(x0 ), yi. Or, 0 (0) = 0 d'après le résultat de la 
question 3.
Il s'ensuit que hu(x0 ), yi = 0 puis que
Les vecteurs y et u(x0 ) sont orthogonaux.