Centrale Maths 2 MP 2019

Mathématiques 2 OO
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MP ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

Notations
Pour tout réel x, on note [x] sa partie entière.

On note

Vn EUR N* A, = Or (&;)jepn EUR (0, ur)
j=1

neN*

n TL:
Vn EUR N* D, = o oh (z)jening EUR {0, ur) et  D= (Jp,
j=1

VneEeN T\(&) = L2'z]

V(x,n) ERXN dy41(t) -- 27+1 (Ti41() -- m())

Soit Z une variable aléatoire sur (Q,.4,P), à valeurs complexes et telle que 
Z(Q) soit fini. En notant N(7) et
3(Z) les parties réelle et imaginaire de Z, on définit l'espérance de Z par

E(Z) = E(R(Z)) +iE(3(2)).

Si Z,,....,Z, sont des variables aléatoires sur (Q,.4,P), à valeurs complexes, 
mutuellement indépendantes, et
telles que Z;(Q) soit fini pour tout j, on admet que

I Fonction caractéristique

Soient (Q,.4,P) un espace probabilisé et (£,,),-, une suite de variables 
aléatoires indépendantes à valeurs dans
{--1,1} avec P(e, = 1) = P(e, = --1) = 1/2 pour tout n > 1. On pose

Vn e N°, X =D SR
k=1

Pour X variable aléatoire réelle avec X(Q) fini, on note

VLER, Py(t) = E(eïtX).

On définit également

sin £

---- sit £0
1 sinon

VtER, sinct = {

Soit n un entier naturel non nul et t{ un réel.

Q 1. Montrer

n

t
Px (t) -- [Les (x) :
k=1
Q 2. En déduire

sin(t)

t
sint--|Dy(t) = ----
SEL (>) x, ( ) 2n

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Q 3. Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (D x )
r/ n>1

Q 4. Étudier la continuité de lim ®,.

n-- +00 n
Q 5. Montrer que X,, et --X, ont même loi pour tout n EUR Nr.

Q 6. En déduire la limite simple de la suite de fonctions (@,),>1 définies par

[R--RKR

Vn EUR N*, Pn'lyps E(cos(tX,))

Q 7. La suite de fonctions (w,),, converge-t-elle uniformément sur R ?

II Écriture binaire

Soit n un entier naturel non nul. On pose
{0,1} -- [0,27 --1]

(Z;)jepn > x 21)

j=1

Q 8. Montrer que ®, est bien définie en vérifiant Im ®,, C [0,2* --1]|.
Q 9. Préciser [Im ®,, en fonction de À...

Q 10. Montrer par récurrence

Vke[0.2"-1] keImb..

Q 11. En déduire que ®, est bijective.

Q 12. Établir la monotonie au sens de l'inclusion de la suite (D, ),>1 puis 
vérifier D C |0,1|.

Q 13. Établir
V(x,n)ERXN, TT) LT LT,(T) + --.

Q 14.  Justificr

Vrel0il VkeN, rx) = ÿ dite)

Q 15. Établir
V(x,j) EUR R x N*, d;(x) EUR {0,1}.
Q 16. Soit n EUR N°. Justifier x EUR D, = 2x EUR [0,2 -- 1].
Q 17. Soit n EUR N*. Montrer que l'application
{0,1} -- D,
(&;)jepin) 2. L
est bijective.

Tè
T
Q 18. Soient n EUR N* ct x -- 2. 5j avec (t;);emn EUR 10:1}". Montrer
J--
min(n.k)

VREN,  ma)= Y =.

J=1

à
&S

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CETTE
IIT Développement dyadique, loi et décomposition

Soit (Q,.4,P) un espace probabilisé, (U,),-, une suite de variables aléatoires 
mutuellement indépendantes
suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. On pose

x y | Uz
VnEeN ; y, -- Ok
k=1
VzEeRk, F,(x) =P(Y, < x) G,{x) = P(Y, < x) Q 19.  Justifier Vn EUR N, P(Y, EUR [0,1[) = 1. Q 20. Montrer Vn e N°, Vxe D,, F,(x) = x + --. n Q 21. Montrer Vne N°, Vxe D,, G,(x) = x. Q 22. Établir, pour tout entier naturel non nul n, que Y, suit une loi uniforme sur D... Q 23. Réciproquement, soit n un entier naturel non nul et soit X, une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur D,. Montrer qu'il existe des variables aléatoires V,,..,V, mutuellement indépendantes, suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre 1/2, et telles que TL Z X, = DR k=1 IV Développement dyadique, étude asymptotique On conserve les notations introduites dans la partie III. Q 24. Soit x réel. Établir la monotonie des suites (F (x)) .., et (G,(x)) Q 25. En déduire la convergence simple des suites de fonctions (PF, ),>1 et 
(Gy)n>1:

Q 26. Montrer

Vx EUR DU {1}, lim F,(x) = x et lim G,(x) = x.

no No

Q 27.  Généraliser les résultats obtenus à la question précédente pour tout x 
EUR {0,1|.

Q 28. Montrer que pour tout intervalle non vide 1 EUR [0,1},on a

lim P(Y, EUR 1) = #(1) avec £(1) = sup 1 -- inf.

N--00

nr

Q 29. En déduire que, pour toute fonction f continue de [0,1] dans R, la suite 
(E(f(Y, ))) converge et

préciser sa limite.

Q 30. À l'aide du résultat précédent, proposer une autre démonstration du 
résultat obtenu à la question 6.

1
t--1
Q 31. Une application. Justifier l'existence de | D dt puis déterminer sa 
valeur.
n
0

1
On pourra considérer JE (tr) dt.
0

2019-03-28 11:33:30 Page 3/4 (C2) BY-NC-SA
V Dénombrabilité

Q 32. L'ensemble D est-il dénombrable ?

Q 33. On suppose qu'il existe f : N -- P(N) bijective. En considérant À = {x EN 
| x EUR f(x)}, établir une
contradiction.

P(N) -- {0,1}\

Q 34. Montrer que l'application % : Ab,

est bijective.

Q 35. Montrer que l'application
{0,1} -- [0,1
Y : -- Th

est bien définie et surjective. Est-elle injective ?

On note D* = D\ {0}. On pose pour tout (x,,) EUR {0,1}\

Y((x,,)) si W((x,)) EUR [0,1[\ 2°

A((x,)) = si V((x,)) EUR DU{1} et (x,) stationnaire à 1
si V((x,)) EUR D et (x,,) stationnaire à 0
Q 36. Montrer que À réalise une bijection de {0,1}" sur [0,1{.

Q 37.  Conclure que |0,1] n'est pas dénombrable.

eeerINee.e

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Centrale Maths 2 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Michel (ENS Rennes) ; il a été relu par Rémi
Pellerin (ENS Lyon) et Florian Metzger (docteur en mathématiques).

Ce sujet traite de l'écriture binaire et du développement dyadique pour des
nombres réels de [ 0 ; 1 ] ou des variables aléatoires réelles à valeurs dans [ 
0 ; 1 ]. Il est
composé de cinq parties.
· Dans la première, on étudie la suite des fonctions caractéristiques associées 
à
une suite de variables aléatoires. On démontre qu'elle converge simplement et
on s'interroge sur sa convergence uniforme sur R.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'écriture binaire des entiers 
naturels
et son lien avec la décomposition dyadique des réels x  [ 0 ; 1 [ pour lesquels
cette décomposition est finie (c'est-à-dire des réels dyadiques de [ 0 ; 1 [).
· Dans la troisième partie, on démontre que la donnée d'un n-uplet de variables
aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli est équivalente à la donnée
d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des réels de [ 
0 ; 1 [
ayant une décomposition dyadique de longueur n.
· Dans la quatrième partie, on étudie le comportement asymptotique d'une telle
variable aléatoire Xn . Plus précisément, on montre qu'elle « converge en loi »
vers une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ], c'est-à-dire 
que
pour toute fonction f continue (et bornée) sur [ 0 ; 1 ],
E(f (Xn )) ---- E(f (X))
n

où X suit la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ].
· Dans la cinquième et dernière partie, on prouve que P(N) n'est pas dénomN
brable, mais qu'il est en bijection avec {0 ; 1} . Cela permet de conclure que
l'intervalle [ 0 ; 1 [ n'est pas dénombrable puisqu'on en explicite en fin de 
sujet
N
une bijection avec {0 ; 1} .
Ce sujet est long et, si les premières questions sont relativement faciles, les 
choses
deviennent techniques dès la deuxième partie. Signalons que l'avant-dernière 
question
du sujet est extrêmement difficile et demande beaucoup de recul et 
d'initiatives pour
parvenir à la résoudre. Cela reste néanmoins un sujet riche de par les 
thématiques
qu'il aborde (dénombrement, probabilités, suites et séries de fonctions, 
intégration),
et par les résultats intéressants qui y sont démontrés. Face à un pareil sujet, 
il faut
s'accrocher et se dire que l'on peut en venir à bout !

Indications
Partie I
1 Exprimer Xn (t) comme le produit de variables aléatoires indépendantes et 
utiliser la propriété de l'espérance rappelée dans l'énoncé. On rappelle que
x  R

cos x =

e i x + e -i x
2

2 Montrer que la suite (sin(t/2n )Xn (t))nN est géométrique. On rappelle que,
pour tout réel x, sin(2x) = 2 cos(x) sin(x).
6 Écrire cos comme somme d'exponentielles complexes et utiliser la parité de Xn 
.
7 Pour chaque n  N , déterminer un réel tn tel que n (tn ) = -1.
Partie II
10 Procéder par récurrence sur n et utiliser une division euclidienne.
11 Considérer les cardinaux de {0 ; 1}n et [[ 0 ; 2n - 1 ]].
13 On rappelle que

x  R

x 6 x < x + 1 14 Utiliser la définition de dj (x) pour faire apparaître une somme télescopique. 15 Montrer que -1 < dj (x) < 2 en utilisant le fait que x  R x - 1 < x 6 x 16 Utiliser les questions 9 et 10. 17 Se servir des questions 11 et 16. 18 Faire une distinction de cas selon que n > k ou n 6 k.
Partie III
20 Utiliser la question 17 pour déterminer la loi de Yn avant de calculer Fn .
21 Remarquer que, pour tout y  Dn , {Yn < y} = {Yn 6 y} r {Yn = y} et utiliser le résultat de la question 20 ainsi que la loi de Yn . 23 Poser V = (V1 , . . . , Vn ) = n -1 (Xn ) puis montrer que V suit la loi uniforme sur {0 ; 1}n. Partie IV 24 Remarquer que, pour tout n  N , {Yn+1 6 x}  {Yn 6 x} et {Yn+1 < x}  {Yn < x} 27 Utiliser la question 13 pour obtenir un encadrement de Fn (x). 28 Distinguer les cas selon que I est de la forme [ a ; b ], [ a ; b [, ] a ; b ] ou ] a ; b [. 29 Reconnaître une somme de Riemann. 30 Considérer, pour tout k  [[ 1 ; n ]], Uk = (k + 1)/2. 31 Utiliser la question 29 pour calculer l'intégrale de deux façons différentes. On aura besoin du théorème de transfert ainsi que du théorème de convergence dominée. Partie V 33 Considérer un antécédent de A par f et déterminer s'il appartient à A. 35 Utiliser la question 14. 36 Remarquer que ((xn ))  D  {1} (xn ) est stationnaire à 1 ((xn ))  D et (xn ) est stationnaire à 0 0 < ((xn )) 6 1/2 1/2 < ((xn )) < 1 Avant d'étudier l'injectivité de , on pourra démontrer que les éléments de l'ensemble [ 0 ; 1 ] r D ont exactement un antécédent par , et que les éléments de D en ont exactement deux, à savoir une suite stationnaire à 0 et une suite stationnaire à 1. 37 Utiliser les questions 34 et 36. I. Fonction caractéristique 1 Soient n  N et t  R. Par définition, n n P k Q i t k =E exp Xn (t) = E exp i t k 2k k=1 k=1 2 Les variables aléatoires (k )k>1 étant mutuellement indépendantes, il en va de 
même
des variables aléatoires (fk (k ))k>1 où, pour tout k  N , on a posé

itx
fk : x  R 7 exp
2k
De plus, pour tout k  [[ 1 ; n ]], l'image de  par la variable aléatoire fk (k 
) est finie
(de cardinal 2). On peut donc appliquer le résultat admis en introduction de 
l'énoncé
et le théorème de transfert. On obtient :

n
Q
i t k
Xn (t) =
E exp
2k
k=1

n
Q
1
it
1
-i t
=
exp
+
exp
2k
2
2k
k=1 2
Ainsi,

n  N

t  R

Xn (t) =

n
Q

cos

k=1

t
2k

Le résultat admis par l'énoncé se démontre par récurrence sur le nombre de
variables aléatoires à l'aide de la propriété suivante : si X et Y sont deux
variables aléatoires indépendantes d'espérances finies, alors
E(XY) = E(X)E(Y)
2 Soit t  R. Montrons par récurrence que la propriété
 
t
sin t
P(n) :
sin
Xn (t) = n
2n
2
est vraie pour tout n  N .
· P(1) est vraie car, d'après la question 1, X1 (t) = cos(t/2) et

t
t
sin t
sin
cos
=
2
2
2
· P(n) = P(n + 1) : soit n  N tel que P(n) est vraie. D'après la question 1,
en isolant le facteur d'indice n du produit, on a :

t
t
t
sin
Xn+1 (t) = sin
cos
Xn (t)
2n+1
2n+1
2n+1
 
1
t
= sin
Xn (t)
2
2n

t
sin t
sin
Xn+1 (t) = n+1
(d'après P(n))
2n+1
2
 
t
sin t
· Conclusion : n  N t  R
sin
Xn (t) = n
n
2
2