Centrale Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Étude des matrices de Hilbert et du produit scalaire associé
Principaux outils utilisés matrices symétriques définies positives, produit scalaire, polynômes orthogonaux, déterminants
Mots clefs matrices de Hilbert, approximation au sens des moindres carrés, déterminant, polynômes de Legendre, matrices symétriques définies positives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


î, '» Mathématiques 2 s, --/ MP EDNEHIIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2011 Rappels et notations Pour tout entier naturel non nul n, on note : -- [il, nl] Fensemble des entiers naturels k tels que 1 £ [C $ n: -- MAR) (respectivement Mn,1(R)) l7espace vectoriel des matrices carrées a n lignes et n colonnes (respecti-- vement l7espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans R: -- SAR) le sous--espace vectoriel de MAR) constitué des matrices symétriques. Soit n E N* et A E SAR) : on dit que A est positive (respectivement définie positive) si : VX EUR Mn,1(R), tXAX } 0 (respectivement tXle > 0 si X # O). L7espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est noté Rle, et, pour tout entier naturel p, le sous--espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à p est noté RÆXl. Objectifs La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices réelles définies positives, a l7aide des déterminants de certaines matrices extraites. La deuxième partie aborde l7étude d7une suite de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire défini a l7aide d7une intégrale. La troisième partie introduit les matrices de Hilbert et leur inverse, dont certaines propriétés sont étudiées dans la partie IV. I Caractérisation des matrices symétriques définies positives I.A * SoitnEURN* etAESAR). I.A.l) Montrer que A est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. I.A.2) Montrer que A est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. I.B * Pour n E N*, A E SAR) et i EUR [il, nl], on note A(i) la matrice carrée d7ordre i extraite de A, constituée par les i premières lignes et les i premières colonnes de A. Le but de cette question est de démontrer l7équivalence suivante : A est définie positive <=> Vi EUR [il, nl], det(A O. I.B.l) Soit A E SAR). On suppose que A est définie positive. Pour tout i EUR [il, nl], montrer que la matrice A(i) est définie positive et en déduire que det(A®) > 0. Pour tout n E N*, on dira qu7une matrice A de SAR) vérifie la propriété Pn si det(A®) > 0 pour tout i EUR [il, nl]. I.B.2) Dans les cas particuliers n = l et n = 2, montrer directement que toute matrice A E SAR) vérifiant la propriété Pn est définie positive. I.B.3) Soit n E N*. On suppose que toute matrice de SAR) vérifiant la propriété Pn est définie positive. On considère une matrice A de Sn+1(R) vérifiant la propriété Pn+1 et on suppose par l7absurde que A n7est pas définie positive. a) Montrer alors que A admet deux vecteurs propres linéairement indépendants associés à des valeurs propres (non nécessairement distinctes) strictement négatives. b) En déduire qu7il existe X EUR Mn+1,1(R) dont la dernière composante est nulle et tel que tX AX < 0. c) Conclure. I. C' * Soit A une matrice de SAR). A--t--on l7équivalence suivante : A est positive <=> Vi EUR [ll:nfl, det(A®) } 0 ? I.D * Écrire une procédure, dans le langage Maple ou Mathematica, qui prend en entrée une matrice M EUR SAR) et qui, en utilisant la caractérisation du I.B, renvoie « true » si la matrice M est définie positive, et « false » dans le cas contraire. 20 avril 2011 11:27 Page 1/4 GC) BY--NC-SA II Etude d'une suite de polynômes On définit la suite de polynômes (Pn)nEURN par : P0=1 {Vn EUR N*, P,, = {X(X --1)}" De plus, on pose : WR @) e (...p2, @ dt. II.A * Montrer que Papplication (P, Q) 1--> <1> P,<,"> . II.C * Soit n E N*. Montrer que, pour tout Q EUR Rnn1{X],  constitué des fonctions polynomiales de ]0, 1] dans R: ainsi, pour tout entier naturel i, le polynôme X 1 est confondu avec la fonction polynomiale définie par X 1 (t) = L" pour tout EUR ]0, 1]. On étend a CO(]O: 1],R> le produit scalaire <', > de la partie II en posant W.geco<10;u,R>, = / fgdt (On ne demande pas de Vérifier qu7il s7agit d7un produit scalaire sur CO(]O: 1],R>.> On note ]] ' ]] la norme associée à ce produit scalaire : pour toute fonction f E CO(]O: 1],R>, on a donc ... = V III.B.1) Soit n E N. Montrer qu7il existe un unique polynôme 117, EUR Rn]X] tel que ]]anfll=Q minX ]]Q fl] III.B.2) Montrer que la suite (]]11n + f]]>nEURN est décroissante et converge vers 0. III.B.3) Montrer que Hn est la matrice du produit scalaire <', '>, restreint à Rn11 ]X ], dans la base canonique de Rn11]X1. III.B.4) Calculer les coefficients de 1--1" a l7aide de la matrice H,, +1 et des réels . III.B.5) Déterminer explicitement 112 lorsque f est la fonction définie pour tout t E ]0, 1] par f(t) = 1 + t2 . IV Propriétés des coefficients de H,;1 IV.A + Somme des coefficients de H,?1 Pour n E N* et (i, j) EUR ]]1, n]]2, on note h(-j1 ") le coefficient de place (i,j> de la matrice H,?1 et on désigne par c7est--a--dire : =z h('j 1") 1ogpgn11 vérifiant le système de n équations linéaires a n inconnues suivant : (H) (H) (n) % ... a... = 1 de + 2 + + H (H) (H) (H) ao al a,,ÿ1 2 + 3 + + n + 1 (H) (H) (H) "0 al an+1 = 1 n + n + 1 + + 2n + 1 b) Montrer que sn = z ag"). p=0 On définit, pour tout n E N*, le polynôme Sn par : Sn-- -- ag") + a(n)X ' + a£,@1an1. Dans les questions suivantes de IV.A, on désigne par n un entier naturel non nul. IV.A.3) Montrer que VQ=a0+aix+m+an=1X"fleRn 1le » <>=Sn»Q Za, IV.A.4) Exprimer sn a l7aide de la suite de polynômes (Kp>pEURN définie à la question ILE. IV.A.5) Pour tout p EUR ]]0: n --1]], calculer Kp(1>. IV.A.6) Déterminer la valeur de sn. 20 avril 2011 11:27 Page 3/4 @°_ IV.B * Les coefficients de H51 sont des entiers Pour n E N et [EUR EUR [l0g nl], on note (Z) le coefficient binomial (Z) = 2 IV.B.1) Soit p E N*. Montrer que < p ) est un entier pair. P En déduire que, si n E N* et p EUR fil; nl], alors (71 +1?) (71) est un entier pair. P P IV.B.2) Pour tout n E N, montrer qu7on peut écrire : K.. = \/2n+ 1An où An est un polynôme à coefficients entiers que l7on explicitera. Parmi les coefficients de A... lesquels sont pairs ? IV.B.3) Soit n E N*. a) Calculer hfi1.n) pour tout i E [llgn] ; on donnera en particulier une expression très simple de hâîll'n) et hÂÎÊ'") en fonction de n. b) Calculer hï-El7n) pour tout couple (i,j) EUR fil; nl]2 ; en déduire que les coefficients de Hgl sont des entiers. c) Montrer que hïgl'n) est divisible par 4 pour tout couple (i,j) EUR [l2g nl]? oooFlNooo 20 avril 2011 11:27 Page 4/4 @_

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Maths 2 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Laetitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE). Le sujet est un problème classique d'algèbre bilinéaire matriciel utilisant la théorie des polynômes et le calcul de déterminants. · La première partie concerne la caractérisation des matrices symétriques définies positives à l'aide du signe des mineurs principaux de la matrice, qui sont les déterminants des matrices carrées extraites constituées des i premières lignes et des i premières colonnes de la matrice. Seule une question dans la suite du sujet (partie III) utilise les résultats de cette partie. · La deuxième partie permet de déterminer une famille étagée de polynômes orthonormaux (Kp )pN pour le produit scalaire entre polynômes défini par Z 1 2 (P, Q) (R[X]) hP, Qi = P(t)Q(t) dt 0 · La troisième partie concerne plus particulièrement les matrices de Hilbert, définies pour n N par 1 Hn = i + j - 1 16i,j6n Dans un premier temps, on y étudie le déterminant de ces matrices pour conclure à leur inversibilité et à l'existence de valeurs propres strictement positives de la matrice. Certaines propriétés de l'inverse sont également abordées. Dans un second temps, on s'intéresse à la généralisation du produit scalaire introduit dans la deuxième partie aux fonctions continues sur [ 0 ; 1 ] et à l'approximation au sens des moindres carrés des fonctions continues par des polynômes. · La quatrième partie poursuit l'étude des matrices Hn-1 . On y calcule la somme de leurs coefficients et on montre que ceux-ci sont entiers. Plusieurs résultats des parties II et III sont réutilisés ici. Ce problème ne présente pas de difficultés particulières. Il permet une bonne révision des techniques et raisonnements de l'algèbre linéaire et bilinéaire. Indications Partie I I.A.1 Il s'agit d'une question de cours. t I.B.2 Dans le cas n = 2, une fois écrite la formule développée de X AX, faire apparaître un carré pour regrouper les termes en x2 et en xy. I.B.3.a Considérer les valeurs propres de la matrice A et utiliser la stricte positivité de son déterminant. I.B.3.b Remarquer que les vecteurs propres peuvent être choisis orthogonaux et créer une combinaison linéaire de ces vecteurs qui vérifie la propriété de l'énoncé. I.C Trouver un contre-exemple de M2 (R) avec le plus de 0 possible. Partie II II.B Utiliser la formule de Leibniz avec les polynômes R(X) = Xn et S(X) = (X - 1)n II.C Raisonner par intégrations par parties successives en dérivant le polynôme Q. Montrer également que 0 6 k 6 n - 1 (k) (k) Pn (0) = Pn (1) = 0 à l'aide de la formule de Leibniz utilisée à la question précédente. II.D.1 Intégrer par parties successivement en dérivant les polynômes (X - 1)k et en intégrant les polynômes Xp . II.D.2 Intégrer par parties successivement comme à la question II.C. Partie III III.A.2 Comme l'indique l'énoncé, commencer par soustraire la dernière colonne de n+1 à toutes les autres. Identifier les termes facteurs communs des coefficients des colonnes puis des lignes. Poursuivre en soustrayant la dernière ligne du déterminant à toutes les autres et procéder de même qu'à l'étape précédente. Développer suivant la dernière colonne. III.A.4 Démontrer le résultat par récurrence. III.A.5 Penser à appliquer la partie I à la matrice Hn symétrique réelle. III.B.1 Utiliser la projection orthogonale de la fonction f sur un sous-espace vectoriel de dimension finie. III.B.2 Penser au théorème de Weierstrass sur la densité des fonctions polynômes dans l'ensemble C 0 ([ 0 ; 1 ] , R) pour la norme k · k . III.B.4 Décomposer le polynôme n dans la base canonique de Rn-1 [X] et utiliser la propriété affirmant que la fonction n - f est orthogonale à tout polynôme de Rn-1 [X] pour le produit scalaire h·, ·i. Partie IV IV.A.2.a Exploiter l'inversibilité de la matrice Hn . t (n) (n) IV.A.2.b Exprimer le vecteur a0 · · · an-1 en fonction de Hn-1 et du vecteur t J = 1 ··· 1 . IV.A.3 Calculer explicitement le produit scalaire hSn , Qi en utilisant les décompositions des vecteurs dans la base canonique de Rn-1 [X]. IV.A.4 Calculer kSn k2 de deux manières différentes : au moyen de la question IV.A.3 et en utilisant la décomposition du polynôme Sn dans la base orthonormale (Kp )pN introduite dans la partie II. IV.B.1 Appliquer à k = p et n = 2p la propriété n n-1 1 6 k 6 n k =n k k-1 IV.B.2 Montrer que les polynômes Ln définis dans la partie B vérifient les conditions du polynôme n en décomposant les polynômes Ln dans la base canonique de R[X]. IV.B.3.a Exprimer la matrice du produit scalaire h·, ·i dans la base (Kp )06p6n-1 en fonction de Hn et de n , où n est la matrice de passage de la base canonique à la base (Kp )06p6n-1 de Rn-1 [X]. En déduire une formule permettant d'exprimer les coefficients de Hn -1 . IV.B.3.b et c Utiliser les résultats des questions IV.B.1 et IV.B.2. I. Caractérisation des matrices symétriques définies positives I.A.1 Supposons que la matrice symétrique A est positive. Considérons une de ses valeurs propres et X Mn,1 (R) un vecteur propre associé. On a AX = X et t t X AX = t X X . Posons X = x,1 · · · x,n où (x,1 , . . . , x,n ) Rn , alors t X X = n P k=1 2 x,k Le vecteur X étant un vecteur propre, il existe k0 [[ 1 ; n ]] tel que x,k0 6= 0 donc t t X X > 0. Comme la matrice A est positive, X AX > 0 et on en déduit > 0. Réciproquement, supposons que toutes les valeurs propres de A sont positives. Comme A Sn (R), il existe On (R) et D une matrice diagonale telles que t A = D Posons D = diag(d1 , d2 , · · · , dn ), où les réels (di )16i6n sont les valeurs propres de A, éventuellement confondues, positives par hypothèse. Pour tout X Mn,1 (R), t t Posons X = X = t t t t t t X AX = X D X = ( X) D X x1 · · · xn Mn,1 (R). On obtient que t t X AX = X DX = n P k=1 dk (xk )2 > 0 car pour tout k [[ 1 ; n ]], dk > 0 et (xk )2 > 0. On en déduit que X Mn,1 (R) Ainsi, t X AX > 0 A est positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives. Le résultat utilisé lors de la démonstration de la réciproque est un théorème fondamental d'algèbre bilinéaire sur la réduction des matrices symétriques réelles à connaître absolument : S Sn (R) (, D) On (R) × Dn (R) S = D-1 où Dn (R) désigne l'ensemble des matrices diagonales de Mn (R). I.A.2 Supposons que la matrice A est définie positive. En reprenant les notations et les calculs de la question précédente, si X est un vecteur propre associé à la valeur propre , X est non nul et t X AX = t X X avec t X AX > 0 et t X X > 0, d'où > 0. Réciproquement, on suppose que toutes les valeurs propres (d1 , . . . , dn ) de la matrice A, symétrique, sont strictement positives. En reprenant les notations de la question précédente, pour tout X Mn,1 (R) avec X 6= 0, t t X AX = X DX = n P k=1 dk (xk )2