Centrale Maths 2 MP 2015

Thème de l'épreuve Autour des sommes d'Euler
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, suites et séries de fonctions
Mots clefs sommes d'Euler, fonction gamma, fonction beta, fonction zeta, fonction digamma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, % Mathématiques 2 L0 %, FI _/ MPQ cunnnuns EENTHHLE-SUPELEE 4 heures Calculatrices autorisées N Autour des sommes d 'Euler D t tl bl' t rt tntir >1H Î1 1+1+ +1 m n n = _ = _ _. ans ou eproee,o oepou oue en/, n k=1k 2 n +00 1 On note EUR la fonction définie pour a: > 1 par Ç(x) : n--æ. n=1 Le but du problème est d'étudier des séries faisant intervenir la suite (En) et notamment d'obtenir une relation +oo H due a Euler qui exprime, pour r entier naturel supérieur ou égal à 2, Z (n+--n1)7' à l'aide de valeurs de la n=1 fonction EUR en des points entiers. I Représentation intégrale de sommes de séries I.A -- 1 " dt I.A.1) Justifier que la série de terme général a = -- -- -- converge. " n 1 t I.A.2) Montrer qu'il existe une constante réelle A telle que Hn : Inn + A+ 0(1). En déduire que Hn ... ln n. +oo I.B -- Soit r un entier naturel. H " T est--elle convergente ? Pour quelles valeurs de 7°, la série 2 W 7121 +00 H Dans toute la suite on notera S,. : î: " _ lorsque la série converge. n=1 (n + 1)T I.C-- I.C.1) Donner sans démonstration les développements en série entière des fonctions t |--> ln(1--t) et t |--> 1_t ainsi que leur rayon de convergence. I.C.2) En déduire que la fonction _ln(1 -- t) t|--> 1--t est développable en série entière sur ]--1,1[ et préciser son développement en série entière à l'aide des réels Hn. I.D -- Pour tout couple d'entiers naturels ( ,q) et pour tout 5 EUR ]0, 1[, on note 7q 1 1 Ip7q=/0 t'"(lnt)th et [; :] tp(lnt)th EUR I.D.1) Montrer que l'intégrale Ip7q existe pour tout couple d'entiers naturels ( q). ID 2) Montrer ue v e N v 5 IN* Vae ]0 1[ [EUR -- q 15 8p+1(ln8)q . . q 7 P 7q : 77 p,q_ p+1qu--1 p+1 I.D.3) En déduire que l'on a Vp EUR N,Vq EUR IN*, Ip7q : _Ëlp'q_l' I.D.4) En déduire une expression de I...] en fonction des entiers p et q. I .E -- Soit 7" un entier naturel non nul et f une fonction développable en série entière sur ]--1,1[. +00 (1 On suppose que pour tout a: dans ]--1,1[, f (ac) = Zanoe" et que î: @ converge absolument. n=0 >O 1 +00 Montrer que / (lnt)f_1f(t) dt : (--1)T_1(r _ 1)! 2 ... în1)r' 0 n=0 2015-02--03 09:35:07 Page 1/4 [_ I.F -- I.F.1) Déduire des questions précédentes que pour tout entier 7" > 2, _+°° Hn _ (-1)r 1 T_ln(1--t) &--ËOETÜ_n--mÂOEOE1ÎÎÎOE I.F.2) Établir que l'on a alors ST = (--1)'" /1 (lnt)T'2(ln(1 --t))2 dt. 0 2(r -- 2)! t 1 1 1 2 LES) En déduire que 52 = 5/ (1n_t)t dt 0 puis trouver la valeur de 52 en fonction de Ç(3). II La fonction 5 II.A -- La fonction 1" II.A.1) Soit 93 > 0. Montrer que t i--> tac--le_t est intégrable sur ]0, +oo[. +oo Dans toute la suite, on notera 1" la fonction définie sur [R+* par P(oe) = / tac--le"t dt. 0 On admettra que l" est de classe EUR°° sur son ensemble de définition, à valeurs strictement positives et qu'elle vérifie, pour tout réel 9: > 0, la relation l"(oe + 1) = xF(oe). +oo II.A.2) Soit 93 et 04 deux réels strictement positifs. Justifier l'existence de / t""_16_'Mt dt et donner sa valeur 0 en fonction de F(oe) et of". II.B -- La fonction fl et son équation fonctionnelle 1 Pour (oe,y) dans ([R+*)2, on définit fl(oe, y) = / tæ_1(1 --t)ïy--1 dt. 0 II.B.1) Justifier l'existence de fl(oe, y) pour a: > 0 et y > O. II.B.2) Montrer que pour tous réels m > 0 et y > O, fl(oe, y) = fl(y,x). II.B.3) Soient 95 > 0 et y > O. Établir que fl(oe + 1,31) = 33 î yfl(oe, y) , . 93?! II.B.4 En dedu1re e our :c > O, > 0, a: + 1, + 1 = _ oe, . ) qu p y fl( y ) (oe+y)(oe+y+1)fl( 31) 11.0 -- Relation entre la fonction fl et la fonction 1" P(OE)F(y) On veut montrer que pour a: > 0 et y > O, fl(oe,y) = relation qui sera notée (53). F(oe + y) II.C.1) Expliquer pourquoi il suffit de montrer la relation (5?) pour :c > 1 et y > 1. Dans toute la suite de cette question on suppose a: > 1 et y > 1. +00 uOE--1 II.C.2) Montrer que ,B(OE,y) : Â W du On pourra utiliser le changement de variable t = u . 1 + u II.C.3) On note Fæ7y la primitive sur [R+ de t i--> e_ttg"+y'1 qui s'annule en 0. Montrer que WGRñF w+oo II.C.6) Montrer que G est de classe 81 sur tout segment [c, d] inclus dans [R+*, puis que G est de classe 81 sur [R+*. II.C.7) Exprimer pour a > O, G'(a) en fonction de l"(x), e"" et ay_1 II.C.8) Déduire de ce qui précède la relation (5%). 2015-02--03 09:35:07 Page 2/4 [_ III La fonction digamma On définit la fonction 1/) (appelée fonction digamma) sur [R+* comme étant la dérivée de a: +--> ln(F(oe)). P/ Pour tout réel 3: > O, 1/)(oe) : F((î))' 1 III.A -- Montrer que pour tout réel 9: > O, 1/J(oe + 1) -- 1/)(oe) : E. III.B -- Sens de variation de il: \ ô III.B.1) A partir de la relation (5%), justifier que ô--î est définie sur ([R+*)2. Établir que pour tous réels a: > 0 et y > O, %(oe, y) : fl(oe,y)(tÿ(y) -- 1/)(oe + y)). III.B.2) Soit 95 > 0 fixé. Quel est le sens de variation sur [R+* de la fonction y +--> fl(oe,y) ? III.B.3) Montrer que la fonction il) est croissante sur [R+*. III.C -- Une eæpression de 1/) comme somme d'une série de fonctions III.C.1) Montrer que pour tout réel 9: > --1 et pour tout entier n > 1 w(1+oe)--w(1)=w(n+oe+1)--w(n+ 1)+Î(%-- k-l--oe) k=1 III.C.2) Soit n un entier > 2 et :c un réel > --1. On pose p = E(oe) + 1, où E(oe) désigne la partie entière de :c. Prouver que III.C.3) En déduire que, pour tout réel 9: > --1, +oo z<> n 1 III.B -- Un développement en série entière On note g la fonction définie sur [--1,+oo[ par g 1. III.B.2) Montrer que pour tout entier n et pour tout a: dans ]--1,1[ < EUR(2)lscl"+1 " (@ g<æ> --Z 9 ,""oek kO k. Montrer que g est développable en série entière sur ]--1,1[. III.B.3) Prouver que pour tout a: dans ]--1,1[, d)(1 + 93) = il)(1) + Z(--1)"+1C(n + 1)$" 2015-02--03 09:35:07 Page 3 / 4 [_ IV Une expression de ST en fonction de valeurs entières de { 82 Dans cette partie, on note B la fonction définie sur [R+* par B(oe) = 8--yÊ(oe, 1). I V.A -- Une relation entre B et il) Justifier que B est définie sur [R+*. À l'aide de la relation trouvée au III.B.1 établir que pour tout réel oe > 0 OEB($) = @@ + 93) - 1P(1))2 + (Tl/(1) -- 1/)'(1 + $)) En déduire que B est E'" sur [R+*. I V.B -- Empression de S,, à l'aide de la fonction B 1 IV.B.1) Montrer que pour tout réel 9: > O, B(oe) : / (ln(1 -- t))2t°'"_1 dt. 0 IV.B.2) Donner sans justification une expression, à l'aide d'une intégrale, de B (p) (a:), pour tout entier naturel p et tout réel :c > O. (--1)'" . 2(7' -- 2)! æ-->O+ IV.B.4) Retrouver alors la valeur de S2 déjà calculée au I.F.3. IV.C' -- Soit 

2 la valeur de cp(")(0) en fonction des dérivées successives de 1/) au point 1. IV.B.3) En déduire que pour tout entier 7" > 2, S,, = IV.C.2) Conclure que, pour tout entier 7" > 3, l\) ,,,_ 2Sr=rÇ(r+ 1)-- Ç(k+1)Ç(r--k) 1 ?v \ l oooFlNooo 2015-02--03 09:35:07 Page 4/4 [_

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 Centrale Maths 2 MP 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) ; il a été relu par Pauline Tan (ENS Cachan) et Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur à l'université). Le but annoncé de ce sujet est la démonstration d'une relation due à Euler : r-2 P Hn = r(r + 1) - (k + 1)(r - k) r n=1 (n + 1) k=1 + 2 P n 1 P 1 P est la fonction de Riemann et Hn = x n=1 n k=1 k pour tout n > 1 est une somme partielle de la série harmonique. C'est l'occasion de s'intéresser aux fonctions spéciales , et digamma. Les principaux outils employés sont les intégrales généralisées et les intégrales à paramètre. + pour tout entier r > 2, où : x 7- · La première partie prépare le terrain avec des calculs de séries et d'intégrales qui resserviront dans la suite. Elle aboutit à un premier calcul de Hn 2 n=1 (n + 1) + S2 = P · La deuxième partie étudie des propriétés des fonctions spéciales et et démontre la relation (x, y) = (x)(y)/(x + y). · La troisième partie concerne la fonction digamma et l'exprime comme une série de fonctions liée à la fonction : + x ] -1 ; 1 [ (1 + x) = (1) + P (-1)n+1 (n + 1)xn n=1 · La quatrième et dernière partie aboutit à la relation d'Euler en reliant la fonction digamma à certaines dérivées partielles de la fonction . L'ensemble du sujet demande de la précision dans la vérification des hypothèses des théorèmes du cours. Si la majorité des questions peuvent se traiter par un raisonnement direct, un bon nombre demandent de s'appuyer sur les résultats obtenus précédemment. Notons également que la longueur du sujet paraît disproportionnée par rapport aux 4 heures dont disposaient les candidats pour le traiter. Indications Partie I I.A.2 Le reste d'une série convergente tend vers zéro. I.C.2 Effectuer le produit de Cauchy des développements en série entière donnés en I.C.1. I.D.3 Calculer lim Ip,q en utilisant la question I.D.2. 0+ I.E Intégrer terme à terme la série de fonctions de terme général t 7- an tn (ln t) r-1 I.F.1 Appliquer la question I.E à t 7- - ln(1 - t)/(1 - t). I.F.2 Intégrer par parties dans l'égalité de la question I.F.1. I.F.3 Pour calculer S2 , effectuer le changement de variable u = 1 - t. Pour relier S2 à (3), intégrer terme à terme à l'aide du développement en série entière de 1/(1 - t). Partie II II.B.3 Intégrer par parties (x + 1, y) et calculer (x, y + 1) en fonction de (x, y) et (x + 1, y). II.C.1 Utiliser l'identité (x + 1) = x(x) et la question II.B.4 pour évaluer les deux membres de la relation (R). II.C.4 Appliquer le théorème de continuité d'une intégrale à paramètre. II.C.5 Se servir du théorème de convergence dominée. II.C.6 Appliquer le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre en utilisant la question II.A.2 pour l'hypothèse de domination sur tout segment. Z a II.C.8 Montrer que G(a) = G (t) dt puis lim G(a) = (x)(y) et conclure avec a+ 0 les questions II.C.5 et II.C.1. Partie III III.A Dériver l'identité (x + 1) = x(x). III.B.1 Dériver la relation (R) par rapport à y. III.B.2 Utiliser la croissance de l'intégrale définissant . III.B.3 Combiner les questions III.B.1 et III.B.2. III.C.1 Raisonner par récurrence sur n en utilisant la question III.A. III.C.2 Utiliser les questions III.A, III.C.1 et III.B.3 et établir (1 + p) - (1) = Hp . III.C.3 Faire tendre n vers l'infini dans le résultat de la question III.C.2. III.D.1 Appliquer le théorème de la classe C d'une série de fonctions. III.D.2 Utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange. III.D.3 Utiliser le développement en série entière de 1/(1 + x). Partie IV IV.B.1 Appliquer le théorème de la classe C 2 d'une intégrale à paramètre avec x > 0 et y > 1 pour pouvoir appliquer la question I.F.2, puis évaluer dans le cas y = 1. IV.B.3 Utiliser les questions I.F.2 et IV.B.2 en appliquant le théorème de continuité d'une intégrale à paramètre. IV.B.4 Calculer la limite du résultat de la question IV.B.3 à l'aide de la formule donnée en question IV.A. IV.C.1 Dériver à partir de sa définition, grâce à la formule de Leibniz. IV.C.2 Combiner les questions IV.A, IV.B.3, IV.C.1 et III.D.3. I. Représentation intégrale de sommes de séries I.A.1 Les nombres an sont bien définis dès n > 2 par continuité de la fonction inverse sur le segment [ n - 1 ; n ]. Par le théorème de comparaison série/intégrale, on sait que la positivité sur R+ , la continuité (donc continuité par morceaux) et la décroissance de la fonction inverse assurent ensemble la convergence de la série de terme général Z n dt 1 - n n-1 t On reconnaît ci-dessus l'opposé du terme général an . La série de terme général an est convergente. On peut aussi prouver la convergence de la série de terme général an en majorant |an | par 1/(n(n - 1)) à l'aide de la décroissance de la fonction inverse sur le segment [ n - 1 ; n ]. I.A.2 Commençons par évaluer la somme partielle n P ak pour n > 2. k=2 n P n P ak = k=2 1 - k k=2 Z k-1 n n 1 P P - k=2 k=2 k Z = Hn - 1 - = k Z k k-1 n 1 n P dt t ! dt t dt t ak = Hn - 1 - ln n k=2 D'après la question I.A.1, la série P an converge. Posons donc + A= P ak + 1 k=2 Ainsi, pour n > 2, n P k=2 + ak = A - 1 - P ak k=n+1 = n+ A - 1 + o(1) puisque le reste d'une série convergente tend vers zéro. En réunissant les deux calculs n P de ak qui précèdent, on obtient k=2 Hn - 1 - ln n soit = n+ A - 1 + o(1) Il existe une constante réelle A telle que Hn = n+ ln n + A + o(1). Factorisons l'expression ci-dessus par le terme ln n, non nul pour n > 1 : A 1 Hn = ln n × 1 + +o = ln n × (1 + o(1)) n+ ln n ln n Cela se réécrit Hn ln n