Centrale Maths 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Polynômes de Tchebychev et de Dickson, applications
Principaux outils utilisés polynômes, arithmétique, matrices
Mots clefs Tchebychev, Dickson, division euclidienne, pgcd

Corrigé

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Mathématiques 2  0 et que n n'est pas le produit de m par un entier impair. Montrer qu'il existe un unique entier 19 > 1 tel que ln -- 2pml < m et que Qn,m : 2 (Tn--m _ Tn--3m + + <_1)p_1Tn--(2p--l)m) et Rn,m : (_1)pîln--2pml II.B -- Plus grand commun diviseur Dans toute cette sous--partie 118, on fixe deux entiers naturels m et n. II.B.1) Soit h le pgcd dans IN de m + 1 et n + 1. En examinant les racines communes a U,, et U..., montrer que U,,_1 est un pgcd dans IR[X] de U,, et U.... II.B.2) Soit 9 > Ole pgcd de m et n. On pose m1 : m/g et n1 : n/g. &) Montrer que si m1 et n1 sont impairs, alors Tg est un pgcd de T,, et T.... I)) Montrer que si l'un des deux entiers m1 ou nl est pair, alors T,, et T... sont premiers entre eux. 0} Que peut--on dire des pgcd de T,, et T... lorsque m et n sont impairs ? Lorsque n et m sont deux puissances de 2 distinctes ? III Un théorème Dans cette partie, on munit l'ensemble C[X] des polynômes complexes de la loi de composition interne associative donnée par la composition, notée 0. Plus précisément, étant donné P, Q EUR C[X], si P = 2233 p,,Xk, la suite (pk)kEURN étant nulle a partir d'un certain rang, on a +oo Po @ = Zqu k=0 On dit que les polynômes P et Q commutent si PoQ : QoP. On note EUR(P) l'ensemble des polynômes complexes qui commutent avec le polynôme P 6

= {@ e un. P0Q=QOP} On cherche dans cette partie les familles (F,,),,ËN de polynômes complexes vérifiant Vn EUR IN, deg F,, = n et V(m, n) EUR INZ, F,, 0 F... = F... 0 F,, (111.1) Il est clair que la famille (X "),,En, convient. On note G l'ensemble des polynômes complexes de degré 1, et pour oz E C, on pose PO, : X 2 + 04. III.A -- Préliminaires III.A.1) Montrer que la famille (T,,),,EURN vérifie la propriété (111.1). On pourra comparer T,, 0 T... et T...,,. III.A.2) Vérifier que G est un groupe pour la loi 0. L'inverse pour la loi 0 d'un élément U de G sera noté U _1. III.B -- Commutant de X2 et T2 III.B.1) Soit 04 EUR (I: et soit Q un polynôme complexe non constant qui commute avec PC,. Montrer que Q est unitaire. III.B.2) En déduire que, pour tout entier n > 1, il existe au plus un polynôme de degré n qui commute avec Po,. Déterminer EUR(X2). III.B.3) Soit P un polynôme complexe de degré 2. Justifier l'existence et l'unicité de U E G et oz E @ tels que U 0 P 0 U _1 : Po,. Déterminer ces deux éléments lorsque P : T2. III.B.4) Justifier que Û(T2) : {--1/2} U {T...n EUR IN}. III. G -- III.C.1) Montrer que les seuls complexes oz tels que Û(POE) contienne un polynôme de degré trois sont 0 et --2. III.C.2) En déduire le théorème de Block et Thielmann : si (F,,),,EURN vérifie (111.1), alors il existe U E G tel que VnEIN*, F,,=U_loX"oU ou VnEIN*, F,,=U_loTnoU 2014--02-10 11:53:20 Page 2/3 OE=C BY-NC-SA IV Puissances dans GL2(Z) Dans toute cette partie, on note GL2(Z) l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau M2(Z), muni de son addition et de sa multiplication usuelle. I V.A -- Justifier qu'un élément M de M2(Z) appartient a GL2(Z) si et seulement si ldet M \ = 1. I V.B -- On introduit les polynômes de Dickson de première et deuxième espèce, (Dn)nEURN et (En)neN, définis sous la forme de fonctions polynomiales de deux variables par DO< @ n n+1 Dn (oe+g,a) =oe"+a-- et (oe--g) En (oe+g,a) : (oen+1--a--) (IV.1) 513" $ $ $ OEn+1 I V.C -- Dans cette sous--partie, on cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément A de GL2(Z) soit une puissance n--ième dans GL2(Z), c'est--à--dire pour qu'il existe une matrice B E GL2(Z) telle que A : B". Dans toute la suite, on notera A=(î â) T=TrA ô=detA IV.C.1) Soit B E GL2(Z). On note, dans cette question uniquement, 0 : TrB et 1/ : det B. Montrer pour tout n > 2, l'égalité Bn : E --1(07V) 'B_VEn--2(07V)'Ï2 n où 12 est la matrice identité d'ordre 2. Établir que Tr(B") : D,,(a, IJ). IV.C.2) En déduire que si A est une puissance n--ième (n > 2) dans GL2(Z), alors il existe 0 EUR Z et 1/ EUR {--1, 1} tels que i. En_1(a, u) divise b, c et a -- d. On justifiera brièvement que En_1(a, u) est bien un entier. ii. T : D,,(a,u) et 6 = u". IV.C.3) On va maintenant établir la réciproque. Soit A un élément de GL2(Z) pour lequel il existe 0 EUR Z et 1/ EUR {--1, 1} vérifiant les deux conditions précédentes i et ii. Pour simplifier, on note 19 : En_1(a, V). On définit alors une matrice B = (; â) avec 1 a--d ?) c 1 a--d 7"=--(0+ ) s=-- t=-- u=--(0-- ) 2 p ? &) En introduisant une racine complexe du polynôme X 2 -- 0X + 1/ et a l'aide de (IV.1), montrer que 2 _ 2 2 - _ T --4ô-p (a --41/) pms ru--st-u En déduire que B appartient a GL2(Z). b) Montrer que A : B". 710 IV.C.4) Montrer que la matrice A = (5 7 telle que B3 = A. ) est un cube dans GL2(Z) et déterminer une matrice B E GL2(Z) oooFlNooo 2014-02-10 11:53:20 Page 3/3 OE=C BY-NC-SA

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 Centrale Maths 2 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce sujet a pour objet l'étude approfondie des polynômes de Tchebychev et de Dickson sous un angle plutôt original, qui lui permet de naviguer de l'algèbre à l'arithmétique, en passant par des applications en algèbre linéaire dans GL2 (Z). Il est constitué de quatre parties très liées les unes aux autres. · Une première partie récapitule l'étude classique des polynômes de Tchebychev (dits de première espèce), avant d'enchaîner sur ceux moins connus de deuxième espèce. Elle est facile pour quiconque connaît bien son cours sur les polynômes. · La deuxième partie, probablement la plus difficile, étudie ces polynômes d'un point de vue arithmétique, en calculant le quotient et le reste de la division euclidienne entre deux polynômes de Tchebychev quelconques (la question II.A.2.b en particulier est délicate car la forme de la solution n'est pas donnée), ainsi que leur pgcd. · La troisième partie introduit la notion de commutativité pour la composition des polynômes, et montre que les familles de polynômes échelonnées en degrés qui commutent entre eux s'expriment facilement en fonction des polynômes de Tchebychev de première espèce. Certaines questions sont techniques et nécessitent surtout de bien garder en mémoire toutes celles qui précèdent pour bien les enchaîner dans le raisonnement. · Enfin, la quatrième partie introduit les polynômes de Dickson, brièvement étudiés dans la question IV.B , afin de caractériser les matrices de GL2 (Z) qui sont des puissances n-ièmes d'autres matrices de GL2 (Z). C'est une application originale des polynômes de Tchebychev. En conclusion, il s'agit d'un problème très structuré, d'un bon niveau, supposant une solide maîtrise technique. Il comporte quelques questions à la formulation ouverte (par exemple III.B.2) auxquelles il faut apporter une réponse pour poursuivre l'épreuve. Il exige également d'appréhender le problème dans son ensemble, autrement dit de bien comprendre ce que l'on fait, pour utiliser à bon escient les résultats précédents (par exemple, résoudre la question III.C.2 nécessite d'utiliser cinq des questions qui la précèdent). Il était donc très efficace pour trier les candidats. Il est excellent pour se préparer aux épreuves, et permet de réviser en profondeur les chapitres abordés, issus principalement du programme de MPSI, avec un peu de valeurs propres dans la dernière partie. Indications Partie I I.A.2 Montrer l'égalité pour Tn (cos ) puis exploiter l'unicité. I.A.3 La méthode est la même que pour la question I.A.2 . Raisonner ensuite par récurrence. Partie II II.A.1 Comme pour la partie I, prouver ces égalités pour cos puis conclure par unicité. II.A.2.a Séparer les cas m < n < 2m, 2m < n < 3m et n = 2m puis appliquer dans les deux premiers cas la question précédente en remplaçant (m, n) par (n - m, m) et (m, n - m). II.A.2.b L'idée, comme à la question précédente (deuxième cas) est d'appliquer le résultat de la question II.A.1 en remplaçant n par n-m. Comme cela ne suffit pas, écrire l'égalité obtenue en remplaçant p par k pour tout k [[ 1 ; p ]]. Multiplier chaque égalité par (-1)k et effectuer la somme. II.A.2.c Montrer que l'ensemble A = {k N | (2k - 1)m < n} admet un maximum. Raisonner ensuite comme à la question précédente en appliquant le résultat de la question II.A.1 dans lequel on remplace n par n - (2k + 1)m pour tout k [[ 0 ; p - 2 ]]. Isoler le terme (-1)n Tn-(2(p-1)m) , puis l'exprimer grâce à la question II.A.2.a . II.B.1 Montrer que Un et Um ont une racine commune si et seulement si h > 1 puis, dans le cas où h > 1, que leurs racines communes sont exactement les racines de Uh-1 . II.B.2.a Raisonner comme à la question précédente (mais il n'y a pas de condition sur g ici). Partie III III.A.1 Comme pour la partie I, comparer Tn Tm (cos) et Tm Tn (cos ) et conclure par unicité. III.B.2 Supposer qu'il en existe deux. Le polynôme différence R commute avec P . Chercher une contradiction sur son degré en calculant P R et R P . III.B.3 Résoudre le système obtenu par l'égalité U P U-1 = P , qui se réécrit U P = P U. III.B.4 Utiliser la question précédente pour exprimer T2 puis se ramener au commutant de P-2 . Exploiter ensuite les questions III.B.2 et III.A.1 . III.C.1 Résoudre le système obtenu à partir de Q P = P Q, où Q s'écrit sous la forme Q(X) = X3 + aX2 + bX + c. III.C.2 Appliquer la question III.B.3 à F2 puis remarquer que F3 commute avec F2 , ce qui donne un polynôme commutant avec P en notant que si A et B commutent, alors U A U-1 et U B U-1 commutent. Appliquer alors le résultat de la question III.C.1 pour en déduire que = 0 ou = -2. Dans le premier cas, utiliser le résultat de la question III.B.2 . Dans le second cas, exploiter la question III.B.3 pour exprimer P-2 puis les questions III.A.2 et III.B.4 pour trouver la forme du polynôme correspondant. Partie IV IV.B Montrer que les familles de polynômes (Fn ) et (Gn ) définies pour a 6= 0 par Fn (x, a) = 1 Dn (2xa, a2 ) 2an et Gn (x, a) = 1 En (2xa, a2 ) an vérifient la même relation de récurrence que les familles (Tn ) et (Un ). Prouver la suite de la question par récurrence sur n N. IV.C.1 Raisonner par récurrence. IV.C.2 Si A est une puissance n-ième dans GL2 (Z), alors il existe une matrice B GL2 (Z) telle que A = Bn . En utilisant la relation établie à la question IV.C.1 , exprimer cette égalité coefficient par coefficient. IV.C.3.a Noter une racine complexe du polynôme X2 - X + . Déterminer la seconde grâce à la somme des racines et à leur produit . Utiliser ensuite la condition (ii) et la relation (IV.1). Pour la deuxième égalité, chercher à faire apparaître 2 = (Tr A)2 . Enfin, pour montrer que G GL2 (Z), calculer 4ru pour montrer que r ou u appartient à Z et conclure grâce à l'égalité r + u = . IV.C.3.b Exprimer d'abord la matrice Bn à l'aide de l'égalité de la question IV.C.1 , puis calculer la somme et la différence des deux coefficients diagonaux afin de déterminer leur valeur. Pour la somme, exprimer = Tr A de deux manières différentes. IV.C.4 Chercher et vérifiant les conditions de la question IV.C.3.b . I. Définitions et propriétés usuelles I.A.1 Pour tout R, · T0 (cos ) = cos(0) = 1, donc T0 (X) = 1 par unicité de T0 ; · T1 (cos ) = cos(1) = cos(), donc T1 (X) = X par unicité de T1 ; · T2 (cos ) = cos(2) = 2 cos2 () - 1, donc T2 (X) = 2X2 - 1 par unicité de T2 ; · T3 (cos ) = cos(3). Or, cos(3) = cos(2) cos() - sin(2) sin() = 2 cos3 () - cos() - 2 sin2 () cos() = 2 cos3 () - cos() - 2(1 - cos2 ()) cos() cos(3) = 4 cos3 () - 3 cos() donc T3 (X) = 4X3 - 3X par unicité de T3 . Finalement, T0 (X) = 1 T1 (X) = X T2 (X) = 2X2 - 1 T3 (X) = 4X3 - 3X I.A.2 Soient R et n N. En passant aux complexes, la relation définissant le polynôme Tn s'écrit Tn (cos ) = cos(n) = Re e i n = Re [(cos + i sin )n ] " n # X n p n-p p Tn (cos ) = Re cos ()i sin () p p=0 en utilisant le binôme de Newton. Or, la suite (in ) est périodique de période 4 et pour tout n N, i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = -1 et i4n+3 = -i La somme précédente ne comporte donc que des termes pairs, et il vient X n Tn (cos ) = cosn-2k ()i2k (sin2 ())k 2k 062k6n X n = cosn-2k ()(-1)k (1 - cos2 ())k 2k 062k6n X n Tn (cos ) = cosn-2k ()(cos2 () - 1)k 2k 062k6n Par unicité du polynôme Tn , on en déduit que X n Tn (X) = Xn-2k (X2 - 1)k 2k 062k6n