Centrale Maths 2 MP 2019

Thème de l'épreuve Développement dyadique et loi de probabilité uniforme
Principaux outils utilisés partie entière, probabilités, dénombrabilité
Mots clefs fonction caractéristique, loi uniforme, binaire, dyadique, dénombrable

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 Centrale Maths 2 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Michel (ENS Rennes) ; il a été relu par Rémi Pellerin (ENS Lyon) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). Ce sujet traite de l'écriture binaire et du développement dyadique pour des nombres réels de [ 0 ; 1 ] ou des variables aléatoires réelles à valeurs dans [ 0 ; 1 ]. Il est composé de cinq parties. · Dans la première, on étudie la suite des fonctions caractéristiques associées à une suite de variables aléatoires. On démontre qu'elle converge simplement et on s'interroge sur sa convergence uniforme sur R. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'écriture binaire des entiers naturels et son lien avec la décomposition dyadique des réels x [ 0 ; 1 [ pour lesquels cette décomposition est finie (c'est-à-dire des réels dyadiques de [ 0 ; 1 [). · Dans la troisième partie, on démontre que la donnée d'un n-uplet de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli est équivalente à la donnée d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des réels de [ 0 ; 1 [ ayant une décomposition dyadique de longueur n. · Dans la quatrième partie, on étudie le comportement asymptotique d'une telle variable aléatoire Xn . Plus précisément, on montre qu'elle « converge en loi » vers une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ], c'est-à-dire que pour toute fonction f continue (et bornée) sur [ 0 ; 1 ], E(f (Xn )) ---- E(f (X)) n où X suit la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ]. · Dans la cinquième et dernière partie, on prouve que P(N) n'est pas dénomN brable, mais qu'il est en bijection avec {0 ; 1} . Cela permet de conclure que l'intervalle [ 0 ; 1 [ n'est pas dénombrable puisqu'on en explicite en fin de sujet N une bijection avec {0 ; 1} . Ce sujet est long et, si les premières questions sont relativement faciles, les choses deviennent techniques dès la deuxième partie. Signalons que l'avant-dernière question du sujet est extrêmement difficile et demande beaucoup de recul et d'initiatives pour parvenir à la résoudre. Cela reste néanmoins un sujet riche de par les thématiques qu'il aborde (dénombrement, probabilités, suites et séries de fonctions, intégration), et par les résultats intéressants qui y sont démontrés. Face à un pareil sujet, il faut s'accrocher et se dire que l'on peut en venir à bout ! Indications Partie I 1 Exprimer Xn (t) comme le produit de variables aléatoires indépendantes et utiliser la propriété de l'espérance rappelée dans l'énoncé. On rappelle que x R cos x = e i x + e -i x 2 2 Montrer que la suite (sin(t/2n )Xn (t))nN est géométrique. On rappelle que, pour tout réel x, sin(2x) = 2 cos(x) sin(x). 6 Écrire cos comme somme d'exponentielles complexes et utiliser la parité de Xn . 7 Pour chaque n N , déterminer un réel tn tel que n (tn ) = -1. Partie II 10 Procéder par récurrence sur n et utiliser une division euclidienne. 11 Considérer les cardinaux de {0 ; 1}n et [[ 0 ; 2n - 1 ]]. 13 On rappelle que x R x 6 x < x + 1 14 Utiliser la définition de dj (x) pour faire apparaître une somme télescopique. 15 Montrer que -1 < dj (x) < 2 en utilisant le fait que x R x - 1 < x 6 x 16 Utiliser les questions 9 et 10. 17 Se servir des questions 11 et 16. 18 Faire une distinction de cas selon que n > k ou n 6 k. Partie III 20 Utiliser la question 17 pour déterminer la loi de Yn avant de calculer Fn . 21 Remarquer que, pour tout y Dn , {Yn < y} = {Yn 6 y} r {Yn = y} et utiliser le résultat de la question 20 ainsi que la loi de Yn . 23 Poser V = (V1 , . . . , Vn ) = n -1 (Xn ) puis montrer que V suit la loi uniforme sur {0 ; 1}n. Partie IV 24 Remarquer que, pour tout n N , {Yn+1 6 x} {Yn 6 x} et {Yn+1 < x} {Yn < x} 27 Utiliser la question 13 pour obtenir un encadrement de Fn (x). 28 Distinguer les cas selon que I est de la forme [ a ; b ], [ a ; b [, ] a ; b ] ou ] a ; b [. 29 Reconnaître une somme de Riemann. 30 Considérer, pour tout k [[ 1 ; n ]], Uk = (k + 1)/2. 31 Utiliser la question 29 pour calculer l'intégrale de deux façons différentes. On aura besoin du théorème de transfert ainsi que du théorème de convergence dominée. Partie V 33 Considérer un antécédent de A par f et déterminer s'il appartient à A. 35 Utiliser la question 14. 36 Remarquer que ((xn )) D {1} (xn ) est stationnaire à 1 ((xn )) D et (xn ) est stationnaire à 0 0 < ((xn )) 6 1/2 1/2 < ((xn )) < 1 Avant d'étudier l'injectivité de , on pourra démontrer que les éléments de l'ensemble [ 0 ; 1 ] r D ont exactement un antécédent par , et que les éléments de D en ont exactement deux, à savoir une suite stationnaire à 0 et une suite stationnaire à 1. 37 Utiliser les questions 34 et 36. I. Fonction caractéristique 1 Soient n N et t R. Par définition, n n P k Q i t k =E exp Xn (t) = E exp i t k 2k k=1 k=1 2 Les variables aléatoires (k )k>1 étant mutuellement indépendantes, il en va de même des variables aléatoires (fk (k ))k>1 où, pour tout k N , on a posé itx fk : x R 7 exp 2k De plus, pour tout k [[ 1 ; n ]], l'image de par la variable aléatoire fk (k ) est finie (de cardinal 2). On peut donc appliquer le résultat admis en introduction de l'énoncé et le théorème de transfert. On obtient : n Q i t k Xn (t) = E exp 2k k=1 n Q 1 it 1 -i t = exp + exp 2k 2 2k k=1 2 Ainsi, n N t R Xn (t) = n Q cos k=1 t 2k Le résultat admis par l'énoncé se démontre par récurrence sur le nombre de variables aléatoires à l'aide de la propriété suivante : si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes d'espérances finies, alors E(XY) = E(X)E(Y) 2 Soit t R. Montrons par récurrence que la propriété t sin t P(n) : sin Xn (t) = n 2n 2 est vraie pour tout n N . · P(1) est vraie car, d'après la question 1, X1 (t) = cos(t/2) et t t sin t sin cos = 2 2 2 · P(n) = P(n + 1) : soit n N tel que P(n) est vraie. D'après la question 1, en isolant le facteur d'indice n du produit, on a : t t t sin Xn+1 (t) = sin cos Xn (t) 2n+1 2n+1 2n+1 1 t = sin Xn (t) 2 2n t sin t sin Xn+1 (t) = n+1 (d'après P(n)) 2n+1 2 t sin t · Conclusion : n N t R sin Xn (t) = n n 2 2