Centrale Maths 2 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Michel (ENS Rennes) ; il a été relu par Rémi Pellerin (ENS Lyon) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). Ce sujet traite de l'écriture binaire et du développement dyadique pour des nombres réels de [ 0 ; 1 ] ou des variables aléatoires réelles à valeurs dans [ 0 ; 1 ]. Il est composé de cinq parties. · Dans la première, on étudie la suite des fonctions caractéristiques associées à une suite de variables aléatoires. On démontre qu'elle converge simplement et on s'interroge sur sa convergence uniforme sur R. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'écriture binaire des entiers naturels et son lien avec la décomposition dyadique des réels x [ 0 ; 1 [ pour lesquels cette décomposition est finie (c'est-à-dire des réels dyadiques de [ 0 ; 1 [). · Dans la troisième partie, on démontre que la donnée d'un n-uplet de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli est équivalente à la donnée d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des réels de [ 0 ; 1 [ ayant une décomposition dyadique de longueur n. · Dans la quatrième partie, on étudie le comportement asymptotique d'une telle variable aléatoire Xn . Plus précisément, on montre qu'elle « converge en loi » vers une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ], c'est-à-dire que pour toute fonction f continue (et bornée) sur [ 0 ; 1 ], E(f (Xn )) ---- E(f (X)) n où X suit la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ]. · Dans la cinquième et dernière partie, on prouve que P(N) n'est pas dénomN brable, mais qu'il est en bijection avec {0 ; 1} . Cela permet de conclure que l'intervalle [ 0 ; 1 [ n'est pas dénombrable puisqu'on en explicite en fin de sujet N une bijection avec {0 ; 1} . Ce sujet est long et, si les premières questions sont relativement faciles, les choses deviennent techniques dès la deuxième partie. Signalons que l'avant-dernière question du sujet est extrêmement difficile et demande beaucoup de recul et d'initiatives pour parvenir à la résoudre. Cela reste néanmoins un sujet riche de par les thématiques qu'il aborde (dénombrement, probabilités, suites et séries de fonctions, intégration), et par les résultats intéressants qui y sont démontrés. Face à un pareil sujet, il faut s'accrocher et se dire que l'on peut en venir à bout ! Indications Partie I 1 Exprimer Xn (t) comme le produit de variables aléatoires indépendantes et utiliser la propriété de l'espérance rappelée dans l'énoncé. On rappelle que x R cos x = e i x + e -i x 2 2 Montrer que la suite (sin(t/2n )Xn (t))nN est géométrique. On rappelle que, pour tout réel x, sin(2x) = 2 cos(x) sin(x). 6 Écrire cos comme somme d'exponentielles complexes et utiliser la parité de Xn . 7 Pour chaque n N , déterminer un réel tn tel que n (tn ) = -1. Partie II 10 Procéder par récurrence sur n et utiliser une division euclidienne. 11 Considérer les cardinaux de {0 ; 1}n et [[ 0 ; 2n - 1 ]]. 13 On rappelle que x R x 6 x < x + 1 14 Utiliser la définition de dj (x) pour faire apparaître une somme télescopique. 15 Montrer que -1 < dj (x) < 2 en utilisant le fait que x R x - 1 < x 6 x 16 Utiliser les questions 9 et 10. 17 Se servir des questions 11 et 16. 18 Faire une distinction de cas selon que n > k ou n 6 k. Partie III 20 Utiliser la question 17 pour déterminer la loi de Yn avant de calculer Fn . 21 Remarquer que, pour tout y Dn , {Yn < y} = {Yn 6 y} r {Yn = y} et utiliser le résultat de la question 20 ainsi que la loi de Yn . 23 Poser V = (V1 , . . . , Vn ) = n -1 (Xn ) puis montrer que V suit la loi uniforme sur {0 ; 1}n. Partie IV 24 Remarquer que, pour tout n N , {Yn+1 6 x} {Yn 6 x} et {Yn+1 < x} {Yn < x} 27 Utiliser la question 13 pour obtenir un encadrement de Fn (x). 28 Distinguer les cas selon que I est de la forme [ a ; b ], [ a ; b [, ] a ; b ] ou ] a ; b [. 29 Reconnaître une somme de Riemann. 30 Considérer, pour tout k [[ 1 ; n ]], Uk = (k + 1)/2. 31 Utiliser la question 29 pour calculer l'intégrale de deux façons différentes. On aura besoin du théorème de transfert ainsi que du théorème de convergence dominée. Partie V 33 Considérer un antécédent de A par f et déterminer s'il appartient à A. 35 Utiliser la question 14. 36 Remarquer que ((xn )) D {1} (xn ) est stationnaire à 1 ((xn )) D et (xn ) est stationnaire à 0 0 < ((xn )) 6 1/2 1/2 < ((xn )) < 1 Avant d'étudier l'injectivité de , on pourra démontrer que les éléments de l'ensemble [ 0 ; 1 ] r D ont exactement un antécédent par , et que les éléments de D en ont exactement deux, à savoir une suite stationnaire à 0 et une suite stationnaire à 1. 37 Utiliser les questions 34 et 36. I. Fonction caractéristique 1 Soient n N et t R. Par définition, n n P k Q i t k =E exp Xn (t) = E exp i t k 2k k=1 k=1 2 Les variables aléatoires (k )k>1 étant mutuellement indépendantes, il en va de même des variables aléatoires (fk (k ))k>1 où, pour tout k N , on a posé itx fk : x R 7 exp 2k De plus, pour tout k [[ 1 ; n ]], l'image de par la variable aléatoire fk (k ) est finie (de cardinal 2). On peut donc appliquer le résultat admis en introduction de l'énoncé et le théorème de transfert. On obtient : n Q i t k Xn (t) = E exp 2k k=1 n Q 1 it 1 -i t = exp + exp 2k 2 2k k=1 2 Ainsi, n N t R Xn (t) = n Q cos k=1 t 2k Le résultat admis par l'énoncé se démontre par récurrence sur le nombre de variables aléatoires à l'aide de la propriété suivante : si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes d'espérances finies, alors E(XY) = E(X)E(Y) 2 Soit t R. Montrons par récurrence que la propriété t sin t P(n) : sin Xn (t) = n 2n 2 est vraie pour tout n N . · P(1) est vraie car, d'après la question 1, X1 (t) = cos(t/2) et t t sin t sin cos = 2 2 2 · P(n) = P(n + 1) : soit n N tel que P(n) est vraie. D'après la question 1, en isolant le facteur d'indice n du produit, on a : t t t sin Xn+1 (t) = sin cos Xn (t) 2n+1 2n+1 2n+1 1 t = sin Xn (t) 2 2n t sin t sin Xn+1 (t) = n+1 (d'après P(n)) 2n+1 2 t sin t · Conclusion : n N t R sin Xn (t) = n n 2 2 
