Centrale Maths 2 MP 2005

Thème de l'épreuve Localisation du spectre de matrices carrées à coefficients complexes
Principaux outils utilisés normes, calcul matriciel, polynômes, suites, compacité, produits scalaires hermitiens

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 n__>_ e......___... l __ 3355352 :...Ë...... 33 83.95 - ÆOEÈOEQ mäqËoü Notations : on désigne par K le corps des nombres réels IR ou des complexes 0 . Lorsque K = C et 2 E K , |zl est le module de z et i2 = --1 .Pour les entiers n etpzl,onnotez ' 0 K" le K-- espace vectoriel des vecteurs (zl, 22, ..., zn) avec zj E K pour j = l, 2, ...n . ° Mn,p(K ) les matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K ; et Mn(K) = M K). , , On identifie K" et M n' 1(K ) donc, en calcul matriciel un vecteur s'identifie avec la matrice colonne ayant les mêmes éléments. Pour A E Mn, p(K ) , on note A : (a,-j)1 Sisn, 1 Sjsp lorsqu'on veut préciser les éléments de A ; quand le contexte est clair, on écrit simplement A : (aij) ou A : (Aij). Pour x E K" , Dx est la matrice diagonale dont les éléments diagonauxsont ceux de x . Pour A E M ,,(K ) , OA désigne le spectre de A , c'est--à-dire l'ensemble des valeurs pro- pres de A et p(A) : max {|M; ÀEoA} . Pour A E M,,(K) , 'A est la transposée de A ;et pour A E Mn(C), A* : t ( c'est-à-dire A*ij : äji ). S,,(K) désigne le sous-- ensemble des matrice symétriques de Mn(K ). Pour K : IR, SZ(IR) et SÏ(IR) sont respectiVement les sous-ensembles des matrices symétriques positives et définies positives de S,,(IR) . On rappelle qu'une matrice symétrique A est posi- tive (resp. définie positive) lorsque la forme quadratique qu'elle définit ne prend que des valeurs positives (resp. strictement positives) sur IR"\{O} . n,n< Partie I - LA - Dans cette partie, on munit C" de la norme (II Il...) soit "Z||oe = maxj= l,...nlzjl° _ On définit l'application A E Mn( C) --> Noe(A) : maxi = 1, ___n EJE[1,2,...nllaül' I.A.1) Montrer que A --> N °°(A) est une norme sur Mn(C) . I.A.2) a) Montrer que VA EUR Mn(C) , Vz & C" : ||A(Z)lloe s Noe(A)|lzlloe . b) Montrer l'égalité llA(Z)ll°° Noe(A) = maxze(o'\{o}) llzlloe c) Montrer que p(A) s Noe(A) . I.A.3) Montrer que N 00 est une norme matricielle c'est-à-dire qu'elle vérifie : VA et B & Mn( EUR) , Noe(AB) s Noe(A)Noe(B) . I.A.4) Soit Q EUR Mn( EUR) une matrice inversible. On définit A 5 Mn( @) --> NQ(A) = Noe(Q71AQ) . a) Vérifier que N Q est une norme matricielle sur M n( 0) . b) Montrer qu'il'existe une constante CQ telle que VA & Mn( C) ôl--Noe(A) s NQ(A) s CQNoe(A) . Q LB - Soit T E M n( @) une matrice triangulaire supérieure et s > 0 donné. Montrer que l'on peut choisir une matrice diagonale D S E M n( C) avec S = (s, 32, 33, ...s") EUR EUR" où 3 est un réel strictement positif telle que : NDS(T) < p(T)+ e. Étant donnés A E M n( 0) et a > 0 , montrer qu'il existe une norme matricielle N_EUR telle que N8(A)oe Partie II - Soit AEMn(C) fixée ; pour iE[l, 2, ...n] on pose : Li : 2je[1,2,...n]j=i|aijl Ci : EjEUR[l,2,...n]j:ilajil° On définit les sous--ensembles du plan complexe.: GL(A) : U'Î Di(A) et Di(A) : {ZE C, |Z"aiil SLi}- l=l GC(A) : " D'i(A) et D',(A) = {zE o,|z_aü| SC,}. i=l On désigne par Ci(A) le cercle bordant le disque Di(A) . II.A - II.A.1) Soit 4 + 3i i 2 --'1 A = i . -- 1.+ i 0 . O' 1 + L ----z 5 + 6z 2z 1 ---2i 2i --5--5i Représenter dans le plan complexe G L(A) et GC(A) . II.A.2) On se propose de montrer l'inclusion ('A C G L(A) n GC(A) . a) Soit M = (m),--]-- E Mn(C) telle que le système linéaire MZ : 0 a une solution non nulle. ' Montrer que 3pEUR[1,2,...n] |mpplst. b) Soient A E Mn( C) et >» & oA . Utiliser II.A.2-a) et montrer que >» E G L(A) . c) Conclure en justifiant l'inclusion GA C GC(A) . II.A.3) On suppose que AEM,,(C) a une valeur propre M sur le bord de GL(A) ... et soit x un vecteur propre associé à M . a) Montrer que si pour k & [l, 2, ...-n] on a |xk| : llxll°° , alors M EUR Ck(A) . Cj(A). b) On suppose de plus que aij : 0V(i, j) . Montrer que M E H; = 1 1. Un point 2 appartient au bord de G L(A) si et seulement si 2 E G L(A) et lz--aii| >.Li i = l, 2, ....n II.A.4) Soit pEIR". On note p>O lorsque p : (pl,p2, ....pn) et pJ->O pour j = 1, 2, ...n . Soient A & Mn(C) et Dp matrice diagonale avec p > 0 .Déterminer GL(D_1AD). II.A.5) a) Déduire de II.A.2) et II.A.4) l'inégalité n . l p(A) S Lnfp>0(maxi = 1,2,...n__ 2 p]laijl) ° b) Soit la matrice 7 --16 8 --16 7 --8]. 8 --8 --5 14 : i) Montrer que le majorant de p(A) donné par II.A.5)-a est supérieur ou égal \ 83 & Î . ii) Donner une valeur approchée de p(A) (on pourra utiliser la calculatrice). II.B - Applications II.B.1) Soit A E Mn(C) telle que ViE[l,2,...n] laiil>Li° On dit que A est strictement diagonale dominante (SBD). a) Montrer que si A est SDD alors A est inversible. b) Si A est SDD et si de plus Vi ail-' est réel et strictement négatif, montrer que pour tout XE oA , Re(k) < 0 . c) Si A est une matrice réelle symétrique et SDB, énoncer une condition suffi-- sante pour qu'elle soit définie, positive. II.B.2) Soit B diagonalisable. Montrer qu'il existe une constante Koe(B) telle que VE & Mn( @) , vi & % +E, axi & 03 [X-- ail 5 Koe(B)Noe(E) . Partie III - Cette partie est indépendante de la Partie II, à l'exception de III .B.3. HLA - Préliminaire Cn[X ] est le C-- espace vectoriel des polynômes de degré 5 n à coefficients com- plexes. Soit t--> Pt une application de [O, 1] dans Cn[X ] : Pt(X) : x" + Eÿ=1cj(t)X""j où les n applications t--> cj(t) sont des fonctions continues de [O, 1] dans @. On note Zt l'ensemble des racines de Pt qui est un sous--ensemble de @. III.A.1) Montrer qu'il existe R > 0 tel que VtE[O, ]] ZtCD(O,R). III.A.2) Soit to fixé et XOEZtO. Montrer que la proposition (P) suivante est vraie (P) Ve>0,3n >O,tht--tol  0 , ]t--n,t+n [D [O, 1] CE. iii) Soit k --> (tk)k ___1 2 une suite d'éléments de E qui converge vers a E [0,1] ; montrer que a EE. On admettra que les seules parties à la fois ouvertes et fermées dans [O, 1] sont @ et [O, 1]. iv) En déduire que E = [0,1]. Conclure. "III.B.3) Déduire de la Partie II et de la Partie III des propriétés du spectre de la matrice A définie dans la question II.A.1) Partie IV - (indépendante de II et III) Rappels : sur M,,(C) on définit le produit hermitien et la norme associée ou norme de Frobenius N 2 : Pour A et B & M,,(C) , = Tr(AB*) et N2(A) : A/  : IV, A - IV.A.l) Vérifier que N 2 est bien une norme matricielle sur M n( 0) . Étant donnés A et B & Mn, p(C) , on définit leur H-- produit noté A XHBE Mn'p(C) par (A XHB)ij : aijbij(i : l, 2, ...n j = 1, 2, ...p) . IV.A.2) ,a) Si A et B E M...,(C) , et si D & Mn(C) et A E Mp(C) sont des matrices diago- nales, établir les égalités : D(A x HB)A = (DAA) x HB : (DA) x H(BA). Donner deux égalités semblables pour D(A x HB)A . b) Soient A et B E Mn,p(C) , et x & cp , établir l'égalité : (ADjB),, : [(A x ÈB)x}i c) Si A et BEURMn,p(C) , yE EUR" , xEUR Cp montrer que y*(A x HB)x = Tr(DËADJB). On pourra introduire la matrice colonne e : t(1, 1, 1) , utiliser les questions a) et b) en remarquant que D ye : y d) En déduire que x*(A x HË)x : . IV.B - Dans la suite on suppose K : IR , toutes les matrices sont à coefficients réels. IV.B.1) Soit S E S$(IR) , montrer qu'il existe T E Mn(IR) telle que S : tTT. Que peut-on dire de T si S E SÏ(IR) ? IV.B.2) Soient A et B & SZ(IR) , montrer que A x HB EUR S$(IR) . Que peut--on dire si A et B eSÏ(IR) ? IV.B.3) On se propose d'obtenir un encadrement des valeurs propres de A x HB quand A et B & S$(IR) . a) On désigne par kmin(A) (resp. Àmin(B )) la plus petite valeur propre de A (resp. B ) et par kmax(A) (resp. Àmax(B)) la plus grande. (B)In et A x H(B _). (B)In) ESÂ(]R). b) Soit MA x HB ) une valeur propre de (A x HB) et x un vecteur propre pour cette valeur propre (llacll2 : l) . Évaluer tx(A x HB --- MA x HB)In)x et en déduire MA x HB) 2 À (B) . (mËn ati) Montrer que les matrices B -- Amin ... min c) Montrer que aii 2 kmin(A) et en déduire la minoration MA >< HB) z kmin(A)kmin(B) . d) Établir de même la majoration MA x HB) s xmax(A)x...(B) . ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 2 MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Nesme (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet porte sur la localisation du spectre de matrices carrées à coefficients complexes. Une matrice A étant donnée, il s'agit de déterminer un sous-ensemble de C dans lequel on est sûr de trouver une valeur propre de A. Cette détermination peut ensuite servir à initialiser un algorithme de calcul approché des racines du polynôme caractéristique de A. C'est pourquoi il est souhaitable de trouver un ensemble le plus petit possible, et même un ensemble ne contenant qu'une seule valeur propre de A. · Dans la partie I, on montre que la suite de matrices Ak kN tend vers 0 si et seulement si le rayon spectral de A est strictement inférieur à 1, en utilisant la norme infinie sur Mn (C). · Dans la partie II, A est localisé dans une union de disques dont les centres et les rayons se déterminent facilement à partir des coefficients de A. · La partie III est une étude plus fine de l'ensemble déterminé dans la partie II, dans le but d'isoler certaines valeurs propres de A. · La partie IV porte sur un encadrement du spectre de la matrice A ×H B, obtenue en multipliant A et B coefficient par coefficient, à l'aide des spectres de A et de B. La difficulté de ce sujet est très hétérogène. Si le début de la partie I est tout à fait classique, la question I.C exige une bonne connaissance du cours et une certaine autonomie. Il en est de même dans les parties II et III : au milieu de questions où le candidat est bien guidé, mais les questions II.A.5, II.B, III.A.2 et III.B.2.b nécessitent une bonne habileté technique. Enfin, de l'aisance avec le calcul matriciel est nécessaire pour venir à bout de la partie IV. Bref, il faut faire preuve de pugnacité pour profiter de ce sujet, au demeurant très intéressant. Hélas, les concepteurs du sujet n'ont pas fait preuve de beaucoup de rigueur dans le choix et dans l'usage des notations. En utilisant des notations inhabituelles ou à contre-emploi, les auteurs de l'énoncé rendent obscures des notions qui n'ont d'habitude rien de mystérieux. Ceci ajoute beaucoup à la difficulté des questions. Indications Partie I I.A.2.b Si k est le numéro de la ligne telle que n P |akj | = N (A), étudier l'image j=1 par A du vecteur w défini par j {1, . . . , n} et wj = 0 |akj | wj = akj si akj = 0 sinon I.A.3 Utiliser la question I.A.2.b. I.B Remarquer que T = {tii ; i {1, . . . , n}} et introduire t = max |tij |. 16i6j6n Puis démontrer et utiliser le fait que A est trigonalisable. I.C Justifier d'abord que Ak = (A)k ; pour cela prouver que le spectre de Ak est k | A . Ensuite la question I.A.2.c permet de prouver une implication. Pour l'autre, fixer > 0 et à l'aide des questions I.B et I.A.4.b majorer N (A) par C((A)k +) (C étant une constante réelle). Partie II II.A.2.c II.A.3.a II.A.5.b.i II.B.2 t Utiliser A. À l'aide de la question II.A.2.a, prouver que µ Dk (A). Remarquer que pour trois réels a, b et c, 3 max {a, b, c} > a + b + c. Si B = P-1 DP, démontrer le résultat avec D et E = PEP-1 . Utiliser ensuite la question I.A.4.b. Partie III III.A.1 Si z est une racine de Pt , montrer que |z| 6 max nP n j=1 o kcj k, 1 . III.A.2 Après avoir écrit (non (P)), poser = 1/m. En associant un réel tm à , minorer |Ptm (X0 )| et étudier sa limite quand m tend vers l'infini. III.B.2.b.ii Introduire les polynômes caractéristiques des matrices A(t) et justifier qu'ils vérifient les hypothèses du préliminaire. Fixer t dans E, dans A(t) D1 (A) et prendre < mini{2,...,n} d(, Di (A)). Justifier que le réel fourni par la question III.A.2 satisfait à la condition demandée. III.B.2.b.iii Associer à la suite (tk )kN une suite (k )kN de valeurs propres de A(tk ). Justifier que cette suite est bornée et lui appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass. Partie IV IV.B.1 S peut s'écrire P DP avec P une matrice orthogonale ( t P = P-1 ) et D une matrice diagonale à coefficients positifs. t t IV.B.1 Écrire A = T T et B = U U, et prouver ensuite que 2 t t x(A ×H B)x = N2 (TDx U) -1 t IV.B.3.b Évaluer plutôt x(A ×H (B - min (B)I))x en introduisant la matrice A = diag(a11 , a22 , . . . , ann ). IV.B.3.c Pour prouver que aii > min (A), étudier la matrice In ×H (A- min (A)I). Partie I I.A.1 Vérifions que N satisfait aux trois propriétés d'une norme. Soit A Mn (C). D'abord, si N (A) = 0, alors max n P i=1,...,n j=1 donc |aij | = 0 i {1, . . . , n} n P |aij | = 0 j=1 donc (i, j) {1, . . . , n}2 |aij | = 0 Ainsi, si N (A) = 0 alors A = 0. Ensuite, soit C n P N ( A) = max | aij | = max || i=1,...,n j=1 i=1,...,n donc n P n P |aij | = || max i=1,...,n j=1 j=1 |aij | N ( A) = || N (A) Enfin, soit B Mn (C). Comme n P i {1, . . . , n} |aij + bij | 6 j=1 n P |aij | + j=1 n P |bij | j=1 on peut affirmer que N (A + B) 6 N (A) + N (B). Finalement N est une norme sur Mn (C). I.A.2.a Soient A Mn (C) et z Cn . D'après la définition du produit matriciel, n P pour i {1, . . . , n}, la ie coordonnée de A(z) s'écrit aij zj . Or j=1 n P j=1 aij zj 6 n P |aij | |zj | 6 kzk j=1 n P |aij | 6 N (A)kzk j=1 On a utilisé le fait que |zj | 6 kzk (par définition de kzk ) et que n P |aij | 6 N (A) j=1 (par définition de N (A)). On peut maintenant affirmer que max n P i=1,...,n j=1 soit aij zj 6 N (A)kzk kA(z)k 6 N (A)kzk I.A.2.b Si la matrice A est nulle, l'égalité que l'on cherche à démontrer est évidente. Supposons donc A non nulle. D'après la question précédente, kA(z)k 6 N (A) kzk kA(z)k n Donc N (A) est un majorant de l'ensemble , z C r{0} . Pour montrer kzk que N (A) est le maximum de cet ensemble, il suffit de trouver un élément w kA(w)k de Cn r {0} tel que = N (A). kwk z Cn r {0} Le réel N (A) est le maximum de l'ensemble fini nP n j=1 donc k {1, . . . , n} tel que n P o |aij | , i {1, . . . , n} . Il existe |akj | = N (A). Introduisons maintenant le vecteur w j=1 de Cn défini par j {1, . . . , n} et wj = 0 |akj | wj = akj si akj = 0 sinon Comme la matrice A est non nulle, alors w est non nul. Chacune de ses coordonnées est soit nulle, soit de module 1. Donc kwk = 1. Or, la k e coordonnée de A(w) est n P akj j=1 akj 6=0 n P |akj | = |akj | = N (A) akj j=1 Cette coordonnée doit être inférieure à kA(w)k . On vient donc de prouver que N (A) 6 kA(w)k , mais d'après la question I.A.2.a, N (A) > kA(w)k . Ainsi kA(w)k kA(w)k = N (A), ou encore = N (A). kwk Finalement N (A) = kA(z)k r{0} kzk max n zC I.A.2.c Soient A et z un vecteur propre associé à . Comme z est un vecteur propre, il est non nul par hypothèse. De plus A(z) = z : avec la question I.A.2.a, on a kA(z)k || = 6 N (A) kzk Ainsi, max || 6 N (A) et donc A (A) 6 N (A) I.A.3 Soient A et B deux matrices dans Mn (C). D'après la question I.A.2.b, on peut trouver un vecteur z non nul qui réalise le maximum de kAB(z)k /kzk, c'est-à-dire tel que N (AB) = kAB(z)k kzk En appliquant la question I.A.2.a d'abord à A et B(z), et ensuite à B et z, on trouve kAB(z)k 6 N (A)kB(z)k 6 N (A)N (B)kzk ainsi Finalement kAB(z)k 6 N (A)N (B) kzk N (AB) 6 N (A)N (B) I.A.4.a Vérifions d'abord que NQ est une norme. Soit A Mn (C). · Si NQ (A) = 0 alors Q-1 AQ = 0 et donc A = 0. · Pour C, NQ (A) = N Q-1 AQ = || N Q-1 AQ = || NQ (A).