Centrale Maths 2 MP 2018

Thème de l'épreuve Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet
Principaux outils utilisés calcul différentiel, fonctions définies par une intégrale, équations différentielles du second ordre
Mots clefs fonction harmonique, laplacien, problème de Dirichlet, principe du maximum faible, coordonnées polaires

Corrigé

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r,â» Mathématiques 2 2 J' MP @ cnucnuns EENÏHHLE-SUPÊLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet Ce problème étudie quelques propriétés des fonctions harmoniques ainsi que quelques exemples de telles fonctions (parties 1 et Il). Dans la partie III, largement indépendante du reste du problème, on montre le principe du maximum faible pour le laplacien. Dans la partie IV, on établit un lien entre les fonctions harmoniques de deux variables et les fonctions développables en série entière, et on propose la résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de [RZ dans la partie V. Notations -- Dans ce préambule et dans les parties 1 et III, n désigne un entier strictement positif. -- On munit IR" de sa structure euclidienne canonique et "H désigne la norme euclidienne. -- Si U est une partie de IR", alors Ü désigne son adhérence et ôU sa frontière. -- Pour (1 EUR il?" et R > 0, on désigne par D(a, R) la boule ouverte de centre a et de rayon R pour la distance euclidienne. Autrement dit D(OE,R) = {fiv EUR "?"; llîC -- all < R} La boule fermée de centre a et de rayon R est alors D(a, R). -- L'opérateur différentiel A (appelé laplacien) est défini pour toute fonction à valeurs réelles de classe 6'2 sur un ouvert U C [R" par W =(oe1,...,oen)EUR U, Af(cc> = M: ë"l°s s.wkh A & V i=1 -- Une fonction f de classe 62 a valeurs réelles sur un ouvert U de ER" est dite harmonique sur U si VxEURU Af(x)=0 L'ensemble des fonctions harmoniques sur U est noté H(U). I Fonctions harmoniques: quelques propriétés Soit U un ouvert non vide de [R". On note 62(U, [R) l'espace vectoriel des fonctions de classe 62 de U dans [R. Q 1. Montrer que ?[ (U) est un sous--espace vectoriel de 62(U, H?) Q 2. Soit f EUR % (U). Montrer que si f est 600 sur U, alors toute dérivée partielle a tout ordre de f appartient à H (U). Q 3. On suppose dans cette question que U est connexe par arcs. Déterminer l'ensemble des fonctions f de H (U) telles que f2 appartienne aussi a % (U) Q 4. Donner une fonction non constante appartenant à Î[(U). Le produit de deux fonctions harmoniques est--il une fonction harmonique '? II Exemples de fonctions harmoniques II .A -- On cherche dans cette question à déterminer les fonctions harmoniques non nulles sur [R2 à variables séparables, c'est--à--dire les fonctions f s'écrivant sous la forme f (æ,y) : u(æ)v(y). On se donne donc deux fonctions u et v, de classe 62 sur [R, non identiquement nulles, et on pose V(OEry) EUR [R27 f(OEay) = U(OE)U(y) On suppose que f est harmonique sur [RZ. Q 5. Montrer qu'il existe une constante /\ réelle telle que u et v soient solutions respectives des équations z"+Àz=0 et z"--Àz=0 Q 6. Donner en fonction du signe de À la forme des fonctions harmoniques a variables séparables. II.B -- Soit f une fonction réelle de classe 62 sur R2 \ {(O, O)}. On pose, pour tout (r, (9) EUR [R*+ >< IR, g(r, EUR) = f(r cos(i9), ?" sin(0)) Q 7. Justifier que g est de classe 62 sur [R*+ >< [R. Q 8. Pour tout (7', EUR) EUR [R'k+ >< [R, exprimer %(7', EUR) et %(7',9) en fonction de ?" â--£(r cos(0),rsin(0)) et g--£(r cos(9),rsin(â)) 829 829 Q 9. Exprimer également fi(r, EUR) et fi(r, EUR) en fonction des dérivées partielles premières et secondes 7" de fen (rcos(0),rsin(û)) Q 10. Montrer que f appartient a Î[([R2 \ {(0,0)}) si et seulement si, pour tout (r, 0) EUR [R*+ >< [R, 2 829 829 89 T fi(7',0) + Ê f(r cos(0),rsin(0)) soit indépendante de 0. Q 12. Soient @, b, 73 et @ quatre réels tels que 0 < 7'1 < @. Déterminer une fonction f de classe 62 sur [R2 \ {(0,0)} telle que Af=0 {f(sæy) = a si ll(oe,y)ll = n f(sv.y) = b si ll(sc,y)ll = rz II. C -- Dans cette sous--partie 11.0, on considère deux fonctions de classe 62, u : [R*+ --> [R et v : [R --> [R et on pose V(r,i9) EUR [R*+ >< [R f(7'cos(0),rsin(0)) : u(r)v(0) La fonction f est alors une fonction de classe 82 sur [R2 \ {(0, O)}, dite à variables polaires séparables. Q 13. Montrer que, si f n'est pas identiquement nulle, alors 1) est 27r--périodique. Q 14. Montrer que, si f est harmonique et non identiquement nulle sur [R2 \ {(0, O)}, alors il existe un réel A tel que u soit solution de l'équation différentielle (11.1) 7"22"(7") + rz'(r) -- Àz(r) = 0 (11.1) et 1) soit solution de l'équation différentielle (11.2) z"(0) + Àz(0) = 0 (11.2) II.C.1) On suppose ici que A = 0. Q 15. Quelles sont les solutions 2n--périodiques de (11.2) '? Q 16. Résoudre (11.1) sur [R+*. Q 17. En déduire, dans le cas A = 0, les fonctions harmoniques à variables polaires séparables. II.C.2) On suppose désormais À # 0. Q 18. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (11.2) admette des solutions 27r--périodiques non nulles. Donner ces solutions. Q 19. Résoudre (11.1) sur [R+*. On pourra considérer, en justifiant son existence, une fonction Z de classe 62 sur [R telle que, pour tout 7" > O, z(r) = Z(ln(r)). Q 20. Quelles sont les solutions se prolongeant par continuité en 0 '? III Principe du maximum faible Soit U un ouvert borné non vide de ER" (n 2 2) et f : U --> [R de classe C". Le but de cette partie est de montrer le théorème suivant, connu sous le nom de principe du maximum faible. Si f est une fonction continue sur Ü, de classe 82 et harmonique sur U, alors Voe e U f(x) < sup f(y) yEURôU où ôU désigne la frontière de U. III.A -- Soit f une fonction continue sur Ü. Q 21. Montrer que f admet un maximum en un point 5130 EUR Ü. On suppose de plus que f est de classe 82 sur U et que, pour tout 35 EUR U, A f (a:) > 0. Q 22. Montrer que % EUR ôU et en déduire que V:c E U, f(oe) < sup f(y). yEURôU . 82 On pourra supposer par l'absurde que 560 E U, justifier qu'il existe i E [[1,n]] tel que ô--J2c(oe0) > O, et SC. 2 considérer la fonction 

0 on pose g5(æ) : f(æ) + e||æ||2. Q 23. Montrer que gEUR est une fonction continue sur Ü, de classe 62 sur U, et telle que Voe E U, Ag5(oe) > 0. Q 24. En déduire que Vas E U, f(x) < sup f(y). yEURôU Q 25. Soit f1 et f2 deux fonctions continues sur Ü, de classe 62 et harmoniques sur U. Montrer que si les fonctions f1 et f2 sont égales sur ôU, alors f1 et f2 sont égales sur U. IV Fonctions harmoniques et fonctions développables en série en- tière On dit qu'une fonction f, définie sur D(O,R) C IR2 et à valeurs complexes, se développe en série entière sur D(O, R) s'il existe une suite complexe (an) telle que V(oeiy) EUR D(ÛvR)a f(oevy) =zan(oe+iy)n n=0 Dans toute cette partie, f désigne une fonction se développant en série entière sur D(O, R). IV.A -- Q 26. Montrer que f est de classe 6'1 sur D(O, R) et que ses dérivées partielles se développent en série entière sur D(O, R). Que peut--on en déduire pour la fonction f '? On note u et 0 les parties réelle et imaginaire de f, de sorte que, quel que soit (sc, y) EUR D(O, R), u(oe,y) EUR [Rv U(OEvy) G [R, f(OE,y) : U(OE,y) +iv(æ,y). Q 27. Montrer que u et 1) sont des fonctions harmoniques sur D(O, R). I V.B -- On admet le résultat suivant : une fonction h de D(O, R) dans C se développe en série entière sur 8h 8h D(O, R) si et seulement si h est de classe 81 sur D(O,R) et pour tout (oe,y) EUR D(O,R), ô--(oe,y) : iô--(oe,y). y sc Q 28. Montrer que si f ne s'annule pas sur D(O, R) alors 1 /f se développe en série entière sur D(O, R). Q 29. Montrer que la fonction uv est harmonique sur D(O, R). IV. C -- Soit g une fonction de D(O, R) C [R2 dans [R. On suppose que g est harmonique. Q 30. Montrer que la fonction h définie sur D(O, R) par ôg 89 h : (OE7y> |_) OE(oevy)_iô_y(oe7y) se développe en série entière sur D(O, R). Q 31. Montrer que si g appartient a ?[(D(O, R)) alors il existe une fonction H se développant en série entière sur D(O, R) telle que g est la partie réelle de H. On pourra considérer une série entière primitive de la série entière associée à la fonction h de la question précédente. IV.D -- Q 32. Montrer que pour tout 7' EUR [O,R[, on a f(0 )=2--17T0/flf( rcos(t 7' s1n(t)) Q 33. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques. Q 34. Montrer que V7" EUR [O,R[, |f(0)| < sup |f(rcos(t),rsin(t))|. tEUR[R Q 35. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques. Q 36. Montrer que si | f | admet un maximum en 0, alors f est constante sur D(O, H). Q 37. Montrer le théorème de d'Alembert--Gauss : tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine. On pourra procéder par l'absurde, supposer qu'il existe un polynôme ne s'annulant pas et considérer son inverse. V Résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de [R2 Soit h une fonction de [R dans IR , continue et 27r--périodique sur [R. On cherche a résoudre le problème de Dirichlet sur le disque unité; autrement dit, il s'agit de déterminer, s'il y en a, la ou les fonctions f définies et continues sur D(O, 1) (disque fermé), de classe 62 sur D(O, 1), et telles que Af = 0 sur D(0,1) {VË E [R, f(cos(t),sin(t)) : h(t) Pour cela, on pose, pour tout nombre complexe 2 tel que |z| < 1, 2% 1 \ e" + z Ë/h(t)5"(t, z) dt ou ?(t,z) _ Re (ei, _ Z 0 Q(Z) : ) (Re désigne la partie réelle) eü +--Z e" -- z développement en série entière. En déduire que la fonction (35, y) l--> g(oe + iy) est une fonction harmonique sur D(O, 1). Q 38. Montrer que la fonction 2 l--> est développable en série entière pour |z| < 1 et calculer son 1 Q 39. Montrer que, pour tout nombre complexe 2 tel que |z| < 1, 2-- / ?(t, 2) dt : 1. 7r @+2W Q 40. Soit 90 EUR IR. Montrer que, pour tout nombre complexe 2 tel que |z| < 1, g(z =2--F1/(t)h(t Q 41. Montrer que, pour tout 7" EUR [0,1[ et tous réels t et 0, 1--7"2 19 _ ?(t,re )_1-- 2rcos(t -- @) +r2 fi+2î*5 Q 42. Montrer que, pour tout 6 EUR ]O,7r[ et tout réel O. z--àeW W+ô Q 43. En utilisant le théorème de Heine, montrer que, pour tout 5 > 0, il existe 6 > 0 tel que, pour tout nombre réel cp et tout nombre complexe z vérifiant |z| < 1, SUplh(t )l "277 5 |g(z)--h(

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 Centrale Maths 2 MP 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Angèle Niclas (ENS Lyon) ; il a été relu par Guillaume Batog (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université). Ce sujet d'analyse propose d'étudier les fonctions harmoniques, qui sont très utilisées en analyse complexe, et leurs liens avec les séries entières. Il propose également une application de ces résultats à la théorie des équations aux dérivées partielles avec la résolution du problème de Dirichlet sur le disque unité de R2 . Les deux premières parties sont largement liées, tandis que les parties trois et quatre sont indépendantes des deux premières. La cinquième utilise des résultats issus de l'ensemble du sujet et permet une synthèse du problème. · Dans la première partie, on se familiarise avec les fonctions harmoniques et on démontre quelques propriétés indispensables pour la suite du problème. · Dans la deuxième partie, on cherche à expliciter la forme des fonctions harmoniques dans le cas où la fonction est à variables séparables puis radiales. En particulier, la formule du laplacien est démontrée en coordonnées polaires. · Dans la troisième partie, on démontre le principe du maximum faible avec un raisonnement par l'absurde. · Dans la quatrième partie, on se focalise sur le lien important qui existe entre les fonctions harmoniques et les fonctions développables en série entière. Les résultats qui jalonnent cette partie permettent en particulier de démontrer le célèbre théorème de d'Alembert-Gauss. · La dernière partie utilise les précédentes pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution au problème de Dirichlet sur le disque unité de R2 : étant donné une fonction f continue définie sur le cercle unité, peut-on trouver une fonction harmonique définie sur le disque unité fermé qui coïncide avec f sur le cercle ? Ce problème nécessite des connaissances solides en calcul différentiel. On manipule de nombreuses dérivées partielles et les calculs peuvent être longs et fastidieux. La connaissance des dérivées partielles en coordonnées polaires est un avantage incontestable puisqu'elle permet la vérification des calculs effectués. Le sujet fait aussi appel à des connaissances en résolution d'équations différentielles du premier et du deuxième ordre, à de nombreuses reprises. La dernière partie nécessite également la maîtrise des théorèmes liés à la régularité des intégrales à paramètre et un certain recul sur le programme de l'année de MP. La résolution de ce sujet est particulièrement intéressante puisqu'elle permet de démontrer des grands théorèmes d'analyse fonctionnelle à partir d'outils extraits du programme de prépa. Indications Partie I 2 Raisonner par récurrence sur l'ordre des dérivées partielles et penser à utiliser le théorème de Schwarz. 3 Développer (f 2 ) et utiliser le fait qu'une somme d'entiers positifs est nulle seulement si chaque entier est nul. 4 Chercher une fonction polynomiale très simple, puis utiliser la question 3. Partie II 5 Calculer les dérivées partielles de f en fonction de u et v et évaluer cette expression en des points où u et/ou v ne sont pas nulles. 8 Utiliser la règle de la chaîne. 9 Dériver les expressions de la question 8 et utiliser la règle de la chaîne. 10 Utiliser les dérivées calculées en question 9. 11 Supprimer la dépendance en dans le résultat de la question 10 puis chercher l'expression de g/r avant d'en calculer la primitive. 12 Chercher une fonction radiale et utiliser la question 11 pour se ramener à la résolution d'un système. 13 Chercher un r tel que u(r) 6= 0 et obtenir une expression de v en fonction de f et u. 14 Utiliser la question 10 et calculer les dérivées partielles de g en fonction de u et v puis évaluer cette expression en des points où u et/ou v ne sont pas nulles. 16 Trouver l'expression de z puis calculer sa primitive. 17 Utiliser les questions 15 et 16. 18 Séparer le cas > 0 et < 0 et chercher les solutions 2-périodiques. 19 Chercher l'équation vérifiée par Z et la résoudre. 20 Faire tendre r vers 0 dans les expressions de la question 18. Partie III 21 Utiliser le fait que U soit compact. 22 Dresser un tableau de variations de et chercher une contradiction. 24 Utiliser la question 23 sur g et faire tendre vers 0. 25 Appliquer la question 24 à f1 - f2 et f2 - f1 . Partie IV 26 Utiliser les théorèmes de dérivation sous le signe somme pour obtenir les dérivées partielles de f . 27 Comparer f /x et f /y et déduire des relations entre les dérivées partielles de u et v. 31 Exprimer H/x en fonction de g et de Re (H). 32 Remplacer f par son expression et utiliser un théorème d'inversion de somme et d'intégrale. 34 Utiliser la question 32 et l'inégalité triangulaire. 33 Conclure grâce aux deux questions précédentes. 36 Utiliser la question 32 et le fait que |f | admette un maximum en 0 pour obtenir une intégrale d'une fonction positive égale à 0. 37 Appliquer les questions 28 et 34 à l'inverse du polynôme considéré, puis faire tendre r vers +. Partie V 38 Utiliser le développement en série entière de z 7- 1/(1 - z) et appliquer un théorème d'interversion de série et d'intégrale. 39 Choisir h = 1 dans la question 38. 40 Remarquer que h et P sont 2-périodiques. 42 Utiliser une suite (zn )nN qui tend vers e i et appliquer un théorème d'inversion limite intégrale. 43 Utiliser les questions 39 et 40 et séparer l'intégrale en trois parties. 44 Utiliser les questions 42 et 43 pour montrer que g est solution du problème, puis la question 25 pour l'unicité. I. Fonctions harmoniques : quelques propriétés 1 Soient f et g deux fonctions de H(U) et R. Utilisons la caractérisation des sous-espaces vectoriels : · 0 H(U) car (x 7- 0) C 2 (U, R) et (x 7- 0) = 0. · Si on pose h = f + g, h C 2 (U, R) et par linéarité de la dérivation, 2 n n 2f n 2g n 2h P P P P f 2g h = = + = + = f + g = 0 2 2 2 2 2 xi i=1 xi i=1 xi i=1 xi i=1 xi On en déduit que h H(U). H(U) est un sous-espace vectoriel de C 2 (U, R). Ainsi, 2 Montrons par récurrence que la proposition kf H(U) » xi1 · · · xik « (i1 , i2 , . . . , ik ) [[ 1 ; n ]]k P(k) : est vraie pour tout k N. · P(0) est vraie car f H(U). · P(k) = P(k + 1) : soit k N tel que P(k) soit vraie. Choisissons k + 1 indices i1 , i2 , . . . , ik+1 de [[ 1 ; n ]] et notons g= kf xi2 · · · xik+1 La propriété P(k) assure que g H(U). On a alors g k+1 f = xi1 · · · xik+1 xi1 Comme f C (U, R), ses dérivées (k + 1)-ième sont de classe C 2 et g vérifie donc les hypothèses du théorème de Schwarz généralisé. On peut ainsi calculer n 2 P k+1 f g = 2 xi1 · · · xik+1 xi1 i=1 xi 2 n P g = (théorème de Schwarz) xi 2 i=1 xi1 k+1 f xi1 · · · xik+1 On en déduit que n 2g P 2 i=1 xi = xi1 = (0) = 0 xi1 (linéarité de ) xi (g H(U)) k+1 f H(U). P(k + 1) est donc vraie. xi1 · · · xik+1 · Conclusion : Toute dérivée partielle à tout ordre de f H(U) C (U, R) appartient à H(U).