Centrale Maths 2 MP 2010

Concours Centrale - Supélec 2010

Épreuve :

MATHÉMATIQUES II

Filière

MP

MATHÉMATIQUES II

Filière MP

MATHÉMATIQUES II
Les calculatrices sont autorisées

Notations :
· IK désigne le corps IR ou le corps C
I .
· On fixe un IK -espace vectoriel E de dimension n  1 .

Partie I 2

I.A - On fixe une application  de E dans IK . On suppose que  est une forme
3
bilinéaire symétrique sur E , c'est-à-dire que, pour tout ( x, y, z )  E et 
pour tout
  IK , ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z) et ( x, z) = ( z, x) .
I.A.1)
Pour tout élément x de E , on note h(x) l'application de E dans E telle
que  y  E , h ( x ) ( y ) =  ( x, y ) .
a) Montrer que, pour tout x de E , h(x) est élément du dual de E , noté E* .
b) Montrer que h est une application linéaire de E dans E* .

I.A.2)
Si A est une partie de E , on note A = { x  E / a  A (x, a) = 0 } .

Montrer que A est un sous-espace vectoriel de E .

Par la suite, lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté, on notera A au lieu de A .

I.A.3)
On dit que  est non dégénérée si et seulement si E = { 0 } .
Montrer que  est non dégénérée si et seulement si h est un isomorphisme.
I.A.4)
Soit e = ( e 1, ..., e n ) une base de E .
On note e = ( e1 , ..., en ) la base duale de e .
a) Montrer que la matrice de h dans les bases e et e est :
mat ( h, e, e ) = ( (e i, e j) ) 1  i  n
1 jn

Cette dernière matrice sera également appelée la matrice de  dans la base e
et notée mat(, e)
2
b) Soit ( x, y )  E . On note X et Y les matrices colonnes dont les coefficients
sont les composantes de x et y dans la base e .
t
t
Montrer que (x, y) = XY où  = mat(, e) et où X désigne la matrice ligne
obtenue en transposant X .

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Filière MP

Filière MP
I.B - Si  est une forme bilinéaire symétrique sur E , on note q  l'application 
de
E dans IK définie par :  x  E , q ( x) = ( x, x) . On dit que q  est la forme 
quadratique associée à  . On note Q ( E ) l'ensemble des q  où  est une forme 
bilinéaire symétrique sur E .
I.B.1)
Soit q  Q ( E ) .
Montrer qu'il existe une unique forme bilinéaire symétrique sur E , notée  ,
telle que q = q  . On dira que  est la forme bilinéaire symétrique associée à la
forme quadratique q . On dira que q est non dégénérée si et seulement si  est
non dégénérée. Si e est une base de E , on notera mat ( q, e ) = mat ( , e ) . 
On
l'appellera la matrice de q dans la base e .
I.B.2)
Soit q une forme quadratique sur E . Soit E un second IK -espace vectoriel de 
dimension n , et soit q une forme quadratique sur E .
On appelle isométrie de ( E, q ) dans ( E, q ) tout isomorphisme f de E dans E
vérifiant : pour tout x  E , q ( f (x) ) = q ( x ) . On dira que ( E, q ) et ( 
E, q ) sont isométriques si et seulement si il existe une isométrie de ( E, q ) 
dans ( E, q ) .
Montrer que ( E, q ) et ( E, q ) sont isométriques si et seulement si il existe 
une
base e de E et une base e de E telles que mat ( q, e ) = mat ( q, e ) .
*
2p
I.B.3)
Soit p  IN . Notons c = ( c 1, ..., c 2 p ) la base canonique de IK .
p

2p

Pour tout x =

 xi ci  IK

2p

, on pose q p(x) = 2  x i x i + p .
i=1
2p

i=1

a) Montrer que q p est une forme quadratique sur IK et calculer mat(q p, c) .
b) On appelle espace de Artin (ou espace artinien) de dimension 2 p tout couple
( F , q ) , où F est un IK -espace vectoriel de dimension 2 p , et où q est une 
forme
2p
quadratique sur F telle que ( F, q ) et ( IK , q p ) sont isométriques.
Montrer que dans ce cas, q est non dégénérée.
Lorsque p = 1 , on dit que ( F, q ) est un plan artinien.
I et pour tout
c) On suppose que IK = C
2p

x =

2p
2p

xk ck  C
I

, on pose q(x) =

k=1

2

xk

k=1
2p

I , q ) est un espace de Artin.
Montrer que ( C

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d) On suppose que IK = IR et pour tout

i=1

2p

p

2p

x =

x i c i  IR

2p

, : on pose q(x) =

2p

2

xi ­

i=1

2

xi .

i = p+1

Montrer que ( IR , q ) est un espace de Artin.
e) Si ( F, q ) est un espace de Artin de dimension 2 p , montrer qu'il existe un
sous-espace vectoriel G de F de dimension p tel que la restriction de q à G est
identiquement nulle.

Partie II Pour toute la suite de ce problème, on suppose que  est une forme 
bilinéaire
symétrique non dégénérée sur E , et on note q sa forme quadratique.
II.A II.A.1) Soit e = ( e 1, ..., e n ) une base de E . On note encore e = ( e1 
, ..., en ) la
base duale de e . Soit p  { 1, ..., n } . On note F l'espace engendré par e 1, 
..., e p .

a) Montrer que F est l'image réciproque par h de Vect ( ep + 1 , ..., en ) , où 
h est
définie au I.A.1.

b) Montrer que dim ( F ) + dim ( F ) = n .

c) Montrer que ( F ) = F .
II.A.2) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E .

a) Montrer que ( F + G ) = F  G .

b) Montrer que ( F  G ) = F + G .
II.A.3) Soit F un sous-espace vectoriel de E . On note  F la restriction de  à
2
F . On dira que F est singulier si et seulement si  F est dégénérée.
Montrer que F est non singulier si et seulement si l'une des propriétés 
suivantes est vérifiée :

· F  F = {0} ;

· E = FF ;

· F est non singulier.
II.A.4) On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont orthogonaux
si et seulement si pour tout (x, y)  F × G ,  ( x, y ) = 0 .
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E orthogonaux et non singuliers,
montrer que F  G est non singulier.
II.B - Soit q une seconde forme quadratique sur E dont la forme bilinéaire
2
symétrique associée est notée  . Comme au I.A.1, on note, pour tout (x, y)  E ,
h ( x ) ( y ) =  ( x, y) et h ( x ) ( y ) =  ( x, y) .

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Soit e = ( e 1, ..., e n ) une base de E . On dit que e est q -orthogonale si 
et seule2
ment si, pour tout (i, j)  { 1, ..., n } , avec i  j ,  ( e i, e j ) = 0 .
2
2
2
2
II.B.1) On suppose que E = IR et pour tout (x, y)  IR , q (x, y) = x ­ y et
q ( x, y) = 2xy .
Déterminer une base q -orthogonale et une base q -orthogonale.
2
II.B.2) Existe-t-il une base de IR orthogonale pour q et pour q définies à la
question II.B.1 ?
II.B.3) Supposons que e est à la fois q -orthogonale et q -orthogonale.
­1
Montrer que, pour tout i  { 1, ..., n } , e i est un vecteur propre de h o h  .
­1
II.B.4) On suppose que h o h  admet n valeurs propres distinctes.
Montrer qu'il existe une base de E orthogonale à la fois pour q et pour q .
II.C II.C.1) Soit x  E tel que q ( x ) = 0 et tel que x  0 .
On se propose de démontrer qu'il existe un plan   E contenant x et tel que
(,q /) soit un plan artinien (où q / désigne la restriction de l'application q 
au
plan  ).
a) Démontrer qu'il existe z  E tel que  ( x, z ) = 1
q( z)
b) On pose y = z ­ ----------- x . Calculer q ( y ) .
2
c) Conclure.
II.C.2) Soit F un sous-espace vectoriel singulier de E . On suppose que

( e 1, ..., e s ) est une base de F  F . On note G un supplémentaire de F  F 
dans
F.
a) Montrer que G est non singulier.

b) Démontrer par récurrence sur la dimension de F  F (en commençant par

dim ( F  F ) = 1 , puis dim ( F  F ) > 1 ) qu'il existe s plans P 1, ..., P s 
de E tels
que les trois propriétés suivantes soient vérifiées :
1) Pour tout i  { 1, ..., s } , ( P i, q / Pi ) est un plan artinien contenant 
e i
2
2) Pour tout (i, j)  { 1, ..., s } avec i  j , P i est orthogonal à P j .
3) Pour tout i  { 1, ..., s } , P i est orthogonal à G .
II.C.3) Montrer que F = G  P 1  ...  P s est non singulier.
On dira que F est un complété non singulier de F .
n
II.C.4) Montrer que si q / F = 0 , alors dim ( F )  --- .
2

II.C.5) On suppose que n = 2 p . Montrer que (E,q) est un espace de Artin si et
seulement si il existe un sous-espace vectoriel F de E de dimension p tel que
q/F = 0.

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Partie III On note O ( E, q ) l'ensemble des isométries de ( E, q ) dans 
lui-même, c'est-à-dire
l'ensemble des automorphismes f de E vérifiant :
pour tout x  E , q ( f ( x ) ) = q ( x ) .
III.A III.A.1) Soit f un endomorphisme de E .
2
a) Montrer que f  O ( E, q ) si et seulement si, pour tout (x, y)  E :
 ( f ( x ), f ( y ) ) =  ( x, y ) .
Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E et si f  O ( E, q ) , alors

f ( F ) = ( f ( F )) .
b) Soit e une base de E . Calculer la matrice de la forme bilinéaire :
( x, y) a  ( f ( x ), f ( y ) ) en fonction de mat ( f , e ) et de mat ( , e ) .
c) Posons M = mat ( f , e ) et  = mat ( , e ) .
t
Montrer que f  O ( E, q ) si et seulement si  = MM .
d) Montrer que si f  O ( E, q ) , alors det ( f )  {1,­ 1} . On notera :
+

­

O ( E, q ) = { f  O ( E, q ) / det ( f ) = 1 } et O ( E, q ) = { f  O ( E, q ) 
/ det ( f ) = ­ 1 } .

III.A.2) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que E = F  G .
On note s la symétrie par rapport à F parallèlement à G .
a) Montrer que s  O ( E, q ) si et seulement si F et G sont orthogonaux (pour  
).
b) En déduire que les symétries de O ( E, q ) sont les symétries par rapport à F

parallèlement à F , où F est un sous-espace non singulier de E .
c) Lorsque H est un hyperplan non singulier, on appellera réflexion selon H la

symétrie par rapport à H parallèlement à H . Montrer que toute réflexion de
­
E est un élément de O ( E, q ) .
2
d) Soit (x, y)  E tel que q ( x ) = q ( y ) et q ( x ­ y )  0 .

On note s la réflexion selon H = { x ­ y } . Montrer que s ( x ) = y .
III.B III.B.1) Supposons que E est un espace artinien de dimension 2 p et que F 
est
un sous-espace de E de dimension p tel que q / F = 0 .
+

Si f  O ( E, q ) avec f ( F ) = F , montrer que f  O ( E, q ) .
III.B.2) Soit F un sous-espace de E tel que F = E (où F est un complété non
singulier de F ). Montrer que si f  O ( E, q ) avec f / F = Id F (où Id F est 
l'applica+
tion identité de F dans F ), alors f  O ( E, q ) .

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III.B.3) Soit f  O ( E, q ) . On suppose que pour tout x  E tel que q ( x )  0 
, on a
f ( x ) ­ x  0 et q ( f ( x ) ­ x ) = 0 .
+
On se propose de démontrer que f  O ( E, q ) et que E est un espace de Artin.
a) Montrer que dim ( E )  3 .
b) On note V = Ker ( f ­ Id E ) . Montrer que q / V = 0 .

c) Soit x  E tel que q ( x ) = 0 . Notons H = { x } . Montrer que q / H n'est 
pas
identiquement nulle.
En déduire qu'il existe y  E tel que q ( x + y ) = q ( x ­ y ) = q ( y )  0 .
d) On note U = Im ( f ­ Id E ) . Montrer que q / U = 0 .

e) Montrer que U = V = U .
+

f) En déduire que E est un espace de Artin et que f  O ( E, q ) .

Partie IV IV.A - On souhaite démontrer le théorème de Cartan-Dieudonné, dont 
voici
l'énoncé : « si f  O ( E, q ) , f est la composée d'au plus n réflexions, où
n = dim ( E ) , en convenant que Id E est la composée de 0 réflexion.»
IV.A.1) Montrer le théorème de Cartan-Dieudonné lorsque n = 1 . On veut
ensuite raisonner par récurrence. On suppose donc que n > 1 et que le théorème
de Cartan-Dieudonné est démontré en remplaçant E par tout espace vectoriel
de dimension n ­ 1 .
IV.A.2) Conclure lorsqu'il existe x  E tel que f ( x ) = x avec q ( x )  0 .
IV.A.3) Conclure lorsqu'il existe x  E tel que q ( x )  0 et q ( f ( x ) ­ x )  
0 .
IV.A.4) Conclure dans les autres cas.
IV.B - On se propose de démontrer le théorème de Witt, dont voici l'énoncé :
« soient F et F deux sous-espaces vectoriels de E tels qu'il existe une 
isométrie
f de ( F , q / F ) dans ( F, q / F  ) (la définition d'une isométrie a été 
donnée au I.B.2).
Alors il existe g  O ( E, q ) telle que g / F = f .»
IV.B.1) Montrer qu'on peut se ramener au cas où F et F sont non singuliers.
IV.B.2) On suppose que F
et F
sont non singuliers, avec
dim ( F ) = dim ( F ) = 1 . Soit x  F avec x  0 . Posons y = f ( x ) .
a) Montrer que q ( x + y ) ou q ( x ­ y ) est non nul.
b) Montrer le théorème de Witt dans ce cas, en utilisant la question III.A.2-d).
IV.B.3) On suppose maintenant que F et F sont non singuliers, avec
dim ( F ) = dim ( F ) > 1 .

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III.B.3) Soit f  O ( E, q ) . On suppose que pour tout x  E tel que q ( x )  0 
, on a
f ( x ) ­ x  0 et q ( f ( x ) ­ x ) = 0 .
+
On se propose de démontrer que f  O ( E, q ) et que E est un espace de Artin.
a) Montrer que dim ( E )  3 .
b) On note V = Ker ( f ­ Id E ) . Montrer que q / V = 0 .

c) Soit x  E tel que q ( x ) = 0 . Notons H = { x } . Montrer que q / H n'est 
pas
identiquement nulle.
En déduire qu'il existe y  E tel que q ( x + y ) = q ( x ­ y ) = q ( y )  0 .
d) On note U = Im ( f ­ Id E ) . Montrer que q / U = 0 .

e) Montrer que U = V = U .
+

f) En déduire que E est un espace de Artin et que f  O ( E, q ) .

Partie IV IV.A - On souhaite démontrer le théorème de Cartan-Dieudonné, dont 
voici
l'énoncé : « si f  O ( E, q ) , f est la composée d'au plus n réflexions, où
n = dim ( E ) , en convenant que Id E est la composée de 0 réflexion.»
IV.A.1) Montrer le théorème de Cartan-Dieudonné lorsque n = 1 . On veut
ensuite raisonner par récurrence. On suppose donc que n > 1 et que le théorème
de Cartan-Dieudonné est démontré en remplaçant E par tout espace vectoriel
de dimension n ­ 1 .
IV.A.2) Conclure lorsqu'il existe x  E tel que f ( x ) = x avec q ( x )  0 .
IV.A.3) Conclure lorsqu'il existe x  E tel que q ( x )  0 et q ( f ( x ) ­ x )  
0 .
IV.A.4) Conclure dans les autres cas.
IV.B - On se propose de démontrer le théorème de Witt, dont voici l'énoncé :
« soient F et F deux sous-espaces vectoriels de E tels qu'il existe une 
isométrie
f de ( F , q / F ) dans ( F, q / F  ) (la définition d'une isométrie a été 
donnée au I.B.2).
Alors il existe g  O ( E, q ) telle que g / F = f .»
IV.B.1) Montrer qu'on peut se ramener au cas où F et F sont non singuliers.
IV.B.2) On suppose que F
et F
sont non singuliers, avec
dim ( F ) = dim ( F ) = 1 . Soit x  F avec x  0 . Posons y = f ( x ) .
a) Montrer que q ( x + y ) ou q ( x ­ y ) est non nul.
b) Montrer le théorème de Witt dans ce cas, en utilisant la question III.A.2-d).
IV.B.3) On suppose maintenant que F et F sont non singuliers, avec
dim ( F ) = dim ( F ) > 1 .

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a) Montrer qu'il existe F 1 et F 2 non singuliers, tels que F 1 F 2 et F = F 1  
F 2 ,
avec dim ( F 1 ) = dim ( F ) ­ 1 .
b) Supposons qu'il existe g  O ( E, q ) telle que g / F = f / F . Notons

1
1
F1 = f ( F 1 ) . Montrer que f ( F 2 )  F1 et que g ( F 2 )  F1 .
c) Montrer qu'il existe

h  O ( F1 , q /

)
F1

­1

telle que h / g ( F ) = ( f o g ) / g ( F ) .
2
2

d) Montrer qu'il existe k  O ( E, q ) telle que k / F = f .
IV.B.4) Démontrer le théorème de Witt.
··· FIN ···

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