Centrale Maths 2 MP 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une famille de polynômes; applications algébriques, analytiques et géométriques
Principaux outils utilisés polynômes, projecteurs, calcul différentiel, géométrie dans l'espace, développements limités, barycentres

Corrigé

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n__>_ e...,...___... __ m...:QËËEË ää... OEËN omËQ:OE - OEOEÈOEQ oeÈooco0 On note 1R[X] l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients réels et, de manière usuelle, tout polynôme est identifié à sa fonction polynôme asso- ciée. Pour tout entier naturel n , IRn[X ] est l'espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à n . Pour un P de IR[X ] , on considère, de manière usuelle, les dérivées successives de P : P(O' : P,et, pour tout n de IN, P(n+" : [P...] '. ' Pour un polynôme P de IR[X ] , un entier naturel n et un réel a , on définit le polynôme de Taylor d'ordre n de P en a par : _. n (i) T,,,(P) = E'" .,(") i=0 (X--a)'. Soit une fonction f à valeurs réelles définie sur un intervalle de IR et de classe C" . On rappelle qu'elle admet, en tout point a de cet intervalle, un unique déve- loppement limité à l'ordre n : n ... f(x)= 2f _'"--' Ef i!(a)(x--a)L} i=0 est appelée partie régulière de ce développement limité. Dans la troisième partie, on note %2 le plan affine euclidien usuel muni d'un repère orthonormé 9Y0-- _ (0, i, j) et dans la dernière partie, on note %;, l'espace affine euclidien usuel de dimension 3 muni d'un repère orthonormé, encore noté @... (0, É, Î,.Ë) Les éléments de %2 et 53 seront indifféremment appelés vecteurs ou points selon l'interprétation que l'on en a. n Si M est barycentre du système pondéré (Ai'ai)1 . avec a = E a- non nul, szsn ' on a : _ i: 1 M = â(ÊaiAi). i=l Chaque point M de 52 (ou de %3 ) est identifié àla famille de ses coordonnées (x,y) (ou (x, y, z) ) dans le repère @@ , ce qui est contenu dans la notation M(x, y) (ou M (x, y, z) ). De même chaque vecteur ii est identifié à la famille de ses coor-- données dans la base ÆO du repère % 0 . Dans la première partie, on étudie une famille de polynômes. Ces polynômes interviennent ensuite dans les trois parties qui suivent dans trois situations différentes. Si la troisième partie utilise un résultat de la deuxième, pour le reste les trois dernières parties sont indépendantes les unes des autres. Partie I - Une fonction polynomiale Un calcul simple qui n'est pas demandé ici (intégrations par parties successives par exemple) donne pour tout m de IN : (m!)2 Im --f0t (l--t) dt-- ZîÏÏL+--1)l. Pour tout m entier naturel non nul, on considère la fonction polynomiale Lm définie sur [R par : Lm(x) : Ilfgtm(1--t)mdt. m I.A - I.A.1) Donner une expression développée de Lm(x) pour m = 1 et pour m = 2 . I.A.2) Calculer Lm(x) + Lm(1 --x) pour tout x de IR. Préciser Lm(â) . On vérifie que Lm est à coefficients entiers. Nous l'admettr0ns. LB - I.B.l) Étudier suivant m l'existence ainsi que l'ordre de multiplicité des éventuelles racines de Lm et de L'm dans l'intervalle [0,1]. I.B.2) En considérant le signe de L';n (x) , étudier la monotonie de l'applica-- tion Lm(x) x [x r--> ] sur l'intervalle ]O, â[ . I.B.3) Donner une allure de la courbe représentative de Lm sur [0,1] . On pré-- cisera les points à tangente horizontale, on montrera l'existence d'un centre de symétrie et on précisera la convexité. I.C - Les résultats de cette question seront utilisés dans la dernière partie. I.C.1) Résoudre le système : { (x,y> & [0,112 L'm = L'm  I.C.2) Résoudre le système : (a, me {0,113 a+|3+y =1 L'm(0t) = L'...(B) = LÇn(Y) I.C.3) Résoudre le système : (al,a2,a3,a'4)E[0,l]4 al+a2+a3+a4 =1 _fL'm(a1) = L'm(0!2) = L'...(a3) = L;n(a4) Partie II - Les polynômes de Taylor Dans cette partie, m est un entier naturel non nul et n est un entier tel que n > 3m . II.A - On rappelle et on admet que, pour tout a de IR , la famille ((X -- a)p ) p @ m est une base de IR[X ]. Vérifier que l'application [P |----> Tn'a(P)] définit un projecteur de IR[X ] . Préciser son image, vérifier que son noyau est un idéal de IR[X ] et en donner un générateur. II.B - Pour (R,S) de (IRm[X])2 , déterminer les polynômes de Taylor d'ordre m en 0 et en 1 du polynôme : U(X) : R(X)Lm(l --X)+S(X)L X). m( II.C - Pour P de ]Rn[X ] , on note respectivement Po et P1 ses polynômes de Tay- lor d'ordre m en 0 et en 1 et on pose : [®(P)](X) = POL...(1 -- X) + P,(X>Lm . ' II.C.1) . Montrer que l'application [P |----> CD(P)] est un projecteur de IRn[X ] . II.C.2) Préciser les dimensions des sous-espaces propres de cette application et donner pour chacun une base. Partie III - Un raccord III.A - III.A.1) À l'aide de la première partie, déterminer un polynôme Ql tel que : deg(Ql)s3, Q1(--1) = 0, Q]... = 1,EURt Q'1(--1)= Q'; (1) = 0- Existe-t-il d'autres polynômes remplissant ces cinq conditions ? III.A.2) Déterminer de même, sans en donner la forme développée, un poly- nôme Q2 tel que : deg(Q2)55 Q2("1)= O, Q2(1) :] Q,2(_1) =VQ,2(1) : Q"2("1) : Q"2(1) : O III.B - Soient g1 : t1----> (x](t), y,(t)) de classe C ' sur ]--oo,--l ] , paramétrage d'un arc Y] et g2 : t+--> (x2(t), y2(t)) de classe C1 sur [1,+oo[ , paramétrage d'un arc y2. Si h] est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de x] en --1 et h2 la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de x2 en 1 , on pose : x3(t) = Q|(_t)hl(t)+Ql(t)hg(t)-- De même, si k! est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de yl en --1 et si k_,_ est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de y2 en 1 , on pose : y3(t) = Q;(--t)kl(t)+Ql(t)k2(t)- On obtient ainsi une fonction vectorielle g3 : (x3,y3) et on considère y , raccord de Y] et y2 , l'arc paramétré par g avec : g,(t) sitE]_oe,_1[ g(t)= g3(t) si tEUR[--l,l] g2(t) sitEUR]l,+oe[ Montrer brièvement en S'appuyant sur une étude faite dans la deuxième partie que g est de classe C ' sur IR. III.C - Étude d'un exemple Ici a est un réel strictement positif et on prend : gl(t) : (-- 1 +a(t+ l), 1 --a(t+ l)) {g2(t) =(1+a(t--l),l+a(t--l)) III.C.1) Représenter sur un même dessin les arcs Y1 et M . III.C.2) Donner l'expression développée de la fonction & (on ne demande pas sa représentation graphique). III.C.3) Montrer que pour a > 3 , le raccord coupe l'axe des ordonnées en deux points distincts que l'on précisera. Partie IV - Une animation Onnote I : {1,2,3,4}. On considère un ensemble de quatre points {Al, A2, A3, A4} de 53 non copla- naires, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de plan affine qui les contienne tous les qua- tre. On a ainsi un tétraèdre non aplati A1A2A3A 4 . On note (xi, y,, Zi) le triplet des coordonnées du point Ai pour ie I . IV.A- . IV.A.1) Soit i dans I . Justifier" l'existence d'un (ui,vi,wi,hi) de IR4 avec (ui, vi, wi) : (O, O, 0) tel que si l'on pose pour M(x, y, z) de 53 , {gl--(M) : uix+viy+wiz+hi,on ait: VjEI, gi(AJ-) : ôi,j . (où de manière usuelle, ôi, j vaut 1" si i = j et vaut 0 sinon). On admet l'unicité du quadruplet (u,-, v,, wi, hi) pour tout i dans I . IV.A.2) Pour i dans 1 on considère cpi la forme linéaire de IR3 définie par : V(x, y, 2) EUR IR3 , cpi(x, y, z) : uix + viy + wiz . Quel est le rang de la famille (cpi) '? Isis4 Soit m EUR IN* . Pour tout i dans 1 et tout M(x, y, 2) de êî , on pose : GAM) = Lm(gi(M)). On considère alors : On appelle Q l'isobarycentre de {Al, A2, A3, A4}. On note A = {M(x, y, z)E êî|Viel,oSgi(M) s 1} IV.B- IV.B.1) Préciser g(Ai) pour i dans I et en déduire g. IV.B.2) Vérifier que tout point M de %3 est le barycentre du système pondéré (Ai,gi(M)) IV.B.3) Déterminer on de IR tel que pour tout point M de toute arête [Al--,Aj] avec (i,j)EURI', i#j on ait G(M) : a. IV.C - IV.C.1) Montrer que A est un compact de gg . lsis4' IV.C.2) Montrer que sur chaque face du tétraèdre, G admet un maximum et un minimum. On précisera la valeur de ces extremums, ainsi que les points où ils sont atteints. On pourra partir du fait que le compact triangulaire limité par trois points non alignés d'un plan est l'ensemble des barycentres [1 poids positifs des sommets du triangle et que l'on peut toujours supposer que la somme des poids est égal à 1 . IV.C.3) Calculer G(Q) et déterminer la différentielle de G en 9. IV.C.4) Déterminer les points M de A en lesquels la différentielle de G est nulle. On pourra montrer que la nullité de la différentielle de G en un point M impli- que une relation linéaire portant sur les cpi et on utilisera dans ce cas le résultat de IV.A.2. IV.C.5) Montrer que la fonction G admet sur A un maximum et un minimum et déterminer ces extremums Gmin et Gmax de G sur A ainsi que les points où ils sont atteints. IV.D - On prend A1(1,--1,--1), A2(--1,1,--1), A3(--1,--1, 1) et A4(1,1,1). Pour m = 1 , on obtient, après un calcul qui n'est pas demandé : G(x, y, z) : â[3(x2+y2+22--2xy2) +5] . On appelle 2 la surface d'équation G(x, y, z) = 1 . On considère Ë(O, JË) la boule fermée de centre O et de rayon JË pour la norme euclidienne sur IR3 et l'on note S(O, JË) sa frontière, la sphère de centre O et de rayon JË . On admet que pour tout point M(x, y, 2) de S(O, JË) , on a lxyzl s 1 . (Ceci peut se démontrer en utilisant les coordonnées sphériques de M ). IV.D.1) Déterminer les points non réguliers de 2 . IV.D.2) Montrer que pour tout P(a, b, c) de S(O, JË) , il existe un et un seul point du segment [OP] qui appartienne à 2 . On pourra étudier la fonction h(t) : G(t'a, tb, tc) sur [0,1]. IV.D.3) Qu'en déduit-on pour l'intersection E' de 2 avec Ë(O, JË) ? On préci- sera les points de contact de cette intersection avec le tétraèdre ainsi qu'avec la sphère S(O, JË). IV.D.4) Préciser les sections de E et de Ë(O, JË) par le plan médiateur de [A3,A4] , d'équation x + y = O . Les représenter sur une même figure. IV.D.5) Décrire l'animation que donne la vue des surfaces de niveau : Sa : {(MEA)/G(M) : oc} lorsque oc varie de Gmi On précisera la position de ces surfaces par rapport au tétraèdre. & Gmax ' n loco FIN ooo

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 Centrale Maths 2 MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Vidick (ENS Ulm) ; il a été relu par Arnaud Durand (ENS Cachan) et Tristan Poullaouec (ENS Cachan). Le problème est consacré à l'étude d'une famille de polynômes réels (Lm )mN et à leur utilisation dans des contextes variés : algébrique dans la deuxième partie, analytique dans la troisième et géométrique dans la dernière. · La première partie introduit le polynôme Lm comme primitive d'une fonction polynomiale. On prouve quelques propriétés simples de ce polynôme, qui servent de manière répétée dans les autres parties. On montre en particulier que Lm est solution d'une équation fonctionnelle et on étudie ses racines et leur ordre de multiplicité. On donne ensuite l'allure de la courbe représentative de Lm sur [ 0 ; 1 ] et on termine par la résolution de systèmes à deux, trois et quatre inconnues faisant intervenir la dérivée de Lm . · La deuxième partie est consacrée à l'étude de projecteurs de R[X] et de Rn [X] définis à partir des polynômes de Taylor et des polynômes Lm . Dans chaque cas, on caractérise complètement le projecteur en donnant des bases de son image et de son noyau. · Dans la troisième partie, on étudie une application des polynômes Lm au prolongement C 1 sur R d'un arc paramétré qui n'est a priori défini que sur ] - ; -1 ] [ 1 ; + [. On s'intéresse ensuite à un exemple simple que l'on représente et dont on calcule le prolongement. · La dernière partie commence par définir un système de coordonnées sur l'espace affine E3 de dimension 3, c'est-à-dire que, étant donné quatre points A1 , A2 , A3 et A4 non coplanaires de E3 , on construit des fonctions (gi )i=1,...,4 telles que M E3 M= 4 P gi (M) Ai i=1 Ce système de coordonnées sert à l'étude d'une fonction G définie sur E3 à l'aide de Lm et en particulier à la détermination de ses extrema sur le tétraèdre de sommets (Ai )16i64 . Finalement, on se restreint à m = 1 et on étudie la surface d'équation G(M) = 1 et ses intersections avec et avec la boule de centre O et de rayon 3. Le problème ne présente pas de difficulté majeure et peut être presque entièrement traité avec la seule connaissance du programme de première année, à l'exception des calculs de différentielles de la quatrième partie. Il est par contre relativement long, comme souvent à Centrale, et peut difficilement être résolu en totalité dans le temps imparti. Ce sujet, consacré à l'étude de polynômes, fait essentiellement appel à des notions d'algèbre linéaire simple (surtout liée aux projecteurs) dans la deuxième partie puis de calcul différentiel dans la dernière partie, qui est surtout géométrique. Cette dernière présente quelques points délicats ; pour s'en sortir, il est important de bien se représenter la géométrie dans l'espace des objets manipulés. Indications I. Une fonction polynomiale I.A.2 Effectuer le changement de variable u = 1 - t dans la définition de Lm (1 - x). I.B.1 Utiliser la positivité de la fonction t 7 tm (1 - t)m sur [ 0 ; 1 ]. I.C.1 Montrer que Lm (x) admet une unique racine m-ième. II. Les polynômes de Taylor II.A Exprimer l'image d'un polynôme P = i (X - a)i par Tn,a en fonction de ses coefficients i . II.B Utiliser le résultat de la question I.A.3 pour exprimer U uniquement en fonction de Lm (X) ou de Lm (1 - X). Utiliser alors le résultat de la question II.A. II.C.1 Utiliser le résultat de la question II.B. II.C.2 Montrer que Im = Lm (X) Rm [X] + Lm (1 - X) Rm [X] en utilisant le résultat de la question II.B. Remarquer que Lm (X) Lm (1 - X) = 1 et s'en servir pour prouver que Ker = Xm+1 (1 - X)m+1 Rn-2 m-2 [X]. III. Un raccord III.A.1 Utiliser le polynôme L1 (X). III.A.2 Utiliser le polynôme L2 (X). III.B Établir un résultat analogue à celui de la question II.B. III.C.3 Résoudre l'équation x3 (t) = 0. IV. Une animation IV.A.2 Montrer qu'il y a une sous-famille libre de cardinal trois. IV.B.2 Comme les Ai sont non coplanaires, M s'écrit comme barycentre de ces points. Utiliser alors le résultat de la question précédente pour calculer les gi (M). IV.B.3 Utiliser le résultat de la question I.A.2. IV.C.1 Montrer que est l'image d'un compact par une application continue. IV.C.2 Se ramener à une fonction de deux variables réelles en exprimant l'un des poids en fonction des deux autres. Utiliser alors la convexité de Lm et le résultat de la question I.C.2. IV.C.3 Utiliser le résultat de la question IV.B.1 pour montrer que la différentielle de g est nulle. IV.C.4 Utiliser le résultat de la question I.C.3. IV.D.3 Pour déterminer , utiliser le résultat de la question IV.C.5. - IV.D.4 Représenter le plan x = -y dans le repère orthonormé (O, (- i -- )/ 2, k ). I. Une fonction polynomiale I.A.1 Commençons par calculer I1 et I2 en utilisant l'expression de Im donnée par l'énoncé. I1 = Ainsi, (1 !)2 1 = 3! 6 et I2 = (2 !)2 1 = 5! 30 Z 1 x t (1 - t) dt I1 0 Z x =6 (-t2 + t) dt x R L1 (x) = 0 L1 (x) = 6 - d'où x R x 0 L1 (x) = -2 x3 + 3 x2 x R De même, t3 t2 + 3 2 1 L2 (x) = I2 Z x Z 0x t2 (1 - t)2 dt (t4 - 2 t3 + t2 ) dt x 0 5 t4 t3 t -2 + L2 (x) = 30 5 4 3 0 = 30 soit x R L2 (x) = 6 x5 - 15 x4 + 10 x3 En utilisant la définition de Lm , on voit immédiatement que Lm (1) = 1 (cette égalité servira à la question suivante), ce qui permet de vérifier rapidement les calculs effectués ci-dessus : on a bien L1 (1) = L2 (1) = 1. I.A.2 Soit m un entier plus grand que 1. Effectuons le changement de variable u = 1 - t dans l'intégrale définissant Lm (1 - x). Z 1-x 1 x R Lm (1 - x) = tm (1 - t)m dt Im 0 Z x 1 =- (1 - u)m um du Im 1 Z 1 1 Lm (1 - x) = (1 - u)m um du Im x Ainsi, d'après la relation de Chasles, Lm (x) + Lm (1 - x) = 1 Im Z 0 1 tm (1 - t)m dt Comme Im = Z 0 1 tm (1 - t)m dt, on obtient x R Lm (x) + Lm (1 - x) = 1 En appliquant cette égalité en x = 1/2, il vient 1 1 = Lm 2 2 I.B.1 Commençons par étudier les zéros de Lm . Comme primitive d'une fonction continue (ici, polynomiale), Lm est C 1 et sa dérivée est donnée par x R Lm (x) = 1 m x (1 - x)m Im Les racines de Lm sur R sont donc 0 et 1, chacune ayant pour multiplicité m. Soit P un polynôme sur R et un réel. On dit que est racine de P de multiplicité k si i {0, . . . , k - 1} P(i) () = 0 et Ceci est équivalent à la caractérisation Q R[X] Q() 6= 0 et que nous avons utilisée dans cette question. P(k) () 6= 0 P(X) = (X - )k Q(X) Cherchons les valeurs d'annulation de Lm sur [ 0 ; 1 ]. Comme tm (1 - t)m > 0 pour tout t ] 0 ; 1 [, alors, pour tout x > 0, Lm (x) est l'intégrale d'une fonction positive non identiquement nulle sur [ 0 ; x ]. Ainsi, x R+ Lm (x) > 0 Comme Lm (0) = 0, le seul zéro de Lm est donc x = 0. De plus, la multiplicité de cette racine pour Lm est 1 plus sa multiplicité pour Lm . Finalement, L'unique racine de Lm dans [ 0 ; 1 ] est 0, de multiplicité m + 1. Étant donnée l'expression de Lm , il est clair que Lm (x) = Lm (1 - x) pour tout x réel. Il existe donc une constante C telle que x R+ Lm (x) + Lm (1 - x) = C Pour x = 0, on obtient C = 1. Ceci nous donne une autre preuve du résultat de la question précédente. C'est en général la manière la plus simple de prouver qu'une fonction de classe C 1 vérifie une équation fonctionnelle : on la dérive puis on utilise la valeur de la fonction en un point bien choisi pour calculer la constante d'intégration.