Centrale Maths 2 MP 2005

 

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Notations : on désigne par K le corps des nombres réels IR ou des complexes
0 . Lorsque K = C et 2 E K , |zl est le module de z et i2 = --1 .Pour les 
entiers n
etpzl,onnotez '

0 K" le K-- espace vectoriel des vecteurs (zl, 22, ..., zn) avec zj E K pour

j = l, 2, ...n .
° Mn,p(K ) les matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K ; et
Mn(K) = M K). , ,

On identifie K" et M n' 1(K ) donc, en calcul matriciel un vecteur s'identifie 
avec
la matrice colonne ayant les mêmes éléments. Pour A E Mn, p(K ) , on note
A : (a,-j)1 Sisn, 1 Sjsp lorsqu'on veut préciser les éléments de A ; quand
le contexte est clair, on écrit simplement A : (aij) ou A : (Aij). Pour x E K" ,
Dx est la matrice diagonale dont les éléments diagonauxsont ceux de x . Pour
A E M ,,(K ) , OA désigne le spectre de A , c'est--à-dire l'ensemble des 
valeurs pro-
pres de A et p(A) : max {|M; ÀEoA} . Pour A E M,,(K) , 'A est la transposée de
A ;et pour A E Mn(C), A* : t ( c'est-à-dire A*ij : äji ). S,,(K) désigne le 
sous--
ensemble des matrice symétriques de Mn(K ). Pour K : IR, SZ(IR) et SÏ(IR)
sont respectiVement les sous-ensembles des matrices symétriques positives et
définies positives de S,,(IR) . On rappelle qu'une matrice symétrique A est 
posi-
tive (resp. définie positive) lorsque la forme quadratique qu'elle définit ne 
prend
que des valeurs positives (resp. strictement positives) sur IR"\{O} .

n,n< Partie I - LA - Dans cette partie, on munit C" de la norme (II Il...) soit "Z||oe = maxj= l,...nlzjl° _ On définit l'application A E Mn( C) --> Noe(A) : maxi = 1, ___n 
EJE[1,2,...nllaül'
I.A.1) Montrer que A --> N °°(A) est une norme sur Mn(C) .

I.A.2)
a) Montrer que VA EUR Mn(C) , Vz & C" : ||A(Z)lloe s Noe(A)|lzlloe .

b) Montrer l'égalité

llA(Z)ll°°

Noe(A) = maxze(o'\{o}) llzlloe

c) Montrer que p(A) s Noe(A) .

I.A.3) Montrer que N 00 est une norme matricielle c'est-à-dire qu'elle vérifie :
VA et B & Mn( EUR) , Noe(AB) s Noe(A)Noe(B) .

I.A.4) Soit Q EUR Mn( EUR) une matrice inversible. On définit
A 5 Mn( @) --> NQ(A) = Noe(Q71AQ) .

a) Vérifier que N Q est une norme matricielle sur M n( 0) .

b) Montrer qu'il'existe une constante CQ telle que

VA & Mn( C) ôl--Noe(A) s NQ(A) s CQNoe(A) .
Q

LB -

Soit T E M n( @) une matrice triangulaire supérieure et s > 0 donné.

Montrer que l'on peut choisir une matrice diagonale D S E M n( C) avec

S = (s, 32, 33, ...s") EUR EUR" où 3 est un réel strictement positif telle que :

NDS(T) < p(T)+ e. Étant donnés A E M n( 0) et a > 0 , montrer qu'il existe une norme matricielle 
N_EUR
telle que

N8(A)oe

Partie II -

Soit AEMn(C) fixée ; pour iE[l, 2, ...n] on pose : Li : 2je[1,2,...n]j=i|aijl
Ci : EjEUR[l,2,...n]j:ilajil°

On définit les sous--ensembles du plan complexe.:
GL(A) : U'Î Di(A) et Di(A) : {ZE C, |Z"aiil SLi}-

l=l

GC(A) : " D'i(A) et D',(A) = {zE o,|z_aü| SC,}.

i=l

On désigne par Ci(A) le cercle bordant le disque Di(A) .

II.A -
II.A.1) Soit
4 + 3i i 2 --'1
A = i . -- 1.+ i 0 . O'
1 + L ----z 5 + 6z 2z
1 ---2i 2i --5--5i

Représenter dans le plan complexe G L(A) et GC(A) .

II.A.2) On se propose de montrer l'inclusion ('A C G L(A) n GC(A) .

a) Soit M = (m),--]-- E Mn(C) telle que le système linéaire MZ : 0 a une 
solution
non nulle. '

Montrer que
3pEUR[1,2,...n] |mpplst.

b) Soient A E Mn( C) et >» & oA . Utiliser II.A.2-a) et montrer que >» E G L(A) 
.

c) Conclure en justifiant l'inclusion GA C GC(A) .

II.A.3) On suppose que AEM,,(C) a une valeur propre M sur le bord de
GL(A) ... et soit x un vecteur propre associé à M .

a) Montrer que si pour k & [l, 2, ...-n] on a |xk| : llxll°° , alors M EUR 
Ck(A) .

Cj(A).

b) On suppose de plus que aij : 0V(i, j) . Montrer que M E H; = 1

1. Un point 2 appartient au bord de G L(A) si et seulement si 2 E G L(A) et

lz--aii| >.Li i = l, 2, ....n

II.A.4) Soit pEIR". On note p>O lorsque p : (pl,p2, ....pn) et pJ->O pour
j = 1, 2, ...n . Soient A & Mn(C) et Dp matrice diagonale avec p > 0 .Déterminer
GL(D_1AD).

II.A.5)
a) Déduire de II.A.2) et II.A.4) l'inégalité

n
. l
p(A) S Lnfp>0(maxi = 1,2,...n__ 2 p]laijl) °

b) Soit la matrice

7 --16 8
--16 7 --8].

8 --8 --5

14 :

i) Montrer que le majorant de p(A) donné par II.A.5)-a est supérieur ou égal
\ 83

& Î .

ii) Donner une valeur approchée de p(A) (on pourra utiliser la calculatrice).

II.B - Applications
II.B.1) Soit A E Mn(C) telle que
ViE[l,2,...n] laiil>Li°
On dit que A est strictement diagonale dominante (SBD).

a) Montrer que si A est SDD alors A est inversible.

b) Si A est SDD et si de plus Vi ail-' est réel et strictement négatif, montrer 
que
pour tout XE oA , Re(k) < 0 . c) Si A est une matrice réelle symétrique et SDB, énoncer une condition suffi-- sante pour qu'elle soit définie, positive. II.B.2) Soit B diagonalisable. Montrer qu'il existe une constante Koe(B) telle que VE & Mn( @) , vi & % +E, axi & 03 [X-- ail 5 Koe(B)Noe(E) . Partie III - Cette partie est indépendante de la Partie II, à l'exception de III .B.3. HLA - Préliminaire Cn[X ] est le C-- espace vectoriel des polynômes de degré 5 n à coefficients com- plexes. Soit t--> Pt une application de [O, 1] dans Cn[X ] :

Pt(X) : x" + Eÿ=1cj(t)X""j
où les n applications t--> cj(t) sont des fonctions continues de [O, 1] dans @.
On note Zt l'ensemble des racines de Pt qui est un sous--ensemble de @.
III.A.1) Montrer qu'il existe R > 0 tel que

VtE[O, ]] ZtCD(O,R).

III.A.2) Soit to fixé et XOEZtO. Montrer que la proposition (P) suivante est
vraie

(P) Ve>0,3n >O,tht--tol  0 , ]t--n,t+n [D [O, 1] CE.

iii) Soit k --> (tk)k ___1 2 une suite d'éléments de E qui converge vers
a E [0,1] ; montrer que a EE.

On admettra que les seules parties à la fois ouvertes et fermées dans [O, 1] 
sont
@ et [O, 1].

iv) En déduire que E = [0,1]. Conclure.

"III.B.3) Déduire de la Partie II et de la Partie III des propriétés du spectre 
de
la matrice A définie dans la question II.A.1)

Partie IV - (indépendante de II et III)

Rappels : sur M,,(C) on définit le produit hermitien et la norme associée ou
norme de Frobenius N 2 :

Pour A et B & M,,(C) , = Tr(AB*) et
N2(A) : A/  :

IV, A -
IV.A.l) Vérifier que N 2 est bien une norme matricielle sur M n( 0) .

Étant donnés A et B & Mn, p(C) , on définit leur H-- produit noté
A XHBE Mn'p(C) par (A XHB)ij : aijbij(i : l, 2, ...n j = 1, 2, ...p) .

IV.A.2)

,a) Si A et B E M...,(C) , et si D & Mn(C) et A E Mp(C) sont des matrices diago-
nales, établir les égalités :

D(A x HB)A = (DAA) x HB : (DA) x H(BA).
Donner deux égalités semblables pour D(A x HB)A .
b) Soient A et B E Mn,p(C) , et x & cp , établir l'égalité : (ADjB),, : [(A x 
ÈB)x}i
c) Si A et BEURMn,p(C) , yE EUR" , xEUR Cp montrer que

y*(A x HB)x = Tr(DËADJB).

On pourra introduire la matrice colonne e : t(1, 1, 1) , utiliser les questions 
a)
et b) en remarquant que D ye : y

d) En déduire que x*(A x HË)x : .

IV.B - Dans la suite on suppose K : IR , toutes les matrices sont à coefficients
réels.

IV.B.1) Soit S E S$(IR) , montrer qu'il existe T E Mn(IR) telle que S : tTT.
Que peut-on dire de T si S E SÏ(IR) ?

IV.B.2) Soient A et B & SZ(IR) , montrer que A x HB EUR S$(IR) . Que peut--on 
dire
si A et B eSÏ(IR) ?

IV.B.3) On se propose d'obtenir un encadrement des valeurs propres de A x HB
quand A et B & S$(IR) .

a) On désigne par kmin(A) (resp. Àmin(B )) la plus petite valeur propre de A

(resp. B ) et par kmax(A) (resp. Àmax(B)) la plus grande.

(B)In et A x H(B _). (B)In) ESÂ(]R).

b) Soit MA x HB ) une valeur propre de (A x HB) et x un vecteur propre pour

cette valeur propre (llacll2 : l) . Évaluer tx(A x HB --- MA x HB)In)x et en 
déduire
MA x HB) 2 À (B) . (mËn ati)

Montrer que les matrices B -- Amin ...

min

c) Montrer que aii 2 kmin(A) et en déduire la minoration

MA >< HB) z kmin(A)kmin(B) . d) Établir de même la majoration MA x HB) s xmax(A)x...(B) . ooo FIN ooo