Centrale Maths 2 MP 2017

Thème de l'épreuve Variables aléatoires entières décomposables et infiniment divisibles
Principaux outils utilisés polynômes, somme de variables aléatoires, fonctions génératrices, lois usuelles, événements presque sûrs
Mots clefs loi de poisson, variable aléatoire infiniment divisible, variable aléatoire décomposable

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, '» Mathématiques 2 l\

%. Fl
_/ MPO

tnncuuns EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Ce problème a pour objet la représentation de la loi d'une variable aléatoire 
comme loi d'une somme de variables
aléatoires indépendantes.

On s'intéresse d'abord au cas d'une somme de deux variables à valeurs entières, 
puis au cas de variables aléatoires
dont la loi est celle de la somme d'un nombre quelconque de variables 
indépendantes de même loi.
Notations

Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont discrètes. On 
note [P X la loi d'une variable
aléatoire X.

Si X et X ' sont deux variables aléatoires définies sur les espaces 
probabilisés respectifs (Q, /l, IP) et (O', A', P'),
la notation X ... X ' signifie que X et X ' ont même loi, c'est--à--dire [PX : 
[PX,.
Pour toute variable aléatoire X à valeurs dans N, on note G X sa fonction 
génératrice, définie, pour t E [R, par

GX(t) : Î r(x : n)t"
n=0

lorsque la série converge.
On pourra si nécessaire utiliser librement le résultat suivant.

Si m E N* et si Æ est une loi de probabilité sur un espace probabilisé 91, 
alors il existe
des variables aléatoires X 1, ...,Xm, définies sur un espace probabilisé Q..., 
mutuellement
indépendantes et de loi Æ .

Si a et b sont deux entiers tels que a < b, on désigne par [[a, b]] l'ensemble 
des entiers le tels que a EUR [EUR < b.

I Variables aléatoires entières décomposables

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On appelle décomposition de X 
toute relation de la forme
X rv Y + Z où Yet Z sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans 
N, définies sur un espace
probabilisé pouvant être distinct de celui sur lequel X est définie.

On dit que X est décomposable si X admet une décomposition où Yet Z ne sont pas 
constantes presque sûrement.

I. A + Premiers eæemples

I.A.1) Soit X et X ' deux variables aléatoires à valeurs dans N. Justifier que 
X ... X ' si et seulement si

I.A.2) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N admettant une 
décomposition X ... Y + Z, où Yet Z
sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N. Quelle relation 
lie G X, GY et G Z '?

I.A.3) Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p) où n 2 1 
et p EUR ]0,1l. Montrer que X
est décomposable si et seulement si n 2 2.
I.A.4) Soit A(T) EUR [HT] le polynôme : A(T) : T4 + 2T + 1.
a) Soit U(T) et V(T) deux polynômes à coefficients réels positifs ou nuls tels 
que U(T)V(T) : A(T). Montrer
que l'un des polynômes U (T) ou V(T) est constant.

On pourra distinguer les cas selon les valeurs des degrés de U(T) et V(T).
b ) En déduire qu'il existe une variable aléatoire décomposable X telle que X 2 
ne soit pas décomposable.

On pourra considérer le polynôme %A(T).

LB + Variables uniformes

Dans cette sous--partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et X est 
une variable aléatoire à valeurs
dans N, définie sur un espace probabilisé (Q, fl, [P) et suivant la loi 
uniforme sur [[0, n -- 1]] :

iP(X:k)= % sikEUR [[O,n--1]] et P(X:k):0sinon

I.B.l) Variables uniformes décomposables
On suppose dans cette question que 11 n'est pas premier : il existe des entiers 
a et b, supérieurs ou égaux à 2,
tels que n : ab.

2017--03--29 09:37:28 Page 1/4 (°°) BY--NC-SA

a ) Montrer qu'il existe un unique couple de variables aléatoires entières (Q, 
R) définies sur Q telles que
X:aQ+R et VwEUR Q, R(w) EUR [[0,a--1]]

On pourra considérer une division euclidienne.
b) Préciser la loi de (Q, B), puis les lois de Q et de R.

6) Montrer que X est décomposable. En déduire une expression de G X comme 
produit de deux polynômes non
constants que l'on précisera.

I.B.2) Variables uniformes non décomposables
On suppose dans cette question que n est un nombre premier et on établit que X 
n'est pas décomposable.

a ) Montrer qu'il suffit de prouver le résultat suivant : si U et Vsont des 
polynômes de Ü?{T] unitaires à coefficients
dans IR+ tels que U(T)V(T) : 1 + T + + T"*1, alors l'un des deux polynômes U ou 
Vest constant.

Dans ce qui suit, on fixe des polynômes U et Vde iR{T] unitaires à coefficients 
dans [R+ tels que
U(T)V(T) : 1 + T + + T"*1

On pose r : degU et s : degVet on suppose par l'absurde que T et s sont non 
nuls.
1 1

b) Montrer que U(T) : TTU(Î) et V(T) : TSV(Î)'
On note alors U(T) : 1 +ulT + + u,Î1TT*1 + T'" et V(T) : 1 +vlT + + US+1TY1 + 
T5 avec r g 5 (quitte
à échanger les rôles de U et V).
6) Montrer que VlEUR EUR [[1,r]], ukvk : 0.
d) En déduire que Vk EUR [[1,r]], uk EUR {0,1} et v,, EUR {0,1}.
e) Conclure.

On pourra d'abord montrer que tous les coefficients de Vsont à valeurs dans 
{0,1}.

II Variables infiniment divisibles : exemples

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [R. On dit que X est 
infiniment divisible si, pour tout

m EUR N*, il existe des variables aléatoires réelles discrètes X... 1, ..., 
X,,, ,,, mutuellement indépendantes, de même

loi, et vérifiant X ... X,,,_Ï1 + + Xm,m' Dans cette définition, l'espace 
probabilisé Q,,, sur lequel sont définies
les X...,- peut dépendre de m.

II.A + Variables bornées

II.A.1) On suppose que X est constante égale a a EUR [R. Montrer que X est 
infiniment divisible.

L'objectif de cette sous--partie est de montrer que toute variable aléatoire 
bornée infiniment divisible est presque
sûrement constante.

Soit X une variable aléatoire bornée infiniment divisible définie sur un espace 
probabilisé (Q,/l, lP). On note
M : supQ |X|, de sorte que |X(w)| { M pour tout au EUR Q.

II.A.2) Soit n EUR N* et soit X1,...,X,, des variables aléatoires indépendantes 
et de même loi, et telles que
X1 + + X,, ait même loi que X.

M M
a) Pour tout i EUR [[1,n]], montrer que X,-- < -- presque sûrement, puis |X,| g 
-- presque sûrement.
n n

M2
b) En déduire que V(X ) < --, où V(X ) désigne la variance de X.
n

II.A.3) Conclure que X est presque sûrement constante.

II.B + Étude du caractère infiniment divisible de quelques variables entières
II.B.1) Une variable binomiale est--elle infiniment divisible '?

II.B.2) Soit n un entier naturel non nul et soit X 1, ..., X,, des variables 
aléatoires mutuellement indépendantes
suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs )\1, ..., À,,.

Montrer que X1 + + X,, suit une loi de Poisson de paramètre À1 + + À,,.
II.B.3) Soit X une variable aléatoire de Poisson. Montrer que X est infiniment 
divisible.
II.B.4) Soit r un entier naturel non nul et soit X 1, ...,X, des variables 
aléatoires de Poisson mutuellement

,
indépendantes. Montrer que 2 iX,-- est une variable aléatoire infiniment 
divisible.
i=1

2017-03-29 09:37:28 Page 2/4 (66 BY--NC-SA

II.C * Séries de variables aléatoires à valeurs entières
II.C.1) Soit X et Ydeux variables aléatoires définies sur (Q, A, P) et à 
valeurs dans N.

a ) Montrer que si A et B sont des événements de ./l , et si A et Ë sont leurs 
événements contraires respectifs,
alors

|[P(A) -- [P(B)| g IP(A 0 É) + |POEn B)

(>) En déduire que, pour tout t E {--1, 1], |GX(t) -- GY{t)| { 2[P(X # Y).

II.C.2) Soit (U,-)OEW une suite de variables aléatoires mutuellement 
indépendantes à valeurs dans Ù\I telle que
la série des P(U,-- =,£ 0) soit convergente.

a) Soit Zn : {w EUR Q | Ei ; n, U,(w) # 0}. Montrer que (Zn) est une suite 
décroissante d'événements et que
lim P(Zn) : 0.
b) En déduire que l'ensemble {i EUR N* | U,-- 3£ O} est presque sûrement fini.

TL*>OO

(:) On pose S,, : ZÎ=1 U,- et S' : EÎîl U,. Justifier que S' est définie 
presque sûrement. Montrer que G Sn
converge uniformément vers G S sur {--1, l].

II.C.3) Soit (A,--)OEW une suite de réels positifs ou nuls. On suppose que la 
série 2 À,-- est convergente, et on
note À : Zî1 À,-.

Soit (X ,)OEW une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour 
tout i, X,-- suive une loi de Poisson
de paramètre À,. On convient que, si À,-- : 0, X,- est la variable aléatoire 
nulle.

a) Montrer que la série Z IP(X, % O) est convergente.

(>) Montrer que la série ZZ>1 X,-- est presque sûrement convergente et que sa 
somme (définie presque sûrement)
suit une loi de Poisson de paramètre À.

0) Montrer que la série 2121 iX,- est presque sûrement convergente et que sa 
somme X : ZÎî1 iX, définit une
variable aléatoire infiniment divisible.

III Variables entières infiniment divisibles : étude générale

III.A * Série entière auæilz'aire
Dans cette sous--partie, X est une variable aléatoire à valeurs dans Ù\l telle 
que [P(X : O) > O.
III.A.1) Montrer qu'il existe une unique suite réelle (A,--),EW telle que, pour 
tout [EUR EUR IN*

k
kIP(X : k:) : ZjÀjü>(X : k --j)
j=1
III.A.2) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer

kf1 kil
|Àk|fl°(X : 0) < 1=(x : k) + Z |/\j|lP(X : k --j) g (1 _ P(X : O)) (1+ 2 |A,|)

1

k
III.A.3) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer: 1 + ÿî=; |)'jl { IP(X : 0)""

III.A.4) Montrer que la série entière Z Àktk a un rayon de convergence p(X ) 
supérieur ou égal à IP(X : 0).
Pour tout réel t de ]--p(X),p(X)L on pose

HX(t) : ln(lP(X : O)) + Î Àktk
k=l

À toute variable aléatoire X à valeurs dans N et telle que [P(X : O) > 0, on 
associe ainsi une série entière H X.
Dans la suite du problème, H X sera appelée série entière auxiliaire de X.

III.A.5) Pour t E ]--p(X),p(X)L montrer G'X(t) : H&(t)GX(t), puis GX(t) : 
exp(HX(t)).

III.A.6) Soit X et Ydeux variables aléatoires indépendantes, définies sur 
l'espace Q et à valeurs dans N, et
soit H X et HY leurs séries entières auxiliaires. Montrer H X +Y(t) : H X(t) + 
HY(t) pour tout réel t vérifiant

ltl < mîn(p(X),p(Yl)-

2017-03-29 09:37:28 Page 3/4 GC) BY--NC-SA

II.B -- Variables aléatoires entières À-positives

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IN telle que U°(X : O) > O, et 
soit H X sa série entière auxiliaire :
HX(t) : ln([P(X : O)) + Z Àktk
k=l

On dira que X est À--positive si Àk ; 0 pour tout k 2 1.
On suppose dans cette sous--partie que X est À--positive.
P(X : k)
[P(X : O)
III.B.2) Montrer que, pour tout t EUR {--1,1], GX(t) : exp(Hx(t)) et que ZZ; Àk 
: --ln(ñ°(X : O)).

III.B.3) Soit (Xl) la suite de variables aléatoires définie au ll.C.3. Montrer 
que X ... Eîîl iX.--.

III.B.1) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer que Àk < . En déduire que la série Z 
Àk converge.

III.C -- Caractérisation des variables entières infiniment divisibles
Soit X une variable aléatoire infiniment divisible à valeurs dans N et telle 
que [P(X : O) > O.
Le but de cette sous--partie est de montrer que les trois assertions suivantes 
sont équivalentes.
(i) X est infiniment divisible ;
(ii) X est À--positive ;
(iii) il existe une suite (X.-)Z>1 de variables de Poisson indépendantes, comme 
au ll.C.3, telle que
X ... ËÏ1iXi'

Dans les questions III.C.1 a III.C/1, on suppose que X est une variable 
aléatoire infiniment divisible à valeurs
dans N et telle que Û°(X : O) > 0. Pour tout n EUR D\l*, il existe donc n 
variables aléatoires indépendantes
Xn,1a ..., X..." de même loi telles que la variable aléatoire X...1 + + X..." 
suive la loi de X.

III.C.1)

a) Pour tout n EUR N'", montrer que X...1 est presque sûrement positive ou 
nulle.

b) Pour tout n EUR N'", montrer que U°(Xm1 : O) > 0.

c) Montrer que les variables aléatoires X...- sont presque sûrement à valeurs 
dans D\l.
III.C.2)

(1) Montrer lim IP(X...1 : O) = 1.

b) En déduire que, pour tout i EUR N*, lim

7L*>OO
[P(X...l : i) = @.

III.C.3) Soit H X la série entière auxiliaire de X , comme elle est définie à 
la question lll.A.4, et soit p(X ) son
rayon de convergence.

'Ilä>OO

Pour tout n EUR Ù\l*, soit H" la série entière auxiliaire de Xn,l'
a) Pour tout n EUR N'", montrer an : HX.
b) En déduire, pour tous n et [EUR dans N*

le
j=1

III.C.4) Pour tout [EUR EUR N*, montrer que la suite (nü°(X...1 : k))
À--positive.
III.C.5) Conclusion

(1) Montrer le résultat annoncé au début de cette sous--partie III.C.

GN converge vers Àk. En déduire que X est
" *

b) Comment adapter ce résultat aux variables aléatoires à valeurs dans IN* '?

6) Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique _9(p), où ]) EUR 
]0, ll :
VlEUR EUR Ù\l* [P(X : k) : (l --p)kÿlp

La variable aléatoire X est--elle infiniment divisible '?

oooFlNooo

2017.03-29 09:37:28 Page 4/4 GC) BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alban Levy (docteur en mathématiques) ; il a été relu
par Yvon Vignaud (professeur en CPGE) et Florian Metzger (docteur en 
mathématiques).

Ce problème d'analyse propose l'étude de la représentation de la loi d'une 
variable
aléatoire comme loi d'une somme de variables aléatoires discrètes 
indépendantes. En
particulier, l'égalité des fonctions génératrices de deux variables aléatoires 
discrètes
étant équivalente à l'égalité de leurs lois, l'étude des distributions de 
probabilité
est souvent ramenée à une étude des fonctions génératrices. La première partie 
est
largement indépendante des deux autres.
· Dans la première partie, la décomposition étudiée est une somme de deux 
variables à valeurs entières. Quelques lois classiques y sont vues, comme les 
lois
binomiale et uniforme. Les polynômes et fonctions génératrices y jouent un rôle
important.
· Dans la deuxième partie, on étudie quelques exemples de variables aléatoires à
valeurs dans N ayant la propriété d'être infiniment divisibles, c'est-à-dire 
s'écrivant comme une somme de m variables aléatoires mutuellement indépendantes
et de même loi, pour m  N quelconque. Les variables aléatoires proposées
sont bornées ou de Poisson.
· La troisième partie étudie la cas général des variables infiniment 
divisibles. Le
résultat principal est la caractérisation de ces variables de deux façons.
Il s'agit d'un sujet ambitieux qui navigue astucieusement entre algèbre et 
analyse,
utilisant comme ligne directrice les lois de probabilités classiques mais 
incluant de
nombreux raisonnements autour des polynômes, séries numériques et séries 
entières.
Outre une bonne maîtrise des probabilités au programme de MP, il faut donc être 
à
l'aise avec une importante partie du programme d'analyse. On trouvera par 
exemple
une équation différentielle, des produits infinis ou un polynôme cyclotomique. 
On
démontre aussi le lemme de Borel-Cantelli. Bien que les trois derniers ne 
soient pas
au programme, il est utile de les avoir déjà étudiés.
La résolution de ce sujet est gratifiante car elle tisse des liens entre des 
concepts
mathématiques habituellement éloignés, requérant parfois des raisonnements 
purement algébriques.

Indications
Partie I
I.A.1 Calculer les dérivées n-ièmes de GX en 0 pour exprimer la loi de X.
I.A.2 Exprimer GX comme une espérance pour utiliser l'indépendance de Y et Z.
I.A.3 Séparer les cas n = 1 (par l'absurde) et n > 2 (somme de binomiales).
I.A.4.a Supposer que le degré de U vaut 1 ou 2 et déterminer les coefficients 
de U.
I.A.4.b Voir que A(T)/4 est la fonction génératrice du carré d'une variable 
aléatoire
de loi bien connue.
I.B.1.a Utiliser l'existence et l'unicité de la division euclidienne.
I.B.1.b Obtenir la loi du couple (Q, R) par unicité d'une division euclidienne 
puis
sommer pour obtenir les lois marginales.
I.B.1.c Montrer l'indépendance de Q et R en tant que variables aléatoires.
I.B.2.a Raisonner par l'absurde.
I.B.2.b Décomposer U en produit de polynômes de degré 1.
I.B.2.c Écrire la dérivée r-ième de UV en 0 de deux façons.
I.B.2.d Procéder par récurrence sur k allant de 1 à r, en utilisant la dérivée 
(k + 1)ième de UV en 0 pour montrer que les propriétés ui  {0, 1} et vi  {0, 1}
sont vraies pour i  [[ 1 ; k + 1 ]].
I.B.2.e Regarder (UV)(1) droit dans les yeux : un produit d'entiers se cache 
dans
ce terme.
Partie II
II.A.1 Utiliser le résultat admis dans le préambule pour avoir m copies de X/m.
II.A.2.a Établir une première inégalité entre P(X1 > M/n)n et P(X > M) et une
autre entre P(|X1 | > M/n) et P(X1 > M/n) + P(X1 < -M/n).
2

II.A.2.b Majorer V(X1 ) par E[(X1 ) ].
II.A.3 Montrer que V(X) = 0.
II.B.1 Se ramener à une variable aléatoire bornée.
II.B.2 Se référer à la question où a été établi le résultat sur la fonction 
génératrice.
II.B.3 Sommer m variables aléatoires de lois judicieusement choisies.
II.B.4 Décomposer chacun des r termes Xi en m variables aléatoire indépendantes,
et s'assurer que ces rm variables aléatoires peuvent être choisies mutuellement 
indépendantes.
II.C.1.a Partir de A = (A  B)  (A  B) et aller vers une majoration de P(A  B)
par P(A) et P(B).
II.C.1.b Utiliser les définitions des fonctions génératrices puis majorer en 
utilisant
la question II.C.1.a.
II.C.2.a Majorer P(Zn ) par le reste d'une série convergente faisant intervenir 
les Ui .
II.C.2.b Relier l'ensemble {i  N |Ui 6= 0} aux variables Zm pour m  N.
II.C.2.c Utiliser les questions II.C.2.b et II.C.1.b et relier l'événement (S 
6= Sn )
à Zn+1 .
II.C.3.a Noter que P(Xi 6= 0) = 1 - e -i puis utiliser une comparaison de 
séries.

II.C.3.b Étudier la limite de la suite de fonctions génératrices GX1 +···+Xn 
puis
conclure par unicité de la limite.
II.C.3.c Vérifier que les hypothèses de la question II.C.2 s'appliquent puis 
utiliser
le résultat de la question II.B.4.
Partie III
III.A.1 Procéder par récurrence sur k pour montrer l'existence et l'unicité de 
la
famille (i )i=1,...,k .
III.A.2 Majorer certaines probabilités en jeu par P(X > 1).
III.A.3 Procéder par récurrence sur k  N .
III.A.4.a Invoquer la règle de d'Alembert.
III.A.5 Utiliser un produit de Cauchy puis le théorème de Cauchy-Lipschitz.
III.B.1 Se servir de la formule construisant 1 , . . . , k .
III.B.2 Prouver la convergence normale de la série définissant HX sur [ -1 ; 1 
].
P
III.B.3 Montrer l'égalité des fonctions génératrices de X et de la somme de
iXi .
III.C.1.a Il suffit que tous les Xn,i pour n  N et i  [[ 1 ; n ]] soient 
négatifs pour
que X le soit.
III.C.1.b Calculer la valeur de P(Xn,1 = 0).
III.C.1.c Si la variable X1 possède une valeur non entière et que les autres 
variables Xj pour j > 2 sont nulles, alors la variable X n'est pas entière.
III.C.2.a On connaît P(Xn,1 = 0).
III.C.3.b Identifier les coefficients des deux séries entières définissant nHn 
et HX .
III.C.4 Utiliser les questions III.C.2.a et b.
III.C.5.a Rechercher trois implications dans les questions précédentes.
III.C.5.b Se servir de X - mX où mX est le minimum presque sûr de X.
III.C.5.c Calculer explicitement la famille (k )kN .

I. Variables aléatoires entières décomposables
I.A.1 Si X  X , alors pour tout n  N, P(X = n) = P(X = n) d'où l'égalité de
chaque terme général des séries entières définissant, pour tout t  R, GX (t) et 
GX (t).
Ainsi, leurs sommes sont égales sur leur domaine de définition.
Réciproquement, supposons que GX = GX . Les coefficients de la série entière
définissant GX étant des probabilités, donc compris entre 0 et 1, par 
comparaison
de séries à termes P
positifs, cette série a un rayon de convergence supérieur ou égal
à celui de la série
tn , c'est-à-dire 1. La fonction GX est de plus de classe C  au
voisinage de 0 et
n  N
GX (n) (0) = n! P(X = n)
et de même pour GX . L'égalité de GX et de GX entraînant l'égalité de leurs 
dérivées
en zéro, on en déduit que
X  X  GX = GX
I.A.2 Fixons t  R tel que la somme définissant GX (t) soit convergente, ce qui
inclut l'intervalle ] -1 ; 1 [ d'après la question I.A.1. Réécrivons alors GX 
(t) comme
une espérance grâce au théorème de transfert :
P

+

GX (t) =

P(X = n)tn = E[tX ]

n=0

La décomposition X  Y + Z donne de plus l'égalité E[tX ] = E[tY+Z ] = E[tY tZ ].
Enfin, l'indépendance de Y et Z entraînant celle de tY et tZ , on peut écrire
E[tY tZ ] = E[tY ] E[tZ ] = GY (t) GZ (t)
en reconnaissant l'expression de GY et GZ . Ainsi,
Pour Y et Z indépendants, l'égalité GY+Z = GY GZ est vraie sur le domaine
de définition commun à GY et GZ . En particulier, GX = GY GZ sur ] -1 ; 1 [.
I.A.3 · Si n = 1, X  B(n, p) suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Montrons
par l'absurde que X n'est pas décomposable. Supposons donc que X  Y + Z avec Y
et Z indépendants, à valeurs dans N et presque sûrement non constantes. Comme
(Y > 1)  (Z > 1)  (Y + Z > 2)
et

P(Y > 1, Z > 1) = P(Y > 1) P(Z > 1)

par indépendance de Y et Z, on a
P(X > 2) = P(Y + Z > 2) > P(Y > 1, Z > 1) = P(Y > 1) P(Z > 1)
Comme Y est à valeurs dans N et non constante presque sûrement, P(Y = 0) < 1.
Il s'ensuit par additivité de P que P(Y > 1) = P(Y  N) - P(Y = 0) > 0, et de 
même
P(Z > 1) > 0. Or, P(X > 2) = 0 car X suit une loi de Bernoulli. On obtient 
alors la
contradiction suivante montrant finalement que X n'est pas décomposable :
0 = P(X > 2) > P(Y > 1) P(Z > 1) > 0
· Si n > 2, X suit une loi binomiale B(n, p). Le résultat donné par l'énoncé
garantit l'existence de n variables aléatoires indépendantes X1 , . . . , Xn 
suivant une
loi de Bernoulli de paramètre p  ] 0 ; 1 [. Vérifions que Y = X1 et Z = X2 + · 
· · + Xn
forment une décomposition de X. Leur indépendance est garantie par construction
car les X1 , . . . , Xn sont mutuellement indépendants. De plus, la somme de n 
variables
aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p suit une loi 
binomiale