Centrale Maths 2 MP 2019

Centrale Maths 2 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Michel (ENS Rennes) ; il a été relu par Rémi
Pellerin (ENS Lyon) et Florian Metzger (docteur en mathématiques).

Ce sujet traite de l'écriture binaire et du développement dyadique pour des
nombres réels de [ 0 ; 1 ] ou des variables aléatoires réelles à valeurs dans [ 
0 ; 1 ]. Il est
composé de cinq parties.
· Dans la première, on étudie la suite des fonctions caractéristiques associées 
à
une suite de variables aléatoires. On démontre qu'elle converge simplement et
on s'interroge sur sa convergence uniforme sur R.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'écriture binaire des entiers 
naturels
et son lien avec la décomposition dyadique des réels x  [ 0 ; 1 [ pour lesquels
cette décomposition est finie (c'est-à-dire des réels dyadiques de [ 0 ; 1 [).
· Dans la troisième partie, on démontre que la donnée d'un n-uplet de variables
aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli est équivalente à la donnée
d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des réels de [ 
0 ; 1 [
ayant une décomposition dyadique de longueur n.
· Dans la quatrième partie, on étudie le comportement asymptotique d'une telle
variable aléatoire Xn . Plus précisément, on montre qu'elle « converge en loi »
vers une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ], c'est-à-dire 
que
pour toute fonction f continue (et bornée) sur [ 0 ; 1 ],
E(f (Xn )) ---- E(f (X))
n

où X suit la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ].
· Dans la cinquième et dernière partie, on prouve que P(N) n'est pas dénomN
brable, mais qu'il est en bijection avec {0 ; 1} . Cela permet de conclure que
l'intervalle [ 0 ; 1 [ n'est pas dénombrable puisqu'on en explicite en fin de 
sujet
N
une bijection avec {0 ; 1} .
Ce sujet est long et, si les premières questions sont relativement faciles, les 
choses
deviennent techniques dès la deuxième partie. Signalons que l'avant-dernière 
question
du sujet est extrêmement difficile et demande beaucoup de recul et 
d'initiatives pour
parvenir à la résoudre. Cela reste néanmoins un sujet riche de par les 
thématiques
qu'il aborde (dénombrement, probabilités, suites et séries de fonctions, 
intégration),
et par les résultats intéressants qui y sont démontrés. Face à un pareil sujet, 
il faut
s'accrocher et se dire que l'on peut en venir à bout !

Indications
Partie I
1 Exprimer Xn (t) comme le produit de variables aléatoires indépendantes et 
utiliser la propriété de l'espérance rappelée dans l'énoncé. On rappelle que
x  R

cos x =

e i x + e -i x
2

2 Montrer que la suite (sin(t/2n )Xn (t))nN est géométrique. On rappelle que,
pour tout réel x, sin(2x) = 2 cos(x) sin(x).
6 Écrire cos comme somme d'exponentielles complexes et utiliser la parité de Xn 
.
7 Pour chaque n  N , déterminer un réel tn tel que n (tn ) = -1.
Partie II
10 Procéder par récurrence sur n et utiliser une division euclidienne.
11 Considérer les cardinaux de {0 ; 1}n et [[ 0 ; 2n - 1 ]].
13 On rappelle que

x  R

x 6 x < x + 1

14 Utiliser la définition de dj (x) pour faire apparaître une somme 
télescopique.
15 Montrer que -1 < dj (x) < 2 en utilisant le fait que
x  R

x - 1 < x 6 x

16 Utiliser les questions 9 et 10.
17 Se servir des questions 11 et 16.
18 Faire une distinction de cas selon que n > k ou n 6 k.
Partie III
20 Utiliser la question 17 pour déterminer la loi de Yn avant de calculer Fn .
21 Remarquer que, pour tout y  Dn , {Yn < y} = {Yn 6 y} r {Yn = y} et utiliser
le résultat de la question 20 ainsi que la loi de Yn .
23 Poser V = (V1 , . . . , Vn ) = n -1 (Xn ) puis montrer que V suit la loi 
uniforme
sur {0 ; 1}n.
Partie IV
24 Remarquer que, pour tout n  N ,
{Yn+1 6 x}  {Yn 6 x}

et

{Yn+1 < x}  {Yn < x}

27 Utiliser la question 13 pour obtenir un encadrement de Fn (x).
28 Distinguer les cas selon que I est de la forme [ a ; b ], [ a ; b [, ] a ; b 
] ou ] a ; b [.
29 Reconnaître une somme de Riemann.
30 Considérer, pour tout k  [[ 1 ; n ]], Uk = (k + 1)/2.
31 Utiliser la question 29 pour calculer l'intégrale de deux façons 
différentes. On aura
besoin du théorème de transfert ainsi que du théorème de convergence dominée.

Partie V
33 Considérer un antécédent de A par f et déterminer s'il appartient à A.
35 Utiliser la question 14.
36 Remarquer que

((xn ))  D  {1}
(xn ) est stationnaire à 1

((xn ))  D
et
(xn ) est stationnaire à 0

0 < ((xn )) 6 1/2

1/2 < ((xn )) < 1

Avant d'étudier l'injectivité de , on pourra démontrer que les éléments de 
l'ensemble [ 0 ; 1 ] r D ont exactement un antécédent par , et que les éléments
de D en ont exactement deux, à savoir une suite stationnaire à 0 et une suite
stationnaire à 1.
37 Utiliser les questions 34 et 36.

I. Fonction caractéristique
1 Soient n  N et t  R. Par définition,

 n

 n
P k
Q
i t k
=E
exp
Xn (t) = E exp i t
k
2k
k=1
k=1 2

Les variables aléatoires (k )k>1 étant mutuellement indépendantes, il en va de 
même
des variables aléatoires (fk (k ))k>1 où, pour tout k  N , on a posé

itx
fk : x  R 7 exp
2k
De plus, pour tout k  [[ 1 ; n ]], l'image de  par la variable aléatoire fk (k 
) est finie
(de cardinal 2). On peut donc appliquer le résultat admis en introduction de 
l'énoncé
et le théorème de transfert. On obtient :

n
Q
i t k
Xn (t) =
E exp
2k
k=1

n
Q
1
it
1
-i t
=
exp
+
exp
2k
2
2k
k=1 2
Ainsi,

n  N

t  R

Xn (t) =

n
Q

cos

k=1

t
2k

Le résultat admis par l'énoncé se démontre par récurrence sur le nombre de
variables aléatoires à l'aide de la propriété suivante : si X et Y sont deux
variables aléatoires indépendantes d'espérances finies, alors
E(XY) = E(X)E(Y)
2 Soit t  R. Montrons par récurrence que la propriété
 
t
sin t
P(n) :
sin
Xn (t) = n
2n
2
est vraie pour tout n  N .
· P(1) est vraie car, d'après la question 1, X1 (t) = cos(t/2) et

t
t
sin t
sin
cos
=
2
2
2
· P(n) = P(n + 1) : soit n  N tel que P(n) est vraie. D'après la question 1,
en isolant le facteur d'indice n du produit, on a :

t
t
t
sin
Xn+1 (t) = sin
cos
Xn (t)
2n+1
2n+1
2n+1
 
1
t
= sin
Xn (t)
2
2n

t
sin t
sin
Xn+1 (t) = n+1
(d'après P(n))
2n+1
2
 
t
sin t
· Conclusion : n  N t  R
sin
Xn (t) = n
n
2
2