Centrale Maths 2 MP 2009

Thème de l'épreuve Minimum d'une fonctionnelle quadratique sur un sous-espace de ℝn
Principaux outils utilisés endomorphismes auto-adjoints, quadriques, espaces vectoriels normés de dimension finie
Mots clefs Endomorphismes symétriques positifs, produits scalaires, minimum, quadrique, algorithmes

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- version du 23 fevrier 2009 16h25

MATHÉMATIQUES II

(1)

Filière

MP

Conclure.

I.C.3)

Montrer que :
x  E, ||f (x)||2  (a(x)|x).

I.C.2) Montrer que a-1  f   f est un endomorphismes diagonalisable de E et que
son spectre est inclus dans R+ .
On note  sa plus grande valeur propre.

b) Montrer que : Ker(f  ) = [Im(f )] .
c) En deduire que si une suite (zk )k d'elements de Im(f ) est telle que la 
suite
(f  (zk ))k converge vers 0, alors la suite (zk )k converge vers 0.
d) Montrer que :
f   f  S + (E).

I.C - Cas particulier
a designe un element de S ++ (E) et f un element de L(E, F ).
I.C.1)
a) Montrer qu'il existe un unique element g de L(F, E) tel que, pour tout couple
(x, y) de E × F , (f (x)|y) = (x|g(y)).
L'application g est notee f  .

I.B.4)

E = Im(u  v)  Ker(u  v).

a) Montrer que u1 est un element de S ++ (Im(u)).
b) Montrer que w est autoadjoint positif relativement a u-1 ou u-1 est le 
produit
1
1
scalaire sur Im(u) defini dans les notations.
I.B.2) Deduire de la question precedente que l'endomorphisme de Im(u  v) induit
par u  v est diagonalisable et que son spectre est inclus dans R+ .
I.B.3) Montrer, a l'aide de (1), que :

Page 1/3

I.B - Preuve du resultat
u et v designent des elements de S + (E).
I.B.1) On note u1 et w les endomorphismes de Im(u) induits par u et u  v 
respectivement.

x  E, (u(x)|x) = 0  u(x) = 0.

I.A - Generalites
I.A.1) Montrer qu'un endomorphisme symetrique de E est dans S + (E) (resp.
S ++ (E)) si et seulement si son spectre est inclus dans R+ (resp. R+ ).
I.A.2) Montrer que si u  S ++ (E), alors u-1  S ++ (E).
I.A.3) Soit u  S + (E).
a) Montrer qu'il existe un element s de S + (E) tel que u = s2 .
b) En deduire que :

On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques generalites, 
que si
u et v sont des elements de S + (E), alors u  v est diagonalisable et son 
spectre est
inclus dans R+ .

Partie I - Produit de deux endomorphismes
autoadjoints positifs

Les calculatrices sont autorisees
Notations
n et m sont des entiers naturels verifiant 1  m  n.
E et F designent les espaces vectoriels Rn et Rm munis de leur structure 
euclidienne
canonique. On note IE l'application identite de E. Le produit scalaire est note
(.|.) aussi bien dans E que dans F et la norme euclidienne est notee ||.||. S + 
(E)
designe l'ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou symetriques) positifs de 
E,
S ++ (E) le sous-ensemble constitue des endomorphismes autoadjoints definis 
positifs.
On rappelle que, si u  S ++ (E), alors u : (x, y) 7 (u(x)|y) est un produit 
scalaire
sur E.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 23 fevrier 2009 16h25

MATHÉMATIQUES II

(1)

Filière

MP

Conclure.

I.C.3)

Montrer que :
x  E, ||f (x)||2  (a(x)|x).

I.C.2) Montrer que a-1  f   f est un endomorphismes diagonalisable de E et que
son spectre est inclus dans R+ .
On note  sa plus grande valeur propre.

b) Montrer que : Ker(f  ) = [Im(f )] .
c) En deduire que si une suite (zk )k d'elements de Im(f ) est telle que la 
suite
(f  (zk ))k converge vers 0, alors la suite (zk )k converge vers 0.
d) Montrer que :
f   f  S + (E).

I.C - Cas particulier
a designe un element de S ++ (E) et f un element de L(E, F ).
I.C.1)
a) Montrer qu'il existe un unique element g de L(F, E) tel que, pour tout couple
(x, y) de E × F , (f (x)|y) = (x|g(y)).
L'application g est notee f  .

I.B.4)

E = Im(u  v)  Ker(u  v).

a) Montrer que u1 est un element de S ++ (Im(u)).
b) Montrer que w est autoadjoint positif relativement a u-1 ou u-1 est le 
produit
1
1
scalaire sur Im(u) defini dans les notations.
I.B.2) Deduire de la question precedente que l'endomorphisme de Im(u  v) induit
par u  v est diagonalisable et que son spectre est inclus dans R+ .
I.B.3) Montrer, a l'aide de (1), que :

Page 1/3

I.B - Preuve du resultat
u et v designent des elements de S + (E).
I.B.1) On note u1 et w les endomorphismes de Im(u) induits par u et u  v 
respectivement.

x  E, (u(x)|x) = 0  u(x) = 0.

I.A - Generalites
I.A.1) Montrer qu'un endomorphisme symetrique de E est dans S + (E) (resp.
S ++ (E)) si et seulement si son spectre est inclus dans R+ (resp. R+ ).
I.A.2) Montrer que si u  S ++ (E), alors u-1  S ++ (E).
I.A.3) Soit u  S + (E).
a) Montrer qu'il existe un element s de S + (E) tel que u = s2 .
b) En deduire que :

On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques generalites, 
que si
u et v sont des elements de S + (E), alors u  v est diagonalisable et son 
spectre est
inclus dans R+ .

Partie I - Produit de deux endomorphismes
autoadjoints positifs

Les calculatrices sont autorisees
Notations
n et m sont des entiers naturels verifiant 1  m  n.
E et F designent les espaces vectoriels Rn et Rm munis de leur structure 
euclidienne
canonique. On note IE l'application identite de E. Le produit scalaire est note
(.|.) aussi bien dans E que dans F et la norme euclidienne est notee ||.||. S + 
(E)
designe l'ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou symetriques) positifs de 
E,
S ++ (E) le sous-ensemble constitue des endomorphismes autoadjoints definis 
positifs.
On rappelle que, si u  S ++ (E), alors u : (x, y) 7 (u(x)|y) est un produit 
scalaire
sur E.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 23 fevrier 2009 16h25

MATHÉMATIQUES II

(1)

Filière

MP

Conclure.

I.C.3)

Montrer que :
x  E, ||f (x)||2  (a(x)|x).

I.C.2) Montrer que a-1  f   f est un endomorphismes diagonalisable de E et que
son spectre est inclus dans R+ .
On note  sa plus grande valeur propre.

b) Montrer que : Ker(f  ) = [Im(f )] .
c) En deduire que si une suite (zk )k d'elements de Im(f ) est telle que la 
suite
(f  (zk ))k converge vers 0, alors la suite (zk )k converge vers 0.
d) Montrer que :
f   f  S + (E).

I.C - Cas particulier
a designe un element de S ++ (E) et f un element de L(E, F ).
I.C.1)
a) Montrer qu'il existe un unique element g de L(F, E) tel que, pour tout couple
(x, y) de E × F , (f (x)|y) = (x|g(y)).
L'application g est notee f  .

I.B.4)

E = Im(u  v)  Ker(u  v).

a) Montrer que u1 est un element de S ++ (Im(u)).
b) Montrer que w est autoadjoint positif relativement a u-1 ou u-1 est le 
produit
1
1
scalaire sur Im(u) defini dans les notations.
I.B.2) Deduire de la question precedente que l'endomorphisme de Im(u  v) induit
par u  v est diagonalisable et que son spectre est inclus dans R+ .
I.B.3) Montrer, a l'aide de (1), que :

Page 1/3

I.B - Preuve du resultat
u et v designent des elements de S + (E).
I.B.1) On note u1 et w les endomorphismes de Im(u) induits par u et u  v 
respectivement.

x  E, (u(x)|x) = 0  u(x) = 0.

I.A - Generalites
I.A.1) Montrer qu'un endomorphisme symetrique de E est dans S + (E) (resp.
S ++ (E)) si et seulement si son spectre est inclus dans R+ (resp. R+ ).
I.A.2) Montrer que si u  S ++ (E), alors u-1  S ++ (E).
I.A.3) Soit u  S + (E).
a) Montrer qu'il existe un element s de S + (E) tel que u = s2 .
b) En deduire que :

On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques generalites, 
que si
u et v sont des elements de S + (E), alors u  v est diagonalisable et son 
spectre est
inclus dans R+ .

Partie I - Produit de deux endomorphismes
autoadjoints positifs

Les calculatrices sont autorisees
Notations
n et m sont des entiers naturels verifiant 1  m  n.
E et F designent les espaces vectoriels Rn et Rm munis de leur structure 
euclidienne
canonique. On note IE l'application identite de E. Le produit scalaire est note
(.|.) aussi bien dans E que dans F et la norme euclidienne est notee ||.||. S + 
(E)
designe l'ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou symetriques) positifs de 
E,
S ++ (E) le sous-ensemble constitue des endomorphismes autoadjoints definis 
positifs.
On rappelle que, si u  S ++ (E), alors u : (x, y) 7 (u(x)|y) est un produit 
scalaire
sur E.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

1
(a(x)|x) - (b|x).
2

(2)

x2 + 2y 2 + 3z 2 - 2x = k et x + y + z = 0 relativement a la base canonique de 
E.

Filière MP

(4)

k  N, Lr (., pk ) est minimale en xk et pk+1 = pk + k f (xk ).

On reprend les notations de la partie precedente et on note x l'element de 
Ker(f )
en lequel la restriction de J a Ker(f ) est minimale. On note egalement p un 
element
de F tel que (x, p) est un point selle de Lr .
 designe la plus grande valeur propre de a-1  f   f , p0 est fixe dans F et (k 
)k
designe une suite de reels a valeurs dans [, ], ou 0 <  <  < 2(r + 1 ). On considere la suite (xk )k d'elements de E et la suite (pk )k d'elements de F definies de la facon suivante : Partie III - Algorithmes d'Uzawa et d'Arrow-Hurwicz b) En deduire que la restriction de J a Ker(f ) est minimale en x si et seulement si il existe un element p de F tel que (x, p) est un point selle de Lr . II.B.4) Soit (x, p) un point selle de Lr . a) Montrer que (x, p ) est encore un point selle de Lr si et seulement si p - p est un element de [Im(f )] . b) Montrer que, parmi les points selle de Lr du type (x, p ), il en existe un et un seul pour lequel ||p || est minimale et le caracteriser. (x  Ker(f ) et a(x) + f  (p) = b). On dit que (x, p) est un point selle de Lr si, pour tout couple (y, q) dans E × F , Lr (x, q)  Lr (x, p)  Lr (y, p) ou encore (Lr (x, .) est maximale en p et Lr (., p) est minimale en x). II.B.1) Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes : · Lr (x, .) admet un maximum, · x  Ker(f ), · Lr (x, .) est constante. II.B.2) Montrer que : (3) Lr (., p) est minimale en x si et seulement si (a + rf   f )(x) + f  (p) = b. II.B.3) a) Montrer que (x, p) est un point selle de Lr si et seulement si r Lr (x, p) = J(x) + ||f (x)||2 + (p|f (x)). 2 II.B - Lagrangien augmente Soit r un reel positif et Lr est l'application de E × F dans R definie par Page 2/3 II.A.5) Ici n = 3 et  est l'element de E en lequel J est minimale. Pour tout reel k > J(), on note Ek la surface d'equation J(x) = k et on considere un plan 
vectoriel
 inclus dans E auquel  n'appartient pas.
a) Determiner la nature de la surface Ek et donner son centre.
b) Montrer qu'il existe une unique valeur de k pour laquelle  est tangent a la
surface Ek .
c) Determiner cette valeur de k si Ek et  sont d'equations respectives :

a(x) - b  V  .

b) En deduire que la restriction de J a V atteint son minimum en un seul point.
II.A.4) Soit x  V et (t, h)  R × V .
a) Calculer J(x + th) - J(x).
b) En deduire que la restriction de J a V est minimale en x si et seulement si

II.A.1) Montrer que si ||x|| tend vers + et x  V , alors J(x) tend vers +.
II.A.2) Deduire de la question precedente l'existence d'un minimum de la 
restriction de J a V .
II.A.3) Soit (x, y) un element de V 2 tel que x 6= y.
a) Montrer que :
x+y
J(x) + J(y)
J(
)< . 2 2 II.A - Minimisation theorique On considere un sous-espace vectoriel V de E et on s'interesse a la minimisation de la restriction de J a V . x  E, J(x) = Desormais a designe un element de S ++ (E), b est un element fixe de E et f est un element non nul de L(E, F ). J est l'application de E dans R definie par : Partie II - Minimisation d'une fonctionnelle quadratique MATHÉMATIQUES II 1 (a(x)|x) - (b|x). 2 (2) x2 + 2y 2 + 3z 2 - 2x = k et x + y + z = 0 relativement a la base canonique de E. Filière MP (4) k  N, Lr (., pk ) est minimale en xk et pk+1 = pk + k f (xk ). On reprend les notations de la partie precedente et on note x l'element de Ker(f ) en lequel la restriction de J a Ker(f ) est minimale. On note egalement p un element de F tel que (x, p) est un point selle de Lr . designe la plus grande valeur propre de a-1  f   f , p0 est fixe dans F et (k )k designe une suite de reels a valeurs dans [, ], ou 0 <  <  < 2(r + 1 ). On considere la suite (xk )k d'elements de E et la suite (pk )k d'elements de F definies de la facon suivante : Partie III - Algorithmes d'Uzawa et d'Arrow-Hurwicz b) En deduire que la restriction de J a Ker(f ) est minimale en x si et seulement si il existe un element p de F tel que (x, p) est un point selle de Lr . II.B.4) Soit (x, p) un point selle de Lr . a) Montrer que (x, p ) est encore un point selle de Lr si et seulement si p - p est un element de [Im(f )] . b) Montrer que, parmi les points selle de Lr du type (x, p ), il en existe un et un seul pour lequel ||p || est minimale et le caracteriser. (x  Ker(f ) et a(x) + f  (p) = b). On dit que (x, p) est un point selle de Lr si, pour tout couple (y, q) dans E × F , Lr (x, q)  Lr (x, p)  Lr (y, p) ou encore (Lr (x, .) est maximale en p et Lr (., p) est minimale en x). II.B.1) Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes : · Lr (x, .) admet un maximum, · x  Ker(f ), · Lr (x, .) est constante. II.B.2) Montrer que : (3) Lr (., p) est minimale en x si et seulement si (a + rf   f )(x) + f  (p) = b. II.B.3) a) Montrer que (x, p) est un point selle de Lr si et seulement si r Lr (x, p) = J(x) + ||f (x)||2 + (p|f (x)). 2 II.B - Lagrangien augmente Soit r un reel positif et Lr est l'application de E × F dans R definie par Page 2/3 II.A.5) Ici n = 3 et  est l'element de E en lequel J est minimale. Pour tout reel k > J(), on note Ek la surface d'equation J(x) = k et on considere un plan 
vectoriel
 inclus dans E auquel  n'appartient pas.
a) Determiner la nature de la surface Ek et donner son centre.
b) Montrer qu'il existe une unique valeur de k pour laquelle  est tangent a la
surface Ek .
c) Determiner cette valeur de k si Ek et  sont d'equations respectives :

a(x) - b  V  .

b) En deduire que la restriction de J a V atteint son minimum en un seul point.
II.A.4) Soit x  V et (t, h)  R × V .
a) Calculer J(x + th) - J(x).
b) En deduire que la restriction de J a V est minimale en x si et seulement si

II.A.1) Montrer que si ||x|| tend vers + et x  V , alors J(x) tend vers +.
II.A.2) Deduire de la question precedente l'existence d'un minimum de la 
restriction de J a V .
II.A.3) Soit (x, y) un element de V 2 tel que x 6= y.
a) Montrer que :
x+y
J(x) + J(y)
J(
)< . 2 2 II.A - Minimisation theorique On considere un sous-espace vectoriel V de E et on s'interesse a la minimisation de la restriction de J a V . x  E, J(x) = Desormais a designe un element de S ++ (E), b est un element fixe de E et f est un element non nul de L(E, F ). J est l'application de E dans R definie par : Partie II - Minimisation d'une fonctionnelle quadratique MATHÉMATIQUES II 2 Filière MP · · · FIN · · · a) Montrer que a est effectivement un endomorphisme de E defini positif. b) Ecrire une procedure effectuant lorsqu'on choisit  = 2r, le calcul de Xk , matrice de xk relativement a la base canonique de E (on supposera n, m et r definis numeriquement mais on definira les matrices A, B et F ). b) Determiner la norme de  subordonnee a ||.|| ; on la note . c) r est suppose fixe. Comment choisir  pour que  soit minimal ? Quelle est alors sa valeur ? d) Quelle est alors l'influence de r sur la rapidite de convergence de la suite (xk )k ? III.B.4) On se place toujours dans les bases canoniques de E et F et on se donne les matrices A, B et F de a, b et f par leur coefficient generique : ( ( i si i = j 1 si i + j = m + 1 , bi = 1, fi,j = . ai,j = 1 sinon 0 sinon a) Montrer que IE - (a + rf   f )-1  f   f est un endomorphisme autoadjoint de E qui laisse stables Ker(f ) et [Ker(f )] . On note  l'endomorphisme induit sur [Ker(f )] . Page 3/3 III.B.3) On suppose que, relativement a la base canonique de E, la matrice de a est diagonale, soit diag(1 , . . . , n ) avec 1  2  · · ·  n > 0 et que celle 
de f ,
relativement aux bases canoniques de E et F , admet pour coefficient generique
(
1 si i = j et i  m
.
fi,j =
0 sinon

Montrer que :

k
k  N, xk = IE - (a + rf   f )-1  f   f  (a + rf   f )-1 (b).

III.B.2)

Desormais, on choisit p0 = 0 et la suite (k )k constante egale a . Dans ces 
conditions, la suite ((xk , pk ))k converge vers (x, p) point selle de Lr avec 
||p|| minimale.

c) En deduire que la suite (pk )k converge vers p + q0 .

k

III.B III.B.1) On pose, pour tout entier k, pk = pk + qk ou (pk , qk )  Im(f ) 
× [Im(f )]
et, de meme, p = p + q ou p = (p, q)  Im(f ) × [Im(f )] .
a) Montrer que la suite (qk )k est constante.
b) Montrer que :
f  (pk - p) ---- 0.

c) En deduire la convergence de la suite (||rk ||)k puis celle de la suite (xk 
)k vers x.

2

1
2
||rk || -||rk+1 || = k 2(a(yk )|yk ) + (2r - k )||f (yk )||   2(r + ) -  ||f 
(yk )||2 .

b) Montrer que :

rk+1 = rk + k f (yk ) et (a + rf   f )(yk ) + f  (rk ) = 0.

III.A III.A.1) On pose, pour tout k de N, yk = xk - x et rk = pk - p.
a) Montrer que :

MATHÉMATIQUES II

2

Filière MP

· · · FIN · · ·

a) Montrer que a est effectivement un endomorphisme de E defini positif.
b) Ecrire une procedure effectuant lorsqu'on choisit  = 2r, le calcul de Xk , 
matrice de xk relativement a la base canonique de E (on supposera n, m et r 
definis
numeriquement mais on definira les matrices A, B et F ).

b) Determiner la norme de  subordonnee a ||.|| ; on la note .
c) r est suppose fixe. Comment choisir  pour que  soit minimal ? Quelle est 
alors
sa valeur ?
d) Quelle est alors l'influence de r sur la rapidite de convergence de la suite 
(xk )k ?
III.B.4) On se place toujours dans les bases canoniques de E et F et on se donne
les matrices A, B et F de a, b et f par leur coefficient generique :
(
(
i si i = j
1 si i + j = m + 1
, bi = 1, fi,j =
.
ai,j =
1 sinon
0 sinon

a) Montrer que IE - (a + rf   f )-1  f   f est un endomorphisme autoadjoint
de E qui laisse stables Ker(f ) et [Ker(f )] . On note  l'endomorphisme induit 
sur
[Ker(f )] .
Page 3/3

III.B.3) On suppose que, relativement a la base canonique de E, la matrice de a
est diagonale, soit diag(1 , . . . , n ) avec 1  2  · · ·  n > 0 et que celle 
de f ,
relativement aux bases canoniques de E et F , admet pour coefficient generique
(
1 si i = j et i  m
.
fi,j =
0 sinon

Montrer que :

k
k  N, xk = IE - (a + rf   f )-1  f   f  (a + rf   f )-1 (b).

III.B.2)

Desormais, on choisit p0 = 0 et la suite (k )k constante egale a . Dans ces 
conditions, la suite ((xk , pk ))k converge vers (x, p) point selle de Lr avec 
||p|| minimale.

c) En deduire que la suite (pk )k converge vers p + q0 .

k

III.B III.B.1) On pose, pour tout entier k, pk = pk + qk ou (pk , qk )  Im(f ) 
× [Im(f )]
et, de meme, p = p + q ou p = (p, q)  Im(f ) × [Im(f )] .
a) Montrer que la suite (qk )k est constante.
b) Montrer que :
f  (pk - p) ---- 0.

c) En deduire la convergence de la suite (||rk ||)k puis celle de la suite (xk 
)k vers x.

2

1
2
||rk || -||rk+1 || = k 2(a(yk )|yk ) + (2r - k )||f (yk )||   2(r + ) -  ||f 
(yk )||2 .

b) Montrer que :

rk+1 = rk + k f (yk ) et (a + rf   f )(yk ) + f  (rk ) = 0.

III.A III.A.1) On pose, pour tout k de N, yk = xk - x et rk = pk - p.
a) Montrer que :

MATHÉMATIQUES II