Centrale Maths 2 MP 2007

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Centrale Maths 2 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hervé Diet (ENS Cachan) ; il a été relu par Gilbert
Monna (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet porte intégralement sur les endomorphismes d'un espace vectoriel 
euclidien E. On s'intéresse plus particulièrement aux sous-espaces vectoriels 
de l'ensemble
des endormorphismes de E. Le but est de savoir à quelles conditions sur leurs 
dimensions on peut être certain qu'ils contiennent un automorphisme orthogonal.
· La première partie concerne le cas général dim E = n. Elle commence par 
l'introduction d'un produit scalaire sur L(E). Il s'agit ensuite d'étudier 
d'une part
ce produit scalaire, mais aussi les valeurs propres et vecteurs propres de 
l'endomorphisme a a lorsque a est un endormorphisme quelconque de E. On montrera
à la fin de cette partie qu'un hyperplan de L(E) contient toujours un 
endomorphisme orthogonal, ainsi qu'un résultat intermédiaire qui servira durant 
la
deuxième partie.
· On s'intéresse ensuite au cas où dim E = 3. Dans un premier temps, le but est
d'exprimer le plus simplement possible le produit scalaire d'une rotation et 
d'un
endomorphisme quelconque en fonction de l'axe et de l'angle de cette rotation.
La recherche de quelques éléments distinctifs et l'utilisation de l'analyse 
fonctionnelle permettront alors de conclure à l'existence d'une rotation 
orthogonale
à deux éléments vérifiant certaines conditions. En conclusion de cette partie,
on peut alors montrer, grâce au résultat de la première partie, qu'un 
sousespace vectoriel de dimension 7 de L(E) contient toujours un automorphisme
orthogonal.
Cet énoncé requiert une bonne maîtrise des espaces euclidiens et des notions de
valeurs propres et vecteurs propres. Sa difficulté réside essentiellement dans 
le fait
que l'on est amené à travailler avec deux espaces euclidiens E et L(E). Il faut 
savoir
transposer ses connaissances de E sur L(E). Ce sujet doit être traité avec 
méthode
et rigueur pour éviter les étourderies.

Indications
Partie I
I.A.1 Regarder la matrice de a dans la base (e). Ensuite exprimer la trace et 
les
produits scalaires en fonction des coefficients de cette matrice.
I.A.3 Monter que A(E) et S(E) sont orthogonaux. Que peut-on dire des éléments
(a + a )/2 et (a - a )/2 ?
I.B.1.a Pour la deuxième égalité, utiliser le théorème du rang.
I.B.1.b Se placer dans une base qui diagonalise a a.
I.B.1.c Montrer que Im a = Im a a grâce à la question précédente puis, par 
double
s
M
inclusion, que Im a a =
E(i ).
i=1

I.B.1.d Regarder les bases orthonormales des E(i ).
I.B.2 Que peut-on dire de l'endomorphisme qui transforme (f ) en (e) ?
I.C.2 Regarder h .
Partie II

-
II.A.1 Se placer dans une base orthonormale de premier vecteur k et utiliser la
question I.A.1.
II.A.2 Il faut aussi utiliser l'identité pour exprimer r 
- . Pour trouver la relation,
, k
exprimer tous les endomorphismes dans une base bien choisie.

II.B.2 Calculer la quantité recherchée en fonction des (-
e |s(-
e )), puis utiliser une
i

j

interversion des signes sommes.

-

II.B.3.b Chercher k parmi les -
x .
II.B.4.a L'hypothèse sur le rang de s induit que l'un des vecteurs de (e) est 
dans le
noyau de s.
 -
-

-

-
II.B.4.c Calculer ( k (t)| k (t)) en utilisant que k1 et k2 sont unitaires.
II.B.4.d Montrer d'abord que les deux applications qui associent à t 
respectivement

-
k (t) et (t) sont continues.
II.C.1 Démonter que si dim V = 7, on peut toujours trouver a, b tels que rg a 6 
2

et V = Vect (a, b) .

I. Cas d'un hyperplan de L(E)
I.A.1 Soit A la matrice de l'endomorphisme a dans la base (e) et ai,j ses 
coefficients
avec i et j variant de 1 à n. Alors par définition de A on a :
n
P

ej
a(-
ei ) =
ai,j -

i  [[ 1 ; n ]]

j=1

La base (e) étant orthonormale, elle vérifie

(-
e i |-
ei ) = 1 i  [[ 1 ; n ]]

-

-
( e | e ) = 0 i, j  [[ 1 ; n ]]2 , i 6= j
i

D'après ce qui précède :

j

n
P

(-
ei |a(-
ei )) =
ai,j (-
e i |-
ej )
j=1

(-
ei |a(-
ei )) = ai,i

La définition de la trace de la matrice A est Tr A =

n
P

ai,i . De plus la trace d'un

i=1

endomorphisme est celle de sa matrice dans une base quelconque, on en déduit 
alors
n
P
Tr a =
ai,i
i=1

soit, avec l'égalité précédente, Tr a =

n
P

(-
ei |a(-
ei ))

i=1

I.A.2 Par définition hh., .ii est une application de L(E) × L(E) à valeurs dans 
R.
La fonction hh., .ii est un produit scalaire si elle est bilinéaire,symétrique 
et définie
positive. Remarquons tout d'abord, d'après la question précédente, que :
n
P

Tr a =
(-
ei |a (-
ei ))
=
=

i=1
n
P

(a(-
ei )|(-
ei )

i=1
n
P

(-
ei |a(-
ei ))

i=1

Tr a = Tr a
Soit a et b deux endomorphismes de E, alors
hha, bii = Tr a b = Tr (a b) = Tr b a = hhb, aii
La forme hh., .ii est symétrique.
Il suffit de montrer la linéarité par rapport à une variable. En effet la 
symétrie impliquera celle par rapport à l'autre variable. Soit  un réel, a, b, 
c trois endomorphismes
de E, alors
hha, b + cii = Tr a (b + c)
= Tr a b +  Tr a c
hha, b + cii = hha, bii + hha, cii
La forme hh., .ii est bien bilinéaire.

Regardons maintenant hha, aii. D'après la question I.A.1, on a
hha, aii = Tr a a =

n
n
P
P
-

(
ei |a a(-
ei )) =
(a(-
ei )|a(-
ei ))

i=1

i=1

D'après les propriétés du produit scalaire sur E, tous les termes de la somme 
sont
positifs d'où hha, aii est positif, pour tout a  L(E). De plus si hha, aii est 
nul alors

tous les termes de la somme sont nuls (car ils sont positifs) et a(-
ei ) = 0 pour tout i
de 1 à n. L'endomorphisme a étant nul sur une base de E, a est nul. On a bien
a  L(E) et hha, aii = 0  a = 0
hh., .ii est un produit scalaire.

D'où

I.A.3 Soit a  A(E) et b  S(E)· Calculons de deux façons leur produit scalaire.
D'une part,
D'autre part,
Or,

hha, bii = Tr a b = - Tr ab

car a  A(E)

hhb, aii = Tr b a = Tr ba

car b  S(E)

hha, bii = hhb, aii

On en déduit

hha, bii = 0

Les espaces vectoriels A(E) et S(E) étant orthogonaux, leur intersection est 
réduite
au vecteur nul. Pour montrer qu'ils sont supplémentaires il faut maintenant de 
monter
que A(E) + S(E) = L(E). Soit a un endomorphisme de E. On peut écrire que
a + a
a - a
+
2
2
Le premier terme est symétrique alors que le deuxième est antisymétrique. Cela
montre que L(E) = A(E) + S(E).
a=

A(E) et S(E) sont des supplémentaires orthogonaux.
Cette démonstration repose sur une astuce d'écriture. Une deuxième technique 
serait de démontrer que dim A(E) + dim S(E) = dim L(E). Pour cela
il faut prendre une base orthonormale (e) de E et regarder les matrices, sur
cette base, des endomorphismes. Les matrices avec un coefficient égal à 1 et
tous les autres nuls engendrent l'espace vectoriel des matrices. Celles avec un
coefficient égal à 1, un autre placé symétriquement par rapport à la diagonale,
égal à -1 et tous les autres nuls engendrent l'espace vectoriel des matrices
antisymétriques. Celles avec un terme diagonal égal à 1 et tous les autres
nuls ou deux coefficients symétriques par rapport à la diagonale égaux à 1 et
tous les autres nuls engendrent l'espace vectoriel des matrices symétriques.
On peut alors compter les matrices pour en déduire la dimension des espaces
vectoriels.

-

-

-
-

I.B.1.a Soit 
x  Ker a, alors a(-
x ) = 0 et a a(-
x ) = a ( 0 ) = 0 .
Ker (a)  Ker a a

-

Soit -
x  Ker a a. On a a a(-
x ) = 0 et

0 = (-
x |a a(-
x )) = (a(-
x )|a(-
x ))
On en déduit