Centrale Maths 2 MP 2009

Thème de l'épreuve Minimum d'une fonctionnelle quadratique sur un sous-espace de Rn
Principaux outils utilisés endomorphismes auto-adjoints, quadriques, espaces vectoriels normés de dimension finie
Mots clefs Endomorphismes symétriques positifs, produits scalaires, minimum, quadrique, algorithmes

Corrigé

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- version du 23 fevrier 2009 16h25 MATHÉMATIQUES II (1) Filière MP Conclure. I.C.3) Montrer que : x E, ||f (x)||2 (a(x)|x). I.C.2) Montrer que a-1 f f est un endomorphismes diagonalisable de E et que son spectre est inclus dans R+ . On note sa plus grande valeur propre. b) Montrer que : Ker(f ) = [Im(f )] . c) En deduire que si une suite (zk )k d'elements de Im(f ) est telle que la suite (f (zk ))k converge vers 0, alors la suite (zk )k converge vers 0. d) Montrer que : f f S + (E). I.C - Cas particulier a designe un element de S ++ (E) et f un element de L(E, F ). I.C.1) a) Montrer qu'il existe un unique element g de L(F, E) tel que, pour tout couple (x, y) de E × F , (f (x)|y) = (x|g(y)). L'application g est notee f . I.B.4) E = Im(u v) Ker(u v). a) Montrer que u1 est un element de S ++ (Im(u)). b) Montrer que w est autoadjoint positif relativement a u-1 ou u-1 est le produit 1 1 scalaire sur Im(u) defini dans les notations. I.B.2) Deduire de la question precedente que l'endomorphisme de Im(u v) induit par u v est diagonalisable et que son spectre est inclus dans R+ . I.B.3) Montrer, a l'aide de (1), que : Page 1/3 I.B - Preuve du resultat u et v designent des elements de S + (E). I.B.1) On note u1 et w les endomorphismes de Im(u) induits par u et u v respectivement. x E, (u(x)|x) = 0 u(x) = 0. I.A - Generalites I.A.1) Montrer qu'un endomorphisme symetrique de E est dans S + (E) (resp. S ++ (E)) si et seulement si son spectre est inclus dans R+ (resp. R+ ). I.A.2) Montrer que si u S ++ (E), alors u-1 S ++ (E). I.A.3) Soit u S + (E). a) Montrer qu'il existe un element s de S + (E) tel que u = s2 . b) En deduire que : On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques generalites, que si u et v sont des elements de S + (E), alors u v est diagonalisable et son spectre est inclus dans R+ . Partie I - Produit de deux endomorphismes autoadjoints positifs Les calculatrices sont autorisees Notations n et m sont des entiers naturels verifiant 1 m n. E et F designent les espaces vectoriels Rn et Rm munis de leur structure euclidienne canonique. On note IE l'application identite de E. Le produit scalaire est note (.|.) aussi bien dans E que dans F et la norme euclidienne est notee ||.||. S + (E) designe l'ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou symetriques) positifs de E, S ++ (E) le sous-ensemble constitue des endomorphismes autoadjoints definis positifs. On rappelle que, si u S ++ (E), alors u : (x, y) 7 (u(x)|y) est un produit scalaire sur E. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 - version du 23 fevrier 2009 16h25 MATHÉMATIQUES II (1) Filière MP Conclure. I.C.3) Montrer que : x E, ||f (x)||2 (a(x)|x). I.C.2) Montrer que a-1 f f est un endomorphismes diagonalisable de E et que son spectre est inclus dans R+ . On note sa plus grande valeur propre. b) Montrer que : Ker(f ) = [Im(f )] . c) En deduire que si une suite (zk )k d'elements de Im(f ) est telle que la suite (f (zk ))k converge vers 0, alors la suite (zk )k converge vers 0. d) Montrer que : f f S + (E). I.C - Cas particulier a designe un element de S ++ (E) et f un element de L(E, F ). I.C.1) a) Montrer qu'il existe un unique element g de L(F, E) tel que, pour tout couple (x, y) de E × F , (f (x)|y) = (x|g(y)). L'application g est notee f . I.B.4) E = Im(u v) Ker(u v). a) Montrer que u1 est un element de S ++ (Im(u)). b) Montrer que w est autoadjoint positif relativement a u-1 ou u-1 est le produit 1 1 scalaire sur Im(u) defini dans les notations. I.B.2) Deduire de la question precedente que l'endomorphisme de Im(u v) induit par u v est diagonalisable et que son spectre est inclus dans R+ . I.B.3) Montrer, a l'aide de (1), que : Page 1/3 I.B - Preuve du resultat u et v designent des elements de S + (E). I.B.1) On note u1 et w les endomorphismes de Im(u) induits par u et u v respectivement. x E, (u(x)|x) = 0 u(x) = 0. I.A - Generalites I.A.1) Montrer qu'un endomorphisme symetrique de E est dans S + (E) (resp. S ++ (E)) si et seulement si son spectre est inclus dans R+ (resp. R+ ). I.A.2) Montrer que si u S ++ (E), alors u-1 S ++ (E). I.A.3) Soit u S + (E). a) Montrer qu'il existe un element s de S + (E) tel que u = s2 . b) En deduire que : On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques generalites, que si u et v sont des elements de S + (E), alors u v est diagonalisable et son spectre est inclus dans R+ . Partie I - Produit de deux endomorphismes autoadjoints positifs Les calculatrices sont autorisees Notations n et m sont des entiers naturels verifiant 1 m n. E et F designent les espaces vectoriels Rn et Rm munis de leur structure euclidienne canonique. On note IE l'application identite de E. Le produit scalaire est note (.|.) aussi bien dans E que dans F et la norme euclidienne est notee ||.||. S + (E) designe l'ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou symetriques) positifs de E, S ++ (E) le sous-ensemble constitue des endomorphismes autoadjoints definis positifs. On rappelle que, si u S ++ (E), alors u : (x, y) 7 (u(x)|y) est un produit scalaire sur E. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 - version du 23 fevrier 2009 16h25 MATHÉMATIQUES II (1) Filière MP Conclure. I.C.3) Montrer que : x E, ||f (x)||2 (a(x)|x). I.C.2) Montrer que a-1 f f est un endomorphismes diagonalisable de E et que son spectre est inclus dans R+ . On note sa plus grande valeur propre. b) Montrer que : Ker(f ) = [Im(f )] . c) En deduire que si une suite (zk )k d'elements de Im(f ) est telle que la suite (f (zk ))k converge vers 0, alors la suite (zk )k converge vers 0. d) Montrer que : f f S + (E). I.C - Cas particulier a designe un element de S ++ (E) et f un element de L(E, F ). I.C.1) a) Montrer qu'il existe un unique element g de L(F, E) tel que, pour tout couple (x, y) de E × F , (f (x)|y) = (x|g(y)). L'application g est notee f . I.B.4) E = Im(u v) Ker(u v). a) Montrer que u1 est un element de S ++ (Im(u)). b) Montrer que w est autoadjoint positif relativement a u-1 ou u-1 est le produit 1 1 scalaire sur Im(u) defini dans les notations. I.B.2) Deduire de la question precedente que l'endomorphisme de Im(u v) induit par u v est diagonalisable et que son spectre est inclus dans R+ . I.B.3) Montrer, a l'aide de (1), que : Page 1/3 I.B - Preuve du resultat u et v designent des elements de S + (E). I.B.1) On note u1 et w les endomorphismes de Im(u) induits par u et u v respectivement. x E, (u(x)|x) = 0 u(x) = 0. I.A - Generalites I.A.1) Montrer qu'un endomorphisme symetrique de E est dans S + (E) (resp. S ++ (E)) si et seulement si son spectre est inclus dans R+ (resp. R+ ). I.A.2) Montrer que si u S ++ (E), alors u-1 S ++ (E). I.A.3) Soit u S + (E). a) Montrer qu'il existe un element s de S + (E) tel que u = s2 . b) En deduire que : On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques generalites, que si u et v sont des elements de S + (E), alors u v est diagonalisable et son spectre est inclus dans R+ . Partie I - Produit de deux endomorphismes autoadjoints positifs Les calculatrices sont autorisees Notations n et m sont des entiers naturels verifiant 1 m n. E et F designent les espaces vectoriels Rn et Rm munis de leur structure euclidienne canonique. On note IE l'application identite de E. Le produit scalaire est note (.|.) aussi bien dans E que dans F et la norme euclidienne est notee ||.||. S + (E) designe l'ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou symetriques) positifs de E, S ++ (E) le sous-ensemble constitue des endomorphismes autoadjoints definis positifs. On rappelle que, si u S ++ (E), alors u : (x, y) 7 (u(x)|y) est un produit scalaire sur E. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 1 (a(x)|x) - (b|x). 2 (2) x2 + 2y 2 + 3z 2 - 2x = k et x + y + z = 0 relativement a la base canonique de E. Filière MP (4) k N, Lr (., pk ) est minimale en xk et pk+1 = pk + k f (xk ). On reprend les notations de la partie precedente et on note x l'element de Ker(f ) en lequel la restriction de J a Ker(f ) est minimale. On note egalement p un element de F tel que (x, p) est un point selle de Lr . designe la plus grande valeur propre de a-1 f f , p0 est fixe dans F et (k )k designe une suite de reels a valeurs dans [, ], ou 0 < < < 2(r + 1 ). On considere la suite (xk )k d'elements de E et la suite (pk )k d'elements de F definies de la facon suivante : Partie III - Algorithmes d'Uzawa et d'Arrow-Hurwicz b) En deduire que la restriction de J a Ker(f ) est minimale en x si et seulement si il existe un element p de F tel que (x, p) est un point selle de Lr . II.B.4) Soit (x, p) un point selle de Lr . a) Montrer que (x, p ) est encore un point selle de Lr si et seulement si p - p est un element de [Im(f )] . b) Montrer que, parmi les points selle de Lr du type (x, p ), il en existe un et un seul pour lequel ||p || est minimale et le caracteriser. (x Ker(f ) et a(x) + f (p) = b). On dit que (x, p) est un point selle de Lr si, pour tout couple (y, q) dans E × F , Lr (x, q) Lr (x, p) Lr (y, p) ou encore (Lr (x, .) est maximale en p et Lr (., p) est minimale en x). II.B.1) Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes : · Lr (x, .) admet un maximum, · x Ker(f ), · Lr (x, .) est constante. II.B.2) Montrer que : (3) Lr (., p) est minimale en x si et seulement si (a + rf f )(x) + f (p) = b. II.B.3) a) Montrer que (x, p) est un point selle de Lr si et seulement si r Lr (x, p) = J(x) + ||f (x)||2 + (p|f (x)). 2 II.B - Lagrangien augmente Soit r un reel positif et Lr est l'application de E × F dans R definie par Page 2/3 II.A.5) Ici n = 3 et est l'element de E en lequel J est minimale. Pour tout reel k > J(), on note Ek la surface d'equation J(x) = k et on considere un plan vectoriel inclus dans E auquel n'appartient pas. a) Determiner la nature de la surface Ek et donner son centre. b) Montrer qu'il existe une unique valeur de k pour laquelle est tangent a la surface Ek . c) Determiner cette valeur de k si Ek et sont d'equations respectives : a(x) - b V . b) En deduire que la restriction de J a V atteint son minimum en un seul point. II.A.4) Soit x V et (t, h) R × V . a) Calculer J(x + th) - J(x). b) En deduire que la restriction de J a V est minimale en x si et seulement si II.A.1) Montrer que si ||x|| tend vers + et x V , alors J(x) tend vers +. II.A.2) Deduire de la question precedente l'existence d'un minimum de la restriction de J a V . II.A.3) Soit (x, y) un element de V 2 tel que x 6= y. a) Montrer que : x+y J(x) + J(y) J( )< . 2 2 II.A - Minimisation theorique On considere un sous-espace vectoriel V de E et on s'interesse a la minimisation de la restriction de J a V . x E, J(x) = Desormais a designe un element de S ++ (E), b est un element fixe de E et f est un element non nul de L(E, F ). J est l'application de E dans R definie par : Partie II - Minimisation d'une fonctionnelle quadratique MATHÉMATIQUES II 1 (a(x)|x) - (b|x). 2 (2) x2 + 2y 2 + 3z 2 - 2x = k et x + y + z = 0 relativement a la base canonique de E. Filière MP (4) k N, Lr (., pk ) est minimale en xk et pk+1 = pk + k f (xk ). On reprend les notations de la partie precedente et on note x l'element de Ker(f ) en lequel la restriction de J a Ker(f ) est minimale. On note egalement p un element de F tel que (x, p) est un point selle de Lr . designe la plus grande valeur propre de a-1 f f , p0 est fixe dans F et (k )k designe une suite de reels a valeurs dans [, ], ou 0 < < < 2(r + 1 ). On considere la suite (xk )k d'elements de E et la suite (pk )k d'elements de F definies de la facon suivante : Partie III - Algorithmes d'Uzawa et d'Arrow-Hurwicz b) En deduire que la restriction de J a Ker(f ) est minimale en x si et seulement si il existe un element p de F tel que (x, p) est un point selle de Lr . II.B.4) Soit (x, p) un point selle de Lr . a) Montrer que (x, p ) est encore un point selle de Lr si et seulement si p - p est un element de [Im(f )] . b) Montrer que, parmi les points selle de Lr du type (x, p ), il en existe un et un seul pour lequel ||p || est minimale et le caracteriser. (x Ker(f ) et a(x) + f (p) = b). On dit que (x, p) est un point selle de Lr si, pour tout couple (y, q) dans E × F , Lr (x, q) Lr (x, p) Lr (y, p) ou encore (Lr (x, .) est maximale en p et Lr (., p) est minimale en x). II.B.1) Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes : · Lr (x, .) admet un maximum, · x Ker(f ), · Lr (x, .) est constante. II.B.2) Montrer que : (3) Lr (., p) est minimale en x si et seulement si (a + rf f )(x) + f (p) = b. II.B.3) a) Montrer que (x, p) est un point selle de Lr si et seulement si r Lr (x, p) = J(x) + ||f (x)||2 + (p|f (x)). 2 II.B - Lagrangien augmente Soit r un reel positif et Lr est l'application de E × F dans R definie par Page 2/3 II.A.5) Ici n = 3 et est l'element de E en lequel J est minimale. Pour tout reel k > J(), on note Ek la surface d'equation J(x) = k et on considere un plan vectoriel inclus dans E auquel n'appartient pas. a) Determiner la nature de la surface Ek et donner son centre. b) Montrer qu'il existe une unique valeur de k pour laquelle est tangent a la surface Ek . c) Determiner cette valeur de k si Ek et sont d'equations respectives : a(x) - b V . b) En deduire que la restriction de J a V atteint son minimum en un seul point. II.A.4) Soit x V et (t, h) R × V . a) Calculer J(x + th) - J(x). b) En deduire que la restriction de J a V est minimale en x si et seulement si II.A.1) Montrer que si ||x|| tend vers + et x V , alors J(x) tend vers +. II.A.2) Deduire de la question precedente l'existence d'un minimum de la restriction de J a V . II.A.3) Soit (x, y) un element de V 2 tel que x 6= y. a) Montrer que : x+y J(x) + J(y) J( )< . 2 2 II.A - Minimisation theorique On considere un sous-espace vectoriel V de E et on s'interesse a la minimisation de la restriction de J a V . x E, J(x) = Desormais a designe un element de S ++ (E), b est un element fixe de E et f est un element non nul de L(E, F ). J est l'application de E dans R definie par : Partie II - Minimisation d'une fonctionnelle quadratique MATHÉMATIQUES II 2 Filière MP · · · FIN · · · a) Montrer que a est effectivement un endomorphisme de E defini positif. b) Ecrire une procedure effectuant lorsqu'on choisit = 2r, le calcul de Xk , matrice de xk relativement a la base canonique de E (on supposera n, m et r definis numeriquement mais on definira les matrices A, B et F ). b) Determiner la norme de subordonnee a ||.|| ; on la note . c) r est suppose fixe. Comment choisir pour que soit minimal ? Quelle est alors sa valeur ? d) Quelle est alors l'influence de r sur la rapidite de convergence de la suite (xk )k ? III.B.4) On se place toujours dans les bases canoniques de E et F et on se donne les matrices A, B et F de a, b et f par leur coefficient generique : ( ( i si i = j 1 si i + j = m + 1 , bi = 1, fi,j = . ai,j = 1 sinon 0 sinon a) Montrer que IE - (a + rf f )-1 f f est un endomorphisme autoadjoint de E qui laisse stables Ker(f ) et [Ker(f )] . On note l'endomorphisme induit sur [Ker(f )] . Page 3/3 III.B.3) On suppose que, relativement a la base canonique de E, la matrice de a est diagonale, soit diag(1 , . . . , n ) avec 1 2 · · · n > 0 et que celle de f , relativement aux bases canoniques de E et F , admet pour coefficient generique ( 1 si i = j et i m . fi,j = 0 sinon Montrer que : k k N, xk = IE - (a + rf f )-1 f f (a + rf f )-1 (b). III.B.2) Desormais, on choisit p0 = 0 et la suite (k )k constante egale a . Dans ces conditions, la suite ((xk , pk ))k converge vers (x, p) point selle de Lr avec ||p|| minimale. c) En deduire que la suite (pk )k converge vers p + q0 . k III.B III.B.1) On pose, pour tout entier k, pk = pk + qk ou (pk , qk ) Im(f ) × [Im(f )] et, de meme, p = p + q ou p = (p, q) Im(f ) × [Im(f )] . a) Montrer que la suite (qk )k est constante. b) Montrer que : f (pk - p) ---- 0. c) En deduire la convergence de la suite (||rk ||)k puis celle de la suite (xk )k vers x. 2 1 2 ||rk || -||rk+1 || = k 2(a(yk )|yk ) + (2r - k )||f (yk )|| 2(r + ) - ||f (yk )||2 . b) Montrer que : rk+1 = rk + k f (yk ) et (a + rf f )(yk ) + f (rk ) = 0. III.A III.A.1) On pose, pour tout k de N, yk = xk - x et rk = pk - p. a) Montrer que : MATHÉMATIQUES II 2 Filière MP · · · FIN · · · a) Montrer que a est effectivement un endomorphisme de E defini positif. b) Ecrire une procedure effectuant lorsqu'on choisit = 2r, le calcul de Xk , matrice de xk relativement a la base canonique de E (on supposera n, m et r definis numeriquement mais on definira les matrices A, B et F ). b) Determiner la norme de subordonnee a ||.|| ; on la note . c) r est suppose fixe. Comment choisir pour que soit minimal ? Quelle est alors sa valeur ? d) Quelle est alors l'influence de r sur la rapidite de convergence de la suite (xk )k ? III.B.4) On se place toujours dans les bases canoniques de E et F et on se donne les matrices A, B et F de a, b et f par leur coefficient generique : ( ( i si i = j 1 si i + j = m + 1 , bi = 1, fi,j = . ai,j = 1 sinon 0 sinon a) Montrer que IE - (a + rf f )-1 f f est un endomorphisme autoadjoint de E qui laisse stables Ker(f ) et [Ker(f )] . On note l'endomorphisme induit sur [Ker(f )] . Page 3/3 III.B.3) On suppose que, relativement a la base canonique de E, la matrice de a est diagonale, soit diag(1 , . . . , n ) avec 1 2 · · · n > 0 et que celle de f , relativement aux bases canoniques de E et F , admet pour coefficient generique ( 1 si i = j et i m . fi,j = 0 sinon Montrer que : k k N, xk = IE - (a + rf f )-1 f f (a + rf f )-1 (b). III.B.2) Desormais, on choisit p0 = 0 et la suite (k )k constante egale a . Dans ces conditions, la suite ((xk , pk ))k converge vers (x, p) point selle de Lr avec ||p|| minimale. c) En deduire que la suite (pk )k converge vers p + q0 . k III.B III.B.1) On pose, pour tout entier k, pk = pk + qk ou (pk , qk ) Im(f ) × [Im(f )] et, de meme, p = p + q ou p = (p, q) Im(f ) × [Im(f )] . a) Montrer que la suite (qk )k est constante. b) Montrer que : f (pk - p) ---- 0. c) En deduire la convergence de la suite (||rk ||)k puis celle de la suite (xk )k vers x. 2 1 2 ||rk || -||rk+1 || = k 2(a(yk )|yk ) + (2r - k )||f (yk )|| 2(r + ) - ||f (yk )||2 . b) Montrer que : rk+1 = rk + k f (yk ) et (a + rf f )(yk ) + f (rk ) = 0. III.A III.A.1) On pose, pour tout k de N, yk = xk - x et rk = pk - p. a) Montrer que : MATHÉMATIQUES II

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 Centrale Maths 2 MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Benoît Grandpierre (ENS Cachan) et Guillaume Batog (ENS Cachan). C'est un problème d'algèbre avec quelques interventions de la topologie. · La partie I.A reprend des thèmes classiques sur les endomorphismes symétriques positifs et définis positifs, comme la caractérisation par le spectre et l'existence d'une racine carrée. · La partie I.B est consacrée à la démonstration d'un résultat connu mais moins courant : la composée de deux endomorphismes symétriques positifs est diagonalisable et ses valeurs propres sont positives. · Dans la partie I.C, l'adjoint d'un homomorphisme est introduit. Ce n'est pas fondamentalement différent du cas particulier d'un endomorphisme, mais cette vision un peu décalée d'un objet fondamental de la théorie n'est pas dénuée d'intérêt. La dernière question de la partie est d'ailleurs pour le moins délicate. · La partie II.A porte sur la minimisation de la restriction d'une forme quadratique à un sous-espace vectoriel. On rencontre alors les premières interventions, assez simples d'ailleurs, de la topologie des espaces vectoriels normés de dimension finie. Elle se termine par un exemple géométrique. · La partie II.B introduit les points selles pour une application d'un produit d'espaces vectoriels à valeurs dans R, quadratique par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la deuxième. On est déjà à un bon niveau : il faut avoir bien compris la partie précédente, que l'on doit appliquer dans un contexte assez complexe. · La troisième partie est la description d'un algorithme (bien que le titre en mentionne deux) qui permet de construire une suite de vecteurs qui converge vers un point selle qui correspond au minimum de la partie quadratique. On trouve une intervention un peu plus technique et complexe de la topologie. Le problème est intéressant, progressif et termine à un niveau élevé. Pour parvenir à traiter la fin, il faut avoir bien assimilé les résultats antérieurs. Il est donc préférable de le faire d'une seule traite et de se réserver plus que les quatre heures normalement prévues pour cette épreuve. Indications Partie I I.A.1 Traiter séparément les deux implications, dans un sens utiliser la définition d'une valeur propre, dans l'autre penser qu'un endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une base orthonormale. I.A.2 Utiliser la question précédente en exprimant les valeurs propres de u-1 en fonction de celles de u. Penser à démontrer que u-1 est symétrique. I.A.3.a Chercher la matrice de s dans une base orthonormale formée de vecteurs propres de u. I.A.3.b Remplacer u(x) par s2 (x) et utiliser le fait que s est un endomorphisme symétrique. I.B.1.a Utiliser x Im (u) u1 (x) = u(x) I.B.1.b Se servir de la définition d'un endomorphisme symétrique pour le produit scalaire u1 -1 et se ramener à l'hypothèse v endomorphisme symétrique. I.B.2 Utiliser l'endomorphisme w et l'inclusion de Im (u v) dans Im (u). I.B.3 En utilisant la question I.A.3.b, montrer que l'intersection est réduite au vecteur nul, puis utiliser le théorème du rang. I.B.4 Diagonaliser les restrictions de u v à Ker (u v) et Im (u v) et en déduire l'existence d'une base de E formée de vecteurs propres de u v. I.C.1.a Fixer des bases orthonormales de E et F, et définir g comme l'homomorphisme de F dans E qui a pour matrice la transposée de la matrice de a. I.C.1.b Procéder par double inclusion. I.C.1.c Utiliser le résultat explicitement au programme et à connaître : Un homéomorphisme définit un isomorphisme entre tout supplémentaire de son noyau et son image. Utiliser ensuite la continuité (à justifier) de f -1 . I.C.1.d Se servir de la définition de f . I.C.2 Utiliser les questions I.A.2, I.C.1.d et I.B.4. I.C.3 Vérifier que a-1 f f est un endomorphisme symétrique positif de l'espace vectoriel euclidien (E, a ). Partie II II.A.1 Se ramener à des vecteurs de la sphère unité en mettant en facteur kxk2 dans l'expression de J puis utiliser la compacité de la sphère unité et la propriété très importante : toute application continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes. II.A.2 Utiliser la question précédente en écrivant E comme la réunion d'une boule unité fermée et de son complémentaire. x+y J(x) + J(y) -J . II.A.3.a Exprimer la différence 2 2 II.A.3.b Raisonner par l'absurde et utiliser la question précédente. II.A.4.b Chercher le terme prépondérant dans l'expression de la question II.A.4.a. II.A.5.a Se placer dans une base orthonormale de vecteurs propres de a et mettre les trinômes sous forme canonique. II.A.5.b Déterminer le gradient de J en x et utiliser les questions II.A.3 et II.A.4. II.B.1 Partir de la définition d'un maximum p0 et démontrer pour tout p F l'inégalité (p - p0 | f (x)) > 0 puis choisir judicieusement p. II.B.2 Utiliser le calcul de la question II.A.4.a pour exprimer Lr (x+th, p)-L(x, p), puis faire une raisonnement identique à celui de la question II.A.4.a. II.B.3.a Se servir des deux questions précédentes. II.B.3.b Utiliser la question II.A.4.b pour caractériser le minimum de J restreint à Ker (f ), modifier cette caractérisation avec la question I.C.1.b et conclure avec la caractérisation d'un point selle établie à la question précédente. II.B.4.a Traiter séparément les deux conditions pour qu'un point soit un point selle, utiliser les questions II.B.1 pour l'une et I.C.1.b pour l'autre. II.B.4.b (x, p) et (x, p ) étant deux points selles, chercher une condition pour que kp k soit minimale puis appliquer la question II.A.4. Partie III III.A.1.a Pour la deuxième relation, exprimer la condition Lr (., pk ) minimale en xk en utilisant la question II.B.2. III.A.1.b Démontrer que krk k2 - krk+1 k2 = 2k (a(yk ) | yk ) + (2r - k ) kf (yk )k2 . Utiliser ensuite la question I.C.3 et conclure avec l'hypothèse sur et . III.A.1.c À l'aide de la question précédente, commencer par montrer que la suite de terme général krk k2 - krk+1 k2 converge vers 0. En déduire que la suite de terme général kf (yk )k2 tend vers 0, puis que la suite de terme général yk tend vers 0 pour la norme associée au produit scalaire a . III.B.1.a Montrer que q k+1 - q k appartient à Im (f ) Im (f ) . III.B.1.b Utiliser f (rk ) que l'on relie à yk à l'aide de la question III.A.1.a. III.B.1.c Se servir de la question I.C.1.c. III.B.2 Procéder par récurrence sur k en appliquant la question II.B.2 pour l'initialisation comme pour l'hérédité. III.B.3.a Déterminer les matrices des endomorphismes dans la base canonique de E. III.B.3.b Utiliser la matrice de dans la base orthonormale (e1 , . . . , em ) de Ker (f ) . III.B.3.c Distinguer trois cas, suivant la position de par rapport à 1 + r et m + r. III.B.4.a Calculer (a(x) | x). Les conseils du jury Le rapporteur souligne que beaucoup de questions faciles de la partie I ont souvent été mal résolues : il est peut-être préférable de soigner la résolution des questions faciles avant d'aller ramer dans d'autres dont on a du mal à comprendre l'énoncé... Le rapport conclut : « c'est un travail approfondi sur le cours (connaissance des théorèmes, de leurs démonstrations et applications immédiates) qui constituait sans aucun doute la meilleure préparation à cette épreuve, comme d'ailleurs à la plupart des épreuves de concours ». I. Produit de deux endomorphismes autoadjoints positifs I.A Généralités I.A.1 Supposons u élément de S+ (E). Ainsi, x E (u(x) | x) > 0 Soit une valeur propre de u de vecteur propre associé x (non nul par définition). Alors, (u(x) | x) > 0 (x | x) > 0 >0 Le spectre de u est donc inclus dans R+ . Soit u un endomorphisme symétrique de (E, (· | ·)) dont le spectre est contenu dans R+ . u étant un endomorphisme symétrique, il est diagonalisable dans une base orthonormale. Il existe donc une base orthonormale (e1 , e2 , . . . , en ) de E dans laquelle la matrice de u est une matrice diagonale, diag (1 , 2 , . . . , n ), les réels i étant les valeurs propres (pas forcément distinctes) de u. Soit x un vecteur de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ) dans la base orthonormale (e1 , e2 , . . . , en ). On a n P (u(x) | x) = i xi 2 i=1 donc i > 0 pour tout i entraîne que (u(x) | x) > 0 et u est un endomorphisme symétrique positif. On a bien montré u S+ (E) sp (u) R+ Si u appartient à S++ (E) avec une valeur propre de u de vecteur propre associé x (nécessairement non nul par définition d'un vecteur propre), alors (u(x) | x) > 0 (x | x) > 0 >0 Réciproquement, si le spectre de u est contenu dans R+ , pour tout vecteur x non nul, on a, avec les notations précédentes n P i xi 2 > 0 i=1 puisqu'au moins une des coordonnées de x est non nulle, donc (u(x) | x) > 0 pour tout vecteur x non nul de E et u appartient à S++ (E). En conclusion, u S++ (E) sp (u) R+ Le rapport du jury indique des erreurs graves commises dès cette première question : certains candidats pensent qu'un endomorphisme autoadjoint est positif si u(x) est positif... Mais la notion de vecteur positif n'est pas vraiment définie. Le jury mentionne également l'utilisation d'une base de vecteurs propres pour u sans préciser que u est diagonalisable (parce qu'il est autoadjoint), ou encore un calcul utilisant clairement le caractère orthonormal de la base de vecteurs propres utilisée, sans en justifier, ni même en mentionner, l'existence. Toute la partie I.A est assez proche du cours, le comble de sa méconnaissance étant l'affirmation (relativement fréquente d'après le rapporteur) : « si u est diagonalisable, tout vecteur est vecteur propre de u. »