Centrale Maths 2 MP 2011

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EDNEHIIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Rappels et notations

Pour tout entier naturel non nul n, on note :

-- [il, nl] Fensemble des entiers naturels k tels que 1 £ [C $ n:

-- MAR) (respectivement Mn,1(R)) l7espace vectoriel des matrices carrées a n 
lignes et n colonnes (respecti--
vement l7espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans 
R:

-- SAR) le sous--espace vectoriel de MAR) constitué des matrices symétriques.

Soit n E N* et A E SAR) : on dit que A est positive (respectivement définie 
positive) si :

VX EUR Mn,1(R), tXAX } 0 (respectivement tXle > 0 si X # O).

L7espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est noté Rle, et, pour 
tout entier naturel p, le sous--espace
vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à p est noté RÆXl.

Objectifs

La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices 
réelles définies positives, a l7aide
des déterminants de certaines matrices extraites.

La deuxième partie aborde l7étude d7une suite de polynômes orthogonaux pour un 
produit scalaire défini a l7aide
d7une intégrale.

La troisième partie introduit les matrices de Hilbert et leur inverse, dont 
certaines propriétés sont étudiées dans
la partie IV.

I Caractérisation des matrices symétriques définies positives

I.A * SoitnEURN* etAESAR).

I.A.l) Montrer que A est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres 
sont positives.

I.A.2) Montrer que A est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs 
propres sont strictement
positives.
I.B * Pour n E N*, A E SAR) et i EUR [il, nl], on note A(i) la matrice carrée 
d7ordre i extraite de A, constituée

par les i premières lignes et les i premières colonnes de A.

Le but de cette question est de démontrer l7équivalence suivante :
A est définie positive <=> Vi EUR [il, nl], det(A O.

I.B.l) Soit A E SAR). On suppose que A est définie positive.

Pour tout i EUR [il, nl], montrer que la matrice A(i) est définie positive et 
en déduire que det(A®) > 0.

Pour tout n E N*, on dira qu7une matrice A de SAR) vérifie la propriété Pn si 
det(A®) > 0 pour tout i EUR [il, nl].
I.B.2) Dans les cas particuliers n = l et n = 2, montrer directement que toute 
matrice A E SAR) vérifiant
la propriété Pn est définie positive.

I.B.3) Soit n E N*. On suppose que toute matrice de SAR) vérifiant la propriété 
Pn est définie positive.
On considère une matrice A de Sn+1(R) vérifiant la propriété Pn+1 et on suppose 
par l7absurde que A n7est pas
définie positive.

a) Montrer alors que A admet deux vecteurs propres linéairement indépendants 
associés à des valeurs propres
(non nécessairement distinctes) strictement négatives.

b) En déduire qu7il existe X EUR Mn+1,1(R) dont la dernière composante est 
nulle et tel que tX AX < 0. c) Conclure. I. C' * Soit A une matrice de SAR). A--t--on l7équivalence suivante : A est positive <=> Vi EUR [ll:nfl, det(A®) } 0 ?

I.D * Écrire une procédure, dans le langage Maple ou Mathematica, qui prend en 
entrée une matrice

M EUR SAR) et qui, en utilisant la caractérisation du I.B, renvoie « true » si 
la matrice M est définie positive,
et « false » dans le cas contraire.

20 avril 2011 11:27 Page 1/4 GC) BY--NC-SA

II Etude d'une suite de polynômes
On définit la suite de polynômes (Pn)nEURN par :

P0=1
{Vn EUR N*, P,, = {X(X --1)}"

De plus, on pose :
WR @) e (...p2, @ dt.

II.A * Montrer que Papplication (P, Q) 1--> <1>

P,<,"> .

II.C * Soit n E N*. Montrer que, pour tout Q EUR Rnn1{X],  constitué des fonctions 
polynomiales de ]0, 1] dans R: ainsi, pour
tout entier naturel i, le polynôme X 1 est confondu avec la fonction 
polynomiale définie par X 1 (t) = L" pour tout

EUR ]0, 1].
On étend a CO(]O: 1],R> le produit scalaire <', > de la partie II en posant

W.geco<10;u,R>, = / fgdt

(On ne demande pas de Vérifier qu7il s7agit d7un produit scalaire sur CO(]O: 
1],R>.>

On note ]] ' ]] la norme associée à ce produit scalaire : pour toute fonction f 
E CO(]O: 1],R>, on a donc

... = V

III.B.1) Soit n E N. Montrer qu7il existe un unique polynôme 117, EUR Rn]X] tel 
que

]]anfll=Q minX ]]Q fl]

III.B.2) Montrer que la suite (]]11n + f]]>nEURN est décroissante et converge 
vers 0.

III.B.3) Montrer que Hn est la matrice du produit scalaire <', '>, restreint à 
Rn11 ]X ], dans la base canonique
de Rn11]X1.
III.B.4) Calculer les coefficients de 1--1" a l7aide de la matrice H,, +1 et 
des réels .

III.B.5) Déterminer explicitement 112 lorsque f est la fonction définie pour 
tout t E ]0, 1] par f(t) = 1 + t2 .

IV Propriétés des coefficients de H,;1

IV.A + Somme des coefficients de H,?1
Pour n E N* et (i, j) EUR ]]1, n]]2, on note h(-j1 ") le coefficient de place 
(i,j> de la matrice H,?1 et on désigne par

c7est--a--dire :

=z h('j 1")

1ogpgn11 
vérifiant le système de n équations

linéaires a n inconnues suivant :

(H) (H)
(n) % ... a... = 1
de + 2 + + H
(H) (H) (H)
ao al a,,ÿ1
2 + 3 + + n + 1
(H) (H) (H)
"0 al an+1
= 1
n + n + 1 + + 2n + 1
b) Montrer que sn = z ag").
p=0
On définit, pour tout n E N*, le polynôme Sn par : Sn-- -- ag") + a(n)X ' + 
a£,@1an1.

Dans les questions suivantes de IV.A, on désigne par n un entier naturel non 
nul.
IV.A.3) Montrer que

VQ=a0+aix+m+an=1X"fleRn 1le » <>=Sn»Q Za,

IV.A.4) Exprimer sn a l7aide de la suite de polynômes (Kp>pEURN définie à la 
question ILE.

IV.A.5) Pour tout p EUR ]]0: n --1]], calculer Kp(1>.
IV.A.6) Déterminer la valeur de sn.

20 avril 2011 11:27 Page 3/4 @°_

IV.B * Les coefficients de H51 sont des entiers

Pour n E N et [EUR EUR [l0g nl], on note (Z) le coefficient binomial (Z) =

2
IV.B.1) Soit p E N*. Montrer que < p ) est un entier pair. P En déduire que, si n E N* et p EUR fil; nl], alors (71 +1?) (71) est un entier pair. P P IV.B.2) Pour tout n E N, montrer qu7on peut écrire : K.. = \/2n+ 1An où An est un polynôme à coefficients entiers que l7on explicitera. Parmi les coefficients de A... lesquels sont pairs ? IV.B.3) Soit n E N*. a) Calculer hfi1.n) pour tout i E [llgn] ; on donnera en particulier une expression très simple de hâîll'n) et hÂÎÊ'") en fonction de n. b) Calculer hï-El7n) pour tout couple (i,j) EUR fil; nl]2 ; en déduire que les coefficients de Hgl sont des entiers. c) Montrer que hïgl'n) est divisible par 4 pour tout couple (i,j) EUR [l2g nl]? oooFlNooo 20 avril 2011 11:27 Page 4/4 @_