Centrale Maths 2 MP 2017

Thème de l'épreuve Variables aléatoires entières décomposables et infiniment divisibles
Principaux outils utilisés polynômes, somme de variables aléatoires, fonctions génératrices, lois usuelles, événements presque sûrs
Mots clefs loi de poisson, variable aléatoire infiniment divisible, variable aléatoire décomposable

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


(, '» Mathématiques 2 l\ %. Fl _/ MPO tnncuuns EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Ce problème a pour objet la représentation de la loi d'une variable aléatoire comme loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes. On s'intéresse d'abord au cas d'une somme de deux variables à valeurs entières, puis au cas de variables aléatoires dont la loi est celle de la somme d'un nombre quelconque de variables indépendantes de même loi. Notations Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont discrètes. On note [P X la loi d'une variable aléatoire X. Si X et X ' sont deux variables aléatoires définies sur les espaces probabilisés respectifs (Q, /l, IP) et (O', A', P'), la notation X ... X ' signifie que X et X ' ont même loi, c'est--à--dire [PX : [PX,. Pour toute variable aléatoire X à valeurs dans N, on note G X sa fonction génératrice, définie, pour t E [R, par GX(t) : Î r(x : n)t" n=0 lorsque la série converge. On pourra si nécessaire utiliser librement le résultat suivant. Si m E N* et si Æ est une loi de probabilité sur un espace probabilisé 91, alors il existe des variables aléatoires X 1, ...,Xm, définies sur un espace probabilisé Q..., mutuellement indépendantes et de loi Æ . Si a et b sont deux entiers tels que a < b, on désigne par [[a, b]] l'ensemble des entiers le tels que a EUR [EUR < b. I Variables aléatoires entières décomposables Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On appelle décomposition de X toute relation de la forme X rv Y + Z où Yet Z sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N, définies sur un espace probabilisé pouvant être distinct de celui sur lequel X est définie. On dit que X est décomposable si X admet une décomposition où Yet Z ne sont pas constantes presque sûrement. I. A + Premiers eæemples I.A.1) Soit X et X ' deux variables aléatoires à valeurs dans N. Justifier que X ... X ' si et seulement si I.A.2) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N admettant une décomposition X ... Y + Z, où Yet Z sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N. Quelle relation lie G X, GY et G Z '? I.A.3) Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p) où n 2 1 et p EUR ]0,1l. Montrer que X est décomposable si et seulement si n 2 2. I.A.4) Soit A(T) EUR [HT] le polynôme : A(T) : T4 + 2T + 1. a) Soit U(T) et V(T) deux polynômes à coefficients réels positifs ou nuls tels que U(T)V(T) : A(T). Montrer que l'un des polynômes U (T) ou V(T) est constant. On pourra distinguer les cas selon les valeurs des degrés de U(T) et V(T). b ) En déduire qu'il existe une variable aléatoire décomposable X telle que X 2 ne soit pas décomposable. On pourra considérer le polynôme %A(T). LB + Variables uniformes Dans cette sous--partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et X est une variable aléatoire à valeurs dans N, définie sur un espace probabilisé (Q, fl, [P) et suivant la loi uniforme sur [[0, n -- 1]] : iP(X:k)= % sikEUR [[O,n--1]] et P(X:k):0sinon I.B.l) Variables uniformes décomposables On suppose dans cette question que 11 n'est pas premier : il existe des entiers a et b, supérieurs ou égaux à 2, tels que n : ab. 2017--03--29 09:37:28 Page 1/4 (°°) BY--NC-SA a ) Montrer qu'il existe un unique couple de variables aléatoires entières (Q, R) définies sur Q telles que X:aQ+R et VwEUR Q, R(w) EUR [[0,a--1]] On pourra considérer une division euclidienne. b) Préciser la loi de (Q, B), puis les lois de Q et de R. 6) Montrer que X est décomposable. En déduire une expression de G X comme produit de deux polynômes non constants que l'on précisera. I.B.2) Variables uniformes non décomposables On suppose dans cette question que n est un nombre premier et on établit que X n'est pas décomposable. a ) Montrer qu'il suffit de prouver le résultat suivant : si U et Vsont des polynômes de Ü?{T] unitaires à coefficients dans IR+ tels que U(T)V(T) : 1 + T + + T"*1, alors l'un des deux polynômes U ou Vest constant. Dans ce qui suit, on fixe des polynômes U et Vde iR{T] unitaires à coefficients dans [R+ tels que U(T)V(T) : 1 + T + + T"*1 On pose r : degU et s : degVet on suppose par l'absurde que T et s sont non nuls. 1 1 b) Montrer que U(T) : TTU(Î) et V(T) : TSV(Î)' On note alors U(T) : 1 +ulT + + u,Î1TT*1 + T'" et V(T) : 1 +vlT + + US+1TY1 + T5 avec r g 5 (quitte à échanger les rôles de U et V). 6) Montrer que VlEUR EUR [[1,r]], ukvk : 0. d) En déduire que Vk EUR [[1,r]], uk EUR {0,1} et v,, EUR {0,1}. e) Conclure. On pourra d'abord montrer que tous les coefficients de Vsont à valeurs dans {0,1}. II Variables infiniment divisibles : exemples Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [R. On dit que X est infiniment divisible si, pour tout m EUR N*, il existe des variables aléatoires réelles discrètes X... 1, ..., X,,, ,,, mutuellement indépendantes, de même loi, et vérifiant X ... X,,,_Ï1 + + Xm,m' Dans cette définition, l'espace probabilisé Q,,, sur lequel sont définies les X...,- peut dépendre de m. II.A + Variables bornées II.A.1) On suppose que X est constante égale a a EUR [R. Montrer que X est infiniment divisible. L'objectif de cette sous--partie est de montrer que toute variable aléatoire bornée infiniment divisible est presque sûrement constante. Soit X une variable aléatoire bornée infiniment divisible définie sur un espace probabilisé (Q,/l, lP). On note M : supQ |X|, de sorte que |X(w)| { M pour tout au EUR Q. II.A.2) Soit n EUR N* et soit X1,...,X,, des variables aléatoires indépendantes et de même loi, et telles que X1 + + X,, ait même loi que X. M M a) Pour tout i EUR [[1,n]], montrer que X,-- < -- presque sûrement, puis |X,| g -- presque sûrement. n n M2 b) En déduire que V(X ) < --, où V(X ) désigne la variance de X. n II.A.3) Conclure que X est presque sûrement constante. II.B + Étude du caractère infiniment divisible de quelques variables entières II.B.1) Une variable binomiale est--elle infiniment divisible '? II.B.2) Soit n un entier naturel non nul et soit X 1, ..., X,, des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs )\1, ..., À,,. Montrer que X1 + + X,, suit une loi de Poisson de paramètre À1 + + À,,. II.B.3) Soit X une variable aléatoire de Poisson. Montrer que X est infiniment divisible. II.B.4) Soit r un entier naturel non nul et soit X 1, ...,X, des variables aléatoires de Poisson mutuellement , indépendantes. Montrer que 2 iX,-- est une variable aléatoire infiniment divisible. i=1 2017-03-29 09:37:28 Page 2/4 (66 BY--NC-SA II.C * Séries de variables aléatoires à valeurs entières II.C.1) Soit X et Ydeux variables aléatoires définies sur (Q, A, P) et à valeurs dans N. a ) Montrer que si A et B sont des événements de ./l , et si A et Ë sont leurs événements contraires respectifs, alors |[P(A) -- [P(B)| g IP(A 0 É) + |POEn B) (>) En déduire que, pour tout t E {--1, 1], |GX(t) -- GY{t)| { 2[P(X # Y). II.C.2) Soit (U,-)OEW une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans Ù\I telle que la série des P(U,-- =,£ 0) soit convergente. a) Soit Zn : {w EUR Q | Ei ; n, U,(w) # 0}. Montrer que (Zn) est une suite décroissante d'événements et que lim P(Zn) : 0. b) En déduire que l'ensemble {i EUR N* | U,-- 3£ O} est presque sûrement fini. TL*>OO (:) On pose S,, : ZÎ=1 U,- et S' : EÎîl U,. Justifier que S' est définie presque sûrement. Montrer que G Sn converge uniformément vers G S sur {--1, l]. II.C.3) Soit (A,--)OEW une suite de réels positifs ou nuls. On suppose que la série 2 À,-- est convergente, et on note À : Zî1 À,-. Soit (X ,)OEW une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout i, X,-- suive une loi de Poisson de paramètre À,. On convient que, si À,-- : 0, X,- est la variable aléatoire nulle. a) Montrer que la série Z IP(X, % O) est convergente. (>) Montrer que la série ZZ>1 X,-- est presque sûrement convergente et que sa somme (définie presque sûrement) suit une loi de Poisson de paramètre À. 0) Montrer que la série 2121 iX,- est presque sûrement convergente et que sa somme X : ZÎî1 iX, définit une variable aléatoire infiniment divisible. III Variables entières infiniment divisibles : étude générale III.A * Série entière auæilz'aire Dans cette sous--partie, X est une variable aléatoire à valeurs dans Ù\l telle que [P(X : O) > O. III.A.1) Montrer qu'il existe une unique suite réelle (A,--),EW telle que, pour tout [EUR EUR IN* k kIP(X : k:) : ZjÀjü>(X : k --j) j=1 III.A.2) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer kf1 kil |Àk|fl°(X : 0) < 1=(x : k) + Z |/\j|lP(X : k --j) g (1 _ P(X : O)) (1+ 2 |A,|) 1 k III.A.3) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer: 1 + ÿî=; |)'jl { IP(X : 0)"" III.A.4) Montrer que la série entière Z Àktk a un rayon de convergence p(X ) supérieur ou égal à IP(X : 0). Pour tout réel t de ]--p(X),p(X)L on pose HX(t) : ln(lP(X : O)) + Î Àktk k=l À toute variable aléatoire X à valeurs dans N et telle que [P(X : O) > 0, on associe ainsi une série entière H X. Dans la suite du problème, H X sera appelée série entière auxiliaire de X. III.A.5) Pour t E ]--p(X),p(X)L montrer G'X(t) : H&(t)GX(t), puis GX(t) : exp(HX(t)). III.A.6) Soit X et Ydeux variables aléatoires indépendantes, définies sur l'espace Q et à valeurs dans N, et soit H X et HY leurs séries entières auxiliaires. Montrer H X +Y(t) : H X(t) + HY(t) pour tout réel t vérifiant ltl < mîn(p(X),p(Yl)- 2017-03-29 09:37:28 Page 3/4 GC) BY--NC-SA II.B -- Variables aléatoires entières À-positives Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IN telle que U°(X : O) > O, et soit H X sa série entière auxiliaire : HX(t) : ln([P(X : O)) + Z Àktk k=l On dira que X est À--positive si Àk ; 0 pour tout k 2 1. On suppose dans cette sous--partie que X est À--positive. P(X : k) [P(X : O) III.B.2) Montrer que, pour tout t EUR {--1,1], GX(t) : exp(Hx(t)) et que ZZ; Àk : --ln(ñ°(X : O)). III.B.3) Soit (Xl) la suite de variables aléatoires définie au ll.C.3. Montrer que X ... Eîîl iX.--. III.B.1) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer que Àk < . En déduire que la série Z Àk converge. III.C -- Caractérisation des variables entières infiniment divisibles Soit X une variable aléatoire infiniment divisible à valeurs dans N et telle que [P(X : O) > O. Le but de cette sous--partie est de montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes. (i) X est infiniment divisible ; (ii) X est À--positive ; (iii) il existe une suite (X.-)Z>1 de variables de Poisson indépendantes, comme au ll.C.3, telle que X ... ËÏ1iXi' Dans les questions III.C.1 a III.C/1, on suppose que X est une variable aléatoire infiniment divisible à valeurs dans N et telle que Û°(X : O) > 0. Pour tout n EUR D\l*, il existe donc n variables aléatoires indépendantes Xn,1a ..., X..." de même loi telles que la variable aléatoire X...1 + + X..." suive la loi de X. III.C.1) a) Pour tout n EUR N'", montrer que X...1 est presque sûrement positive ou nulle. b) Pour tout n EUR N'", montrer que U°(Xm1 : O) > 0. c) Montrer que les variables aléatoires X...- sont presque sûrement à valeurs dans D\l. III.C.2) (1) Montrer lim IP(X...1 : O) = 1. b) En déduire que, pour tout i EUR N*, lim 7L*>OO [P(X...l : i) = @. III.C.3) Soit H X la série entière auxiliaire de X , comme elle est définie à la question lll.A.4, et soit p(X ) son rayon de convergence. 'Ilä>OO Pour tout n EUR Ù\l*, soit H" la série entière auxiliaire de Xn,l' a) Pour tout n EUR N'", montrer an : HX. b) En déduire, pour tous n et [EUR dans N* le j=1 III.C.4) Pour tout [EUR EUR N*, montrer que la suite (nü°(X...1 : k)) À--positive. III.C.5) Conclusion (1) Montrer le résultat annoncé au début de cette sous--partie III.C. GN converge vers Àk. En déduire que X est " * b) Comment adapter ce résultat aux variables aléatoires à valeurs dans IN* '? 6) Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique _9(p), où ]) EUR ]0, ll : VlEUR EUR Ù\l* [P(X : k) : (l --p)kÿlp La variable aléatoire X est--elle infiniment divisible '? oooFlNooo 2017.03-29 09:37:28 Page 4/4 GC) BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Maths 2 MP 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alban Levy (docteur en mathématiques) ; il a été relu par Yvon Vignaud (professeur en CPGE) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). Ce problème d'analyse propose l'étude de la représentation de la loi d'une variable aléatoire comme loi d'une somme de variables aléatoires discrètes indépendantes. En particulier, l'égalité des fonctions génératrices de deux variables aléatoires discrètes étant équivalente à l'égalité de leurs lois, l'étude des distributions de probabilité est souvent ramenée à une étude des fonctions génératrices. La première partie est largement indépendante des deux autres. · Dans la première partie, la décomposition étudiée est une somme de deux variables à valeurs entières. Quelques lois classiques y sont vues, comme les lois binomiale et uniforme. Les polynômes et fonctions génératrices y jouent un rôle important. · Dans la deuxième partie, on étudie quelques exemples de variables aléatoires à valeurs dans N ayant la propriété d'être infiniment divisibles, c'est-à-dire s'écrivant comme une somme de m variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi, pour m N quelconque. Les variables aléatoires proposées sont bornées ou de Poisson. · La troisième partie étudie la cas général des variables infiniment divisibles. Le résultat principal est la caractérisation de ces variables de deux façons. Il s'agit d'un sujet ambitieux qui navigue astucieusement entre algèbre et analyse, utilisant comme ligne directrice les lois de probabilités classiques mais incluant de nombreux raisonnements autour des polynômes, séries numériques et séries entières. Outre une bonne maîtrise des probabilités au programme de MP, il faut donc être à l'aise avec une importante partie du programme d'analyse. On trouvera par exemple une équation différentielle, des produits infinis ou un polynôme cyclotomique. On démontre aussi le lemme de Borel-Cantelli. Bien que les trois derniers ne soient pas au programme, il est utile de les avoir déjà étudiés. La résolution de ce sujet est gratifiante car elle tisse des liens entre des concepts mathématiques habituellement éloignés, requérant parfois des raisonnements purement algébriques. Indications Partie I I.A.1 Calculer les dérivées n-ièmes de GX en 0 pour exprimer la loi de X. I.A.2 Exprimer GX comme une espérance pour utiliser l'indépendance de Y et Z. I.A.3 Séparer les cas n = 1 (par l'absurde) et n > 2 (somme de binomiales). I.A.4.a Supposer que le degré de U vaut 1 ou 2 et déterminer les coefficients de U. I.A.4.b Voir que A(T)/4 est la fonction génératrice du carré d'une variable aléatoire de loi bien connue. I.B.1.a Utiliser l'existence et l'unicité de la division euclidienne. I.B.1.b Obtenir la loi du couple (Q, R) par unicité d'une division euclidienne puis sommer pour obtenir les lois marginales. I.B.1.c Montrer l'indépendance de Q et R en tant que variables aléatoires. I.B.2.a Raisonner par l'absurde. I.B.2.b Décomposer U en produit de polynômes de degré 1. I.B.2.c Écrire la dérivée r-ième de UV en 0 de deux façons. I.B.2.d Procéder par récurrence sur k allant de 1 à r, en utilisant la dérivée (k + 1)ième de UV en 0 pour montrer que les propriétés ui {0, 1} et vi {0, 1} sont vraies pour i [[ 1 ; k + 1 ]]. I.B.2.e Regarder (UV)(1) droit dans les yeux : un produit d'entiers se cache dans ce terme. Partie II II.A.1 Utiliser le résultat admis dans le préambule pour avoir m copies de X/m. II.A.2.a Établir une première inégalité entre P(X1 > M/n)n et P(X > M) et une autre entre P(|X1 | > M/n) et P(X1 > M/n) + P(X1 < -M/n). 2 II.A.2.b Majorer V(X1 ) par E[(X1 ) ]. II.A.3 Montrer que V(X) = 0. II.B.1 Se ramener à une variable aléatoire bornée. II.B.2 Se référer à la question où a été établi le résultat sur la fonction génératrice. II.B.3 Sommer m variables aléatoires de lois judicieusement choisies. II.B.4 Décomposer chacun des r termes Xi en m variables aléatoire indépendantes, et s'assurer que ces rm variables aléatoires peuvent être choisies mutuellement indépendantes. II.C.1.a Partir de A = (A B) (A B) et aller vers une majoration de P(A B) par P(A) et P(B). II.C.1.b Utiliser les définitions des fonctions génératrices puis majorer en utilisant la question II.C.1.a. II.C.2.a Majorer P(Zn ) par le reste d'une série convergente faisant intervenir les Ui . II.C.2.b Relier l'ensemble {i N |Ui 6= 0} aux variables Zm pour m N. II.C.2.c Utiliser les questions II.C.2.b et II.C.1.b et relier l'événement (S 6= Sn ) à Zn+1 . II.C.3.a Noter que P(Xi 6= 0) = 1 - e -i puis utiliser une comparaison de séries. II.C.3.b Étudier la limite de la suite de fonctions génératrices GX1 +···+Xn puis conclure par unicité de la limite. II.C.3.c Vérifier que les hypothèses de la question II.C.2 s'appliquent puis utiliser le résultat de la question II.B.4. Partie III III.A.1 Procéder par récurrence sur k pour montrer l'existence et l'unicité de la famille (i )i=1,...,k . III.A.2 Majorer certaines probabilités en jeu par P(X > 1). III.A.3 Procéder par récurrence sur k N . III.A.4.a Invoquer la règle de d'Alembert. III.A.5 Utiliser un produit de Cauchy puis le théorème de Cauchy-Lipschitz. III.B.1 Se servir de la formule construisant 1 , . . . , k . III.B.2 Prouver la convergence normale de la série définissant HX sur [ -1 ; 1 ]. P III.B.3 Montrer l'égalité des fonctions génératrices de X et de la somme de iXi . III.C.1.a Il suffit que tous les Xn,i pour n N et i [[ 1 ; n ]] soient négatifs pour que X le soit. III.C.1.b Calculer la valeur de P(Xn,1 = 0). III.C.1.c Si la variable X1 possède une valeur non entière et que les autres variables Xj pour j > 2 sont nulles, alors la variable X n'est pas entière. III.C.2.a On connaît P(Xn,1 = 0). III.C.3.b Identifier les coefficients des deux séries entières définissant nHn et HX . III.C.4 Utiliser les questions III.C.2.a et b. III.C.5.a Rechercher trois implications dans les questions précédentes. III.C.5.b Se servir de X - mX où mX est le minimum presque sûr de X. III.C.5.c Calculer explicitement la famille (k )kN . I. Variables aléatoires entières décomposables I.A.1 Si X X , alors pour tout n N, P(X = n) = P(X = n) d'où l'égalité de chaque terme général des séries entières définissant, pour tout t R, GX (t) et GX (t). Ainsi, leurs sommes sont égales sur leur domaine de définition. Réciproquement, supposons que GX = GX . Les coefficients de la série entière définissant GX étant des probabilités, donc compris entre 0 et 1, par comparaison de séries à termes P positifs, cette série a un rayon de convergence supérieur ou égal à celui de la série tn , c'est-à-dire 1. La fonction GX est de plus de classe C au voisinage de 0 et n N GX (n) (0) = n! P(X = n) et de même pour GX . L'égalité de GX et de GX entraînant l'égalité de leurs dérivées en zéro, on en déduit que X X GX = GX I.A.2 Fixons t R tel que la somme définissant GX (t) soit convergente, ce qui inclut l'intervalle ] -1 ; 1 [ d'après la question I.A.1. Réécrivons alors GX (t) comme une espérance grâce au théorème de transfert : P + GX (t) = P(X = n)tn = E[tX ] n=0 La décomposition X Y + Z donne de plus l'égalité E[tX ] = E[tY+Z ] = E[tY tZ ]. Enfin, l'indépendance de Y et Z entraînant celle de tY et tZ , on peut écrire E[tY tZ ] = E[tY ] E[tZ ] = GY (t) GZ (t) en reconnaissant l'expression de GY et GZ . Ainsi, Pour Y et Z indépendants, l'égalité GY+Z = GY GZ est vraie sur le domaine de définition commun à GY et GZ . En particulier, GX = GY GZ sur ] -1 ; 1 [. I.A.3 · Si n = 1, X B(n, p) suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Montrons par l'absurde que X n'est pas décomposable. Supposons donc que X Y + Z avec Y et Z indépendants, à valeurs dans N et presque sûrement non constantes. Comme (Y > 1) (Z > 1) (Y + Z > 2) et P(Y > 1, Z > 1) = P(Y > 1) P(Z > 1) par indépendance de Y et Z, on a P(X > 2) = P(Y + Z > 2) > P(Y > 1, Z > 1) = P(Y > 1) P(Z > 1) Comme Y est à valeurs dans N et non constante presque sûrement, P(Y = 0) < 1. Il s'ensuit par additivité de P que P(Y > 1) = P(Y N) - P(Y = 0) > 0, et de même P(Z > 1) > 0. Or, P(X > 2) = 0 car X suit une loi de Bernoulli. On obtient alors la contradiction suivante montrant finalement que X n'est pas décomposable : 0 = P(X > 2) > P(Y > 1) P(Z > 1) > 0 · Si n > 2, X suit une loi binomiale B(n, p). Le résultat donné par l'énoncé garantit l'existence de n variables aléatoires indépendantes X1 , . . . , Xn suivant une loi de Bernoulli de paramètre p ] 0 ; 1 [. Vérifions que Y = X1 et Z = X2 + · · · + Xn forment une décomposition de X. Leur indépendance est garantie par construction car les X1 , . . . , Xn sont mutuellement indépendants. De plus, la somme de n variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p suit une loi binomiale