Centrale Maths 2 MP 2016

Thème de l'épreuve Étude de sommes pondérées de résultats de « pile ou face » indépendants
Principaux outils utilisés suites d'intégrales, intégrales à paramètre, familles de variables aléatoires, espérance, inégalité de Markov
Mots clefs pile ou face, marche aléatoire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
        

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


JS 9 ?2m`2b *H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b kyRe Ji?ûKiB[m2b k G2 T`Q#HK2 ûim/B2 [m2H[m2b T`QT`Bûiûb /2 p`B#H2b HûiQB`2b `û2HH2b }MB2b /2 H 7Q`K2 - Q H2b bQMi /2b `û2Hb 2i H2b bQMi /2b p`B#H2b HûiQB`2b Kmim2HH2K2Mi BM/ûT2M/Mi2b ¨ pH2m`b /Mb \ ^ G T`2KB`2 T`iB2 ûi#HBi /2b `ûbmHiib bm` /2b BMiû;`H2b- miBHBbûb /Mb H2b T`iB2b bmBpMi2bX § T`iB` /2 H /2mtBK2 T`iB2- QM bmTTQb2 /QMMû2 mM2 bmBi2 /2 p`B#H2b HûiQB`2b Kmim2HH2K2Mi BM/ûT2M/Mi2b /û}MB2b bm` mM 2bT+2 T`Q A amBi2b 2i BMiû;`H2b AX úim/2 /mM2 BMiû;`H2 ¨ T`Ki`2 SQm` - QM TQb2 F E DPT AXXRV AXXkV AXXjV AXX9V JQMi`2` [m2 2bi /û}MB2 2i +QMiBMm2 bm` < .ûi2`KBM2` H2b HBKBi2b /2 2i 1tT`BK2` bm` > 2M X < 2i /2 +Hbb2 bm` > < ¨ HB/2 /2 7QM+iBQMb mbm2HH2b 2i 2M /û/mB`2 [m2 MO MO JQMi`2` MO MO AXX8V  > AX*XjV JQMi`2` [m2 H bmBi2 /K2i mM2 HBKBi2 }MB2 pû`B}Mi F E F PM /K2i H `2HiBQM E X AX*X9V *QM+Hm`2 [m2 X AA miQm` /m TBH2 Qm 7+2 .Mb +2ii2 T`iB2- +QKK2 BH 2bi BM/B[mû /Mb H2 T`ûK#mH2- QM +QMbB/`2 mM2 bmBi2 /2 p`B#H2b HûiQB`2b Kmim2HH2K2Mi BM/ûT2M/Mi2b- ¨ pH2m`b /Mb \ ^ 2i i2HH2b [m2- TQm` iQmi SQm` iQmi - QM TQb2 X G2bTû`M+2 /mM2 p`B#H2 HûiQB`2 `û2HH2 }MB2 2bi MQiû2 2i b p`BM+2 X AAX úim/2 /2 ] ] AAXXRV .ûi2`KBM2` H2bTû`M+2 2i H p`BM+2 /2 X AAXXkV aQBi 2i /2mt p`B#H2b HûiQB`2b `û2HH2b }MB2b BM/ûT2M/Mi2b /û}MB2b bm` X PM bmTTQb2 [m2 2i QMi KK2 HQBX JQMi`2` [m2 DPT DPT DPT X AAXXjV PM +QMbB/`2 H 7QM+iBQM /2 /Mb i2HH2 [m2 DPT TQm` iQmi `û2H X JQMi`2` [m2 DPT TQm` iQmi 2MiB2` 2i iQmi `û2H X AAXX9V JQMi`2`- TQm` iQmi - ] ] X PM miBHBb2` H2tT`2bbBQM BMiû;`H2 /2 H pH2m` #bQHm2 Q#i2Mm2 ¨ H [m2biBQM AXX8X AAXX8V .û/mB`2 /2 H [m2biBQM T`û+û/2Mi2 [m2- TQm` iQmi - X AAX" úim/2 /2 PM b2 T`QTQb2 /2 /ûKQMi`2` [m2 H bmBi2 mM ûpûM2K2Mi Mû;HB;2#H2 i2H [m2 +QMp2`;2 T`2b[m2 b`2K2Mi p2`b y- +2bi@¨@/B`2 [mBH 2tBbi2 SQm` iQmi - QM TQb2 2i AAX"XRV JQMi`2` [m2 TQm` iQmi X AAX"XkV JQMi`2` [m2- TQm` iQmi - X AAX"XjV JQMi`2` [m2 TQm` iQmi 2i [m2 MJN X AAX"X9V 1M +QMbB/û`Mi - KQMi`2` [m2 +QMp2`;2 T`2b[m2 b`2K2Mi p2`b yX kyRe@yk@yN y3,Rd,kN S;2 kfj AAA .mi`2b bQKK2b HûiQB`2b PM +QMb2`p2 H bmBi2 /2 H T`iB2 T`û+û/2Mi2 2i QM +QMbB/`2 /2 THmb mM2 bmBi2 Qm MmHbX SQm` iQmi - QM TQb2 X /2 `û2Hb TQbBiB7b AAAX úim/2 /2 ] ] AAAXXRV JQMi`2` [m2 H bmBi2 ] ] 2bi +`QBbbMi2X AAAXXkV JQMi`2` [m2 bB H bû`B2 2bi +QMp2`;2Mi2- HQ`b H bmBi2 ] ] 2bi +QMp2`;2Mi2X AAAXXjV PM bmTTQb2 X JQMi`2` ] ] ] ] X AAAX" TTHB+iBQM ¨ mM2 bmBi2 /BMiû;`H2b SQm` - bQBi AAAX"XRV JQMi`2` [m2 DPT DPT DPT E 2bi mM2 bmBi2 #B2M /û}MB2 2i [m2HH2 2bi +`QBbbMi2 2i +QMp2`;2Mi2X 2i QM 2tT`BK2` H2bTû`M+2 /2 ] ] p2+ H Kûi?Q/2 /2 H [m2biBQM AAXX9X PM TQb2` AAAX"XkV JQMi`2` [m2 TQm` 2i [m2 2bi bi`B+i2K2Mi +`QBbbMi2X r r r 6AL r r r kyRe@yk@yN y3,Rd,kN S;2 jfj

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Maths 2 MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Ce sujet étudie les marches aléatoires symétriques sur R : pour une suite (ak )kN fixée de réels positifs, on part de la position 0 puis, à chaque étape k N , on choisit de se déplacer aléatoirement à gauche ou à droite d'une longueur ak . Le sujet comporte trois parties. · La première partie établit deux résultats préliminaires. D'une part, on exprime la valeur absolue d'un réel sous la forme d'une intégrale en étudiant une intégrale à paramètre. D'autre part, on détermine un équivalent de la suite d'intégrales (un )nN définie par Z + 1 - (cos t)n n N un = dt t2 0 On a recours aux théorèmes classiques de convergence dominée et de dérivation sous le signe intégrale. · La deuxième partie étudie la marche aléatoire à pas constant définie par n > 1 Sn = n P Xk avec k=1 P(Xk = 1) = P(Xk = -1) = 1/2 On montre que E(|Sn |) = 2un / pour tout n N et que la suite (Sn /n)nN converge presque sûrement vers 0. Cette partie nécessite de savoir calculer des espérances et manipuler des événements liés à des variables aléatoires. · La troisième partie généralise la marche précédente en définissant n > 1 Tn = n P k=1 ak Xk avec P(Xk = 1) = P(Xk = -1) = 1/2 où (ak )kN est une suite de réels positifs. L'étude probabiliste est limitée à trois questions et est utilisée pour étudier la suite d'intégrales (Jn )nN définie par Z + t t 1 1 - cos(t) cos · · · cos dt n > 1 Jn = t2 3 2n - 1 0 Les réponses à ces questions nécessitent de longs calculs. Ce problème permet de bien réviser le calcul intégral et les probabilités. Le rapport de l'épreuve souligne d'ailleurs un traitement trop superficiel de la deuxième partie et insiste sur le fait que « les probabilités doivent être étudiées avec la même application que le reste du programme ». Indications Partie I I.A.1 Commencer par prouver que 1 - cos(t) /t2 6 1/2 pour tout t R grâce à l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction cos. Pour la continuité, écrire la fonction f comme somme de deux intégrales, l'une sur ] 0 ; 1 ], l'autre sur [ 1 ; + [. Pour la dérivabilité, établir le résultat sur tout intervalle de la forme [ a ; + [ avec a > 0. I.A.2 Appliquer le théorème de convergence dominée en se servant des majorations établies à la question précédente. I.A.3 Écrire f (x) comme une somme d'intégrales. Pour calculer celle qui pose problème, on effectuera deux intégrations par parties successives. Trouver ensuite une primitive de f puis identifier la constante à l'aide de la question I.A.2. I.A.4 Dériver la fonction g : x 7- x ln(x) - (x/2) ln(x2 + 1) - Arctan (x) + /2 sur ] 0 ; + [. Considérer sa limite en + pour montrer que f = g. I.A.5 Distinguer les cas s = 0 et s 6= 0. Dans ce dernier cas, utiliser le changement de variable u = |s| t pour faire apparaître f (0). I.B.1 Montrer que la fonction hn : t 7- [1 - (cos(t))n ] /t2 est continue sur ] 0 ; + [, prolongeable par continuité en 0 et que |hn (t)| 6 2/t2 pour tout t > 0. I.B.2 Pour le calcul de u2 , utiliser la formule cos2 (t) = (1 + cos(2t))/2 et le résultat de la question I.A.5. p I.C.1 Procéder au changement de variable t = 2u/n dans le calcul de vn . I.C.2 Montrer tout d'abord que |tn - 1| 6 n |t - 1| pour t [ 0 ; 1 ]. Appliquer ensuite ce résultat à cos(t) pour t R. Utiliser enfin l'inégalité |cos t - 1| 6 t2 /2. I.C.3 Appliquer le théorème de convergence dominée en utilisantla question I.C.2 pour majorer la fonction considérée sur ] 0 ; 1 ] par u 7- 1/ u intégrable sur ] 0 ; 1 ]. Puis penser à l'équivalent suivant ln(cos(x)) cos(x) - 1 -x2 /2. x0 x0 I.C.4 Calculer à l'aide d'une intégration par parties puis utiliser le résultat de la question I.C.1. Partie II II.A.2 Noter que cos(S) et cos(T), ainsi que sin(S) et sin(T), sont des variables indépendantes puis démontrer que E(sin(T)) = 0. II.A.3 Raisonner par récurrence en utilisant le résultat de la question II.A.2. II.A.4 Appliquer le théorème de transfert et le résultat de la question I.A.5 pour faire apparaître E(cos(Sn t)). Conclure en utilisant la question II.A.3. II.A.5 Utiliser la question II.A.4 puis, à l'aide de la formule des probabilités totales et du théorème de transfert, exprimer E(|S2n+2 |) en fonction de E(|S2n+1 |). II.B.2 Appliquer l'inégalité de Markov à la variable aléatoire Un . II.B.3 Écrire Zn comme union dénombrable d'événements. Majorer ensuite P(Zn ) par le reste d'une série convergente en utilisant la question II.B.2. II.B.4 Commencer par montrer que P(Z) = 0 puis étudier la convergence de la suite (Un )nN sur r Z. Partie III III.A.1 Utiliser le système complet d'événements ((Xn+1 = 1), (Xn+1 = -1)) pour calculer P(Tn+1 = v). III.A.2 Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer E(|Tn |)2 par E(Tn 2 ). Calculer cette quantité et montrer qu'elle est majorée. III.A.3 Utiliser le système complet d'événements ((X1 = 1), (X1 = -1)) pour calculer P(Tn = v) en fonction des événements associés à la variable aléatoire n P V1 = ak Xk . k=2 III.B.1 Montrer que la fonction qui est intégrée est prolongeable par continuité en 0 et majorée par la fonction t 7- 2/t2 sur [ 1 ; + [. Calculer ensuite E(|Tn |) de la même façon que E(|Sn |) à la question II.A.4 et montrer que Jn = /2 · E(|Tn |). Utiliser les résultats des questions III.A.1 et III.A.2 pour conclure. III.B.2 Se référer au résultat de la question III.A.3 pour conclure que Jn = /2 pour 1 6 n 6 7. En reprenant les calculs de la question III.A.1, montrer que E(|Tn+1 |) - E(|Tn |) > 0 Tn () ] -an+1 ; an+1 [ 6= Considérer ensuite n = min(Tn () [ 0 ; + [) et montrer que n < an+1 1 pour n > 8 et n pair pour n > 7. Pour cela, démontrer que n 6 2(2n + 1) ainsi que pour n > 11 et n impair. I. Suites et intégrales I.A.1 La fonction cos est de classe C 2 sur R. On a cos = - sin et cos(2) = - cos. De plus, on a cos(2) (t) 6 1 pour t R. D'après l'inégalité de Taylor-Lagrange, t R |cos(t) - 1| 6 t2 2 Dès lors, 1 - cos(t) /t2 6 1/2 pour tout t > 0. La fonction cos étant bornée par 1 sur R, on a également t > 0 1 - cos(t) 1 + |cos(t)| 2 6 6 2 2 2 t t t 1 - cos(t) -xt e t2 · Pour tout x R+ , la fonction t 7- g(x, t) est continue sur ] 0 ; + [. Posons ensuite (x, t) R+ × ] 0 ; + [ g(x, t) = · Pour tout t R+ , la fonction x 7- g(x, t) est continue sur [ 0 ; + [. · Soit x R+ . Pour tout t ] 0 ; 1 ], |g(x, t)| 6 e -xt /2 6 1/2. La fonction t 7- 1/2 est positive, continue par morceaux et intégrable sur ] 0 ; 1 ]. D'après Z 1 le théorème de continuité sous le signe intégrale, la fonction x 7- g(x, t) dt 0 est donc définie et continue sur R+ . · Soit x R+ . Pour tout t [ 1 ; + [, |g(x, t)| 6 2/t2 . La fonction t 7- 2/t2 est positive, continue par morceaux et intégrable sur [ 1 ; + Z [. D'après le théorème + de continuité sous le signe intégrale la fonction x 7- définie et continue sur R+ . Par somme, g(x, t) dt est donc 1 La fonction f est définie et continue sur R+ . Montrons que f est de classe C 2 sur [ a ; + [ avec a > 0. · Pour tout t > 0, la fonction x 7- g(x, t) est de classe C 2 sur [ a ; + [ et x [ a ; + [ g 1 - cos(t) -xt (x, t) = - e x t · Soit x [ a ; + [. Les fonctions t 7- sur ] 0 ; + [. et 2g (x, t) = (1 - cos(t))e -xt x2 g 2g (x, t) et t 7- (x, t) sont continues x x2 · Soit x [ a ; + [. En utilisant les inégalités précédemment démontrées sur la fonction t 7- 1 - cos(t), on obtient t ] 0 ; + [ g t (x, t) 6 e -at x 2 et 2g (x, t) 6 2e -at x2 t Les fonctions t 7 e -at et t 7 2e -at sont positives et continues sur ] 0 ; + [. 2 En outre, par croissances comparées, t -at 1 1 -at e = o et 2e = o t+ t2 t+ t2 2 La fonction t 7- 1/t2 est intégrable sur [ 1 ; + [ comme intégrale de Riemann. Par comparaison de fonctions positives, les deux fonctions sont donc intégrables sur ] 1 ; + [ puis sur ] 0 ; + [.